沪科版九年级数学上册21.2.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(课件)【新版】
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移： 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移问题，首先把 y=ax2+bx+c变形成顶点式，再判断它的图象的平移.
3、抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系： 要熟记抛物线y=ax2+bx+c与系数a、b、c之间的关系， 能通过抛物线判断系数a、b、c的符号，反过来，也能 通过系数a、b、c的符号来判断抛物线的正误.
原点0”； (3)a、b的符号共同决定对称轴x＝ b 的位置，简记为：
2a
“左同右异y轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象 的位置，也可以由图象的位置来判断各项系数的符号．
知3－练
1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则 下列结论正确的是( ) A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0 B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
2
_______________，其对应的抛物线的开口方向是_____，
顶点坐标是(____，____)，对称轴是________．当x＝
_____时，函数取得最________值，y最____＝______．
抛物线 y
1 2
x2
3x
5 2
可由抛物线
y
1 2
x2
向______
平移______个单位，再向______平移______个单位得到．
2a
∵当x＝1时，抛物线上对应的点在x轴的下方，
∴y＝a＋b＋c＜0. 综上所述，abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，
值为正数的只有abc.
知3－讲
总结
二次函数y＝ax2＋bx＋c的各项系数的符号与图象位置间的 关系： (1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”； (2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记为“上正下负
我们已经知道二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质， 能否利用这些知识来讨论二次函数y＝ 1 x2－6x＋21
2
的图象和性质？ 配方可得: y＝ 1 x2－6x＋21
2
＝ 1 (x－6)2＋3.
2
知1－导
由上可知：一般形式的二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0）都可以通过配方转化成y=a(x-h)2+k的
知2－练
2 抛物线y＝3x2－5x的最低点坐标是(____，____)， 可由抛物线y＝3x2向____平移____个单位，再向 ____平移___个单位得到．当x___时，函数y随x的 增大而减小；当x____时，函数y随x的增大而增大； 当x＝____时，函数取得最____值，y最___＝____．
知1－练
2 把函数y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表
达式为
y
x
3 2
2
11 4
,
则(
)
A．b＝3，c＝7
B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
知2－导
知识点 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
解法一：用配方法：
y＝2(x2－ 5 x)＋3，(将含x项结合在一起，提取
2
二次项系数)
y＝
2
x2
5 2
x
5 2
1 2
2
5 2
1 2
2
3,
(按完全平
方式的特点，常数项为一次项系数一半的平方)
知1－讲
y
2
x
5 4
2
知3－讲
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那 么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中， 值为正数的有( C )
A．3个
B．2个
C．1个
D. 0个
导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0. ∵对称轴x＝ 2ba＞0，∴b＜0. 又∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0， ∴abc＞0.∵x＝ b ＞1，∴－b＞2a，即2a＋b＜0.
3 用五点法作函数y＝2x2－5x＋3的图象．
知3－讲
知识点 3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系
项目 字母
字母的符号
a＞0
a
a＜0
ab＞0（a，b同号）
b
ab＜0（a，b异号）
c=0
c
c＞0
c＜0
图象的特征
开口向上 开口向下 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 图象过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
2
的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6.
先利用图象的对称性列表：
x
…3 4 5 6 7 8 9…
y＝ 1 x 62 3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
2
知2－讲
然后描点画图，得到y＝1 x 62 3 的图象(如图)．
2
从图中二次函数y＝ 1 x2－6x＋21的图象可以看出： 2
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的 右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<6时，y 随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大．
知2－讲
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标 对称轴
知3－讲
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c及b2－ 4ac的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能 确定图象的特征，反之，由图象的特征也能确定字 母的符号．
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝a＋b＋ c，此时若y＝0，则a＋b＋c＝0；若y＞0，则a＋b＋c ＞0；若y＜0，则a＋b＋c＜0.当x＝－1时，y＝a－b ＋c，此时若y＝0，则a－b＋c＝0；若y＞0，则a－b ＋c＞0；若y＜0，则a－b＋c＜0.
可以由抛物线y=2x2向右平移 5 个单位，
4
再向下平移 1 个单位得到.
8
知1－练
1 将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度， 再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的 解析式为( ) A．y＝(x－1)2＋4 B．y＝(x－4)2＋4 C．y＝(x＋2)2＋6 D．y＝(x－4)2＋6
形式，即
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
，因此二次函
数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象都可以通过二次函
数y=ax2的图象平移得到.
知1－讲
例1 把下面的二次函数的一般式化成顶点式：
y＝2x2－5x＋3. 导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，
另一种是代入公式法．Fra bibliotek逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
问 题（一）
请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x-h）²，y=a（x-h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
问 题（二）
你知道二次函数y=
1 2
x²-6x+21的图象的开口方向，对称
轴和顶点坐标吗？
知1－导
知识点 1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
知3－练
2 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c 的图象相交于P，Q两点，则 函数 y＝ax2＋(b－1)x＋c的图 象可能是( )
y=ax2+bx+c 顶点坐标
y=a(x-h)2+k
图象 极值 性质
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质： 熟记对称轴及顶点坐标的公式，并能画出简图判断增减 性和最值.
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线 x b
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线 x b
2a
知2－讲
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
增减性
当 x b 时，y随x的增
2a
大而减小；当 x b
2a
标)，当c＝0时，y＝ax2＋bx的图象必定经过原点，图象与
x轴的另一个交点为
b a
,
0
.
知2－讲
探究：你能用上面的方法讨论二次函数 y＝－2x2－4x＋1的图象和性质吗？
知2－讲
知2－练
1 将函数 y 1 x2 3x 5 化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是
2
4 2 3 52 1
.
42
8
y
2
x
5 4
2
1 8
.
知1－讲
思考：抛物线y=2x2-5x+3与抛物线y=2x2 有怎样的关系？
总结
知1－讲
二次函数y=2x2-5x+3化为顶点式后为
y
2
3、抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系： 要熟记抛物线y=ax2+bx+c与系数a、b、c之间的关系， 能通过抛物线判断系数a、b、c的符号，反过来，也能 通过系数a、b、c的符号来判断抛物线的正误.
原点0”； (3)a、b的符号共同决定对称轴x＝ b 的位置，简记为：
2a
“左同右异y轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象 的位置，也可以由图象的位置来判断各项系数的符号．
知3－练
1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则 下列结论正确的是( ) A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0 B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
2
_______________，其对应的抛物线的开口方向是_____，
顶点坐标是(____，____)，对称轴是________．当x＝
_____时，函数取得最________值，y最____＝______．
抛物线 y
1 2
x2
3x
5 2
可由抛物线
y
1 2
x2
向______
平移______个单位，再向______平移______个单位得到．
2a
∵当x＝1时，抛物线上对应的点在x轴的下方，
∴y＝a＋b＋c＜0. 综上所述，abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，
值为正数的只有abc.
知3－讲
总结
二次函数y＝ax2＋bx＋c的各项系数的符号与图象位置间的 关系： (1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”； (2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记为“上正下负
我们已经知道二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质， 能否利用这些知识来讨论二次函数y＝ 1 x2－6x＋21
2
的图象和性质？ 配方可得: y＝ 1 x2－6x＋21
2
＝ 1 (x－6)2＋3.
2
知1－导
由上可知：一般形式的二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0）都可以通过配方转化成y=a(x-h)2+k的
知2－练
2 抛物线y＝3x2－5x的最低点坐标是(____，____)， 可由抛物线y＝3x2向____平移____个单位，再向 ____平移___个单位得到．当x___时，函数y随x的 增大而减小；当x____时，函数y随x的增大而增大； 当x＝____时，函数取得最____值，y最___＝____．
知1－练
2 把函数y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表
达式为
y
x
3 2
2
11 4
,
则(
)
A．b＝3，c＝7
B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
知2－导
知识点 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
解法一：用配方法：
y＝2(x2－ 5 x)＋3，(将含x项结合在一起，提取
2
二次项系数)
y＝
2
x2
5 2
x
5 2
1 2
2
5 2
1 2
2
3,
(按完全平
方式的特点，常数项为一次项系数一半的平方)
知1－讲
y
2
x
5 4
2
知3－讲
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那 么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中， 值为正数的有( C )
A．3个
B．2个
C．1个
D. 0个
导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0. ∵对称轴x＝ 2ba＞0，∴b＜0. 又∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0， ∴abc＞0.∵x＝ b ＞1，∴－b＞2a，即2a＋b＜0.
3 用五点法作函数y＝2x2－5x＋3的图象．
知3－讲
知识点 3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系
项目 字母
字母的符号
a＞0
a
a＜0
ab＞0（a，b同号）
b
ab＜0（a，b异号）
c=0
c
c＞0
c＜0
图象的特征
开口向上 开口向下 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 图象过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
2
的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6.
先利用图象的对称性列表：
x
…3 4 5 6 7 8 9…
y＝ 1 x 62 3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
2
知2－讲
然后描点画图，得到y＝1 x 62 3 的图象(如图)．
2
从图中二次函数y＝ 1 x2－6x＋21的图象可以看出： 2
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的 右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<6时，y 随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大．
知2－讲
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标 对称轴
知3－讲
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c及b2－ 4ac的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能 确定图象的特征，反之，由图象的特征也能确定字 母的符号．
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝a＋b＋ c，此时若y＝0，则a＋b＋c＝0；若y＞0，则a＋b＋c ＞0；若y＜0，则a＋b＋c＜0.当x＝－1时，y＝a－b ＋c，此时若y＝0，则a－b＋c＝0；若y＞0，则a－b ＋c＞0；若y＜0，则a－b＋c＜0.
可以由抛物线y=2x2向右平移 5 个单位，
4
再向下平移 1 个单位得到.
8
知1－练
1 将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度， 再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的 解析式为( ) A．y＝(x－1)2＋4 B．y＝(x－4)2＋4 C．y＝(x＋2)2＋6 D．y＝(x－4)2＋6
形式，即
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
，因此二次函
数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象都可以通过二次函
数y=ax2的图象平移得到.
知1－讲
例1 把下面的二次函数的一般式化成顶点式：
y＝2x2－5x＋3. 导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，
另一种是代入公式法．Fra bibliotek逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
问 题（一）
请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x-h）²，y=a（x-h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
问 题（二）
你知道二次函数y=
1 2
x²-6x+21的图象的开口方向，对称
轴和顶点坐标吗？
知1－导
知识点 1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
知3－练
2 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c 的图象相交于P，Q两点，则 函数 y＝ax2＋(b－1)x＋c的图 象可能是( )
y=ax2+bx+c 顶点坐标
y=a(x-h)2+k
图象 极值 性质
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质： 熟记对称轴及顶点坐标的公式，并能画出简图判断增减 性和最值.
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线 x b
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线 x b
2a
知2－讲
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
增减性
当 x b 时，y随x的增
2a
大而减小；当 x b
2a
标)，当c＝0时，y＝ax2＋bx的图象必定经过原点，图象与
x轴的另一个交点为
b a
,
0
.
知2－讲
探究：你能用上面的方法讨论二次函数 y＝－2x2－4x＋1的图象和性质吗？
知2－讲
知2－练
1 将函数 y 1 x2 3x 5 化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是
2
4 2 3 52 1
.
42
8
y
2
x
5 4
2
1 8
.
知1－讲
思考：抛物线y=2x2-5x+3与抛物线y=2x2 有怎样的关系？
总结
知1－讲
二次函数y=2x2-5x+3化为顶点式后为
y
2
合集下载
九年级数学上册第21章 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时课件新版沪科版
3
2
B.y= 3 (x-3)2
C.y= 2 (x6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=- 1 (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.
4
解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（-2，0）. （2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（1，0）.
图象向右平移3个单位得到.
2
4
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，
2
当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3 时，y有最小值，为0.
-4 -2 O -2
y 12（x-3）2
2 4x
课堂小结
复习y=ax2+k
探索y=a(x+h)2 的图象及性质
图象的画法
描点法 平移法
y=ax2
图象的特征
平移关系
对称轴
x=-1 x=1
顶点坐标
（-1,0） （1,0）
相同点：开口方向相同、形状相同。
记作x=-1
x=1
y
O y - 12（x-1）2
-4 -2
2 4x
-2
-4
不同点：对称轴、顶点坐标发生了改变。
-6
y - 12（x+1）2
-8
抛物线y
-
12（x+1）2，y
-
12（x-1）2与抛物线y
-
1 2
2 4x
y - 12（x-1）2
抛物线 y - 12（x+1）2，y - 12（x-1）2的开口方向、 对称轴和顶点各是什么？
y
O -4 -2
-2
y - 12（x+1）2
-4 -6
-8
2 4x
y - 12（x-1）2
2
B.y= 3 (x-3)2
C.y= 2 (x6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=- 1 (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.
4
解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（-2，0）. （2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（1，0）.
图象向右平移3个单位得到.
2
4
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，
2
当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3 时，y有最小值，为0.
-4 -2 O -2
y 12（x-3）2
2 4x
课堂小结
复习y=ax2+k
探索y=a(x+h)2 的图象及性质
图象的画法
描点法 平移法
y=ax2
图象的特征
平移关系
对称轴
x=-1 x=1
顶点坐标
（-1,0） （1,0）
相同点：开口方向相同、形状相同。
记作x=-1
x=1
y
O y - 12（x-1）2
-4 -2
2 4x
-2
-4
不同点：对称轴、顶点坐标发生了改变。
-6
y - 12（x+1）2
-8
抛物线y
-
12（x+1）2，y
-
12（x-1）2与抛物线y
-
1 2
2 4x
y - 12（x-1）2
抛物线 y - 12（x+1）2，y - 12（x-1）2的开口方向、 对称轴和顶点各是什么？
y
O -4 -2
-2
y - 12（x+1）2
-4 -6
-8
2 4x
y - 12（x-1）2
《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》PPT 沪科版课件
之间的关系
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问 引出问题
问题1：请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x-h）²，y=a
（x-h）²+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1
问题2：你知道二次函数y=
复习提问
2
x²-6x+21的图象的开口方
引出问题 向，对称轴和顶点坐标吗？
感悟新知
知识点 1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
知1－导
我们已经知道二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质， 能否利用这些知识来讨论二次函数y＝ 1 x2－6x＋21
2
的图象和性质？ 配方可得: y＝ 1 x2－6x＋21
2
＝ 1 (x－6)2＋3.
2
感悟新知
由上可知：一般形式的二次函数y=ax2+bx+c
知1－导
（a≠0）都可以通过配方转化成y=a(x-h)2+k的
例2
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那
么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，
值为正数的有( C )
A．3个
B．2个
C．1个
D. 0个
知3－练
感悟新知
导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0.
知3－练
∵对称轴x＝ b ＞0，∴b＜0. 2a
又∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，
x
5 4
2
1 8
,
因此抛物线y=2x2-5x+3
可以由抛物线y=2x2向右平移 5 个单位，
4
再向下平移 1 个单位得到.
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问 引出问题
问题1：请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x-h）²，y=a
（x-h）²+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1
问题2：你知道二次函数y=
复习提问
2
x²-6x+21的图象的开口方
引出问题 向，对称轴和顶点坐标吗？
感悟新知
知识点 1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
知1－导
我们已经知道二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质， 能否利用这些知识来讨论二次函数y＝ 1 x2－6x＋21
2
的图象和性质？ 配方可得: y＝ 1 x2－6x＋21
2
＝ 1 (x－6)2＋3.
2
感悟新知
由上可知：一般形式的二次函数y=ax2+bx+c
知1－导
（a≠0）都可以通过配方转化成y=a(x-h)2+k的
例2
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那
么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，
值为正数的有( C )
A．3个
B．2个
C．1个
D. 0个
知3－练
感悟新知
导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0.
知3－练
∵对称轴x＝ b ＞0，∴b＜0. 2a
又∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，
x
5 4
2
1 8
,
因此抛物线y=2x2-5x+3
可以由抛物线y=2x2向右平移 5 个单位，
4
再向下平移 1 个单位得到.
九年级数学上册21.2.2二次函数y=ax2bxc的图象和性质(第4课时)名师教案(新版)沪科版
第4课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教学目标1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式．掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．2．会求二次函数的最值．3．经历二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的作法，体会二次函数解析式间的转化，体会求二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．教学重难点二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象画法；以及顶点坐标公式的理解和应用．教学过程导入新课【导语一】回忆二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象的特征与性质，并指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：(1)y＝－2(x＋3)2－4；(2)y＝13(x－1)2＋5.【导语二】我们已经知道了二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象特点，那么二次函数y＝－2x2－8x－7的图象有什么特点？推进新课一、合作探究【问题1】做一做：画二次函数y＝－2x2－8x－7的图象．点拨：先将一般式化成顶点式，再用描点法画出这个函数的图象．解：y＝－2x2－8x－7＝－2(x2＋4x)－7＝－2(x2＋4x＋4)－7＋8＝－2(x＋2)2＋1.由此可知函数y＝－2x2－8x－7的图象是一条开口向下的抛物线，此抛物线的顶点为(－2,1)，对称轴为x＝－2.列表、描点、连线等工作由学生自主完成．【问题2】 议一议：(1)列表取值时应注意什么问题？ (2)画函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象为何先要将其化为顶点式？解：(1)列表取值时x 应以顶点的横坐标为中心，两边对称取值．否则画出的抛物线不很对称，不能反映这个抛物线的特征．(2)因为化为y ＝(x －h )2＋k 的形式后，易找出此抛物线的顶点和对称轴，便于后来列表取值．【问题3】 用配方法将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)化为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k ，并写出抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标与对称轴．可由学生小组合作解答，教师引导．体验配方的过程．y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋ba x ＋b 24a 2－b 24a 2＋c＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋ba x ＋b 24a 2＋c －b 24a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a .所以抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .【问题4】 根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可化为顶点式y ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b24a. 填表：用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标用配方法，把下列函数写成y＝(x＋h)2＋k的形式，并写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y＝－x2＋6x＋1；(2)y＝－2x2＋8x－8.分析：配方法已学过，需按配方的步骤一步一步进行．且在配方时，所加的常数项为一次项系数的一半的平方，当然也要减去这一项，使前后变形保持值不变．解：(1)y＝－x2＋6x＋1＝－(x2－6x)＋1＝－(x2－6x＋9－9)＋1＝－(x－3)2＋10.∴此抛物线的开口向下，顶点为(3,10)，对称轴是x＝3.(2)y＝－2x2＋8x－8＝－2(x2－4x＋4)＝－2(x－2)2.∴此抛物线的开口向下，顶点为(2,0)，对称轴是x＝2.点拨：(1)配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握．(2)抛物线的顶点坐标可以根据公式，直接求解．三、巩固提高1．抛物线y＝－2x2＋8x－1的顶点坐标为( )．A．(－2,7) B．(－2，－25) C．(2,7) D．(2，－9)2．当x＝__________时，二次函数y＝x2＋2x－2有最小值．3．把抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x2－3x＋5，则a＋b＋c＝__________.4．已知二次函数y＝x2－2x－3.(1)把函数化成y＝(x＋h)2＋k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．(2)画出这个函数的图象．(3)根据图象回答：x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？(4)根据图象回答：函数y有最大值还是有最小值？最值是多少？(5)根据图象回答：x取何值时，y＞0；y＝0；y＜0?本课小结1．所学知识：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象画法，其对称轴、顶点坐标公式；(2)利用函数的图象，求函数的最值．2．所用的方法是配方法、图象法．。
度沪科版九年级数学上册课件二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)
21.2.2 二次函数 y = ax² +bx+c的图象和性质
（第1课时）
复习 1、二次函数
(1)图象是 (2)顶点为 对称轴为
的图象及性质：
；
y
，
；
o
x
复习
1、二次函数
的图象及、性质：
(3)当a>0时，抛物线
y
开口向 ，顶点是
最 点，在对称轴
的左侧，y随x的增大 o
x
而 ，在对称轴
的左侧，y随x的增大
探究
三、视察三条抛物线： y
(1)开口方向是什么？
9 8
7
开口都向上
6 5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
-2
探究
三、视察三条抛物线： y
(2)开口大小有没有
9 8
变化？
7 6
没有变化
5 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 Βιβλιοθήκη 3 4 x-2探究
三、视察三条抛物线： y
(2)与
的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少 4。
巩固
5、已知一次函数
所示，则二次函数
致是如下图的( )
y
y
Ao y
Bo
xC o y
xD o
的图象如图 的图象大 y
ox x
x
巩固 6、如图，某桥洞的抛物线形，水面宽 AB=1.6m，桥洞顶点C到水面的距离为 2.4m，求这个桥洞所在抛物线的解析 式。
y
4
那么这辆货运卡车是否
可以通过？
-4 o
（第1课时）
复习 1、二次函数
(1)图象是 (2)顶点为 对称轴为
的图象及性质：
；
y
，
；
o
x
复习
1、二次函数
的图象及、性质：
(3)当a>0时，抛物线
y
开口向 ，顶点是
最 点，在对称轴
的左侧，y随x的增大 o
x
而 ，在对称轴
的左侧，y随x的增大
探究
三、视察三条抛物线： y
(1)开口方向是什么？
9 8
7
开口都向上
6 5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
-2
探究
三、视察三条抛物线： y
(2)开口大小有没有
9 8
变化？
7 6
没有变化
5 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 Βιβλιοθήκη 3 4 x-2探究
三、视察三条抛物线： y
(2)与
的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少 4。
巩固
5、已知一次函数
所示，则二次函数
致是如下图的( )
y
y
Ao y
Bo
xC o y
xD o
的图象如图 的图象大 y
ox x
x
巩固 6、如图，某桥洞的抛物线形，水面宽 AB=1.6m，桥洞顶点C到水面的距离为 2.4m，求这个桥洞所在抛物线的解析 式。
y
4
那么这辆货运卡车是否
可以通过？
-4 o
二次函数y=ax2bxc的图像和性质(第1课时)课件沪科版九年级数学上册
最值
增减性
a＞0
a＜0
向上
向下
y轴
y轴
（0,k）
（0,k）
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的增 当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＞0时， 大而减小；x＜0时，y y随x的增大而增大. 随x的增大而增大.
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
归纳总结
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图 象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？ 它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 对称轴是y轴，顶点（0，k）
6
y=2x2
4 2
y=2x2-1
可以通过将y=2x²的图像向 下平行移动1个单位得到
－4 －2
24
观察上述图象，说说它有哪些特征.
它们的开口 方向及张口 大小都是一
样的
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
归纳总结：
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
情境引入 新知探索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作作业布置置
读书部分：阅读教材相关章节
作业
书面作业：教材练习21.2.2 （必做）
同步学练册21.2.2 （选做）
检查作业： 练习题21.2.2 第2题
同学们，再见！
因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两 点的对应横坐标互为相反数．
增减性
a＞0
a＜0
向上
向下
y轴
y轴
（0,k）
（0,k）
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的增 当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＞0时， 大而减小；x＜0时，y y随x的增大而增大. 随x的增大而增大.
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
归纳总结
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图 象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？ 它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 对称轴是y轴，顶点（0，k）
6
y=2x2
4 2
y=2x2-1
可以通过将y=2x²的图像向 下平行移动1个单位得到
－4 －2
24
观察上述图象，说说它有哪些特征.
它们的开口 方向及张口 大小都是一
样的
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
归纳总结：
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
情境引入 新知探索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作作业布置置
读书部分：阅读教材相关章节
作业
书面作业：教材练习21.2.2 （必做）
同步学练册21.2.2 （选做）
检查作业： 练习题21.2.2 第2题
同学们，再见！
因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两 点的对应横坐标互为相反数．
数学沪科版九年级(上册)21.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(3)
s
则另一边长为
60 2
l
m ，场地的
面积为： S＝l ( 30－l )
200
即 S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 ) 100
可以看出，这个函数的图象是一条抛物 线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图 O 象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标 时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点 的横坐标．
5 10 15 20 25 30 l
二、新课讲解
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
4ac b2 302
S有最大值 4a 4 1 225 ，
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）.
二、新课讲解 归纳：
一般地，因为抛物线 y ax2 bx c
a
2a
2a
a
a（ [ x
b ）2 2a
4ac b2 4a 2
]
a（x b ）2 4ac b2
2a
4a
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象及性质.
四、强化训练
1.二次函数y=（x-2）2+7的顶点坐标是（ B ）
A.（-2，7） B.（2，7） C.（-2，-7） D.（2，-7）
的顶点是最低（高）点，所以当 x b 2a
时，二次函数有最小（大）值 4ac b2 . 4a
二、新课讲解
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
04:09
17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
04:09
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
04:09
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
04:09
13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
初中数学沪科版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件PPT
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 上下和左右平移得到.
y=ax2+bx+c的图象与性质
函数y=ax²+bx+c的图象与性质
怎样把函数y=3x2-6x+5化成顶点式
。
y
1 2
x2
-
2x
3
1(x2 2
-
4x
6)
1
2
x2 4x (2)2 (2)2 6
1 2
(x 2)2
2
1( 2
x
2 )2
1
∴开口方向：向上; 对称轴：x=2;
顶点坐标:(2,1).
你能把 y ax2 bx c 改写成 y a(x h)2 k 吗？
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
减去一次项系 数绝对值一半 的平方
a x b
a x
2a b 2
2a
2
4ac 4a2
4ac b 4a
b2
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
1 2
(x 2)2
2
1( 2
x
2 )2
1
y
1 2
x2
-
沪科版数学九年级上册21.2第1课时二次函数y=ax？的图象和性质
当x<0时，函数y随x的增大而减小； 当x>0时，函数y随x的增大而增大
4.
顶点就是原点（0,0），顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸
当x=0时，函数取得最小值，最小值是0，且y没有最大值，即y≥0
仿例1、例2在同一平面直角坐标系中，画出函数 , 和 的图象；解：列表.
(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 有最低点，最低点坐标是(0,0).(4)当x<0时,随着x的增大,函数y如何变化?当x>0时呢? 当x<0时，随着x的减小，函数y增大;当x>0时，随着x的减小,函数y减小.
由图可知，①函数 的开口向上.②y轴是它的对称轴.③对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，也是最低点，坐标为（0,0）.④当x<0时，随着x的增大，函数y减小，抛物线下降;当x>0时，随着x的增大，函数y增大，抛物线上升.
和 ，在对称轴的左侧，函数y随x增大而减小;在右侧，函数y随x增大而减小. 和 ，在对称轴的左侧，函数y随x的增大而增大;在右侧，函数y随x的增大而减小.
课后作业
1.从课后习题中选取.2.完成练习册本课时的习题.
C
2.按要求完成下列各题.(1)在同一坐标系中画出函数 ; ; ;的图象.(2)观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴.(3)说出各图象中的最高点或最高点坐标.(4)说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况.
②③⑤
①
①④
拓展提升
1.已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是( )分析：因为b＜0，所以直线y=ax+b与y轴的交点在y轴的负半轴，因此B，D错误；选项A，C中，抛物线y=ax2都是开口向下，得到a＜0，所以直线y=ax+b是下降的.因此选项C正确.
4.
顶点就是原点（0,0），顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸
当x=0时，函数取得最小值，最小值是0，且y没有最大值，即y≥0
仿例1、例2在同一平面直角坐标系中，画出函数 , 和 的图象；解：列表.
(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 有最低点，最低点坐标是(0,0).(4)当x<0时,随着x的增大,函数y如何变化?当x>0时呢? 当x<0时，随着x的减小，函数y增大;当x>0时，随着x的减小,函数y减小.
由图可知，①函数 的开口向上.②y轴是它的对称轴.③对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，也是最低点，坐标为（0,0）.④当x<0时，随着x的增大，函数y减小，抛物线下降;当x>0时，随着x的增大，函数y增大，抛物线上升.
和 ，在对称轴的左侧，函数y随x增大而减小;在右侧，函数y随x增大而减小. 和 ，在对称轴的左侧，函数y随x的增大而增大;在右侧，函数y随x的增大而减小.
课后作业
1.从课后习题中选取.2.完成练习册本课时的习题.
C
2.按要求完成下列各题.(1)在同一坐标系中画出函数 ; ; ;的图象.(2)观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴.(3)说出各图象中的最高点或最高点坐标.(4)说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况.
②③⑤
①
①④
拓展提升
1.已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是( )分析：因为b＜0，所以直线y=ax+b与y轴的交点在y轴的负半轴，因此B，D错误；选项A，C中，抛物线y=ax2都是开口向下，得到a＜0，所以直线y=ax+b是下降的.因此选项C正确.
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
导入新课
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思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
1. 什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与
y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？ 形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次
解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的
二次函数.
2. 若函数 y (m2 9)x2 (m 2)x 4 是二次函数， 那么 m 的取值范围是什么？
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
思考： 1. 已知二次函数 y＝－10x2＋180x＋400，自变量 x 的取 值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y＝－10x2 ＋180x＋400，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围还应符合实际 情况，使实际问题有意义.
解：（1）由题意知
m2 7 1，Βιβλιοθήκη m30，解得
m=
2
2.
（2）由题意知
m2 7 2，
m
3
0，
解得 m = 3.
注意 第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，
从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视.
变式训练
y1. 已(k 知 2)x k