孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)复习笔记-行列式(圣才出品)
第2章行列式
2.1 复习笔记
一、矩阵
1．矩阵概念
在数域P中取mn个数，将它们排成m（横）行，n（竖）列的长方阵（将第i行，第j列的元素记为），再加上括号，即有
称它为P上的一个m×n矩阵．
注：（1）矩阵通常用一个英文大写字母，如A表示；
（2）从上到下的各行依次称为第1行，…，第m行，并记为
（3）从左到右的各列依次称为第l列，…，第n列，并记为
（4）矩阵中每个数，又称矩阵的元素，第i行，第j列处的数（元素）也记为
2．矩阵相等
P上的m×n矩阵A与k×l矩阵B称为相等，如果满足
（1）m＝k，n＝l；
（2）
3．行矩阵（列矩阵）
只有一行（列）的矩阵称为行矩阵（列矩阵）．4．n阶方阵
一个n×n的矩阵称为n阶方阵．
５．单位矩阵
n阶方阵
其中
称为n阶单位矩阵．
６．转置
（1）定义
设A是一个m×n的矩阵
则
称为A的转置．常记为A'（或A T）．
（2）性质
A'是n×m矩阵，且与A有以下关系
注：若一个n×m矩阵B与A有上述关系之一，则B＝A'，另外两个关系也成立．6．初等变换符号表示
（1）若将矩阵A的第i行（第j列）的每个元素都乘以数k，而其他元素不变，所得的矩阵称为A的第i行（第j列）乘k，记为则
若将第二个等式右边简记为，则
同理与A有下面关系
（2）将矩阵A的第i行（列）加上第j行（列）的k倍，而其他行（列）（包括第j
行（列））不变，即A的第i行（列）的每个元素加上第j行（列）对应元素的k倍．得到的矩阵记为则
若将上式右边记为则
同理有
其中
（3）将矩阵A的第i行（列）与第j行（列）互换，其余行（列）不动，所得的矩阵记为则
同理
7．初等变换
设A是一个矩阵，称
为A经过一次初等行（列）变换得到的矩阵．初等行变换，初等列变换，统称初等变换．
二、行列式
1．余子式
对于一个n阶方阵
划去所在的行（第i行）与所在的列（第j列）后得到一个n－1阶方阵
它的行列式称为的余子式．
2．行列式
（1）定义
一阶方阵A＝（a11）的行列式为
如果n－1阶方阵的行列式已经定义，则n阶方阵A的行列式定义为
其中是的余子式，即划去A的第l行，第j列后所得的n－1阶方阵的行列
式．
（2）定理
设A是一个n（≥2）阶方阵，则
3．n阶下三角方阵
称为A为n阶下三角方阵．当i＜j时，则
注：若A为n阶上三角方阵，即当i＞j时,则detA＝
4．对角矩阵
（1）主对角线
n阶方阵
从左上角到右下角称为主对角线或简称对角线，其上元素称为对角线上元素或对角元素．
（2）对角矩阵
如果A满足i≠j时，即。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-行列式(圣才出品)
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分解为不可约因式的乘积． 解：由 Vandermonde 行列式，有 5．计算
解：令所求行列式为 D．作 n 次多项式
则－D 是 p(x）的
的系数．而由 Vandermonde 行列式，有
于是
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4）
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5）
6）
7）
8）
9） 10）
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11）
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解：以 D 表示所要计算的行列式，则有下面结果． 1） 2） 3） 4）
5）
6
）
7） 8）
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第一列减第三列，第二列减第四列，得 按第一行展开，得
10）n＝1 时，D＝a1－b1．
n＝2 时，
．
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n≥3 时，D 可写成 2n 个行列式之和，每个行列式中必有两列成比例，故 D＝0．
2）将等式左边的行列式记为 Dn．对 n 作归纳证明． n＝1 时结论显然成立．设 n－1 时结论成立．将 Dn 按第 n 列展开，得
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3）将等式左边的行列式记为 Dn．对 n 作归纳证明． n＝1 时结论显然成立．设 n－1 时结论成立．将 Dn 按第一列转化为两个行列式的和：
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2.2 课后习题详解
第1节 矩 阵
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-线性空间(圣才出品)
若 k＝0，l≠0（k≠0，l＝０），则 γ＝lβ 与 β 共线（γ＝kα 与 α 共线），亦有γ与α，β共
面．
若 k≠0，l≠0，作
，
（如图4-2-6），于是
因而α，β，γ均平行于由 A，B，C 决定的平面，故共面．得证．
图 4-2-5
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图 4-2-2
图 4-2-3
图 4-2-4
5．设向量α≠0．试证β与α共线的充分必要条件是存在实数 k，使得β＝kα．且 k 由α，
β唯一确定．
证：若β＝kα，根据向量与数的乘法的定义知，β 与 α 共线．
反之，设β与α共线，因为α≠0，故存在唯一的 k1≥0，使得
若α，β 共线．则 α，β，γ 共线，自然共面；若 α，β 不共线，则由习题 6，亦有α，β， γ共面．于是充分性亦得证．
综上所述，结论成立．
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8．设α，β，γ是三个非零向量，k，l，m 是三个非零实数．试证 kα－lβ，lβ－mγ，mγ －kα是三个共面向量．
图 4-2-6
7．试证向量α，β，γ共面的充分必要条件是存在不全为 0 的实数 k，l，m，使得 kα＋ lβ＋mγ＝0．
证：先证必要性．若α，β，γ共面，可分三种情形． （i）α＝β＝γ＝0．则可取 k，l，m 为任意数，自然可以是非零的． （ⅱ）α，β，γ 共线．其中有非零的，不妨设 α≠0．于是由习题 5，可得 β＝k1α，γ＝ k2α．于是－（k1＋k2）α＋β＋γ＝0，即可取 k＝－（k1＋k2），l＝m＝1． （iii）α，β，γ 不共线，故其中至少有两个例如 α，β 不共线．于是根据习题 6 的结论 可得γ＝kα＋lβ，即 kα＋lβ＋（－1）γ＝0． 总之，α，β，γ共面的所述的必要条件成立． 再证充分性．kα＋lβ＋mγ＝0，k，l，m 不全为 0，不妨设 m≠0．于是有
《线性代数与空间解析几何》复习大纲
=
200 + 1 100 + 2 - 100 + 1 100 - 2 2 1 1 -2
2 4 2 1 1 2 1 2 1 1 -1 1 1 -1 1 -2
= 100
= LL
1 0 = −100 0 0
2 -6 0 0
1 -3 3 2
-2 7 3 2 1 2
= −1800
0
1 + a1 1
L
1 1 M 1 + an
α1 , α 2 , α 3 , α 4
生成的向量空间的基和维数
7、设 R n 中的任一向量 、
α
在基
α1 , α 2 ,L , α n 下的坐标为 {x1 , x2 ,L, xn }
在基
β1 , β 2 ,L , β n 下的坐标为
且有 {y1 , y2 ,L, y2 − x1 , y3 = x3 − x2 , LL , yn = xn − xn −1
1 0 0 2 2 1 2 2 1 ( A B ) → 0 1 0 2 3 1 = ( E A−1 B) 知过渡矩阵为 P = A−1 B = 2 3 1 0 0 1 − 1 − 1 0 − 1 − 1 0 (2)
1 x α = (e1 , e2 , e3 ) 3 = (α1 , α 2 , α 3 ) y = 0 z x A y z
齐次 齐次 非齐次
基础解系 特解
1
1、计算行列式 、
16 96
2 7
24 384 72 3
解:
1 16 2 24 384 72 = 24× 1 16 3 3 96 7 3 96 7
《高等代数》：学习笔记
《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。
有些笔误也修正差不多了。
课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式§1.1 定义这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别这是三元线性方程组§1.2 逆序数§1.3 n 阶行列式的代数和§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变：2、k 可以乘上某行(列)：3、加法：某行之和 展开为两行列式之和：3阶行列式 右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数偶排列，正号 奇排列，负号阶排列4、互换两行(列)：负号5、两行相同(成比例)：零值6、某行乘以k加到另一行：值不变§1.5 代数余子式§1.6 范德蒙行列式第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则类似左边当时，方程组有唯一解：§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。
如果线性方程组，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。
§2.3 数域§2.4 n 维向量代数余子式余子式：删去i, j 所在的行与列后得到的n-1阶行列式所在行列的和(同等于逆序数τ)表示所有可能的差 i>j如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)只有当常数项b 不全为零时，且s=n 时才可用克莱姆法则系数行列式 (b 在1列)该解法适用于n 阶n 维基本向量组n 阶行列式数量乘积：零向量：负向量：行向量与列向量：§2.5 线性相关α线性相关α线性无关K有解，且不全0 K只有零解时不一定不能线性表出不可逆，因为分母不能为0 可逆r<n ，称退化的r=n 称非退化(或满秩)特征值有重根，不一定相关特征值无重根一定无关极大线性无关组：每个向量都不能被前面某些向量线性表出例§2.6 秩rank=极大线性无关组的向量个数§2.7 求全部解和基础解系的步骤第一步：求梯阵由向量组线性表出线性组合rank=n，有唯一解rank<n，有无穷多解不能表出，即详见书P154-155页例6有待更进一步补充常数项为0的充要条件第二步：求一般解第三步：求特解γ0第四步：求齐次的一般解第五步：求基础解系第六步：答：得全部解n-r个注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系，又称特征向量即n维基本向量组全部解特解基础解系即第三章 矩阵附1：矩阵名词汇总：方阵： 系数矩阵：增广矩阵： 梯阵：约化梯阵：三角矩阵：对角矩阵：单位矩阵： 零矩阵：数量矩阵： 转置矩阵： 分块矩阵：满秩矩阵：逆矩阵：伴随矩阵：等价矩阵：初等矩阵：正交矩阵：相似矩阵：约当形矩阵： 二次形矩阵：实对称矩阵：(半)正定矩阵： (半)负定矩阵： 不定矩阵：标准形矩阵：附2：一般n 维线性方程组、s×n 维矩阵、n 维向量组的表示法Rank 即矩阵的秩b 即系数左下：对角线左三角形对角线上的元素 λ即特征值注：全为0时，称齐次线性方程组不全为0时，称非齐次线性方程组注：s为行数，n为列数(未知数个数)附：有的书行数用m表示注：这个既可理解为：基础解系的系数也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素还可以理解为：二次型的特征值(同上句) 附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师1、加(减)法：性质： 交换律：结合律：2、乘法：性质： （当，称可交换）结合律：k 次幂：非交换律：§3.2 分块 分块后矩阵的基本运算依然等价§3.3 逆矩阵伴随矩阵：求逆公式：各个元素对应相加（减），即注：A 的|row|=B 的|column|例：2 0 1× × ×+ + ＝ 51、求a ij 的代数余子式A ij2、对应的元素要转置详见书P183页 AB等价矩阵：初等矩阵：标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r用单位矩阵求逆：附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3阶矩阵建议用求逆公式。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-多项式(圣才出品)
1.2 课后习题详解第1节数域1．举出对加法、乘法及除法封闭但对减法不封闭的例子．解：集合Q＋＝{a∈Q|a＞0}对加法、乘法及除法封闭但是对减法不封闭．2．举出对加法、减法封闭，但对乘法不封闭的例子．解：集合对加法、减法都封闭，但是对乘法不封闭．3．举出对加法、减法都不封闭，但对乘法封闭的例子．解：集合与集合{m|p∤m，p素数}对加法、减法都是不封闭的，但是对乘法封闭．4．试证C的子集P若对减法封闭，则必对加法封闭．证：可设P≠∅，于是有a∈P，因此a－a＝0∈P．又因为0－a＝－a∈P，若有b∈P，则必有a＋b＝b＋a＝b－(－a)∈P．故P若对减法封闭，则必对加法封闭．5．试证C的子集P若对除法封闭，则必对乘法封闭．证：设P≠∅，P≠{0}，于是有a∈P，a≠0，因此a÷a＝1∈P．又因为，故若b∈P成立，则有ab＝ba＝b÷a-1∈P．因此P若对除法封闭，则必对乘法封闭．6．令试证是一个数域．证：由题目易知，则有即对加法和减法都封闭．又因为则对乘法封闭．下面需证明对除法是封闭的．由于对乘法封闭，故只需证明下面结论：，则成立．下面分为三种情形讨论：（1）b＝c＝0，此时d＝a≠0，．（2）c＝0，b≠0，此时可设，于是，且a3＋5≠0．因此．（3）c≠0，此时可设，于是因此有由情形（2）及乘法的封闭性可知．故是数域．第2节一元多项式1．设P是数域．f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且f(x)＋g(x)＝f(x)＋h(x)．试证g(x)＝h(x)．证：由题意知f(x)＋g(x)＝f(x)＋h(x)，于是有故结论成立．2．设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且f(x)≠0，f(x)g(x)＝f(x)h(x)．试证g(x)＝h(x)．证：由题意有f(x)g(x)＝f(x)h(x)，则f(x)(g(x)－h(x))＝0，再由f(x)≠0，因此结论成立．3．设f(x)，g(x)∈P[x]，f(x)≠0，g(x)≠0，又deg(f(x)g(x))＝degg(x)．试证f(x)＝c∈P．证：因为degf(x)＋degg(x)＝deg(f(x)g(x))＝degg(x)，所以degf(x)＝0，故f(x)＝c∈P．4．设m，n∈N，f(x)∈P[x]．归纳定义f1(x)＝(f(x))1＝f(x)，f n(x)＝(f(x))n＝f(x)f n-1(x)，试证这里f0(x)，g0(x)定义为1．证：1）对m，n作双重归纳证明．由f n(x)的定义，可知对任何m有f(x)f m(x)＝f1+m(x)．现设对于n，有f n(x)f m(x)＝f n+m(x)成立，则因此结论1）成立．2）当m＝1时，结论显然成立．设m时，结论成立，于是由结论1）有则结论2）成立．3）n＝1时，结论显然成立．设n时，结论成立，于是有因此结论3）成立．4）n＝1时，结论显然成立．设n时，结论成立，于是有因此结论4）成立．第3节带余除法1．求用g(x)除f(x)的商式q(x)与余式r(x)：1）f(x)＝x3－3x2－x－1，g(x)＝3x2－2x＋1；2）f(x)＝x4－2x＋5，g(x)＝x2－x＋2．解：分别用q(x)，r(x)表示所求的商和余式．1）由则可得．2）由则可得q(x)＝x2＋x－1，r(x)＝－5x＋7．2．m，p，q适合什么条件时，有1）x2＋mx－1|x3＋px＋q；2）x2＋mx＋1|x4＋px＋q．解：1）观察两个多项式的首项与常数项．则有因此q＝m，p＝－m2－1．2）观察两个多项式的首项与常数项，于是有则有于是可得q＝m2－1，p＝m(m2－2)．。
线性代数高等代数知识点总结
证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法；
R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法；
克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
二、特殊行列式的值
1.三角行列式
a11 a22
* a11
向量组等价：
对于向量组S，T，下列条件等价 1. S和T等价，即S,T可以互相表示 2. S,T的极大无关组等价 3. S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
23
线性相关与线性表示：
• 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性 表示
• 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则 可由1,...,r线性表示,且表法唯一
线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
24
a22
0 a11a22 ann
0
ann *
ann
0
a1n *
a1n
a2(n1)
a2(n1)
n(n1)
(1) 2 a a1n 2(n1) an1
an1
* an1
0
2.范氏行列式
111
x1 x2 x3
x12
x22
x32
x x x n1
n1
n1
1
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第 4 章 线性空间
4.1 复习笔记
一、向量及其线性运算
1．向量
向量（又称矢量）是既有长度又有方向的量．
2．零向量
长度为零的向量，即始点与终点重合的向量，零向量的方向不确定，可按需要取任意方
向．
3．向量相等
如果能将向量
平行移动到向量
设
为空间一点，直线 PQ 垂直于坐标平面 XOY，
为垂足．设
OX 到 OQ 的夹角为
，OZ 到 OP 的夹角为θ（0≤θ≤π），
．
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称为点 P 的球面坐标，O 称为极点，直线 OZ 称为极轴，半平面 称为极半平面，极点，极轴与极半平面合称球面坐标系．
6．向量共线与共面
如果几个向量平行于同一直线，则称它们共线．如果几个向量平行于同一平面，则称它
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们共面．任意两个向量一定共面．
7．向量的线性运算
（1）向量与向量的加法
设α，β为空间两个向量．在空间任取一点 O，作
架（坐标系）．P 为空间一点，向量 在α，β，γ下的坐标 称为点 P 在标架
下的（仿射）坐标．此时，记 P 点为 P（x，y，z）．
注：O 称为原点，O 的坐标为
．
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5．坐标轴与坐标系
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通过 O 点，分别与α，β，γ同向的有向直线 OX，OY，OZ 称为坐标轴；平面 XOY，
2．坐标系 空间中三个不共面的向量α，β，γ称为空间的一个坐标系（或一组基）． 3．坐标
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-矩阵(圣才出品)
与 A 可换，于是有
因此可知 故 2）设
与 A 可换，于是有
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因此可知
故 其中 3）设
，
，
．
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与 A 可换，于是有
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2）由 detA＝1，可得
5．证明若矩阵 A 与所有 n 阶方阵可换，则 A＝aIn（a∈P，aIn 称为数量矩阵）．
证：方法 1：设
，则有
，因此对于
，即有
因此当 t≠s 时，有 ，故可知
．又由 ，对于
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，2≤i≤n，可得 ．于是可得 A＝aIn．
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1）
，
；
2）
，
．
解：1）直接运算有
2）直接运算有
4．求所有与 A 可换的矩阵．
1）
；
2）
；
3）
；
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4）
；
5） 解：1）设
，且 i≠j 时，ai≠aj．
其中
．
2．计算
1）
；
2）
；
3）
；
4）
；
5）
；
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6）
；
7）
；
8）
，
；
9）
；
10）
．
解：1） 2）因为
． ，所以有
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孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(下册)二次曲面 9.2 课后习题详解【圣才出品】
即得
因而是 YOZ 平面上的共轭双曲线． 共轭双曲面
在 ZOX 平面上的交线，为
即可得
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因而是 ZOX 平面上的共轭双曲线．
第 2 节 直纹面
1．已知柱面的准线方程为 解：此柱面的准线方程
证
．
证：设 Pi 的坐标为
，这里 ri＞0，则有
由于 i≠j 时，
垂直，于是可得
即得
，i＝1，2，3．试
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是正交矩阵，所以有 又 Pi 在 S 上，故可得 即 将上面三式相加，即可完成证明． 5．证明方程 (λ为参数)表示经过曲线
因此它们垂直当且仅当 又 P0∈S，故有 于是 P0 的轨迹满足：
当 a≠b 时，为双曲线．当 a＝b 时，为二相交直线： 和
6．试证单叶双曲面，双曲抛物面的母线有下列性质： 1）同族的两条母线不共面； 2）异族的两条母线共面； 3）经过单叶双曲面的一条母线的平面也经过另一族的一条母线； 4）经过对双曲抛物面的不平行对称轴的一条母线的平面也经过另一族的一条母线．
将（2，1，3）分别代入．则得μ＝Aλ，μ′＝0，于是过点 M(2，1，3)的两条直母线为 ，
5．求双曲抛物面
上互相垂直的直母线的交点的轨迹．
解：由抛物面 S 的方程可写为
于是其两族直母线为 于是过
， 的两条直母线，为
于是可得它们的方向数：
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的椭球面族，并求此族曲面的中心的轨迹方程． 证：设