孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)复习笔记-行列式(圣才出品)

第2章行列式

2.1 复习笔记

一、矩阵

1．矩阵概念

在数域P中取mn个数，将它们排成m（横）行，n（竖）列的长方阵（将第i行，第j列的元素记为），再加上括号，即有

称它为P上的一个m×n矩阵．

注：（1）矩阵通常用一个英文大写字母，如A表示；

（2）从上到下的各行依次称为第1行，…，第m行，并记为

（3）从左到右的各列依次称为第l列，…，第n列，并记为

（4）矩阵中每个数，又称矩阵的元素，第i行，第j列处的数（元素）也记为

2．矩阵相等

P上的m×n矩阵A与k×l矩阵B称为相等，如果满足

（1）m＝k，n＝l；

（2）

3．行矩阵（列矩阵）

只有一行（列）的矩阵称为行矩阵（列矩阵）．4．n阶方阵

一个n×n的矩阵称为n阶方阵．

５．单位矩阵

n阶方阵

其中

称为n阶单位矩阵．

６．转置

（1）定义

设A是一个m×n的矩阵

则

称为A的转置．常记为A'（或A T）．

（2）性质

A'是n×m矩阵，且与A有以下关系

注：若一个n×m矩阵B与A有上述关系之一，则B＝A'，另外两个关系也成立．6．初等变换符号表示

（1）若将矩阵A的第i行（第j列）的每个元素都乘以数k，而其他元素不变，所得的矩阵称为A的第i行（第j列）乘k，记为则

若将第二个等式右边简记为，则

同理与A有下面关系

（2）将矩阵A的第i行（列）加上第j行（列）的k倍，而其他行（列）（包括第j

行（列））不变，即A的第i行（列）的每个元素加上第j行（列）对应元素的k倍．得到的矩阵记为则

若将上式右边记为则

同理有

其中

（3）将矩阵A的第i行（列）与第j行（列）互换，其余行（列）不动，所得的矩阵记为则

同理

7．初等变换

设A是一个矩阵，称

为A经过一次初等行（列）变换得到的矩阵．初等行变换，初等列变换，统称初等变换．

二、行列式

1．余子式

对于一个n阶方阵

划去所在的行（第i行）与所在的列（第j列）后得到一个n－1阶方阵

它的行列式称为的余子式．

2．行列式

（1）定义

一阶方阵A＝（a11）的行列式为

如果n－1阶方阵的行列式已经定义，则n阶方阵A的行列式定义为

其中是的余子式，即划去A的第l行，第j列后所得的n－1阶方阵的行列

式．

（2）定理

设A是一个n（≥2）阶方阵，则

3．n阶下三角方阵

称为A为n阶下三角方阵．当i＜j时，则

注：若A为n阶上三角方阵，即当i＞j时,则detA＝

4．对角矩阵

（1）主对角线

n阶方阵

从左上角到右下角称为主对角线或简称对角线，其上元素称为对角线上元素或对角元素．

（2）对角矩阵

如果A满足i≠j时，即