1.3 方阵的行列式
式 (1.3) 也称为 detA 按第 j 列的展开式. 除了用 detA 外，也可以将 n 阶矩阵 A = ( aij ) 的
a11 a12 a1n a21 an1 a22 a2 n an 2 ann
行列式记作 | A | ，或 | aij |，或
例2 设
1 0 1 A 1 2 0 1 3 2
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
一个 n 行 n 列的数表.
对称地，detA 也可以定义为 detA
def
a1jA1j+ a2jA2j + … + anjAnj = aij Aij (1.3)
i 1
n
式 (1.3) 中 A1j , A2j , … , Anj 是 A 的第 j 列各元的代数 余子式 (1 j n) .
的行列式(detA 称为上三角形行列式) detA = a11a22…ann .
本例中的结论可以当公式用，行列式的一个主要
的计算方法就是利用性质把它化成三角形行列式， 从而得到结果. a11
a21 an1 0 a22 0 0
a11a22 ann ,
an 2 ann
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 ann
an1 an 2 ann
性质 3 也可以叙述为：行列式某行(或某列)的公 因子可以提到行列式外.
1 1 2
第二行有公因 子 3
例如
1 1 2 12 6 3 1 4
按第二 行展开
12 6 3 1 1 2 1 4 5 12 6 3
第二行有公因 子 3
1第二4 按
行展开
12
4 5 1 4 5 1
例3 计算下三角形矩阵
a11 a21 A a n1 0 a22 an 2 0 0 ann
的行列式(detA 称为下三角形行列式).
解
a11
0
0
a21 a22 0 0a22 0 0 a1 1 0 det A a32 a33 0 a2 1 a2 2 0 a11 det A an1 an 2 ann ana a an2 an3 ann 1 2 A nn a A aanA
ad bc
a b 称为矩阵 A c d 的行列式，还可记为 detA, 或
a12 x 2 b1 这样，二元线性方程组 (1.1) a 22 x 2 b2
a11 A a 21
｜A｜，即
detA =｜A｜= ad – bc . 的系数矩阵
二两 行 交换 第二 三两 行
1 3 1 CC 4 1
1 1 0 0 2 2 2 3
验证 验证
detC = - detA = -10
detB = - detA = -10 验证 detB = - detA = 1
推论 若 n 阶矩阵 A 有两行(或两列)元相同，则
=0.
1 2 1 性质 3 如果用数 k 乘 n2 阶矩阵 A = ( aij ) 的 性质 及推论 2 5 1 32 5 1 0. 行 (或某一列)1 ，则得到的矩阵的行列式等于 det 3 6 3 2 1 性质 2 若交换 n 阶矩 倍. 得到矩阵 B ，则有 第二、三两列对应的元成比
例，比值为 1/3
第三节 方阵的行列式
二阶行列式
n 阶行列式的定义
行列式的性质
行列式的计算
*拉普拉斯（Laplace）定理
本节涉及的矩阵，均为数域 F 上的 n 阶方阵.
一、二阶行列式
考虑二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 x1 b1 A , X , B a a x b 21 22 2 2
det B1 35 x1 5 由此得到方程组的唯一解 det A 7 . x det B2 14 2 2 det A 7
二、n 阶行列式的定义 1. 余子式和代数余子式 定义 设 A = ( aij ) 是数域 F 上的 n 阶矩阵，划
去 A 的元 aij 所在的第 i 行、第 j 列的元，A 中剩下 的 ( n – 1 )2 个元按原来的排列顺序组成的 n – 1 阶矩 阵的行列式，称为元 aij 的余子式，记作 Mij . 令 Aij = ( - 1 )i + j Mij 称 Aij 为元 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, … , n ) .
1 0 1
求 detA .
解
a11 A11 a12 A12 a13 A13 det A 1 10 2 1 0 2 a11 A11 a12 A12 a13 A13 det A 1 1 2 30 1 3 2
2 0 1 0 1 2 1 0 (1) 3 2 1 2 0 01 2 1 21 3 1 0 (1) 3 2 1 2 1 3
11 11 12 12 1n 1n
a
0
a22 a32 a11
0
0 0
a33
a33
0
an 2 an 3 ann
a11a22 an 3 ann
a11a22 ann .
类似地，上三角形矩阵
a11 0 A 0 a12 a22 0 a1n a2 n ann
a11a22 ann
特别地
0
diag(1 , 2 , … , n ) = 12 …n .
三、行列式性质
性质 1 设 A 为 n 阶矩阵，则
detAT = detA ( 或 | AT | = | A | ) .
1 41 4 1 41 4 而 , 则 det Adet A 7, 例如 ，设 A 设 则 A1 , 7, 3 1 3 1 3 1 3
detA = 0 .
性质 3 如果用数 k 乘 n 阶矩阵 A = ( aij ) 的某一
行(或某一列)，则得到的矩阵的行列式等于 detA 的 k
倍. 即
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ai 2 ain k det A (1 i n) kai1 kai 2 kain k ai1 an1 an 2 ann
当 a11a22 – a12a21 0 时，得到方程组 (1.1) 的 唯一解
b1a22 b2 a12 x1 a11a22 a12 a21 b2 a11 b1a21 x2 a11a22 a12 a21
为便于记忆上述公式，我们引入记号
a c
b d
得到矩阵 B ，则有
detB = - detA .
例如，设
设
交换第一 交换第二 二两列 三两列
31 0 1 1 A 2 4 A 1 2 0 1 3 2 交换 第一 2 4 B 1 3 1 0 1 B 1 3 2
5
1 2 4 5
6
1 2 1 5
( 3)
1 1 1 4
5
1 + 2 15 =1189 2 , 1 1 = 156 + 18 12 6 (3) 4 5 1 5 1 4
按第一
1 1 2 3 4 2 1 1 4 5
2 1 4 1 4 2 3 1 ( 1) 2 4 5 1 5 1 4 = 156行展开 + 18 + 15 = 189
a12 a22
的行列式
det A
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21 0 .
如果记
b1 B1 b 2
a12 a12 b1 , B2 , 则 a22 a21 b2
detB1 = b1a22 – b2a12 , detB2 = b2a11 – b1a21 det B1 x1 det A 从而上述唯一解可记为 det B2 x2 det A
例 1 解方程组
2 x1 3 x2 4 x1 2 x 2 9
解
由于
2 3 det A 2 2 (3) 1 7 0 ; 1 2 4 3 det B1 4 2 (3) 9 35 ; 9 2 2 4 det B2 2 9 4 1 14 . 1 9
= 3 (14 + 21 + 28) = 189 .
1 1 34 1 2 4
2 1 5
按第一 行展开
2 1 4 1 4 2 3 1 4 5 (1) 1 5 2 1 4
= 3 (14 + 21 + 28) = 189 .
推论 1 若 n 阶矩阵 A 有一行(或一列)元全为零,
(1.1)
则该方程组可表为矩阵方程的形式 AX = B
12
x 2 b1 其中 A 称为方程组 (1.1) 22 x 2 b2
的系数矩阵.
对于 (1.1) 用加减消元法，得
(a11a22 a12 a21 ) x1 b1a22 b2 a12 (a11a22 a12 a21 ) x2 b2 a11 b1a21
则 detA = 0 .
推论 2 若 n 阶矩阵 A 有两行(或两列)的对应元
成比例，则 detA = 0 .
第5讲线性代数矩阵pdf
1.3.1 行列式的概念；
1.3.2行列式的性质；
1.3.3 克莱姆法则；
1.3.4 行列式与方阵的关系；
计算行列式常用方法： (1)利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算 得行列式的值．
(2)利用降阶法(定义), 在行列式含零元素较多时, 可以按含零的行(或列）展开，降阶直到 二阶或 三阶行列式后计算.
b 0 0
b 0 0
D ba a b
a b
a b
再将各列加至第一列，
a (n 1)b 0 0 0 b a b 0 0 b 0 0 b 0 0
a b
[a (n 1)b](a b) n1.
a b
1.3.3 克莱姆法则
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a1 , j 1 a n 1 a n , j 1
b1 bn
a1 , j 1 a1 n a n , j 1 a nn
D j
A a A a A a A 2 n 11 21 12 22 1 n A , A A
O
0
O
性质
证明
设 A aij ,
AA A A A I .
记 AA cij , 则
0, i j; cij ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn | A |, i j.
当D=0，即当 =1或 =-2时有非零解。
注意：
1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数;
矩阵行列式规则_概述说明以及解释
矩阵行列式规则概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在各个方面都有着广泛的应用。
矩阵行列式规则是对于矩阵行列式计算过程中的一些基本操作和规律的总结和概括。
通过研究和了解矩阵行列式规则，我们可以更好地理解矩阵与行列式的关系，推导出更多的定理和性质，并将其应用于实际问题求解、判断矩阵可逆性等领域。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、矩阵与行列式、矩阵行列式规则、解释矩阵行列式规则的意义以及结论。
其中，在引言部分将对整篇文章进行概述；在矩阵与行列式部分，将介绍基本的矩阵与行列式的定义和性质；在矩阵行列式规则部分，将详细讲解常用的几个运算规则；在解释矩阵行列式规则的意义部分，将探讨它们在线性方程组求解、判断矩阵可逆性以及几何变换中的应用；最后，在结论中对矩阵行列式规则及其重要性进行总结，并提出未来的研究方向或应用领域。
1.3 目的本文的目的是对矩阵行列式规则进行概述、说明和解释。
通过本文的阐述，读者将能够了解到什么是矩阵和行列式，以及它们之间的关系；掌握常用的矩阵行列式规则，并了解其运用于线性方程组、矩阵可逆性判断和几何变换等领域；认识到矩阵行列式规则在数学领域中的重要性，以及未来可能深入探索和扩展该领域的方向。
通过本文的学习，读者将能够更加准确地理解和应用矩阵行列式规则，从而提升自己在相关数学问题上的能力。
2. 矩阵与行列式2.1 矩阵概念矩阵是由m行n列的数字排成的矩形阵列，可以用来表示线性方程组、向量空间的线性变换以及图像处理等问题。
一个矩阵可以用大写字母表示，如A，并且可以表示为以下形式：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;...,am1, am2, ..., amn]其中，a_ij代表第i行第j列的元素。
2.2 行列式概念行列式是矩阵中一个非常重要的数值指标。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n= ∑(-1)^(i+j)a_ij*Cij其中，a_ij表示第i行第j列的元素，Cij是代数余子式。
方阵的行列式
设A, B均为n阶方阵，k为常数，则有
kA kn A , AB A B .
请特别注意这一性 质,如果不是同阶方 阵结果不成立.
A B mn nm Amn Bnm 成立吗
不成立!
练习
证明 奇数阶反对称阵的行列式为零.
0 2 8
2 0 6 ?
0
8 6 0
由方阵A所确定的行列式作为一种运算除具 有一般的行列式的性质外，还有如下性质：
思考
你能举一些非奇异和奇异矩阵的例子吗?
n阶方阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
a
n1
an2
Hale Waihona Puke ann 的行列式为
a11 a12 a1n
det A
A
a21
a22
a2n
.
an1 an2 ann
由方阵A所确定的行列式作为一种运算除具 有一般的行列式的性质外，还有如下性质：
方阵的行列式
定义:由方阵A所构成的行列式称为方阵的行列式,记为
A或det A
1 2 0
1 3 4
A
1
0
8 ,
2 0 0
B
2
6
8 .
1 3 7
1 2 0 1 2 0
A 1
0
8
1
0
8
2
0
0
200
B 0.
这种现象奇怪吗？
32.
定义:若方阵的行列式不为零,则称方阵为 非奇异方阵,否则称为奇异方阵.
设A, B均为n阶方阵，k为常数，则有
kA kn A , AB A B .
请特别注意这一性 质,如果不是同阶方 阵结果不成立.
线性代数第二章方阵的行列式
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。
行列式的计算技巧窍门情况总结
行列式的计算技巧窍门情况总结行列式是线性代数中重要的概念之一，它在解决线性方程组、矩阵的逆等问题中起着关键作用。
本文将总结行列式的计算技巧和窍门，帮助读者更好地掌握行列式的计算方法。
1.定义行列式是一个方阵所对应的一个标量值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或者D(A)。
对于2阶和3阶方阵，行列式的计算较为简单，可以直接应用定义进行计算。
例如对于2阶方阵A：abcd对于3阶方阵A：abcdefghidet(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
2.初等变换法初等变换法是一种常用的计算行列式的方法。
初等变换指的是对行列式的行（或列）进行以下操作：①互换两行（列）；②其中一行（列）与其它行（列）相加（或相减，可取加减系数为1和-1）；③其中一行（列）乘以一个非零常数。
这些操作不改变行列式的值。
通过使用初等变换，可以将行列式转化为更简单的形式，从而更容易计算。
例如，在计算3阶行列式时，我们可以使用初等变换将行列式化为上三角形式，这样计算起来会更加简便。
3.拆分法则行列式有一个重要的性质，即它是线性的。
也就是说，如果将一个方阵的其中一行（列）按一定的方式进行拆分并相加（或相减），则行列式的值不变。
这个性质对于简化行列式的计算非常有帮助。
例如，在计算3阶行列式时，可以选择将第一列按照一定方式进行拆分，然后相加或相减。
这样可以将行列式化简为两个2阶行列式的形式，从而更容易计算。
4.分块矩阵法对于大规模的方阵，计算行列式将变得较为复杂。
分块矩阵法是一种较为高效的计算行列式的方法。
分块矩阵法的基本思想是将一个大的方阵分割为若干个小的方阵，并利用分块矩阵的性质进行计算。
这样可以将复杂的计算问题化简为对小方阵的计算问题，从而降低了计算的难度和复杂度。
5.逆序数法逆序数法是一种计算行列式的方法，它利用了逆序数和奇偶性的关系。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
方阵的行列式.ppt
10a13 5a23 5a33
6a11 解； 3a21
3a31
2a12 a22 a32
a11
2 (3) 5 a21
a31
10a13
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
5a13 5a23 5a33
a12 a13
a22 a23 2 (3) 5 1 30
a a a a x b a b a
11 22
12 21
2
2 11 1 21
当a11a22 a12a21 0时：
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 a12 a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 a12 a22
设：det A a11 a12 0 a21 a22
det
B1
b1 b2
例：a21 a22 a23 a24 a12 a22 a32 a42
a31 a32 a33 a34
a13 a23 a33 a43
a41 a42 a43 a44
a14 a24 a34 a44
性质2. 交换行列式的某两行列，行列式的值变号。
1 0 1 例. 1 2 0 1,
1 3 2
1 0 1 1 3 2 1. 120
A 记为 ij 。即 Aij (1)i j Mij
a11 a12 a13 a14
a11 a13 a14
例
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
A32 (1)32 M32 a21 a23 a24
a41 a42 a43 a44
a41 a43 a44