初一数学竞赛系列训练4有理数的有关知识

初一数学竞赛系列训练4有理数的有关知识
一、选择题
1、若的值是，则a
a a 12=( ) A 、1 B 、-1 C 、1或-1 D 、以上都不对
2、方程132=-+-x x 的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
E 、多于3个
3、下面有4个命题：
①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同．
②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同．
③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同．
④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同．
其中正确的命题是：（ ）
（A ）①和② （B ）②和③
（C ）③和④ （D ）④和①
4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )
A 、4994
B 、9449
C 、4586
D 、86
45 5、设y ＝ax 15+bx 13+cx 11-5(a 、b 、c 为常数)，已知当x ＝7时，y ＝7，则x ＝ -7时，y 的值等于( )
A 、-7
B 、-17
C 、17
D 、不确定
6、若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a +b ＝c ，b +c ＝d ，c +d ＝a ，则a +b +c +d 的最大值是( )
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、-5
二、填空题
7、设a <0，且x ≤21 ,--+x x a
a 则＝ . 8、a 、
b 是数轴上两个点，且满足a ≤b ．点x 到a 的距离是x 到b 的距离的2倍，则x ＝ .
9、 若()2
36-+m a 与互为相反数，则=m a . 10、计算：=+++++++++++++100
321132113211211 . 11、若a 是有理数，则|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是 .
12、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，化简
._____|1||||1|||=------+c c a b b a
三、解答题
13、化简：325-++x x
14、已知()200222110112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++-b a b a ，求
15、若abc ≠0，求
c c b b a a ++的所有可能的值．
16、x 是有理数，求221
95221100++-
x x 的最小值．
17、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为1，求a +b +x 2-cdx 的值．
18、求满足1=++b a ab 的所有整数对(a ，b ).
19、若631542+-+-+x x x 的值恒为常数，求x 的取值范围及此常数的值．
20、已知方程1+=ax x 有一个负根而没有正根，求a 的取值范围．
初一数学竞赛系列训练4答案
1、选C
2、132=-+-x x 表示x 到2与3的距离和等于1，可见x 在这两点之间(包括这两点)，所以方程的解是2≤x ≤3的所有数，故应选E
3、既然只有零和它的相反数相同，所以①不正确，②是正确的，另外1与－1都等于其倒数，因此④不正确，③是正确的．所以选择B ．
4、两个质数的和是49，则这两个质数必是2和47，94
4947121=+ 选B 5、∵x ＝7时，y ＝7，∴a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711-5＝7，∴a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711＝12
则x ＝ -7时，y ＝a (-7)15+b (-7)13+c (-7)11-5＝ -( a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711)-5＝ -12-5＝ -17，选B
6、∵a +b ＝c ，c +d ＝a ，∴b ＝c -a ，d ＝a -c ，∴d ＝ -b
∵b +c ＝d ，∴c ＝d -b ＝-2b ，由c +d ＝a ，∴a ＝-3b
∴a +b +c +d ＝ a +c ＝-3b -2b ＝-5b ，∵b 是正整数 ，∴-5b 的最大值是-5，选D
7、∵a <0，∴1-=a
a ,∴x ≤-1， 则()()=+---=--+-=--+x x x x x x 212121 -3
8、由题意得：b x a x -=-2，所以x -a ＝2(x -b ) 或x -a ＝ -2(x -b ) 解得：322a b x a b x +=
-=或 9、∵()236-+m a 与互为相反数，∴()236-++m a ＝0，则a +6＝0且m -3＝0
∴a ＝-6,m ＝3, ∴=m a (-6)3＝ -216
10、原式＝
()()()2
100
100112331122211⨯+++⨯++⨯+ 1019910121101121210111001413131212101
1002432322=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=⨯++⨯+⨯= 11、若,0≥a 则|)|(||||)(a a a a -+-++-＝0
若a <0，则a a a a a 2|)|(||||)(-=-+-++->0．所以|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是0．
12、由图可见，,)(||,00,0b a b a b a b a +-=+⇒〈+⇒〈〈
又 )1(|1|0110--=-⇒〈-⇒〈〈b b b b ；)(||00c a c a c a c a --=-⇒〈-⇒〈〈 由图可知 .1|1|011c c c c -=-⇒〉-⇒〈 所以：
[][])1()()1()(|1||||1|||c c a b b a c c a b b a --------+-=------+
.211)1()()1()(-=+--+-+--=---+-++-=c c a b b a c c a b b a
13、由x +5＝0得x ＝ -5，由2x -3＝0得x ＝3/2
所以，当x <-5时，原式＝ -(x +5)-(2x -3)＝-3x -2
当235<
≤-x x <-5时，原式＝ (x +5)-(2x -3)＝-x +8 当2
3≥x 时，原式＝ (x +5)+(2x -3)＝3x +2 即原式＝⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-+--<--)23(,23)235(,8)5(,23x x x x x x 14、由题意得：2a -1＝0且b +1＝0，所以a ＝1/2，b ＝ -1
则514(-1)2112002220022=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a
15、∵abc ≠0，∴a 、b 、c 均不等于0．
① 若a 、b 、c 均为正，则3=++=++c
c b b a a c c b b a a ② 若a 、b 、c 中仅有一个为正，不妨设a >0，b <0，c <0，则
1-=-+-+=++c
c b b a a c c b b a a ③ 若a 、b 、c 中有二个为正，不妨设a >0，b >0，c <0，则
1=-++=++c
c b b a a c c b b a a ④ 若a 、b 、c 均为负，则
3-=-+-+-=++c c b b a a c c b b a a
∴c
c b b a a ++有四种可能的不同取值：±1，±3 16、分三种情况讨论：
（1） 当22195〈-x 时，|221
95||221100|++-x x .17152211952215)22195()2(22152)2295()221100(==+-⋅-〉+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-
-=x x x （2） 当22110022195≤≤-x 时，|221
95||221100|++-x x .1715221195)22195()221100(==++-
-=x x (3)当221
100〉x 时， .17152211952215221100222152)22195()221100(|22195||221100|==-⨯〉-=++-=++-x x x x x 综合（1），（2），（3），可得，最小值是.17
15 17、∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为1
∴a +b ＝0，cd ＝1，x ＝±1
∴当x ＝1时，原式＝0+1-1⨯1＝0
当x ＝ -1时，原式＝0+1-1⨯(-1)＝2
18、∵ab ≥0，b a +≥0，且a ，b 为整数， ∴ab ＝0 且b a +＝1 ①，或ab ＝1 且b a +＝0 ②，
由①得⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-====-====10 10 10 10a b a b b a b a 或或或 由②得⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-=-==11 1
1b a b a 或
所以，满足条件的所有整数对是(0，1)、(0，-1)、(1，0)、(-1，0)、(1，-1)、(-1，1).
19、要使631542+-+-+x x x 的值恒为常数，必须使得631542+-+-+x x x
的值与x 无关，即要使得去掉绝对值后的x 项相互合并为0，所以应该有
4-5x ≥0，1-3x ≤0, ∴5
431≤≤x ，此时
631542+-+-+x x x ＝2x +4-5x +3x -1+6＝9
20、∵方程有一个负根，则有 -x ＝ax +1，即 (a +1)x ＝ -1 ∴有01
1<+-=a x ，∴a >-1 假设方程有正根，则有 x ＝ax +1，即 (a -1)x ＝ -1 ∴有011>--
=a x ，∴a <1，从而方程没有正根应a ≥1 所以方程1+=ax x 有一个负根而没有正根时，a 的取值范围为a ≥1。