高等数学多元函数极值问题
多元函数取得极值的条件
序列可行方向的性质 性 质 1 处可微， 设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有 在 处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关， 由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空 ， 法 间 n − me −1 空 ， 生 m 维 间 其 空 是 为 间 在 空 中 取 组 准 交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考 函 方 组 法 间 任 一 标 正 基 虑 数 程
∇f (x*) = 0
设 元 数 (x)存 二 连 偏 数 x*是 小 n 函 f 在 阶 续 导 ， 极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一 的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得 ， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得 ，
在点（1，-1,6）有 ，且A<0，所以 是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数， 是极小值.
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值一、引言在数学中，多元函数是指依赖于多个变量的函数。
研究多元函数的极值和条件极值是优化理论和实际问题求解的基础。
本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、求解方法以及应用案例。
二、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数取得的最大值和最小值。
对于二元函数f(x, y)，当f(x, y)在一定范围内取得最大值或最小值时，称之为极值。
同样地，对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，当f(x1, x2, ..., xn)在一定范围内取得最大值或最小值时，也称之为极值。
确定多元函数的极值有以下几种常用方法：1. 梯度法：通过计算函数的梯度向量，找到函数的驻点，再通过二阶导数的判别方法来确定驻点处的极值。
2. 拉格朗日乘子法：求解约束条件下的最优解，通过引入拉格朗日乘子，将多元函数的极值问题转化为无约束极值问题。
3. 二次型判别法：对于二元二次函数，可以使用二次型的正负来判定极值。
4. 图像法：对于二元函数，可以通过画出等高线图或三维曲面图来观察极值点的位置。
三、多元函数的条件极值条件极值是指在一定约束条件下，函数取得的最大值和最小值。
常见的条件极值问题可以表示为：在约束条件g(x, y) = 0的条件下，求多元函数f(x, y)的最大值和最小值。
求解条件极值的常用方法是拉格朗日乘子法。
假设函数f(x, y)和约束条件g(x, y)具有连续的一阶和二阶偏导数，而且约束条件g(x, y)在解集上的梯度不为零，那么存在实数λ，使得∇f(x, y) = λ∇g(x, y)。
通过求解λ和对应的x、y可以得到函数f(x, y)的条件极值点。
四、应用案例多元函数的极值和条件极值在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个应用案例的简要介绍：1. 优化问题：如生产过程中的成本最小化、利润最大化等，可以通过求解函数的极值来得到最优解。
2. 建模问题：如平面上点到曲线的最短距离、材料的最优分配等问题，可以通过多元函数的条件极值来建立数学模型并求解。
高等数学中的多元函数极值
高等数学中的多元函数极值引言：在高等数学中，多元函数极值是一个重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的最大值或最小值，以便优化问题的解或者找到问题的最优解。
本教案将介绍多元函数的极值问题，包括极值的定义、求解极值的方法以及一些实际问题的应用。
一、极值的定义多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
与一元函数的极值类似，多元函数的极值点也是函数的驻点，即导数为零的点或者导数不存在的点。
然而，多元函数的极值问题相对复杂，因为多元函数的自变量有多个，需要考虑各个自变量的变化对函数值的影响。
二、求解极值的方法1. 雅可比矩阵法雅可比矩阵法是求解多元函数极值的一种常用方法。
通过计算多元函数的雅可比矩阵，可以得到极值点的一些性质。
具体步骤包括计算雅可比矩阵、求解雅可比矩阵的特征值和特征向量，以及判断特征值的正负来确定极值点的性质。
2. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解多元函数在约束条件下的极值的一种方法。
通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为等式，然后利用极值点的一阶条件和约束条件求解未知数，最终得到极值点的坐标。
3. 边界条件法边界条件法是一种适用于有界区域的多元函数极值问题的求解方法。
通过将多元函数在边界上的取值与内部取值进行比较，可以确定函数的最大值或最小值。
这种方法在实际问题中应用广泛，特别是在优化领域。
三、实际问题的应用多元函数极值在实际问题中有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以利用多元函数极值来求解最大化利润或最小化成本的问题；在物理学中，可以利用多元函数极值来求解最小作用量原理等问题；在工程学中，可以利用多元函数极值来优化设计参数等。
这些实际问题的求解都离不开多元函数极值的理论和方法。
结论：多元函数极值是高等数学中的重要概念，对于解决实际问题具有重要意义。
通过本教案的学习，我们了解了多元函数极值的定义、求解方法以及实际问题的应用。
希望同学们能够掌握多元函数极值的基本理论和方法，能够灵活运用于解决实际问题。
关于多元函数的极值和最值计算
关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。
在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。
首先，让我们来了解一下多元函数的概念。
在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。
多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。
因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。
下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。
首先是多元函数的极大值和极小值的求解。
要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。
第一步是计算多元函数的偏导数。
在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。
例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。
我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。
通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。
第三步是找到临界点。
临界点是指函数定义域的边界点。
我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。
为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。
通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。
接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。
要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。
首先，确定给定区域的边界条件。
给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。
第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。
这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。
拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
高等数学§8.9多元函数的极值(2)
的 四 个 一 阶 偏 导 数 等 于 0 ：
Fx fx x 0
FБайду номын сангаас f y y 0
Fz
fz
z
0
③
F (x, y, z) 0
函 数 F ( x ,y ,z , ) f ( x ,y ,z ) ( x ,y ,z )
称 为 拉 格 朗 日 函 数 ， 数 称 为 拉 格 朗 日 乘 数 。
对足够小的正数，有 f(，0)=2（2-1）<0, f(，-)=24>0
这说明在点〔0，0〕的任一邻域内，既有函数值 大于f(0,0)的点，又有函数值小于f(0，0)的点，故 f(0，0)非极值.
例 2 求函数 z=f(x,y)=x2+4y2+9 在区域 D：x2+y2≤4 上的 最大值 M 和最小值 m.
F x y 2 z (y z) 0 令 F F z y x x 2 2 y z ( (x x z y ) ) 0 0
F 2 x 2 y y 2 zx a z 2 0
(1) (2) (3) (4)
由 （ 1 ） 、 （ 2 ） 、 （ 3 ） 得 x y z ， 将 此 代 入 （ 4 ） 得
定 义 域 D { x , y ) 0 x 2 ( y 2 a 2 , x 0 , y 0 } ，
V8y a2x2y2 8x2y 0,
令 x Vy 8x
a2x2y2
a2x2y2 8xy2 0,
a2x2y2
8y
(a2 2x2 y2)0,
a2 x2 y2
8x (a2x22y2)0, a2 x2 y2
令 ( x , y , z , ) 8 ( 4 x 2 y 2 z 2 4 ) ， 3 xyz
高等数学《多元函数的极值》
1 4
0,
所以z f (1,1) 2为极小值；
z2 6,
当z2
6 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
0 0
,
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
6 x0 y0z0
a2
y02 b2
z02 c2
1下的最小值,
即求u
x0
y0
z0
在条件
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下的最大值,
令
G( x0 ,
y0 , z0 )
x0
y0 z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1)
Gx0 0,
由
x02 a2
讨论．
例4 求f (x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
[解] fx (x, y) 3x2 6x 9 0, 解得 x 1 或 x 3,
fy (x, y) 3 y2 6 y 0,
y0或 y2
得到驻点为 (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2).
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广：如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为
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f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 0 时具有极值，
二、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值；
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x 2 z z x 2 4z x 0 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 A z , xx |P 2 z
2
1 |P B z C zyy , xy |P 0, 2 z
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 0 ( z 2) ,函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z ) 将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 , 1 当 z1 2 时， A 0 , 4
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
观察二元函数 z
xy ex
2
y
2
的图形
播放
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
例２ 函数 z x 2 y 2
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
2
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
D 边界上的最值， 再求 f ( x , y ) 在 在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
在边界 x y 6 上，即 y 6 x
于是 f ( x , y ) x (6 x )( 2) ,
2
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值；
2 （2） AC B 0 时没有极值；
（3） AC B 0 时可能有极值,也可能没有极值，
2
还需另y 2 z 2 2 x 2 y
4 z 10 0 确定的函数z f ( x , y ) 的极值
例5 求二元函数 z f ( x , y ) x 2 y ( 4 x y ) y 轴所围成的闭区域 x 轴和 D 在直线 x y 6 ， 上的最大值与最小值.
y
解 先求函数在D 内的驻点，
x y6
x
f x ( x , y ) 2 xy (4 x y ) x 2 y 0 o D 2 2 f y ( x , y ) x (4 x y ) x y 0 得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) 4 ,
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点， 但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 .
证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),
故当 y y0 ， x x0 时， 有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
必有
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0 .
推广 如果三元函数u f ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .