2020版高三文科数学第一轮复习_人教版 _第二篇函数_导数及其应用第二篇 第9节
72.5 g，则他应付邮费( )
(A)3.20 元
(B)2.90 元
(C)2.80 元
(D)2.40 元
A 解析：由题意得 20×3＜72.5＜20×4，则应付邮费 0.80×4
＝3.20(元)．故选 A.
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第9节 函数模型及其应用
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
规范答题精析步骤
课时作业
2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽 快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均 能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位 时间的运输量)逐步提高的是( )
即 a＋b＝0；当耗氧量为 30 个单位时，速度为 1 m/s， 故 a＋blog39100＝1，整理得 a＋2b＝1. 解方程组aa＋ ＋b2＝ b＝0， 1，得ab＝ ＝－ 1 1，
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第9节 函数模型及其应用
第二篇 函数、导数及其应用 (必修1、选修1-2)
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
规范答题精析步骤
课时作业
第 9 节 函数模型及其应用
最新考纲 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合 具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数 类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
(2)若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问： 在一天的 24 小时内，有几小时出现供水紧张现象．
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第9节 函数模型及其应用
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突破考点提升技能
规范答题精析步骤
课时作业
解析：(1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨，
则 y＝400＋60t－120 6t；
令 6t＝x，则 x2＝6t，即 y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，
∴当 x＝6，即 t＝6 时，ymin＝40， 即从供水开始到第 6 小时时，蓄水池存水量最少，只有 40 吨．
(2)令 400＋10x2－120x＜80，即 x2－12x＋32＜0，
解得 4＜x＜8，即 4＜ 6t＜8，83＜t＜332.
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第9节 函数模型及其应用
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课时作业
解析：由已知得 L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝(40Q－210Q2)－10Q －2 000＝－210(Q－300)2＋2 500，
所以当 Q＝300 时，L(Q)max＝2 500(万元)．
答案：2 500
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第9节 函数模型及其应用
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(2)当 x＝10 时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人． (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万，则 100×(1＋1.2%)x＝120， 所以 x＝log1.012112000≈16. 故大约 16 年后该县的人口总数将达到 120 万．
(2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般需要 先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问 题，必要时可借助导数．
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第9节 函数模型及其应用
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【即时训练】 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁 徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s) 与其耗氧量 Q 之间的关系为：v＝a＋blog31Q0(其中 a，b 是实数)．据 统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速率为 1 m/s.
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【教材导读】 1．函数模型应用常见的有哪三种情形？ 提示：(1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．
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第9节 函数模型及其应用
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(2)有些问题的两个变量之间是二次函数关系，如面积问题、利 润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数的图象与 单调性解决．
(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．
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考点二 指数函数、对数函数与幂函数模型 某县目前有 100 万人，经过 x 年后有 y 万人．如果年平
均增长率是 1.2%，请回答下列问题： (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1
年)．
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(1)求出 a，b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧 量至少要多少个单位？
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解析：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度 0 m/s，此 时耗氧量为 30 个单位，故有 a＋blog33100＝0，
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5．某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r， 存期是 x，本利和(本金加利息)为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的 函数关系式是________．
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第9节 函数模型及其应用
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因为332－83＝8，所以每天约有 8 小时出现供水紧张现象．
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【反思归纳】 (1)在实际问题中，有很多问题的两个变量之间 的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数的图象与单调性求解．
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考点一 一次函数、二次函数模型 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄
水池中注水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内 供水总量为 120 6t吨(0≤t≤24)，
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存 水量是多少吨？
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以上过程用框图表示如下：
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【重要结论】 1．在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y ＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档 次”上． 2．随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远 远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度则会越来 越慢． 3．总会存在一个 x0，使得当 x>x0 时，有 logax<xn<ax.
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4．某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一 单位产品，成本增加 10 万元．又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q)的最大值是________万元．
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第9节 函数模型及其应用
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B 解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上 的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B.
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第9节 函数模型及其应用
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3．某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x＋1)， 设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到( )
(A)200 只
(B)300 只
(C)400 只
(D)500 只
A 解析：由已知得 100＝alog3(2＋1)，得 a＝100， 则当 x＝8 时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．
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2．应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些？ 提示：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．
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第9节 函数模型及其应用
整合基础稳固根基
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1．三种函数模型性质比较
在(0，＋∞) 上的单调性
y＝ax(a>1) 单调 递增 函数
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(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_6幂函数、二次函数课件理新人教A版
答案：C
2．(必修1·第一章复习参考题改编)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－
4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为
．
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3．(必修1·第一章复习参考题改编)若g(x)＝x2＋ax＋b，则g(2)与
1 2
[g(1)＋g(3)]的大
小关系为
上单调递减
奇偶性 顶点
当 b＝0 时为偶函数 －2ba，4ac4－a b2
对称性 图象关于直线
x＝－2ba
成轴对称图形
[三基自测]
1．(必修1·第二章复习参考题改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点
12，
2 2
，则k
＋α＝( )
A.12
B．1
C．32
D．2
第六节 幂函数、二次函数
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念．
以幂函数的图象与性质的应
2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，用为主，常与指数函数、对数函数
y＝1x，y＝x 的图象，了解它们的 交汇命题；以二次函数的图象与性
变化情况．
质的应用为主，常与方程、不等式
②由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b. 记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c ＝x2＋(2b＋1)x－b－1，
g－3＝5－7b＞0， 则gg－0＝2＝－11－－5bb＜＜00，，
g1＝b＋1＞0
⇒15＜b＜57，
即b的取值范围为15，57.
3．理解并掌握二次函数的定义、等知识思
4．能用二次函数、方程、不等式 想，题型一般为选择、填空题，中
2020高考文科数学一轮复习3-2 导数的应用
(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号; (2)所判有断理函想数化的模单型调均性忽时略,个对别所导研数究等于零的点不影响所在区间内的单调性;
问题无影响的因素,是研究问题的 (3)一对种函理数想划方分法单.调在区高间中时学,习需的确理定想导数等于零的点、函数的不连续点和不 可导模点型.还有:点电荷、理想气体、弹
簧振子、点光源等.
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 2
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导数的应用
通关秘籍
f '(x)>0是否是y=f(x)为增函数的充要条件? 只有当f '(x)不恒为0时,f '(x)>0是f(x)为增函数的充要条件;而f '(x)>0是f(x) 为增函数的充分不必要条件,这是因为f '(x)>0能推出f(x)为增函数,而f(x)为 2的.速大率小增是,因函瞬为数时平能速均推度速出的率f大'是(x小)路≥,但程0,平由与均上时速述间率分的不析比是还值平可,它均得与速到平度f '(x)≥0是f(x)为增函数的必要 均速度不的充大分小条没件有. 对应关系.
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 4
1.函数极值的概念
考点二 利用导数研究函数的极值和最值
导数的应用
通关秘籍
极值点处的导数是否一定为0? 可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,即f '(x0)=0 是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有 y'=0,但x=0不是极值点.此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点.
'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0.
问题无影响的因素,是研究问题的 (3)一对种函理数想划方分法单.调在区高间中时学,习需的确理定想导数等于零的点、函数的不连续点和不 可导模点型.还有:点电荷、理想气体、弹
簧振子、点光源等.
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导数的应用
通关秘籍
f '(x)>0是否是y=f(x)为增函数的充要条件? 只有当f '(x)不恒为0时,f '(x)>0是f(x)为增函数的充要条件;而f '(x)>0是f(x) 为增函数的充分不必要条件,这是因为f '(x)>0能推出f(x)为增函数,而f(x)为 2的.速大率小增是,因函瞬为数时平能速均推度速出的率f大'是(x小)路≥,但程0,平由与均上时速述间率分的不析比是还值平可,它均得与速到平度f '(x)≥0是f(x)为增函数的必要 均速度不的充大分小条没件有. 对应关系.
继续学习
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考点全通关 4
1.函数极值的概念
考点二 利用导数研究函数的极值和最值
导数的应用
通关秘籍
极值点处的导数是否一定为0? 可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,即f '(x0)=0 是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有 y'=0,但x=0不是极值点.此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点.
'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0.
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_1函数及其表示课件文新人教A版
必考部分
第二章 函数、导数及其应用
第一 函数及其表示
微知识·小题练 微考点·大课堂 放飞思维·开启心智
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．函数与映射的概念
函数
映射
建立在两个__非__空__数__集__ A 到 B 建立在两个_非__空___集__合__ A 到 B
的一种确定的对应关系 f，使 的一种确定的对应关系 f，使
定义
对于集合 A 中的___任__意_____一 对于集合 A 中的_任__意__一__个___元
个数 x，在集合 B 中都有
素 x，在集合 B 中都有
_____唯__一__确__定____的数 f(x)和 __唯 ___一__确__定______的元素 y 与
它对应
之对应
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
答案 (3)－xx＋2 1
求函数解析式常用到如下方法 ①待定系数法；②换元法；③配凑法；④转换法；⑤解方程组法。
【变式训练】 (1)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋ 1，则 f(x)＝________。
解析 (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋ bx。又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即 ax2 ＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2aa＋＋bb＝＝1b，＋1， 解得 a＝b＝12。 所以 f(x)＝12x2＋21x(x∈R)。
考点三 分段函数微点小专题 方向 1：分段函数求值 【例 3】 (2018·江苏高考)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间
第二章 函数、导数及其应用
第一 函数及其表示
微知识·小题练 微考点·大课堂 放飞思维·开启心智
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．函数与映射的概念
函数
映射
建立在两个__非__空__数__集__ A 到 B 建立在两个_非__空___集__合__ A 到 B
的一种确定的对应关系 f，使 的一种确定的对应关系 f，使
定义
对于集合 A 中的___任__意_____一 对于集合 A 中的_任__意__一__个___元
个数 x，在集合 B 中都有
素 x，在集合 B 中都有
_____唯__一__确__定____的数 f(x)和 __唯 ___一__确__定______的元素 y 与
它对应
之对应
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
答案 (3)－xx＋2 1
求函数解析式常用到如下方法 ①待定系数法；②换元法；③配凑法；④转换法；⑤解方程组法。
【变式训练】 (1)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋ 1，则 f(x)＝________。
解析 (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋ bx。又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即 ax2 ＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2aa＋＋bb＝＝1b，＋1， 解得 a＝b＝12。 所以 f(x)＝12x2＋21x(x∈R)。
考点三 分段函数微点小专题 方向 1：分段函数求值 【例 3】 (2018·江苏高考)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间
新课标2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_4指数函数课件文新人教A版
解析：f(x)为偶函数，当x＜0时， f(x)＝f(－x)＝2－x－4， ∴f(x)＝22x－－x－4， 4，x≥x＜0， 0. 当f(x－2)＞0时，有2x－x－22－≥40＞，0 或x2－－x＋22＜－04，＞0， 解得x＞4或x＜0. 答案：B
(2)函数y＝14x－12x＋1在x∈[－3,2]上的值域是
．
1 [解析] (1)设 t＝x2＋2x－1，则 y＝ 2 t.
1 因为 t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝ 2 t 为关于 t 的减函数，
11 所以 0＜y＝ 2 t≤ 2 －2＝4，
故所求函数的值域为(0,4]．
(2)因为 x∈[－3,2]，若令 t＝12x， 则 t∈14，8. 则 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 所以所求函数值域为34，57.
[答案] f(－4)>f(1)
名师点拨 1.比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． 2．简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调 性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 3．指数函数的综合问题．要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶 性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数进行分类讨论．
解析：①y＝2|x＋1|可看作y＝2|x|向左移动一个单位，选A. ②y＝12|x－1|可看作y＝12|x|向右平移一个单位，选D. ③y＝12|x＋1|可看作y＝12|x|向左平移一个单位，选C.
考点三|指数函数的性质及应用 (方法突破)
方法1 利用指数函数的单调性比较大小或解不等式
【例3】 (1) (2018·大连检测)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_4指数函数课件理新人教A版
12，13的指数函数的图象．
题，题型一般为选 择、填空题，中档
4．体会指数函数是一类重要的函数模型.
难度.
1．根式 (1)根式的概念
[基础梳理]
①若 xn＝a ，则x叫作a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子n a叫作根式，这里n叫 作根指数，a叫作被开方数．
②a的n次方根的表示：
n xn＝a⇒x＝
3．指数函数的图象及性质
[三基自测] 1．(必修1·2.1练习改编)下列各式化简正确的为( )
答案：C
2．(必修1·2.1例题改编)1.70.2、0.91.7、1由大到小的排列顺序为
．
答案：1.70.2＞1＞0.91.7 3．(必修1·2.1例题改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点A 2，13 ，则
a当n为奇数且n∈N*时，
±n a 当n为偶数且n∈N*时.
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
a，n为奇数，
②n
an＝
|a|
＝a，a≥0， －a，a＜0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：
＝ n am
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂： ＝
1 ＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
n am
③0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 无意义 ．
(2)有理数指数幂的运算性质： ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
考点三|指数函数的性质及应用 (方法突破)
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_11_1导数的应用课件文新人教A版
答案 －3
三、走出误区 微提醒：①原函数与导函数的关系不清致误；②极值点存在的条件不清 致误；③连续函数在开区间内不一定有最值。 5．如图是函数 y＝f (x)的导函数 y＝f ′(x)的图象，则下面判断正确的是 ()
A．在区间(－2,1)上 f (x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f (x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f (x)是增函数 D．当 x＝2 时，f (x)取到极小值
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在 x∈(－2，－1)，使不等式 g′(x)＝x2－ax ＋2<0 成立。
则存在 x∈(－2，－1)使－a>－x－2x成立，即－a>－x－2xmin。 因为 x∈(－2，－1)，所以－x∈(1,2)，
则－x－2x≥2 －x·－2x＝2 2， 当且仅当－x＝－2x，即 x＝－ 2时等号成立， 所以－a>2 2，则 a<－2 2。 所以实数 a 的取值范围为(－∞，－2 2)。
(ⅲ)当a2＝1，即 a＝2 时，f ′(x)≥0 恒成立，则函数 f (x)的单调递增区间为 (0，＋∞)。
(ⅳ)当a2>1，即 a>2 时，由 f ′(x)>0，得 0<x<1 或 x>a2； 由 f ′(x)<0，得 1<x<a2， 则函数 f (x)的单调递增区间为(0,1)，a2，＋∞， 函数 f (x)的单调递减区间为1，a2。
考点三 函数单调性的应用微点小专题
方向 1：解不等式
【例 3】 (2019·安徽省示范高中联考)设函数 f (x)在 R 上存在导数 f ′(x)，
对任意的 x∈R，有 f (－x)－f (x)＝0，且 x∈[0，＋∞)时，f ′(x)>2x。若
三、走出误区 微提醒：①原函数与导函数的关系不清致误；②极值点存在的条件不清 致误；③连续函数在开区间内不一定有最值。 5．如图是函数 y＝f (x)的导函数 y＝f ′(x)的图象，则下面判断正确的是 ()
A．在区间(－2,1)上 f (x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f (x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f (x)是增函数 D．当 x＝2 时，f (x)取到极小值
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在 x∈(－2，－1)，使不等式 g′(x)＝x2－ax ＋2<0 成立。
则存在 x∈(－2，－1)使－a>－x－2x成立，即－a>－x－2xmin。 因为 x∈(－2，－1)，所以－x∈(1,2)，
则－x－2x≥2 －x·－2x＝2 2， 当且仅当－x＝－2x，即 x＝－ 2时等号成立， 所以－a>2 2，则 a<－2 2。 所以实数 a 的取值范围为(－∞，－2 2)。
(ⅲ)当a2＝1，即 a＝2 时，f ′(x)≥0 恒成立，则函数 f (x)的单调递增区间为 (0，＋∞)。
(ⅳ)当a2>1，即 a>2 时，由 f ′(x)>0，得 0<x<1 或 x>a2； 由 f ′(x)<0，得 1<x<a2， 则函数 f (x)的单调递增区间为(0,1)，a2，＋∞， 函数 f (x)的单调递减区间为1，a2。
考点三 函数单调性的应用微点小专题
方向 1：解不等式
【例 3】 (2019·安徽省示范高中联考)设函数 f (x)在 R 上存在导数 f ′(x)，
对任意的 x∈R，有 f (－x)－f (x)＝0，且 x∈[0，＋∞)时，f ′(x)>2x。若
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_8函数与方程课件理新人教A版
跟踪训练 (1)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
答案：C
(2)(2017·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝
1 x
的图象交点的横坐标所在区间为
() A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
第八节 函数与方程
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图 利用函数零点的存在性定理或函数的图
象，了解函数的零 象，对函数是否存在零点进行判断或利
点与方程根的联 用零点(方程实根)的存在情况求相关参
系，判断一元二次 数的范围是高考的热点，题型以选择、
方程根的存在性及 填空为主，也可和导数等知识交汇出现
．
答案：(1,1.5)
考点一|判定函数零点区间 (方法突破)
方法1 使用零点存在性定理判断区间
【例1】
(2017·安徽芜湖模拟)函数f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
的零点所在的大致区间是
() A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
[解析]
f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
＝
2 x
－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，
2 x
＞0，所以
f(x)＞0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝23－ln 2＝2－33ln 2
＝
2－ln 3
8 .∵
8 ＝2
2 ≈2.828＞e，∴8＞e2，即ln
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_4二次函数与幂函数课件理新人教A版
4a－4，0<a≤12， 综上所述，f(x)min＝－1a，a>12。
1．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区 间定、轴定区间动。不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置 关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论。
2．二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨 论求解。
必考部分
第二章 函数、导数及其应用
第四节 二次函数与幂函数
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．幂函数 (1)定义：一般地，函数___y_＝__xα___叫做幂函数，其中底数__x__是自变量，
α 是常数。
(2)幂函数的图象比较：
2．二次函数
答案 (2)－2x2＋4
考点三 二次函数的图象和性质微点小专题 方向 1：二次函数的图象 【例 3】 对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)与二次函数 y＝(a－1)x2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )
A
B
C
D
解析 当 0<a<1 时，y＝logax 为减函数，y＝(a－1)x2－x 的图象开口向 下，其对称轴为直线 x＝2a1－1<0，排除 C，D；当 a>1 时，y＝logax 为增 函数，y＝(a－1)x2－x 的图象开口向上，其对称轴为直线 x＝2a1－1>0，排 除 B。故选 A。
f(m)≤f(0)，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
解析 依题意 a≠0，二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 图象的对称轴是直线 x＝1，因为函数 f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以 a>0，即函数图象的开口 向上，所以 f(0)＝f(2)，则当 f(m)≤f(0)时，有 0≤m≤2。故选 D。
1．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区 间定、轴定区间动。不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置 关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论。
2．二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨 论求解。
必考部分
第二章 函数、导数及其应用
第四节 二次函数与幂函数
微知识·小题练 微考点·大课堂
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1．幂函数 (1)定义：一般地，函数___y_＝__xα___叫做幂函数，其中底数__x__是自变量，
α 是常数。
(2)幂函数的图象比较：
2．二次函数
答案 (2)－2x2＋4
考点三 二次函数的图象和性质微点小专题 方向 1：二次函数的图象 【例 3】 对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)与二次函数 y＝(a－1)x2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )
A
B
C
D
解析 当 0<a<1 时，y＝logax 为减函数，y＝(a－1)x2－x 的图象开口向 下，其对称轴为直线 x＝2a1－1<0，排除 C，D；当 a>1 时，y＝logax 为增 函数，y＝(a－1)x2－x 的图象开口向上，其对称轴为直线 x＝2a1－1>0，排 除 B。故选 A。
f(m)≤f(0)，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
解析 依题意 a≠0，二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 图象的对称轴是直线 x＝1，因为函数 f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以 a>0，即函数图象的开口 向上，所以 f(0)＝f(2)，则当 f(m)≤f(0)时，有 0≤m≤2。故选 D。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_7函数图象课件文新人教A版
考点三|函数图象的应用 (方法突破) 方法1 利用图象研究函数的性质 【例3】 (2018·长春质检)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
跟踪训练 作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋2； (2)y＝log2|x－1|. 解析：(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．
(2)作y＝log2|x|的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y＝log2|x－1| 的图象．
考点二|函数图象的识别 (思维突破)
【例2】 (1)函数f(x)＝lnx－1x的大致图象是(
象．当x＞1时，函数x－1x单调递增，故f(x)＝lnx－1x单调递增．故选B.
(2)函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝
xax |x|
＝
ax，x＞0， －ax，x＜0.
当x＞0时，函数是一
Байду номын сангаас
个指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数递增，所以应选D.
(3)令f(x)＝1－sincos2x
[解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝x－2－x22－x，2xx，≥x0<，0， 画出函数f(x)的 图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函 数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
方法2 方程的根或函数图象的零点 【例4】 已知f(x)＝|2lg|x|，x|x，≤x0>，0， 则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为 ________．
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_8函数与方程课件文新人教版
e)上单调递增，令 g′(x)<0，解得 x>e，则 g(x)在(e，＋∞)上单调递减，则
g(x)max＝g(e)＝2e，当 x→＋∞时，g(x)→0 且 g(x)>0，当 x→0 时，g(x)→－
∞，则有
0<lna<2e，解得
1<a<e
2 e
。综上，a
的取值范围是1，e
2 e
。
2
答案
方向 2：确定函数零点个数
x2＋x－2，x≤0，
【例 2】 (1)函数 f(x)＝－1＋lnx，x>0
的零点个数为(
)
A．3
B．2 C．1
D．0
x≤0，
x>0，
解析 (1)由 f(x)＝0 得x2＋x－2＝0 或－1＋lnx＝0， 解得 x＝－2
或 x＝e。因此函数 f(x)共有 2 个零点。故选 B。
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与 x 轴的交点 ___(x_1_,0_)_，__(_x_2,_0_)
零点个数
__2____
__(_x_1,_0_)__ ___1____
无交点 ___0____
1．若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点。 函数的零点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根。
1，e
e
求解本题的关键在于底数与指数都含有自变量时，需两边同时取自然 对数，构造新的函数。该题考查了数形结合的转化能力及把陌生问题熟悉 化的逻辑推理能力。