三角形中角的问题探究
人教版初中数学八年级上册 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系【全国一等奖】
沪科版八年级上册第13章第一节第一课时三角形中的边角关系（1）凤阳县西泉中学杨薇薇一教学目标：1．了解三角形的概念，掌握分类思想。
2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。
3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。
二教学重难点：1重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系2难点：对两边之差小于第三边的领悟三教学准备：1教师准备：多媒体课件2学生准备：四根小木棒四教学过程：（一）创设情境，探究新知投影图片，把事先收集的与三角形有关系的生活图片，运用多媒体播放，让学生对三角形有一个感性认识引入课题教师：我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。
三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题，在小学时我们大家已经初步学过三角形及相关知识。
这一节课开始我们将进一步系统地学习三角形。
（二）合作交流，探究新知1 教师出示一组不同类型的图形，引导学生找出里面的三角形2教师：大家都能很快的判断出那个图形是三角形，那么你能给三角形下个定义吗学生讨论教师归纳：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形师强调三角形定义中的两点：不在同一条直线上和首尾依次相接3教师活动：给出一个三角形，如图所示，并标上字母，引导学生体会用符号来表示一个三角形的方法，认识并表示三角形的基本元素：边、角、顶点。
学会运用大小写字母来表示三角形的边、角和顶点，如图的三角形可记作⊿ABC，三边可记作边AB、边AC、边BC或边a、边b、边c；三个角可记作∠A、∠B、∠C，三个顶点可记作点A、点B、点C注意：表示边时要两个大写字母，或一个小写字母注意小写字母标注的规律：通常顶点大写字母所对的边就是这个顶点的小写字母4巩固练习（多媒体展示）数一数所给出的图形中有三角形吗有几个学生很准确的找出正确答案。
5教师给出不同类型的三角形，引导学生从边长不同的角度观察、分类1）不等边三角形（三边互不相等）2）等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）说明：对于等腰三角形来说，相等的两边称为腰，第三边称为底边。
人教版初中数学八年级上册《三角形中边与角之间的不等关系》
A
C
提示：折叠
小组活动（5分钟）： 1.折叠三角形ABC； 2.折痕用虚线描画，交点标上字母； 3.探讨证明过程.
（四）得出结论
1.在一个三角形中，大边对大角，小边对小角；
2.转化的数学思想. （不等的问题转化为相等的问题）
思考：在△ABC中，已知∠Ｃ＞∠Ｂ，那么AB和AC有怎样的大小关系呢？ A
问题1.等腰三角形中的两个底角有什么数量关系？
（简称：等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等.
问题2.如果在一个三角形中有两个角相等，那么这 个三角形是什么三角形？
如果在一个三角形中有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. （简称：等角对等边）
思考：在一个一般的三角形中，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？
三角形中边与角的 不等关系
第十三章实验与探究
（一）动手实验 1.请同学们拿出课前制作的△ABC； 2.如果AB＞AC，那么∠C与∠B有什么大小关系呢？ A
B
（二）提出猜想：∠C＞∠B
C
证明：在一个三角形中， 大边对大角. （三）证明猜想 已知：在△ABC中，AB＞AC， 求证：∠C＞∠B. B
B 归纳：
1.在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边； 2.在不等边三角形中，大边对大角，大角对大边.
C
这节课同学们有什么收获？
1.在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边.
2.在不等边三角形中.整理本节课所学的知识.
2.选择两种自己喜欢的作法证明“大边对大角”.
聚焦解三角形中“一边一角”求范围问题
＝２，根据正弦定理，△犃犅犆 的外接 圆半径为定值，如图２所示：
在 ⊙犗 上作两点犅，犆，使 犅犆
＝２，点犃 在圆周上运动（除犅，犆 两
图２
点），当点犃 平分优弧犅犆 时，犅犆 边
上的高最大，△犃犅犆 的面积取得最大值，此时 △犃犅犆
为
等边三角形，△犃犅犆
的面积槡３ ４
×２２
＝槡３．
方法三，略．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积
（ ） ４槡３ ３
槡２３ｃｏｓ犅
－
３ ２ｓｉｎ犅
＝４ｃｏｓ（犅 ＋３０°）．
因为犅 ∈ （０°，１２０°），所以犅＋６０°∈ （６０°，１８０°），
（ ） 所以ｃｏｓ（犅 ＋６０°）∈ －１，１ ２ ，所以犮－２犫∈ （－４，
２），所以犮－２犫 的范围为（－４，２）．
３．已知“一角及其对边”，求面积的范围（最大值）
犫犮，故ｃｏｓ犃
犫２ ＝
＋犮２ －犪２ ２犫犮
＝
１ ２
，所以
犃
＝６０°．
（２）方法一，由（１）得犫２ ＋犮２ －４＝犫犮，所以４＝犫２
＋犮２－犫犮≥犫犮（当且仅当犫＝犮时，取“＝”），所以犛△犃犅犆
＝１ ２犫犮ｓｉｎ犃 ≤ 槡３，所以 △犃犅犆 面积的最大值为槡３．
方法△犃犅犆 中，犃＝６０°，犪
２＜犪 ＜４３槡３．
图１
２．已知“一角及其对边”，求周长或另两边代数式
的范围
例２ △犃犅犆 的内角犃，犅，犆 的对边分别为犪，犫，
犮．已知犪＝２，犃 ＝６０°，
（１）求 △犃犅犆 周长的范围； （２）求犮－２犫 的范围．
解：（１）法一，利 用 正 弦 定 理 与 辅 助 角，转 化 三 角
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
人教版八年级上册第十三章实验与探究《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计【教学目标】1.知识与技能：〔1〕通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；〔2〕能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题.2.过程与方法：通过实验探究和推理论证，开展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验.3.情感与态度：提供动手操作的时机，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.【教学重难点】重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程.难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达.【学情分析】学生在前面已经学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验根底.但是，同时学生又普遍缺乏将动手过程转化为几何语言的能力.在教学过程中直接表达出来的难点便是学生很难用几何语言去表达辅助线的做法.【教学内容分析】本节课是新人教版八年级上册第13章的实验与探究内容.在教材的编排上是在学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形之后而设置的.整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究.所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展.同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法.因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用.【教学媒体与资源的选择与应用】根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、开展和形成的过程.【学具准备】三角形纸片数张、剪刀、三角板、圆规等.【课时安排】一课时【教学过程】活动一、温故知新，铺垫新知1、如图,在△ABC中,∠1=30°,∠2=20°,那么∠3= °,∠1 ∠3〔填“>〞“<〞〕2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，那么∠C= °3、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，那么BD CD，∠1 ∠2〔填“>〞“<〞“=〞〕第1题图第2题图第3题图【设计意图】复习三角形的外角和等腰三角形的性质，为探究三角形中边与角之间的不等关系做好知识和经验铺垫.活动二、创设情境，引入新知问题1：我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等。
人教版八年级上册数学：实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系(公开课课件)
2. 尺规作图，验证猜想.
C
B
结论：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对
的边也不等，大角所对的边 大 （简称“ 大角 对 大边 ）.
知识应用：
（1）如图，在△ABC中，如果 BC=20cm，AC=16cm，AB=15cm， 则∠A ＞ ∠B ＞ ∠C.
（2）如图，在△ABC中，如果
C
∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°， 则. BC ＞ AC ＞ AB.
能力提升：
已知如图，AB=AC，D在BC上，求证：AD < AB.
A
B
DC
课堂小结：
你在本节课的学习中有哪些收获？
1. 等腰三角形： （1）等边对等角； （2）等角对等边.
2.不等边三角形： （1）大边对大角；（2）大角对大边
思考：
1.如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角 形是锐角三角形吗？为什么？ 2.如果一个三角形中最大的边所对的角是钝角，这个三角 形是钝角三角形吗？为什么？ 3.直角三角形中，哪一条边最长？为什么？
探究一：大边对大角
（一）观察图形，提出猜想. 在△ABC中，如果BC=15cm，AC=12cm， AB=10cm，同学们通过肉眼观察可得 C 到∠A ＞ ∠B ＞ ∠C.
猜想： 大边 对 大角 .
A B
（二）验证猜想
1. 用量角器测量，猜想结果是否真确？
2. 叠合法：（发现结论是否正确？）
（1）使∠A与∠B的顶点重合，判定BC所对 角∠A与AC所对角∠B的大小关系？
４.如图，在等腰三角形中，AC = AB ，
A
则 ∠B = ∠C ，（简称：等边 对等角 ）
５.如图，在等腰三角形中， ∠C=∠B，
小学四年级数学《探索与发现(一)三角形内角》教案模板五篇
小学四年级数学《探索与发现(一)三角形内角》教案模板五篇“三角形内角和”的度数推理是三角形中的一个重要环节，也是“空间与图形”领域中的重要内容之一，下面就是小编给大家带来的小学四年级数学《探索与发现(一)三角形内角》教案模板，欢迎大家阅读!小学四年级数学《探索与发现(一)三角形内角》教案模板一教学目标：1、掌握三角形内角和是180 ，并能应用这一规律解决一些实际问题。
2、让学生经历“猜想、动手操作、直观感知、探索、归纳、应用”等知识形成的过程，掌握“转化”的数学思想方法，培养学生动手实践能力，发展学生的空间思维能力。
3、在活动中，让学生体验主动探究数学规律的乐趣，体验数学的价值，激发学生学习数学的热情，同时使学生养成独立思考的好习惯。
教学重点：让学生经历“三角形内角和是180度”这一知识的形成、发展和应用的全过程。
教学难点：三角形内角和的探索与验证。
教学准备：量角器各种类型的三角形(硬的纸板) 三角板教学过程：一、设疑激趣，导入新课师：今天老师给大家带来了一位朋友(课件)出示三角形，师：对于三角形你有哪些认识与了解。
生：三角形有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形生：由三条线段围成的平面图形叫三角形。
师：介绍内角、内角和三角形中每两条边组成的角叫做三角形的内角。
师：三角形有几个内角。
生：三个。
师：这三个角的和，就叫做三角形的内角和。
你知道三角形内角和是多少度?生1：我通过直角三角板知道的生2：我通过长方形中四个角都是直角，是360度，三角形是长方形的一半，所以是180度生3：我预习了，三角形内角和就是180度)师：是不是向他们说的一样，所有的三角形内角和都是180度呢?二、自主探索，进行验证师：你打算怎样验证呢?生1用量角器量出每个角的度数，再加一加看看是不是180度生2：把三角形撕下来师：怎么撕?象这样撕吗?(作乱撕状)，能说的详细些具体些吗? 生2：(补充)，把三个角撕下来，拼在一起，看能不能拼成一个平角生3：把三个角顺次画下来也可以生4：拼一拼的方法师：好!同学们想出了这么多办法，下面就用你喜欢的方法验证师：CAI多媒体课件展示操作要求：合作探究：1、每四人一组，每组至少选两个三角形，用你喜欢的方法验证2、看那个小组验证的方法新、方法多师：在巡视，并进行个别操作指导三、交流探索的方法和结果孩子们探索的方法可能有三个：生1：一是用量角器量各个角，然后再算出三角形中三个角的度数和，用这种方法求的结果可能是180度也可能比180度小一些，也可能比180度大一些。
三角形中的角格点问题经典题
三角形中的角格点问题经典题说到三角形中的角格点问题啊，大家可能会想，哎，这是什么鬼？怎么听着有点像数学题，又有点像高难度的谜题？别着急，这个问题的本质很简单，就是让你在一个三角形里找出一个特殊的点——角格点。
啥？角格点是什么？简单来说，这个点位于三角形的三个角上，同时它的某些性质又让它变得特别有意思。
就像是你总能在一堆水果里找到那颗特别闪亮的苹果，角格点就像是三角形中的那颗闪亮苹果。
想象一下，我们有一个普通的三角形，可能你会觉得它就像是一个比较无聊的几何图形，乏善可陈。
谁知道呢，三角形里的奥秘可多着呢，光是角格点这一个问题，就能让人琢磨一阵子。
角格点的问题说白了就是通过某种方法，将三角形的三个角与格点联系起来，找到一个特别的点。
别看它名字挺高大上的，其实就像找寻一块金子一样，你需要耐心，但并不复杂。
你知道吗，角格点的魅力就在于它的“居心不良”——它不是让你简单地画个三角形，然后找个点就完事了。
哦不，三角形中的角格点问题要求你做的不仅仅是找一个点，而是要找到那个“合适的点”，而这个“合适”可不是随便谁都能做得到的。
好比说你去参加一个舞会，找个舞伴，你不是随便拉一个就跳的。
你得找一个舞技不错，还能配合你动作的人。
这个“合适”的角格点，得满足一些特殊的条件，才是三角形的“完美之选”。
角格点的存在其实是跟整数格点有关系的。
啥是整数格点？就是那些坐标是整数的点，好像你在笼子里数数一样，一步一步地，不能跳跃。
而角格点，就是你要找出这样一个点，它的位置必须在三角形的三个角上，而且是整数坐标。
这时候，你就要发挥一点点智慧了。
想象一个场景，你走进一间密密麻麻摆满格子的房间，每个格子里都藏着一个数字。
你走到哪个地方，都会看到不同的数字。
然后你开始思考，哪一个格子是最特别的，可能这个格子里的数字是你一直在寻找的那个。
角格点问题也差不多，你要在这个“数字森林”里找到属于自己的那个“宝藏”。
但你要小心，不是每个格子都有数字，只有那些合适的，符合条件的格子才是你想要的。
角度问题
三角形中的一个角度计算问题在△ABC中，∠B=45°，，AD是∠BAC的角平分线,EF垂直平分AD,叫BC的延长线于点F，求∠FAC 的大小/question/158734422.html证明要点：设AD的垂直平分线与AC交于M，连接DM根据线段垂直平分线的对称性可得∠FAC＝∠FDM，∠MAD＝∠MDA因为∠MAD＝∠BAD所以∠MDA＝∠BAD所以MD∥AB所以∠FDM＝∠B＝45度所以∠FAC＝45度类别：三角形--角度| 评论(0) | 浏览(16)三角形中的一个角度关系问题2010-06-09 21:44已知如图，在三角形ABC中，AB＞AC，AD是高，AE是角平分线，试说明∠EAD＝1／2（∠C－∠B）/question/158513163.html证明：因为AD⊥BC所以∠BAD＋∠B＝90度∠C＋∠CAD＝90度所以∠C－∠B＝∠BAD－∠CAD因为AE∠BAC所以∠BAE＝∠CAE所以∠C－∠B＝∠BAD－∠CAD＝（∠BAE＋∠EAD）－（∠CAE－∠EAD）＝2∠EAD所以∠EAD＝（∠C－∠B）/2类别：三角形--角度| 评论(0) | 浏览(13)折叠三角形产生的角度问题2010-05-31 21:28如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1和∠2之间有怎样的数量关系？证明你的结论/question/156647314.html解答要点：关系：2∠A＝∠2－∠1理由：如图知，∠3＝180°－∠1＋∠A而∠B＋∠C＋∠2＋∠3＝360°所以∠B＋∠C＋∠2＋（180°－∠1＋∠A）＝360°又因为∠B＋∠C＝180°－∠A所以180°－∠A＋∠2＋（180°－∠1＋∠A）＝360°所以2∠A＝∠2－∠1类别：三角形--角度| 评论(0) | 浏览(23)运用全等三角形证明角平分线一题2009-09-06 16:52如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC，BE、CD交于P，求证：AP平分∠DPE。
三角形中角的关系
一、简答题1、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于P 点． （1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠P 的度数； （2）若∠A=60°，求∠P 的度数；（3）那么∠A 和∠P 有什么样的数量关系？请简述理由． 2、已知△ABC 中，∠A=30°．(8分)(1)如图①，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= °． (2)如图②，∠ABC 、∠ACB 的三等分线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= °.(3)如图③，∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n-1（内部有n-1个点），求∠BO n-1C （用n 的代数式表示）． (4)如图③，已知∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n-1， 若∠BO n-1C=60°，求n 的值．3、如图18，△ABC 中，BE ，CD 为角平分线且交点为点O ，（1）当∠A=600时，求∠BOC= ；（2）当∠A=1000时，求∠BOC 的度数； （3）若∠A=α0时，请直接写出∠BOC 的度数。
4、如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线， （1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED 的度数； （2）作出△BED 的BD 边上的高；（3）若△ABC 的面积为60，BD=5，则点E 到BC 边的距离为多少？5、如图，在△ABC 中，CE ，BF 是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF 与∠FBC 的度数．6、Rt △ABC 中，∠C=90°，点D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． （1）若点P 在线段AB 上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2= ；（2）若点P 在斜边AB 上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；（3）如图③，若点P 在斜边BA 的延长线上运动（CE ＜CD ），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系： ； （4）若点P 运动到△ABC 形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．7、我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I ，过I 作DE ⊥AI 分别交AB 、AC 于点D 、E ．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC 与∠BDI 之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．8、生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）图1中的∠ABC 的度数为 ．（2）图2中已知AE ∥BC ，则∠AFD 的度数为 ．9、 在中，，点在上，且.求各角的度数.10、如图，在△ABC 中，∠A=2∠C ，D 是AC 上的一点，且BD ⊥BC ，P 在AC 上移动． （1）当P 移动到什么位置时，BP=AB ． （2）求∠C 的取值范围．11、已知如图①，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，（1）若∠A =70°，则∠BOC = ，试判断∠BOC 与∠A 存在的某种等量关系并证明； （2）如图②，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点O 1、O 2，则根据以上信息解决下列问题：①试找出它们的规律（n 等分时，内部有n-1个点），n 等分时∠BO 1C = ，∠BO n-1C = .（用含n 的式子表示）， ②根据你的猜想，取n=4时，证明∠BO 3C 表达式任然成立．12、如图1，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于O 点，过O 点作BC 平行线交AB 、AC 于E 、F. (1)请写出图1中线段EF 与BE 、CF 间的关系，并说明理由.(2)如图2，△ABC 中∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于O ，过点O 作BC 的平行线交AB 于E ，交AC 于F.这时EF 与BE 、CF 的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由.二、选择题13、．如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠γ与∠α+∠β之间的关系是（ ） A ．∠γ=∠α+∠β B ．2∠γ=∠α+∠β C ．3∠γ=2∠α+∠β D ．3∠γ=2（∠α+∠β）14、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°15、如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系是（ ）A ．EF=BE+CFB ．EF ＞BE+CFC ．EF ＜BE+CFD ．不能确定16、如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是（ ）A.180°B.360°C.540°D.720°17、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A． 90° B． 135° C． 270° D． 315°18、已知∆ABC（1）如图l，若P 点是ABC 和ACB的角平分线的交点，则P=；(2)如图2，若P 点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，则P=；(3)如图3，若P点是外角CBF 和BCE的角平分线的交点，则P=上述说法正确的个数是（）(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个三、填空题19、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=________.20、三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，连接AP，若∠BPC=130°，则∠BAP= 。
三角形中的角平分线问题解法
三角形中的角平分线问题解法三角形是几何学中的重要概念，其中角平分线问题是解题中经常遇到的一类问题。
本文将介绍三角形中的角平分线问题以及其解法。
一、问题描述在三角形中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线经过三角形内部的一点，称为角平分线的内心。
现在，我们来解决如下问题：如何找到三角形的角平分线及其内心。
二、解法一：角平分线的性质在解决问题之前，我们先来了解一下角平分线的性质。
在任意三角形ABC中，如果AD是∠BAC的角平分线，那么AD与BC的交点E 将BC平分成两个相等的线段。
同时，BD/DC=AB/AC（即角平分线将对边按比例分割）。
基于上述性质，我们可以用以下步骤得到角平分线及其内心：1.画出三角形ABC。
2.画出角BAC的角平分线AD。
3.延长AD与BC交于点E，连接AE。
4.利用角平分线的性质，得到BD/DC=AB/AC。
5.将角平分线按比例分割BC，即可得到角平分线的内心。
三、解法二：角平分线的几何构造上述解法通过角平分线的性质找到了角平分线及内心，但有时候，我们可能需要通过几何构造来找到角平分线。
我们来介绍解法二。
1.画出三角形ABC。
2.以点A为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点D。
3.以点B为圆心，以BA为半径画弧，交AC于点E。
4.连接DE。
5.延长DE至AB（交于F），连接FC。
6.连接AF，交BC于点G。
7.则CG即为角BAC的角平分线，点G即为角平分线的内心。
四、解法三：角平分线的角度计算除了通过角平分线的性质和几何构造找到角平分线，我们还可以通过角度计算的方式来解决问题。
下面是解法三：1.已知三角形ABC的三边长a、b、c。
2.根据余弦定理计算∠BAC的角度A：cos(A) = (b²+c²-a²)/(2bc)。
3.计算出∠BAC的角度A后，将其除以2即可得到角平分线的角度。
通过上述解法，我们可以找到三角形中的角平分线及其内心，解决相关问题。
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系。
解后反思：
师：在解决这个问题时，没有图形，我们首先要解读题目，转化为具体的图形语言，结合图形位置来分析三个角之间的数量关系。
研究过程中，考虑要全面，需分类讨论。
用到的知识主要是角平分线的性质，高线的性质以及三角形中角的重要结论。
具体证明方法可能不同，但归根结底要抓住图形关系，有的从角的和差关系出发，有的看到垂直这个条件，从直角三角形两个锐角互余出发，都可以。
记住位置关系决定其数量关系。
师：解决完这个问题，我们把条件变化一下看看。
活动3：问题变式
如果在图1中AE 上任取一点F , 过F 作FD BC ⊥,垂足为D ,其他条件不变,那么EFD ∠与,B C ∠∠之间是否还有以上数量关系？
F
D
E C
B
A 图2
若点F 在AE 的延长线上(或AE 的的反向延长线上) , FD BC ⊥,垂足为D ,其他条件不变,那么EFD ∠与,B C ∠∠之间是否还有以上关系？
教师对学生多样的思维要给予鼓励和肯定.
们用到了前面学过的角平分线，垂线，平行线的性质，以及现在的三角形中角的结论，后面我们还要学习与角有关的知识，大家一定要明确其图形关系所对应的数量关系。
3． 在解决办法上，如果我们没思路的时候，要善于利用
工具，通过实验尝试，猜想，帮助大家打开思路，也帮助我们更全面的思考问题；如果有了思路，那就要抓住图形和我要求问题的联系。
希望大家开动脑筋，更多的去发现，去思考。
课后作业：
1． 继续探究三角形中从两个顶点出发高线和角平分线
的夹角问题和两条高线的夹角问题，看看有什么新的发现吗？ 2．练习：
（1）已知：如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC =50︒，70C ∠=︒.求∠DAE 的度数.
（2）在△ABC 中， ,BAC C αβ∠=∠=()βα≠．BE 平分
ABC ∠
交AC 于点E ，点F 在CA
的延长线上，FG BE ⊥于点G ，交AB 于点D ，交BC 于点H . ①若90,40αβ=︒=︒，如图1所示，∠F = ；
的角以外，相等的角还有：。