第七章 怎样分析变量间的关系重点
初一变量之间的关系知识点归纳实用
变量之间的关系 济宁学院附中李涛【基础知识】 知识网络自变量变量的概念因变量变量之间的关系变量的表达方法1.表格法2.关系式法3. 图象 法速度时间图象路程时间图象知识点一、变量、自变量、因变量1 、在某一变化过程中， 不断变化的量叫做变 量。
2、如果一个变量 y 随另一个变量 x 的变化而变化，则把 x 叫做自变量， y 叫做因变量。
3 、自变量与因变量如何确定： (方法技巧)(1) 自变量是先发生变化的量； 因变量是后发生变化的量。
(2)自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
(3)利用具体情境来体会两者的依存 关系。
知识点二： 变量的表示方法1.列表法 1.定义：表格是采用数表相结合的形式，运用表格表示两个变量之间的关系，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
(1)首先要明确表格中所列的是哪两个变量；(2)分清哪一个 量为自变量，哪一个量为因变量； 列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量 .(3)自变量从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。
结合实 际情境理解它们之间的关系。
特点：优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。
2.关系式法(又叫解析式法) 1、定义：关系式(即解析式)是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，通常是用含有自变量(用字母表示)的代数 式表示因变量(也用字母表示)，这样的数学等量关系式叫做关系式 。
2、本质：是数学等量关系式 3.写法注意，必须将因变量单独 写在等号的左边。
3 、求关系式的方法： -- (就是找等量关系)类型： (1)将自 变量和因变量看作两个未知数，根据 等量关系，并最终写成关系式的形式。
(2)根据表格中所列的数据 相同的变化关系写出变量之 间的关系式； (例如： y 变化一样都和第一个比) (3)根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； (4)根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
第七章-相关关系分析法-简答题
第七章 相关关系分析法 简答题1.什么是相关关系？相关分析与回归分析的主要内容有哪些？相关关系：指现象之间客观存在的、不确定的数量依存关系。
主要内容：（1）确定变量之间是否相关；（2）确定变量之间的相关类型；关系的密切程度和方向（3）确定变量之间的相关关系的密切程度和方向；（4）建立变量之间的回归方程；（5）给定自变量的值，求因变量的值；（6）测定因变量的估计标准误差。
其中前三个属于相关关系，后三个属于回归关系。
2.什么是相关系数？r 的计算公式中，标准差和协方差分别起的作用是什么？ 相关系数：是说明两种现象之间直线相关关系密切程度的统计分析指标。
协方差的作用：显示x 与y 之间相关的性质，即是正相关、负相关； 显示x 与y 之间线性相关关系密切程度的大小。
标准差作用 ：消除离差积乘中两个变量原有计量单位的影响；将相关系数的值局限在-1到+1之间。
3.如何利用相关系数来判别现象之间的相关关系？（1）相关系数的取值范围为：-1≤r ≤1 。
（2）r ＞0，是正相关， r ＜0，是负相关。
（3）r 越接近0，相关程度越，为不相关。
（4）1=r ，为完全相关，0=r 。
（5）3.0<r ， 为不相关或微弱相关低；r 越接近1，相关程度越高。
5.03.0<≤r ，为低度相关； 8.05.0<≤r ，为显著相关； 18.0<≤r ， 为高度相关。
4.简述简单直线回归分析的特点。
（1）在两个变量之间必须根据研究的目的确定哪个是自变量，哪个是因变量。
（2）在没有明显因果关系的两个变量中，可配合两个回归方程。
值得注意的是，若两个变量存在明显的因果关系时，只能计算一条回归直线，另一条配合出来也没意义。
(3)回归方程的作用在于给出自变量的数值来估计因变量的可能值。
(4)直线回归方程中，自变量的系数b称为回归系数。
回归系数的符号为正时表示正相关,为负表示负相关。
(5) 回归分析中，因变量是随机的，而把自变量当作研究时可以控制的量。
第七章相关与回归分析
第七章 相关与回归分析一、本章学习要点（一）相关分析就是研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定函数来表达现象相互关系的方法。
现象之间的相互关系可以分为两种，一种是函数关系，一种是相关关系。
函数关系是一种完全确定性的依存关系，相关关系是一种不完全确定的依存关系。
相关关系是相关分析的研究对象，而函数关系则是相关分析的工具。
相关按其程度不同，可分为完全相关、不完全相关和不相关。
其中不完全相关关系是相关分析的主要对象；相关按方向不同，可分为正相关和负相关；相关按其形式不同，可分为线性相关和非线性相关；相关按影响因素多少不同，可分为单相关和复相关。
（二）判断现象之间是否存在相关关系及其程度，可以根据对客观现象的定性认识作出，也可以通过编制相关表、绘制相关图的方式来作出，而最精确的方式是计算相关系数。
相关系数是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标。
相关系数用符号“γ”表示，其特点表现在：参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量和因变量，因此相关系数只有一个；相关系数有正负号反映相关系数的方向，正号反映正相关，负号反映负相关；计算相关系数的两个变量都是随机变量。
相关系数的取值区间是［－1，＋1］，不同取值有不同的含义。
当1||=γ时，x 与y 的变量为完全相关，即函数关系；当1||0<<γ时，表示x 与y 存在一定的线性相关，||γ的数值越大，越接近于1，表示相关程度越高；反之，越接近于0，相关程度越低，通常判别标准是：3.0||<γ称为微弱相关，5.0||3.0<<γ称为低度相关，8.0||5.0<<γ称为显著相关，1||8.0<<γ称为高度相关；当0||=γ时，表示y 的变化与x 无关，即不相关；当0>γ时，表示x 与y 为线性正相关，当0<γ时，表示x 与y 为线性负相关。
皮尔逊积距相关系数计算的基本公式是： ∑∑∑∑∑∑∑---==])(][)([22222y y n x x n y x xy n y x xy σσσγ 斯皮尔曼等级相关系数和肯特尔等级相关系数是测量两个等级变量（定序测度）之间相关密切程度的常用指标。
变量之间的关系单元知识总结
学科：数学教学内容：变量之间的关系单元知识总结【基本目标要求】—、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感．二、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，能用关系式表示某些变量之间的关系，会根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的对应关系．三、能用表格表示变量之间的关系，会根据表格中的数据对变化趋势进行预测.四、经历从图象中分析变量之间关系的过程，能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．【基础知识导引】一、变量、自变量、因变量的概念在—个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.例如在表示路程关系式s=50t中，速度50恒定不变为常量，随t取不同数值时也取不同数值，s与t都为变量．t是自变量，s是因变量．二、变量之间关系的表示法【重点难点点拨】本章主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念，用表格、关系式、图象表示变量本章重点是理解变量、自变量、因变量的概念．本章难点是掌握用关系式表示变量之间的关系．要掌握上述重点、难点，必须注意以下问题：1．通过丰富的现实情境引入变量和对变量之间关系的讨论，并通过对变量之间关系的分析解决问题、进行预测.2．体验探索和表示变量之间关系的过程，获得对表格、关系式、图象等多种表示方法的体验，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能运用表格或关系式刻画一些具体情境中变量之间的关系．3．能用自己的语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系．【发散思维分析】本章引导学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式．本章的主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念．用表格、关系式、图象表示变量之间的关系．尤其是认关系式、图象中分析变量之间的关系，获得信息，对变化关系进行预测．本章安排—定数量的题型发散，转化发散题．题型发散可增大知识点的覆盖面，训练计算的正确性和熟练程度，培养严密的逻辑推理能力及简明、正确的书面表达能力，转化发散促进数形结合解题．可发挥“形”的直观作用和“数”的思路规范优势．由数思形，由形定数，数形渗透，互相作用．扬长避短，直入捷径．综上所述，发散思维启迪我们注重观察、分析问题，利用形数转化，寻觅解决问题的方法，为提高综合运用数学知识的能力奠定坚实的基础.【发散思维应用】1．小车下滑的时间2．变化中的三角形3．温度的变化4．速度的变化典型例题1．在一次实验中，小强把—根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 的一组对应值：所挂重量x(kg)12345弹簧长度y(cm)202224262830(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当所挂重物为4kg 时，弹簧多长?不挂重物呢?(3)若所挂重物为6kg 时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹簧的长度吗?分析 抓住表格中的对应数据，找出变量之间的规律．解 (1)弹簧长度y,物体重量x 是变量，物体重量是自变量，弹簧长度是因变量；(2)当所挂重物为4kg 时，弹簧长度为28cm ，不挂重物时弹簧长度为20cm ；(3)当所挂重物为6kg 时，弹簧长度为32cm ．2．如图6—1所示，梯形上底的长是x ，下底的长是15，高是8．(1)梯形面积y 与上底长x 之间的关系式是什么?(2)用表格表示当x 从10变到20时(每次增加1)，y 的相应值；(3)当x 每增加1时，y 如何变化?说说你的理由；(4)当x=0时，y 等于什么?此时它表示的是什么?分析 (1)根据梯形面积公式可推出y 与x 的关系式；(2)通过计算列表说明；(3)由表格中的数据可以观察出；(4)当上底为零时(即成为一个点)，成为三角形．解 (1)，()81521⨯+=x y 即y=4x+60；(2)x1011121314151617181920y100104108112116120124128132136140(3)当x 每增加1时，y 的值随之增加4；(4)当x=0时，y=60，此时梯形成为了三角形．3．地壳的厚度约为8到40km ．在地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t 计算，其中x 是深度(km)，t 是地球表面温度（℃），y 是所达深度的温度（℃)．(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?(2)分别计算当x 为lkm ，5km ，10km,20km 时地壳的温度(地表温度为2℃)．解 (1)自变量是深度，因变量是温度；(2)当x=1km 时，y=35x+t=35x×1+2=37(℃)；当x=5km 时，y=35x+t=35×5+2=177(℃)； 当x=10km 时，y=35x+t=35×10+2=352(℃)；当x=20km 时，y=35x+t=35×20+2=702(℃)．说明 初步体会自变量和因变量的数值对应关系，能由自变量的值求得因变量的值．题型发散发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内．(1)下面的图表列出了—项试验的统计数据，表示将皮球从高处d 落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系．试问，下面的哪个式子能表示这种关系(单位：cm) ( )d5080100150b25405075(A) (B)b=2d (C) (D)b=d+252d b =2db =(2)某地一天的气温随时间的变化如图6—2，根据图象可知：在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是 ( )(A)14℃；12h (B)4℃；2h (C)12℃；14h (D)2℃；4h 解 (1)用验证法．当d=50时，；252502===d b 当d=80时，；402802===d b 当d=100时，；5021002===d b 当d=150时，．7521502===d b 因上述数字完全与表格中的数字符合．故本题应选(C)．(2)用直接法．由图6—2知一天达到最高气温12℃的时间是14时．故本题应选(C)．发散2 填空题如图6—3，△ABC是等腰三角形，周长是60cm，腰为xcm，底为ycm．(1)写出用含x的关系式来表示y；(2)当腰由20cm变化到25cm时，底边长由_______cm变化到________cm；(3)腰为20cm时，是什么形状的三角形?若腰为30cm时，行吗?分析三角形的周长是三条边长的和．解： (1)y=60-2x；(2)底边由20cm变化到10cm；(3)当腰为20cm时，是等边三角形，若腰为30cm，则无法形成三角形．纵横发散发散1南京市在某一天的地表气温是38℃，据测量每升高1km，气温下降6℃，那么在hkm的高空，温度t是多少?并计算当h的值是6km、10km、12km时的气温.讨论一下民用飞机在一万米高空飞行时，机舱为什么要与机外空气隔绝?分析用含h的代数式来表示气温．解： t=38-6h．当h=6时，t=2℃；当h=10时，t=-22℃；当h=12时，t=-34℃．原因有很多，其中一点是机舱外温度非常低．发散2婴儿在6个月、一周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍．(1)上述哪些量在发生变化?自变量和因变量各是什么?(2)某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：年龄刚出生6个月1周岁2周岁6周岁10周岁体重（kg）(3)根据表格中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的?解： (1)年龄和体重都在变化；年龄是自变量，体重是因变量；(2)年龄刚出生6个月1周岁2周岁6周岁10周岁体重(kg) 3.57.010.014.521.531.5(3)儿童从出生到10周岁之间，随着年龄的增长体重在增加．转化发散发散1 图6—4是某地一天的气温随时间变化的图象．根据图象回答，在这一天中：(1)什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少?(2)20时的气温是多少?(3)什么时间的气温为6℃?(4)哪段时间内气温不断下降?(5)哪段时间内气温持续不变?解： (1)凌晨4时，气温最低，气温是-4℃；16时气温最高，气温是10℃；(2)20时的气温是8℃；(3)10时和22时的气温都是6℃；(4)0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降；(5)12时到14时这两个小时内气温保持8℃的温度不变．解法指导 (1)气温最低、最高反映在图象上就是找最低点和最高点；(2)20时的气温是多少，实质上是求当t=20时，T=?(3)什么时间的气温为6℃，实质上是求当T=6℃时，t=?直线T=6与图象交于两点，因此t=10或t=22；(4)图中共有两段时间气温不断下降，不可遗漏；(5)气温保持不变，指的是T 值保持不变，图中只有t 在12h 到14h 这两个小时满足条件．发散2 为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过时，水费36m 按每立方米a 元收费；超过时，不超过的部分每立方米仍按a 元收费，超过的部分每36m 立方米按c 元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量（）3m 水费（元）357.54927设某户该月用水量为x ，应交水费为y(元)．3m (1)求a 、c 的值，并写出用水不超过和超过时，y 与x 之间的关系式；36m 36m (2)若该户5月份的用水量为，求该户5月份的水费是多少元?38m解： (1)依题意，有：当x≤6时，y=ax ；当x>6时，y=6a+c(x-6)．由已知，得⎩⎨⎧+==ca a 362755.7解得⎩⎨⎧==65.1c a y=1.5x(x≤6),y=9+6(x-6)=6x-27(x>6)．(2)将x=8代人y=6x-27(x>6)，y=6×8-27=21(元)．答：该户5月份的水费是21元．发散3 如图6—5所示的曲线表示某人骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系．骑车者九点离开家，十五点回家．根据这个曲线图，回答下列问题：(1)到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(2)何时开始第一次休息?休息多长时间?(3)第一次休息时离家多远?(4)11:00到12:00他骑了多少千米?(5)他在9:00到10:00和10:00到10:30的平均速度是多少?(6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐?(7)他在停止前进后返回，骑了多少千米?返回时的平均速度是多少?解 (1)到达离家最远的地方的时间是12时，离家30km ；(2)10.5时开始第一次休息，休息了0.5h ；(3)第一次休息时离家17.5km ；(4)11:00到12:00，他骑了12.5km ；(5)9:00到10:00的平均速度是lOkm ／h ，10:00到10:30的平均速度是15km/h;(6)从12:00到13:00间停止前进，并休息用午餐较为符合实际情况；(7)他在停止前进后返回，骑了30km ，共用了2h ，故返回时的平均速度是15km/h.知识整合网络【学习方法指导】量与量之间存在着相互影响的关系，本章通过丰富的现实情境引入变量对变量之间关系的讨论，使学生体验探索和表示变量之间关系的过程，获得对表格、关系式、图象等多种方法的认识，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，能用自己的语的描述表格、关系式和图象所表示的关系，并能预测.关系式是表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，可以依据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．也可以依据因变量的值求出相应的自变量的值.由学习常量问题转入学习变量问题，这是数学思维的一种跃升，引导我们前进的是一种崭新的思维方式.【中考信息传递】近年来全国各省、市中考题中涉及本章内容的题型多为选择题、填空题，也有部分的应用题及因变量关于自变量的关系式的中档题，应该充分重视．【中考名题赏析】题型发散发散1填空题(1)观察下列图形(图6—24)，若第①个图形中阴影部分的面积为1，第②个图形中阴影部分的面积为，第③个图形中阴影部分的面积为，第④个图形中阴影部分的面积为43169，…则第n 个图形中阴影部分的面积为________(用字母n 表示)6427(2002年潍坊市中考试题)解 因为第1块图形的面积为1，第2块图形的面积为;434312=⎪⎭⎫⎝⎛-第3块图形的面积为；1694313=⎪⎭⎫⎝⎛-第4块图形的面积为；64274314=⎪⎭⎫⎝⎛-第n 块图形的面积为．143-⎪⎭⎫⎝⎛n (2)如图6—25，观察下列三角形图案，每行圆点的个数有什么规律?设每个三角形有n行，用n 的代数式表示这两个三角形图案中圆点的总数，为________(2002年广西壮族自治区中考试题)解 第1行圆点个数为1+n ，第2行圆点个数为2+(n-1)=1+n ，第3行圆点个数为3+(n-2)=1+n ，第n 行圆点的个数为n+1．以上共有n 行，故这两个三角形图案中圆点的总数为n(n+1)个．发散2解答题如图6—26表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)．两地间的距离是80km ．请你根据图象回答或解决下面的问题：(1)谁出发的较早?早多长时间?谁到达乙地较早?早到多长时间?(2)两人在途中行驶的速度分别是多少?(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x 的方程或不等式(不要化简，也不要求解)：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面．解 (1)由图可以看出：自行车出发较早，早3h ；摩托车到达乙地较早，早3h ．(2)对自行车而言：行驶的距离是80km ，耗时8h ，所以其速度是：80÷8=10(km ／h)；对摩托车而言：行驶的距离是80km,耗时2h,所以其速度是：80÷2=40(km ／h)．(3)设表示自行车行驶过程的函数解析式为：y=kx ，∵x=8时，y=80，∴80=8k，解得k=10，∴表示自行车行驶过程的函数解析式为y=10x ；设表示摩托车行驶过程的函数解析式为y=ax+b ，∵x=3时，y=0，而且x=5时，y=80；∴，解得⎩⎨⎧+=+=b a b a 58030⎩⎨⎧-==12040b a ∴表示摩托车行驶过程的函数解析式为y=40x-120．(4)在3<x<5时间段内两车均行驶在途中.①自行车在摩托车前面：10x>40x-120,②两车相遇：10x=40x-120,③自行车在摩托车后面：10x<40x-120.。
23第七章直线回归与相关分析
研究“一因一果”，即一个自变量与一 个依变量的回归分析称为一元回归分析； 研究“多因一果”，即多个自变量与一 个依变量的回归分析称为多元回归分析。 一元回归分析又分为直线回归分析与曲 线回归分析两种； 多元回归分析又分为多元线性回归分析 与多元非线性回归分析两种。
回归分析：揭示出呈因果关系的相关变 量间的联系形式，建立它们之间的回归方程， 利用所建立的回归方程，由自变量(原因)来预 测、控制依变量(结果)。
SS x ( 159.0444) 2
144.6356
249.5556 74.6670
所以
S yx
2 ˆ ( y y )
n2
74.6670 = 3.2660 (天) 92
【题一】下表为每1000 g土壤中所含NaCl 的不同克数(x)，对植物单位叶面积干物质 (Y)的影响，试建立其回归方程。 土壤NaCl含量 x/g· kg-1 干重 y/mg· y bx
（7-3）式中的分子是自变量 x 的离均差与
依变量 y 的离均差的乘积和 ( x x )( y y ) ，
简称乘积和，记作 SP ，分母是自变量 x 的离 xy
均差平方和 ( x x )2，记作 SS x。
a 叫做样本回归截距，是总体回归截距α的 最小二乘估计值也是无偏估计值，是回归直线
资料如下表，建立 y 与 x 的直线回归方程。
表7-1 平均温度累积值(x)与一代三化螟盛发期（y）资料
年份 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 累积温 x 35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2 盛发期 y 12 16 9 2 7 3 13 9 –1
《变量之间的关系》知识梳理
知识梳理：变量之间的关系我们生活在一个变化的世界中，如时间、温度，还有我们的身高、体重等都在悄悄地发生变化. 若能从数学的角度研究变化的量，将有助于我们了解自己、认识世界和预测未来. 为帮助同学们学好本章知识，特作如下知识梳理：一、理解变量、自变量和因变量的概念所谓变量．．，就是处于变化的量. 变量是相对于不变的量而言的.如，（1）小明的体重随年龄的增长而增加. 这里的体重和年龄都是变量；（2）自然界的气温随着季节的变化而变化. 这里的气温和季节都是变量.上述两例中，年龄和季节都是首先变化的量，则称之为自变量．．．；而体重因年龄的增长而增加，气温因季节的变化而变化，则我们把体重、气温称之为因变量．．．. 因此，因变量随自变量的变化而变化，它们都是某一变化过程中的量.二、掌握“变量之间的关系”的三种表示方法1、表格法：通过列表格可以得到变量之间的关系信息，进一步预测其变化趋势，从而作出科学的判断. 一般地，因变量随自变量的变化呈现一定的规律，依据此规律对结论作出预测.2、关系式法：关系式是表示变量之间关系的另一种方法，它能准确地反应出因变量与自变量之间的数值对应关系. 也就是说，当自变量每一个确定的值，因变量就有惟一一个确定的值与它对应.3、图象法：图象是表示变量之间关系的又一种方法，图象能非常直观形象地反映出因变量随自变量的变化的趋势. 其通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.三、学会用三种方法分析实际问题学会运用“变量之间的关系”的三种表示方法，能作出正确的分析，从中获得相关信息，并加以处理，依据其变化趋势作出预测.例1某试验小组研究表明，玉米的产量与施肥量的关系统计数据如下表：1/ 32 / 3（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当施肥量为40千克/亩时，玉米的产量是多少？如果不施肥呢？（3）依据上表中数据，你认为施肥量是多少时比较适宜？请说明理由.（4）简单分析一下施肥量对玉米产量的影响.解析：（1）上表反映了施肥量与玉米产量这两个变量之间的关系，施肥量是自变量，玉米产量是因变量.（2）由上表知，）当施肥量为40千克/亩时，玉米的产量是401.1千克，如果不施肥玉米的产量是192.4千克.（3）依据上表中数据，认为施肥量在56千克左右时比较适宜.理由是：由上表的数据表明：每亩玉米肥量56千克产量较高，施肥量达80千克，玉米产量增加甚微，再增加玉米产量降低.（4）在一定的范围内（0—56千克），施肥量与玉米产量成正比，但并不是施肥量越多越好，施肥量超出范围会造成玉米烧苗，从而玉米产量降低.例2 如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米. 当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.（1）在这个变化过程中，自变量是 、因变量是 .（2）梯形的面积y （厘米2）与高x （厘米）之间的关系式为 .（3）当梯形的高有10厘米变化到1厘米时，梯形的面积由 厘米2变化到 厘米2.解析：（1）在这个变化过程中，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积.（2）由梯形的面积公式，得 y =21（5＋13）×x = 9x. 所以，梯形的面积y 与高x 之间的关系式为：y = 9x.（3）当x = 10厘米时，y = 9x = 9×10 = 90（厘米2）；当x = 1厘米时，y = 9x = 9×1= 9（厘米2）.所以，当梯形的高有10厘米变化到1厘米时，梯形的面积由90厘米2变化到9厘米2.13例 3 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?解析：⑴由图象知，第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的，它的体温从最低上升到最高需要12小时.⑵由图象知，前两天12时这头骆驼的体温是39℃，又因在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，所以第三天12时这头骆驼的体温仍是39℃.例 4 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。
第七章 相关分析
（四）按变量多少划分可分为单相关、复相关
1.单相关：两个因素之间的相关关系叫单相关，即研究时只涉 及一个自变量和一个因变量。 2.复相关：二个以上因素的相关关系叫复相关，即研究时涉及 两个或两个以上的自变量和因变量。 偏相关：在某一现象与多种现象相关的场合，当假定其他变 量不边时，其中两个变量之间的相关关系称为偏相关。 在实际工作中，如存在多个自变量，可抓住其中主要的自变 量，研究其相关关系，而保持另一些因素不变，这时复相关为 偏相关。
第七章 直线相关与回 归分析
含秩相关
第一节
相关分析的概念
一、相关分析的概念： 相关分析是分析变量间是否有相关关系，确定相关关系是否 存在，描述相关关系呈现的形式和方向，以及变量间相关的密 切程度的方法。 二、函数关系和相关关系： 函数关系反映变量间的数量上，存在着确定的数量对应关系
，这种关系可用数学函数关系表达式，由一个变量精确计算出 另一个变量。见函数关系散点图和曲线。 相关关系反映变量间存在数量上的相关关系，但不具有确定 性的对应关系。见相关关系散点图和曲线。
三、相关分析内容
相关分析通常包括考察随机变量观测数据的散点图、 计算样本相关系数以及对总体相关系数的显著性检验 等内容。 散点图可以大致判断两个变量之间有无相关关系、 变量间的关系形态以及变量之间的关系密切程度，但 准确度量两个变量之间的关系密切程度，需要计算相 关系数。 一般情况下，总体相关系数ρ是未知的，通常是将 样本相关系数r作为ρ的估计值，于是常用样本相关系 数推断两变量间的相关关系．这一点要和相关系数的 显著性检验结合起来应用。
2．回归分析的种类
（1）根据所涉及变量的多少不同，回归分析可分为简单回归 和多元回归。 简单线性回归又称一元回归或直线回归，是指两个变量之 间的回归，研究一个自变量与另一个因变量的线性趋势数量 关系。 多元线性回归是研究多个自变量与一个因变量的线性趋势 数量关系。 （2）根据变量变化的表现形式不同，回归分析也可分为直线 回归和曲线回归。 对具有直线相关关系的现象，配之以直线方程进行回归分 析，即直线回归； 对具有曲线相关关系的现象，配之以曲线方程进行回归分 析，则称为曲线回归。
怎样分析变量间的关系(内容清晰)
变量间的相关关系一、变量间关系的度量1.变量间的关系:函数关系：（1）是一一对应的确定关系（2）设有两个变量相关关系：（1）变量间关系不能用函数关系精确表达（2）变量间存在着一定的客观规律二、相关的种类1．完全相关、不完全相关、不相关2．正相关与负相关甲类研制# 1甲类研制# 23．线性相关与非线性相关4．单相关与复相关三、用图形来显示变量间的关系做散点图四、测度变量间的关系强度----计算相关系数1． 相关系数的概念是在线性相关的情况下，用来说明相关关系密切程度的统计分析指标。
2． 相关系数的计算：3． 根据相关系数判断相关的程度 ()[]()[]∑∑∑∑∑∑∑---=2222y y n x x n yx xy n γ甲类研制# 3相关系数的取值是在+1和-1之间，即11+≤≤-r 。
若10+≤≤r ，表示X 与Y 之间存在正的相关关系，若01≤≤-r ，表示X 与Y 之间存在负的相关关系；若r-+1，，表示X 、Y 之间为完全正相关关系，若r=-1，表示X 与Y 之间为完全负相关关系，当r=0时，表示Y 的取值与X 无关，即二者之间不存在线性相关关系，但不能说明两者之间没有任何关系。
它们可能会存在非线性相关关系。
五、总体中也存在这样的关系吗？----假设检验1． 为什么要对相关系数进行显著性检验？因为两个变量之间存在相关关系是根据样本计算出来得出的结论，这一结论是否正确还吸引仅仅系检验，相关系数是一个随机变量，由于是随机的，所以具有一定的偶然性，两个不相关的变量，其相关系数也可能较高，要从样本相关系数判断总体中是否也有这样的关系，则甲类研制# 4 需要对相关系数进行显著性检验后才能下结论。
2．显著性检验的步骤：第一步，提出假设第二步，计算检验的统计量212r n r t --=第三步，进行决策。
六、建立变量间的数学关系式1．回归模型：εββ++=x y 102．回归方程：x y E 10)(ββ+=。
第七章 相关分析与回归分析
第七章 相关分析与回归分析
• 主要内容：
– 第一节 相关分析 – 第二节 简单线性回归分析 – 第三节 多元线性相关与回归分析
统计学
统计学
第7章>>第1节
第一节 相关分析
• 一、函数关系与相关关系
– (一)函数关系
• 函数关系是指变量之间存在着严格确定的依存关系， 在这种关系中，当一个或几个变量取一定量的值时， 另一变量有确定值与之相对应，并且这种关系可以 用一个数学表达式反映出来。 • 例如：某种产品的成本S与该产品的产量Q以及该产 品的单位成本P之间的关系可用S=PQ表达，这就是 一种函数关系。
第七章>>第一节
统计学
第一节 相关分析
• 二、相关关系的种类
– (二)线性相关和非线性相关：按相关形式划分
• 按相关形式划分，可以分为线性相关和非线性相关 两种形式。 • 线性相关：当一个变量发生变动，另一个变量随之 发生大致均等的变动(增加或减少)，从图形上看， 其观测点的分布近似地表现为直线形式。 • 非线性相关：而当一个变量发生变动，另一个变量 也随之发生变动(增加或减少)，但是这种变动不是 均等的，从图形上看，其观察点的分布表现为各种 不同的曲线形式，这种相关关系称为非线性相关。 • （本章仅讨论线性相关关系）。
第七章>>第一节
统计学
第一节 相关分析
• 五、相关系数的检验
– 检验步骤：
• 首先，计算相关系数r的t值：
t= r n-2 1-r 2
• 其次，根据给定的显著性水平和自由度V=n-2，查找t分布 表中相应的临界值tα/2。若|t|≥ tα/2，表明r在统计上是显著的， 即总体两个变量之间存在显著的线性关系；若|t|≤ tα/2，表 明r在统计上是不显著的，即不足以证明总体两个变量之间 存在一定程度的线性相关关系。
第七章__相关与回归分析
第九章 相关与回归分析
第一节 相关分析的一般问题 第二节 相关关系的判断 第三节 回归分析的一般问题 第四节 回归模型的建立与检测
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分
1
统 计
学 第一节 相关分析
一、相关分析的意义 二、相关关系的测定
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变量间的关系
变量间的关系有两种类型：函数关系和相关关系。 函数关系—— 是一一对应的确定关系。
按模型形态分，有线性回归和非线性回归。
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二、一元线性回归方程的确定
具有线性相关关系的两个变量的关系可 表示为：
y = α+ bx
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化.
α 和 b 称为模型的两个待定参数。
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（总体）回归方程
x
y
a
x
+
b
x
2
b
nxy x y n x 2 ( x)2
a
y
bx
y n
b
x n
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三、回归估计标准误差 S yx
（一）回归估计标准误差的概念
实际观察值y与估计值 yˆ 之间差异的平
均程度，是用来说明回归方程推算结果
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4
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、
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第七章 怎样分析变量间的
关系
教学目的与要求
本章主要介绍如何利用相关与回归方法来分析变量之间的关系。
通过本章学习，要求掌握相关与回归分析的基本思想与和原理；掌握相关与回归分析方法的特点和应用场合；掌握相关与回归分析的计算分析方法；能够利用EXCEL 进行计算并对分析结果进行解释和分析；能应用相关与回归分析方法对实际问题进行有效地分析。
本章重点问题辅导
一、变量间有什么样的关系？
1．函数关系：是指两个变量之间存在一定关系，这种关系是固定的，当自变量取一值时，因变量只有一个唯一确定的值与之对应。
如：2
R s π=
2．相关关系：是指两个变量之间存在一定的关系，这种关系是不固定的，当自变量取一个值时，因变量有许多值与之对应。
如：身高-----体重
X Y
二、相关的种类
1．完全相关、不完全相关、不相关
2．正相关与负相关
3．线性相关与非线性相关
4．单相关与复相关
三、用图形来显示变量间的关系
做散点图
四、测度变量间的关系强度----计算相关系数
1． 相关系数的概念
是在线性相关的情况下，用来说明相关关系密切程度的统计分析指标。
2． 相关系数的计算： 3． 根据相关系数判断相关的程度
相关系数的取值是在+1和-1之间，即11+≤≤-r 。
若10+≤≤r ，表示X 与Y 之间存在正的相关关系，若01≤≤-r ，表示X 与Y 之间存在负的相关关系；若r-+1，，表示X 、Y 之间为完全正相关关系，若r=-1，表示X 与Y 之间为完全负相关关系，当r=0时，表示Y 的取值与X 无关，即二者之间不存在线性相关关系，但不能说明两者之间没有任何关系。
它们可能会存在非线性相关关系。
()[]()[]
∑∑∑∑∑∑∑---=2222y y n x x n y x xy n γ
五、总体中也存在这样的关系吗？----假设检验
1． 为什么要对相关系数进行显著性检验？
因为两个变量之间存在相关关系是根据样本计算出来得出的结论，这一结论是否正确还吸引仅仅系检验，相关系数是一个随机变量，由于是随机的，所以具有一定的偶然性，两个不相关的变量，其相关系数也可能较高，要从样本相关系数判断总体中是否也有这样的关系，则需要对相关系数进行显著性检验后才能下结论。
2．显著性检验的步骤：
第一步，提出假设
第二步，计算检验的统计量
212
r n r t --=
第三步，进行决策。
六、建立变量间的数学关系式
1．回归模型：εββ++=x y 10
2．回归方程：x y E 10)(ββ+=
3．估计回归方程：x y 1
0ˆˆˆββ+= 用最小平方法求参数10ˆˆββ。
用Excel 计算统计量的方法。
见教材138页例。
()n
x
x n
y y x b y x n x y x n xy x y ∑∑∑∑
∑∑∑==-=--=+=0
221ˆ1
.ˆ11ˆˆˆˆββββ
七、回归效果的度量
SST —总平方和，反映因变量取值的总的波动状况。
SSR---回归平方和，反映有自变量X 的变化引起Y 的变化。
SSE —残差平方和，反映除了X 对Y 的影响之外的其它因素的影响。
三者的关系：
SST=SSR+SSE
回归平方和占总平方和的比例称为判定系数：
SST
SSR r =2 其实际意义是：在因变量取值的总变差中可以由自变量X 取值所解释的比例。
八、检验数学关系式的可信程度
1． 为什么要对回归方程进行显著性检验？
回归方程通常是根据样本数据建立，建立回归方程有很多假定，如假定因变
量与自变量之间有线性关系，对回归模型中的误差项也有许多假定。
这些假定是否成立，只有在方程通过显著性检验后才能回答，所以要对回归方程进行显著性检验。
2． 回归方程显著性检验包括哪些内容？
包括两方面的内容：一是线性关系的检验，也称为总体的显著性检验，用于检验因变量与自变量之间是否存在线性关系；二是回归系数的检验，检验自变量对因变量的影响是否显著。
在一元回归分析中，两种检验是等价的。
3．进行线性关系显著性检验的步骤：
第一步，提出假设
第二步，计算统计量F
第三步，作出统计决策。
当αF F ≥时，拒绝原假设。
更简单的办法：见教材144页。
九、用自变量来估计因变量
1．点估计---是根据建立的回归方程x y 1
0ˆˆˆββ+=，对于自变量的一个特定值X 求出因变量Y 的一个估计值。
2．区间估计---利用估计的回归方程，对于x 的与个特定值0x ,求出Y 的一个估计值的区间就是 区间估计。
置信区间估计：它是对x 的一个给定值，求出y 的平均值的估计区间。
预测区间估计：它是对x 的一个给定值，求出y 的个别值的估计区间。
本章练习题：
一、名词解释
1．相关系数：是在线性相关的情况下，用来说明相关关系密切程度的统计分析指标。
2．总变差平方和：SST —总平方和，反映因变量取值的总的波动状况。
3．回归平方和：SSR---回归平方和，反映有自变量X 的变化引起Y 的变化。
4．残差平方和：SSE —残差平方和，反映除了X 对Y 的影响之外的其它因素的影响。
5．判定系数：回归平方和占总平方和的比例称为判定系数：
SST
SSR r =2 其实际意义是：在因变量取值的总变差中可以由自变量X 取值所解释的比例。
6．点估计：是根据建立的回归方程x y 1
0ˆˆˆββ+=，对于自变量的一个特定值X 求出因变量Y 的一个估计值。
7．区间估计：利用估计的回归方程，对于x 的与个特定值0x ,求出Y 的一个估计值的区间就是 区间估计。
二、判断题
1．统计上描述两个变量之间关系的图示方法是散点图。
（对）
2．测度变量之间关系密切程度的统计量是相关系数。
（对）
3．若相关系数R=0，说明两个变量之间没有任何关系。
（错）
4．变量之间非线性相关程度较大时，就可能导致相关系数等于。
（对）
5．两个不相关的变量，其相关系数也可能较高。
（对）
6．回归平方和反映了因变量取值的总的波动情况。
（错）
三、填空题
1．现象之间的关系可以归纳为两种不同类型，一种是（函数关系），一种是（相关关系）。
2．统计上描述变量之间关系的图示方法是（散点图）。
3．测定变量之间相关关系密切程度的统计量是（相关系数）。
4．相关系数的取值范围是（11+≤≤-r ）。
5．总变差平方和SST 、回归平方和SSR 、残差平方和SSE 三者的关系是（SST=SSR+SSE ）
6．回归平方和占总平方和的比例叫（判定系数）。
7．判定系数的取值范围是（0--1），判定系数越接近于1，表示回归直线对观察数据的拟合程度越（高）。
8．点估计可分为两种，一种是（平均值的点估计），另一种是（个别值的点估计）。
9．区间估计有两种类型，一是（置信区间估计），二是（预测区间估计）。
四、问答题
1．解释相关系数的意义。
相关系数的取值是在+1和-1之间，即11+≤≤-r 。
若10+≤≤r ，表示X 与Y 之间存在正的相关关系，若01≤≤-r ，表示X 与Y 之间存在负的相关关系；若r-+1，，表
示X、Y之间为完全正相关关系，若r=-1，表示X与Y之间为完全负相关关系，当r=0时，表示Y的取值与X无关，即二者之间不存在线性相关关系，但不能说明两者之间没有任何关系。
它们可能会存在非线性相关关系。
2．为什么要对相关系数进行显著性检验？
因为两个变量之间存在相关关系是根据样本计算出来得出的结论，这一结论是否正确还吸引仅仅系检验，相关系数是一个随机变量，由于是随机的，所以具有一定的偶然性，两个不相关的变量，其相关系数也可能较高，要从样本相关系数判断总体中是否也有这样的关系，则需要对相关系数进行显著性检验后才能下结论。
3.为什么要对回归方程进行显著性检验？
答：回归方程通常是根据样本数据建立，建立回归方程有很多假定，如假定因变量与自变量之间有线性关系，对回归模型中的误差项也有许多假定。
这些假定是否成立，只有在方程通过显著性检验后才能回答，所以要对回归方程进行显著性检验。
4. 回归方程的显著性检验主要包括哪些内容？
答：包括两方面的内容：一是线性关系的检验，也称为总体的显著性检验，用于检验因变量与自变量之间是否存在线性关系；二是回归系数的检验，检验自变量对因变量的影响是否显著。
在一元回归分析中，两种检验是等价的。
五、案例分析
见指导书本章案例2、案例4。