北京市朝阳区2012高三数学二模数学(理)
2012年北京市海淀区高三数学理科二模试卷及答案(WORD版)
北京市海淀区2012高三二模数 学（理科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 （2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠（3）直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π（D ）34π（4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï-?ïïï+?íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是 （A ）1（B ）5（C ）2 （D ）3（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D）（6）为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________． （10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++L . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃?Z L 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 . （11）在ABC ∆中，若120A ??，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）如图，O e 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ===，则DCB Ð＝______.（13）某同学为研究函数()1)f x x =＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 ；函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 .俯视图主视图BEFAB C DP（14）曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(,1)B a （a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式. (16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA??，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在»AB 上，且OM ∥AC ． （Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面P AC ；（Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；（Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．(17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择： (1)投资A 项目一年后获得的利润X且X 1的数学期望E (X 1)=12；(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.(18)（本小题满分13分）ME BOCAP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈）(20)（本小题满分13分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++?N L 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p =L ，且p a a a ≤≤≤Λ21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）.（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；（Ⅱ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数6≥n 时，求证：134)(-≥n n f ．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．05一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.最新整理二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）12（10）６（11（12）45°（13）12x=；2（14）(0,±；1.41,4, 1.41,2,1 1.a aa aa aìï??ïïï+-<?íïï--<<ïïïî或注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为0d¹.因为346S a=+，所以11323362da a d创+=++. ①……………………………………3分因为1413,,a a a成等比数列，所以2111(12)(3)a a d a d+=+. ②……………………………………5分由①，②可得：13,2a d==. ……………………………………6分所以21na n=+.……………………………………7分（Ⅱ）由21na n=+可知：2(321)22nn nS n n++?==+.……………………………………9分所以11111()(2)22nS n n n n==-++. ……………………………………11分所以123111111n nS S S S S-+++++L11111111111()2132435112n n n n=-+-+-++-+--++L21111135()212124(1)(2)n nn n n n+=+--=++++.所以数列1{}nS的前n项和为2354(1)(2)n nn n+++.最新整理……………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以 OE ∥PA . ……………………………………1分 因为 PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 OE ∥平面P AC . ……………………………………2分因为 OM ∥AC ， 因为 AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 OM ∥平面P AC . ……………………………………3分因为 OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O =I ，所以 平面MOE ∥平面P AC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90ACB??，即BC AC ⊥.因为 PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ， 所以PA BC ⊥. ……………………………………7分因为 AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A =I ，所以 BC ^平面PAC . 因为 BC Ì平面PBC ，所以 平面P AC ^平面PCB . ……………………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30CBA??，2PA AB ==，所以2cos30CB =?1AC =.延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ，所以131, 1,2222MD CB MD CD CB ^=+===.最新整理所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，B，3(,,0)22M . 所以 (1,0,2)CP =u u u r，CB =u u u r.设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.CP CBìï?ïíï?ïîu u u r u u u r m m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面PMB 的一个法向量n ()=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n . 所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分 (17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分 （Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.所以X 2的分布列为:（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()2224.12(1)11.76(1)20.40(1)E Xp p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦211.76p p =-++. ……………………………………11分因为E (X 1)< E (X 2)，所以21211.76p p <-++.最新整理所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.6.……………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ?=-. 解得 54m =?. ……………………………………6分 当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -.由于557(1,(1,424216+?-?，所以54m ?. 下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.……………………………………8分显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………10分最新整理因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+.综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r恒成立. ……………………………………13分 (19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(,)a +∞.2(1)'()1a x a xf x x x a x a-++=-+=--. ……………………………………1分令'()0f x =，0x =或+1x a =.当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++?.……………………………………3分当1a =-时，2'()01x f x x -=≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+?. ……………………………………4分 当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+?.最新整理……………………………………5分（Ⅱ）证明：当12(ln21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.因为(0)ln()0f a a =->，2211(1)(1)(1)(1)022f a a a a +=-+++=->，且()f x 在(1,)a ++?上是减函数，所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211(2)ln 2[2(ln 21)]022f a a a a a a +=--=---<， 所以 函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.……………………………………9分（Ⅲ）解：因为412(ln 21)5-<-<-， 所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，20(1,]x a x ∈+，且21x ≥. ……………………………………10分因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++?上是减函数，所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.当45a =-时，1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491ln 542->0. 所以 12()()(0)(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分所以 21()()f x f x -的最小值为491(0)(1)ln 542f f -=-. 所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491ln 542-.……………………………………14分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f . 证明如下：由结论知，只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f最新整理. 因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2n +的表示法中11a ¹的表示法数．同样，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1， 就可得到一个11a ¹的2n +的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应.所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：当正整数6m ³时，()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f m f m f f --?--吵-L . 又,7)5(,11)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m --?. *对于*式，分别取m 为n ,,7,6Λ，将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f .即134)(-≥n n f ． ……………………………………13分。
数学2012年高三一模试题及答案整理(朝阳、海淀、丰台)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i - 2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A ．且，则 B ．且，则C ．且，则D ．且，则6. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212xy -= B ．22123xy-= C.2214xy -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 102,1==a b n 5a =m n αββα//,//n m βα//n m //βα⊥⊥n m ,βα⊥m //n βα//,n m ⊥βα//n m ⊥βα⊥n m ,//βα⊥n m //8. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.()n ∈Z B.n ()n ∈Z C. 2n 或124n -()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图 侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，2AB =，=1EF ，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得C ∠ 若存在，请求出C P D ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++ ．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ． （Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n个．设1m m mnS a a a +=+++ ，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2012.3二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：15、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分16、（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分17、（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取A D 的中点N ，连接,M N N F .在D AB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以MN//AB,MN 12=A B . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=A B ，所以M N //EF 且M N =EF .所以四边形M N FE 为平行四边形，所以E M //F N . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故E M //平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得C P D ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB C D ⊥.又因为C D B D ⊥，所以C D ⊥平面EBD . ………………………8分 在R t C PD ∆中，tan =C D C P D D P∠.因为C D 为定值，且C P D ∠为锐角，则要使C P D ∠最大，只要D P 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，D P 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得C P D ∠最大. …………11分 易得tan C D C P D =D B∠=23.所以C P D ∠的正切值为23.……………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，15NCA F EB MD（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分 （2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+， 令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a=--，作差可知11aa -->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1)a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11)aa-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1,)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x的单调增区间为(11aa-+--. (14)分19、（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a = …………3分 则椭圆的方程为2213xy +=. …………4分(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k kx x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T-，变换1T-将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T-和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T-（一直不能再作1T-变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T-）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分北京海淀区2012年高三一模文科数学试题2012.04．05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}-2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）803、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4 4、过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）07、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-b A'B'C'D'A BCD8、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9、复数2i 1i-在复平面内所对应的点的坐标为 .10、若tan 2α=，则sin 2α= .11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P大于1（其中'E Q Q P E PQ=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断ABC ∆的形状.俯视图16、（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.17、（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EM F ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当E F A B ⊥时，求线段AC 1 的长．18、（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求D E AP的取值范围.20、（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()C ard X A C ard X B ∆+∆的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、4511、22(4)(4)25x y -+-=12、3，2； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- (2)分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷ )6x π=-.…………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………6分（Ⅱ）因为()2f A =，所以)62A π-=.所以1s i n ()62A π-=. ………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以3A π=. ……………………………………9分 因为sin sin a bAB =，a =，所以 1sin 2B =. ………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分 16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分17、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ……………2分又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ．……………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点, 则AC BD ⊥．………………………5分所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 B D ⊥平面1AO C ． ………7分又1AC ⊂平面1AO C ，所以 B D ⊥O M FEABC 1D1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ， 所以 A B D ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分 因为 E 为A B 中点，所以 D E A B ⊥． 又 EF AB ⊥，EF D E E = ．所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D EC ．………12分 又 1C E ⊂平面1D EC ，所以 A B ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB=，所以114AC BC ==． …………………14分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x af x x xx-+=-= (2)分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0-∞ .………………………13 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又2c a =，所以 c =.所以 222431b ac =-=-=. 所以 椭圆C 的方程为2214xy +=. ……………3分（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2D E =.所以 ||1||2D E AP =. ………………………………………5分当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41kx k +=+所以 20282.41k x k =+- (8)分所以||AP ==即||41A P k =+.类似可求||D E =. 所以2||||41D E AP k ==+………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||D E t t t A P tt-+-==>令2415()(2)t g t t t-=>，则22415'()0t g t t+=>.所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22D E t A P t-⨯-=>=.综上，||||D E A P 的取值范围是1[,)2+ . (13)分20、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分 （Ⅱ）设当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()C ard Y A C ard Y B ∆+∆()1()1C ard W A C ard W B =∆-+∆-()()C ard W A C ard W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()C a r d X AC a r d X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()C ard Z A C ard Z B ∆+∆()1()1C ard X A C ard X B =∆-+∆-()()C ard X A C ard X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()C ard X A C ard X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分2012年北京丰台区高考模试题（数学文）-B 版第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （题1）1．设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞ ． （题2）2．下面四个点中，在平面区域4y x y x<+⎧⎨>-⎩内的点是（ ）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)- 【解析】 B ；直接将坐标代入即得． （题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（题4） 4．若0mn<<，则下列结论正确的是（ ）A ．22mn>B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22log log mn> D ．1122log log m n >【解析】 D ；由指数函数与对数函数的单调性知D 正确． （题5）5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】 B ；1215x x ==，222222221211(6116)(7227)66s s =+++<=+++．甲乙012965541835572（题6）6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<； ，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（题7）7．已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（ ） A ．2- B ．8116- C ．1 D ．0【解析】 A ；12(1,0),(2,0)A F -，设(,P x yx≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y⋅=--⋅-=--+，又2213yx -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=---⎪⎝⎭ ，当1x =时，取到最小值2-．（题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．当||2||CD AB =时，线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ．,M N 两点可能重合，但此时直线A C 与l 不可能相交D ．当AB 与C D 相交，直线A C 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 【解析】 C ；若,M N 两点重合，由,AM M B CM M D ==知AC BD ∥，从而A C ∥平面β，故有A C l ∥，故C 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （题9）9．i 是虚数单位，1i 1i+=+ ．【解析】 11i22+；11i 1i i i 1i22-++=+=+．（题10） 10．在边长为1的正方形A B C D 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ． 【解析】 π4；当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144⋅=．（题11）11．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -=．【解析】；222(2)44cos 6013a b aa b b-=-⋅︒+= ．（题12） 12．已知2,0()12lg ,0x x x f x x x ⎧-=⎨+>⎩≤，若()2f x =，则x=．【解析】 1-当0x ≤时，由22x x -=得，1x =-（正值舍）；当0x >时，12lg 2x +=，解得x =（题13）13．在A B C ∆中，C 为钝角，32A B B C=，1sin 3A =，则角C=，sin B=．【解析】 150°6由正弦定理知sin 31sin sin 22AB C C BCA==⇒=，又C 为钝角，故150C=︒；11sin sin()sin cos cos sin 32326B A C A C A C ⎛=+=+=⨯-+= ⎝⎭．（题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 现给出下列命题： ①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）【解析】 ②③；①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（题15） 15．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； ⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率． 【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =．⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =．（题16） 16．（本小题满分12分） 已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值； ⑵求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===，因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以sin 10α=，所以sin 2cos sin cos 210αααα-=．（题17）17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱P C 上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；⑶在A C B ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．【解析】 ⑴因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以B C ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在P A C ∆中，4PA AC ==，D 为P C 中点，所以AD PC⊥，所以AD ⊥平面PBC ， ⑵由三视图可得4B C =，由⑴知90AD C ∠=︒，B C ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B AD C -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．⑶取AB 的中点O ，连接C O 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．因为O 为C Q 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，O D ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ， 连接A Q ，BQ ，四边形AC BQ 的对角线互相平分，所以AC BQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAD ∆中，PQ ==（题18） 18．（本小题满分14分） 椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，且过(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若O A B ∆直角三角形，求m 的值． 【解析】 ⑴已知2412c a a==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214xy +=．侧（左）视图正（主）视图PDCBAOQABC DP⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <<设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当A O B ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为A O B ∠为直角，所以0O A O B⋅=，即12120x x y y +=，所以212122()0x x m x x m +++=， 所以222888055m m m --+=，解得m =±；ii ）当O A B ∠或O B A ∠为直角时，不妨设O A B ∠为直角，由直线l 的斜率为1，可得直线O A 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-，又2214xy +=，所以211514x x =⇒=±1112m y x x =-=-=±，依题意m <<0m≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为±±（题19） 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2nn nb na n a a a -=+-+++ ，n *∈N ，已知1b m=，232m b =，其中0m ≠．⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m=时，求nb ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m的取值范围．【解析】 ⑴由已知11b a =，所以1a m=；2122b a a =+，所以12322a a m+=，解得22m a =-；所以数列{}n a 的公比12q =-；⑵当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n nb na n a a a -=+-+++ ，………………………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++ ，……………………②，②－①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++ ，所以111223111123212nnn b n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭．⑶1[1]212113212nnn m m S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，因为1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以由[1,3]n S ∈得1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，注意到，当n为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是{|23}m m ≤≤．（题20） 20．（本小题满分14分）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；⑵2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x m x m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x=或2xm =-，因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为12x =22x =，结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >．因为0m<，所以120x x <<，并且1(2)222x m m --=-+=4|2|4(2)10222m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．。
2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
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20．（13 分）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝 对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集 合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A） 为 A 的第 j 列各数之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…， |Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表 A，求 K（A）的值；
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
（2）设数表 A∈S（2，3）形如
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃 圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）
A．5
B．7
C．9
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D．11
二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分.
点 E．则（ ）
A．CE•CB=AD•DB
2012北京朝阳高考二模数学理(含解析)
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）2012．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则=UAB （ ）．A ．{}04x x ≤<B ．{}04x x <≤C ．{}10x x -≤≤D ．{}14x x -≤≤2．复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限3．已知双曲线2215x y m -=()0m >的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）． A ．6 B 32C ．32D ． 344．在ABC △中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且ABC △的面积为32，则BAC ∠等于（ ）．A ．60或120B ．120C ．150D ．30或1505．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42)4ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ=，a ，2(1,)λ=-b ，(11)=-，c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-； :r 若111a dx =x⎰()1a >，则e a =．其中所有的真命题是（ ）．A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r7．直线y x =与函数()22,42,x mf x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．[)1,2-B ．[]1,2-C ．[)2.+∞D ．(]1-∞-，8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（ ）．A ．1B ．322C ．2D ．3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 把答案填在答题卡上． 9．二项式521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为5，则实数a =_______．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______．11．若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 ．12．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ．若2CD =， 则AB =_______，EF =_________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为()x x *∈N 件．当20x ≤时，年销售总收入为()233x x -万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）14．在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==， ()1,1,1,,i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，则此数表中的第5行第3列的数是 ； 记第 3行的数3,5,8,13,22,为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()m ∈R 的图象过点π,012M ⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若cos cos 2cos c B b C a B +=， 求()f A 的取值范围．一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4,2,1AB AE EF ===．（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面EBC ； （Ⅲ）求二面角A FB D --的余弦值．E CBDMAF已知函数()()22ln 0a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(),0a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()21e 2g a ．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A -，)2,0B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点()10F ，的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围．已知数列()12:,,,,2n n A a a a n n *∈N *(,2)n n ∈N 满足10n a a ==，且当()2k n k *∈N 时，()211k k a a --=，令()1nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出()5S A 的所有可能的值； （Ⅱ）求()n S A 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得()()23=4n n S A -？若存在，求出数列n A ；若不存在，说明理由．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（理工类）2012．5一、选择题：题号 1 2[ 3 4 5 6 7 8 答案 BBCCBDAD二、填空题：9．1 10．13 11．12 12．323 13． 2**32100,020,,160,20,,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 14．16，121n n a n -=++ 三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由()312(cos21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =． ……5分 （Ⅱ）解：因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =． ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =． ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=． ……10分 所以2π03A <<，ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -1(,1]2∈-．…12分 所以()f A 的取值范围是1(,1]2-． ……13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()C 84P A +==． 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584．…4分 （Ⅱ）解：设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739C C 281()C 843P B ===．答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13． ……8分（Ⅲ）解：X 的取值为23,45，，． 1221222239C C +C C 1(2)C 21P X ===，1221242439C C +C C 4(3)C 21P X ===，1221262639C C +C C 3(4)C 7P X ===，121839C C 1(5)C 3P X ===． ……11分所以X 的分布列为X 23 45P1214213713X 的数学期望143185234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN AB ∥，又14CM AC =，所以14MN AB =． 又EF AB ∥且14EF AB =， 所以EF MN ∥，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM FN ∥．又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC ． ……4分（Ⅱ）证明：因为EA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由已知可得()()()()000,4,0,0,4,4,0,0,4,0A B C D ，，， ()()002,1,0,2E F ，，．显然()()()102040402AF BC EB ===-，，，，，，，，． 则00AF BC AF EB ⋅=⋅=，， 所以AF BC AF EB ⊥⊥，．即AF BC AF EB ⊥⊥，，故AF ⊥平面EBC ． （Ⅲ）解：因为EF AB ∥，所以EF 与AB 确定平面EABF ，E DCMAFNxzECBDMA Fy由已知得，()()()0403,0,2440BC FB BD ==-=-，，，，，，． ……9分 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA BC ⊥． 由已知可得AB BC ⊥且EAAB A =，所以BC ⊥平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量． 设平面DFB 的一个法向量是()n x,y,z =． 由0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得440,320,x y x z -+=⎧⎨-=⎩即32y x,z x,=⎧⎪⎨=⎪⎩令2x =，则(2,2,3)n =． 所以217cos <,17BC n BC n BC n⋅>==⋅由题意知二面角A FB D --锐角，故二面角A FB D --217……14分 18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为{|0}x x >． ()()22210a a f x x x x'=-+>．根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， 解得1a =-或32a =． ……3分 （Ⅱ）解：()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x+--+'=-+==>． （1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<．所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减． （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-．所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增． ……9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=---． 2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a-'=-+⋅-=---，令()0g a '=，得21e 2a =-． 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：a21(,e )2-∞-21e 2- 21(e ,0)2- ()g a '+-()g a极大值21e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点． 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222g a g =-=--⨯---最大值2222131e ln e e e 222=-+=．所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立． ……14分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y 1222x x =-+-，整理得221(2)2x y x +=≠．所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2)2x y x +=≠±． ………5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0． ………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=． 2880k ∆=+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+．设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，所以2222(,)2121k kQ k k -++． ………9分 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++． 令0x =，解得211212P k y k k k==++． ．………10分当0k >时，因为1222k k +≥2022P y <≤= 当0k <时，因为1222k k +≤-2022P y >≥=． ．………12分综上所述，点P 纵坐标的取值范围是22[． ．………13分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有：（1）0,1,2,1,0.此时5()=4S A ；（2）0,1,0,1,0.此时5()=2S A ； （3）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（4）0,1,2,1,0.---此时5()=4S A -； （5）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（6）0,1,0,1,0.--此时5()=2S A -； 所以，5()S A 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分 （Ⅱ）解：由21()1k k a a --=，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（2k n ≤≤，*k ∈N ）， 因为11n n n a a c ---=，所以11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --==+++++．因为10n a a ==，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由12n -个1和12n -个1-构成的数列． 所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前12n -项取1，后12n -项取1-时()n S A 最大， 此时()n S A 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=．证明如下： 假设121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤， 112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =．所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑． 所以()n S A 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则 21(1)()2()4tn i i i n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()ti i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2n -是奇数，而12()ti i i n m =-∑是偶数，因此不存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=． ……13分北京市朝阳区高三二模试卷 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B 【解析】解：210x x >⇒>，{}|0A x x ∴=>，()()23404104x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-{}|14U B x x ∴=-≤≤，所以{}|04UA B x x =<≤．故选B ．2．【答案】B【解析】解：由题可知i i 2i 2i 12i 2i 2i 4z +-==⋅=--+， 复数z 在复平面内对应的点为11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，故在第二象限．故选B ．3．【答案】C【解析】解：由题可知抛物线212y x =的焦点为()3,0， 故双曲线中的3c =，所以25954m c =-=-=， 故离心率32c e a m ===． 故选C ．4．【答案】C【解析】解：由题可知0cos 0AB AC AB AC BAC ⋅<⇒⋅⋅∠<，故BAC ∠为钝角，因为313sin 222ABC S AB AC BAC =⇒⋅∠=△， 即13123sin sin 222BAC BAC ⨯⨯⨯∠=⇒∠=， 综上，150BAC ∠=． 故选C ．5．【答案】BBCA【解析】解：可知直线:40l x y -+=，2π222424ρθρρθθ⎫⎛⎫=+⇒=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即曲线()()22:228C x y -+-=， 所以圆心为()2,2，半径22r = 圆心到直线的距离2242211d r -+===+．故选B ．6．【答案】D 【解析】解：()44sin cos f x x x =-()()2222sin cos sin cos x x x x =+⋅-22sin cos cos2x x x =-=-，2ππ2T ∴==，命题p 正确； ()21,1λλ+=-+a b ，()2110λλ∴+⇒=-++=∥a b c ，即0λ=或1λ=-，故(+)//a b c 的是1λ=-的必要不充分条件， 命题q 错误； 111ln ln 1e aa dx x a a x===⇒=⎰，命题r 正确． 故选D ．7．【答案】A【解析】解：由图可知，函数242y x x =++，2y = 分别与函数y x =由两个和一个公共点，直线3与函数23的图象恰有三个公共点，只需m 取值在()1,1B --，()2,2C 两点的横坐标之间， 易验证当1m =-时，满足题意；当2m =时，只有,A B 两个公共点，不满足题意． 故选A ．C (2,2)B (-1,-1)A (-2,-2)yxy=xy=x 2+4x+2y=28．【答案】D【解析】解：因为是按任意方向正投影， 可以让面（设为桌面）定下来，正方体在动； 因此可以想象当正方体体对交线垂直于桌面时， 其在桌面上的投影是个正六边形，此时面积最大； 2233=，223，其面积可以看成623的正三角形的面积和：2326(33= 故选D ．二、 填空题 9．【答案】1【解析】解：由二项式的定理可知 ()5105252155C C kk kkk k k T axxa x ---+==， 当4k =，为展开式的常数项455C 51T a a ==⇒=． 故答案为1．10．【答案】13【解析】解：可列表x1 1 23 5 循环结束y1 23 5 8 z235813故13z =． 故答案为13．11．【答案】12【解析】解：由题可知满足题意得不等式区域y=x+1y为如图所示的阴影区域，设22z x y =+；已知当圆与直线相切与点A 时， z 取得最小值，220011212z AO ⎛-+⎫=== ⎪+⎝⎭．故答案为12．12．【答案】3，233【解析】解：由垂径定理可知2CD BD AD =⋅，即22222339AB AB CD AB =⋅⇒=，所以3AB =； 在直角CDE △中，222213CE CD DE CE =+⇒=+=， 由相交弦定理可知122333CE EF AE EB EF ⨯⋅=⋅⇒==． 故答案为3，233．13．【答案】2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 【解析】解：由题可知当20x ≤时，223310032100y x x x x x =---=-+- 当20x >时，260100160y x x =--=-； 当20x ≤时，函数在32162x =-=，取得max 256y = 当20x >时，函数在21x =，取得max 139y =， 综上当产量为16时，所得年利润最大．故答案为2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16．14．【答案】16，121n n a n -=++【解析】解：对于第一空，依题意：5,34,25,23,14,14,15,1()()3+4+4+5=16a a a a a a a =+=+++=； 对于第二空，依题意：3,2,13,12,1112,1n n n n n n n n n b a a a a b b b a ------==+=+⇒-=，从表格中可以看出：22,11,1121(2)n n n a a n ---=+=+≥，所以112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+230(21)(21)(21)3n n --=+++++++230(222)13n n n --=++++-+121n n -=++．故答案为16，121n n a n -=++．。
北京西城高考二模数学理含解析
北京西城高考二模数学理含解析Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm北京市西城区2012年高三二模试卷数 学理科2012．5 第Ⅰ卷选择题 共40分一、 选择题共8小题;每小题5分;共40分． 在每小题列出的四个选项中;选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|log 1}A x x =<;{|0B x x c =<<;其中0}c >．若A B B =;则c 的取值范围是 ．A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(0,2]D ．[2,)+∞ 2．执行如图所示的程序框图;若输入如下四个函数： ①()e x f x =； ②()e x f x =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=- ． 则输出函数的序号为 ．A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．椭圆 3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ是参数的离心率是 ．A ．35B ．45C ．925 D ．16254．已知向量(,1)x =a ;(,4)x =-b ;其中x ∈R ．则“2x =”是“⊥a b ”的 ． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．右图是1;2两组各7名同学体重单位：kg 数据的茎叶图．设1;2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ;标准差依次为1s 和2s ;那么 ． 注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-;其中x 为12,,,n x x x 的平均数A ．12x x >;12s s >B ．12x x >;12s s <C ．12x x <;12s s <D ．12x x <;12s s >6．已知函数()1f x kx =+;其中实数k 随机选自区间[2,1]-．对[0,1]x ∀∈;()0f x ≥的概率是 ．A ．13B ．12C ．23D ．347．某大楼共有12层;有11人在第1层上了电梯;他们分别要去第2至第12层;每层1人．因特殊原因;电梯只允许停1次;只可使1人如愿到达;其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0;乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1;每向上步行1层的“不满意度”增量为2;10人的“不满意度”之和记为S ;则S 的最小值是 ．A ．42B ．41C ．40D ．398．对数列{}n a ;如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ;使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立;其中*n ∈N ;则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{}n a 是等比数列;则{}n a 为1阶递归数列； ②若{}n a 是等差数列;则{}n a 为2阶递归数列；③若数列{}n a 的通项公式为2n a n =;则{}n a 为3阶递归数列． 其中;正确结论的个数是 ．A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷非选择题 共110分二、填空题共6小题;每小题5分;共30分．9．在ABC △中;3BC =;2AC =;π3A =;则B =_____． 10．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=;则z =_____．11．如图;ABC △是⊙O 的内接三角形;PA 是⊙O 的切线;PB交AC 于点E ;交⊙O 于点D ．若PA PE =;60ABC ∠=;1PD =;9PB =;则PA =_____；EC =_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数;则实数b =_____；不等式(1)||f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示;其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形;该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上;则球的表面积是_____．14．曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹;给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上;则||2y ≤； ③ 若点P 在曲线C 上;则1||4PF ≤≤． 其中;所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题;共80分． 解答应写出文字说明;演算步骤或证明过程． 15．本小题满分13分已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． Ⅰ求π()12f 的值；Ⅱ若对于任意的π[0,]2x ∈;都有()f x c ≤;求实数c 的取值范围． 16．本小题满分14分如图;直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ;AB BC ⊥;22AB CD BC ==;EA EB ⊥．Ⅰ求证：AB DE ⊥；Ⅱ求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；Ⅲ线段EA 上是否存在点F ;使EC ∥平面FBD 若存在;求出EFEA；若不存在;说明理由． 17．本小题满分13分甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中;甲答对其中每道题的概率都是35;乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试;答对一题加10分;答错一题不答视为答错减5分;至少得15分才能入选．Ⅰ求乙得分的分布列和数学期望； Ⅱ求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．18．本小题满分13分已知抛物线24y x =的焦点为F ;过点F 的直线交抛物线于A ;B 两点． Ⅰ若2AF FB =;求直线AB 的斜率；Ⅱ设点M 在线段AB 上运动;原点O 关于点M 的对称点为C ;求四边形OACB 面积的最小值． 19．本小题满分14分已知函数2221()1ax a f x x +-=+;其中a ∈R ． Ⅰ当1a =时;求曲线()y f x =在原点处的切线方程；Ⅱ求()f x 的单调区间；Ⅲ若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值;求a 的取值范围． 20．本小题满分13分 若12(0n n i A a a a a ==或1,1,2,,)i n =;则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ;将排列121n n a a a a -记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a --记为2()n R A ；依此类推;直至()n n n R A A =．对于排列n A 和()i n R A (1,2,,1)i n =-;它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数;叫做n A 和()i n R A 的相关值;记作(,())i n n t A R A ．例如3110A =;则13()011R A =; 133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,,1)i n n t A R A i n =-=-;则称n A 为最佳排列．Ⅰ写出所有的最佳排列3A ； Ⅱ证明：不存在最佳排列5A ；Ⅲ若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列;求排列21k A +中1的个数．北京市西城区2012年高三二模试卷 数学理科参考答案及评分标准 2012．5一、选择题：本大题共8小题;每小题5分;共40分．1．D ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ； 7．C ； 8．D ． 二、填空题：本大题共6小题;每小题5分;共30分． 9．π4； 10．1i 22+； 11．3;4；12．0;()1,2 13．13;3π； 14．① ② ③．注：11、12、13第一问2分;第二问3分；14题少填不给分． 三、解答题：本大题共6小题;共80分． 15．本小题满分13分Ⅰ解：22ππππ()cos ()sin cos 1212126f =--=． ………………5分 Ⅱ解：1π1()[1cos(2)](1cos2)232f x x x =+--- ………………7分1π13[cos(2)cos2]2cos2)2322x x x x =-+=+ ………………8分π)3x =+． ………………9分因为 π[0,]2x ∈;所以 ππ4π2[,]333x +∈; ………………10分 所以当 ππ232x +=;即 π12x =时;()f x 3． ……………11分所以 π[0,]2x ∀∈;()f x c ≤等价于3c ≤． 故当 π[0,]2x ∀∈;()f x c ≤时;c 的取值范围是3[)+∞． ……………13分16．本小题满分14分Ⅰ证明：取AB 中点O ;连结EO ;DO ．因为EB EA =;所以EO AB ⊥． ……………1分 因为四边形ABCD 为直角梯形;22AB CD BC ==;AB BC ⊥; 所以四边形OBCD 为正方形;所以AB OD ⊥． …2分 所以AB ⊥平面EOD ． ………………3分 所以AB ED ⊥． ………………4分 Ⅱ解：因为平面ABE ⊥平面ABCD ;且 EO AB ⊥;所以EO ⊥平面ABCD ;所以EO OD ⊥． 由,,OB OD OE 两两垂直;建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -． …………5分因为三角形EAB 为等腰直角三角形;所以OA OB OD OE ===;设1OB =;所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 (1,1,1)EC =-;平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =． ……………7分 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ; 所以||3sin |cos ,|3||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==即直线EC 与平面ABE 3． …………9分 Ⅲ解：存在点F ;且13EF EA =时;有EC ∥平面FBD ． ………10分 证明如下：由111(,0,)333EF EA ==--;12(,0,)33F -;所以42(,0,)33FB =-．设平面FBD 的法向量为n (,,)a b c =;则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取1a =;得(1,1,2)=n ． ………………12分因为 EC ⋅n (1,1,1)(1,1,2)0=-⋅=;且EC ⊄平面FBD ;所以EC ∥平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时;有EC ∥平面FBD ． ………………14分 17．本小题满分13分Ⅰ解：设乙答题所得分数为X ;则X 的可能取值为15,0,15,30-．………………1分35310C 1(15)C 12P X =-==； 2155310C C 5(0)C 12P X ===；1255310C C 5(15)C 12P X ===； 35310C 1(30)C 12P X ===． ………………5分乙得分的分布列如下：155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=． ………………7分 Ⅱ解：由已知甲、乙至少答对2题才能入选;记甲入选为事件A ;乙入选为事件B ．则223332381()C ()()()555125P A =+=; ………………10分 511()12122P B =+=． ………………11分故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125P P A B =-⋅=-⨯=． ……13分 18．本小题满分13分Ⅰ解：依题意(1,0)F ;设直线AB 方程为1x my =+． ………………1分将直线AB 的方程与抛物线的方程联立;消去x 得2440y my --=． …………3分设11(,)A x y ;22(,)B x y ;所以 124y y m +=;124y y =-． ①………………4分 因为2AF FB =;所以122y y =-． ② ………………5分 联立①和②;消去12,y y ;得m =.........6分 所以直线AB 的斜率是± (7)分Ⅱ解：由点C 与原点O 关于点M 对称;得M 是线段OC 的中点;从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等;所以四边形OACB 的面积等于2AOB S △． ……………… 9分 因为12122||||2ABC S OF y y =⨯⋅⋅-△ ………………10分=………………12分所以0m =时;四边形OACB 的面积最小;最小值是4． ………………13分 19．本小题满分14分 Ⅰ解：当1a =时;22()1x f x x =+;22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分 由 (0)2f '=;得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………3分Ⅱ解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………4分① 当0a =时;22()1xf x x '=+． 所以()f x 在(0,)+∞单调递增;在(,0)-∞单调递减． ………………5分 当0a ≠;21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时;令()0f x '=;得1x a =-;21x=;()f x 与()f x '的情况如下： 故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-;1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-． ………7分③ 当0a <时;()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a-∞；单调减区间是1(,)aa--;(,)a -+∞． ………………9分 Ⅲ解：由Ⅱ得; 0a =时不合题意． ………………10分 当0a >时;由Ⅱ得;()f x 在1(0,)a单调递增;在1(,)a+∞单调递减;所以()f x 在(0,)+∞上存在最大值21()0f a a=>．设0x 为()f x 的零点;易知2012a x a-=;且01x a <．从而0x x >时;()0f x >；0x x <时;()0f x <．若()f x 在[0,)+∞上存在最小值;必有(0)0f ≤;解得11a -≤≤．所以0a >时;若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值;a 的取值范围是(0,1]． ………………12分当0a <时;由Ⅱ得;()f x 在(0,)a -单调递减;在(,)a -+∞单调递增;所以()f x 在(0,)+∞上存在最小值()1f a -=-．若()f x 在[0,)+∞上存在最大值;必有(0)0f ≥;解得1a ≥;或1a ≤-． 所以0a <时;若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值;a 的取值范围是(,1]-∞-．综上;a 的取值范围是(,1](0,1]-∞-． ………………14分 20．本小题满分13分Ⅰ解：最佳排列3A 为110;101;100;011;010;001． ………………3分 Ⅱ证明：设512345A a a a a a =;则1551234()R A a a a a a =;因为 155(,())1t A R A =-;所以15||a a -;21||a a -;32||a a -;43||a a -;54||a a -之中有2个0;3个1． 按512345a a a a a a →→→→→的顺序研究数码变化;由上述分析可知有2次数码不发生改变;有3次数码发生了改变． 但是5a 经过奇数次数码改变不能回到自身; 所以不存在5A ;使得155(,())1t A R A =-;从而不存在最佳排列5A ． ………………7分 Ⅲ解：由211221(0k k i A a a a a ++==或1,1,2,,21)i k =+;得12121122()k k k R A a a a a ++=; 2212211221()k k k k R A a a a a a ++-=;……2121342112()k k k R A a a a a a -++=; 22123211()k k k R A a a a a ++=．因为2121(,())1(1,2,,2)i k k t A R A i k ++=-=;所以21k A +与每个21()i k R A +有k 个对应位置数码相同;有1k +个对应位置数码不 同;因此有12121221212||||||||1k k k k k a a a a a a a a k +-+-+-++-+-=+; 122212222121||||||||1k k k k k k a a a a a a a a k +-+--+-++-+-=+;……;132421212||||||||1k k a a a a a a a a k +-+-++-+-=+;1223221211||||||||1k k k a a a a a a a a k ++-+-++-+-=+．以上各式求和得; (1)2S k k =+⨯． ………………10分 另一方面;S 还可以这样求和：设12221,,...,,k k a a a a +中有x 个0;y 个1;则2S xy =．………………11分所以21,22(1).x y k xy k k +=+⎧⎨=+⎩解得,1,x k y k =⎧⎨=+⎩或1,.x k y k =+⎧⎨=⎩ 所以排列21k A +中1的个数是k 或1k +． ………………13分北京市西城区高三二模试卷数学理科选填解析一、 选择题 1．答案D解析解：当{}{}2|log 102A x x x =<=<<;A B B =;A B ∴⊆;即2c ≥．故选D ． 2．答案D解析解：由题可知输出的函数为存在零点的函数;因为()e 0x f x =>;所以该函数不存在零点；因为()e 0x f x =-<;所以该函数不存在零点； 因为1()f x x x -=+为对勾函数且()2f x ≤-或()2f x ≥;所以该函数不存在零点； 因为当1x =时;1()0f x x x -=-=;所以该函数存在零点． 故选D ．3．答案B解析解：由参数方程的知识可知椭圆方程为221259y x +=;故离心率45c e a ===． 故选B ．4．答案A解析解：当⊥a b 时;()()2,1,440x x x ⋅=⋅-=-+=a b ;即2x =±;所以2x =是2x =±的充分不必要条件． 故选A ．5．答案C 解析解：可知()1153565758617072617x =⨯++++++=;()2154565860617273627x =⨯++++++=；1s ==2s 故选C ．6．答案C解析解：由题可知()110f k =+≥;()010f =≥; 故1k ≥-;所以概率()()112123p --==--． 故选C ．7．答案C 解析解：由题可知;设在第()212n n ≤≤层下;S 达到最小值;而()()23110S n n n =-+-++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦()()111122n n +++-+-⨯⎡⎤⎣⎦()()()()1213122n n n n -⨯-=+-⨯-235315722n n =-+; 可知函数的对称轴为536n =;由于n 为整数; 故当9n =时;min 40S =．故选C ．8．答案D 解析解：① 正确．若数列{}n a 为等比数列; 且为1阶递归数列;只需存在1λ∈R ;使得111111n n n n a a a q a q λλ-+=+⇔=;即1q λ=;满足题意；② 正确．若数列{}n a 为等差数列;且为2阶递归数列;只需存在12,λλ∈R ;使得()[]()21121112111n n n a a a a n d a nd a n d λλλλ++=+⇔++=+++-⎡⎤⎣⎦; 即121λλ=+且()1221n n λλλ+=+-;当122,1λλ==-时;满足题意；③ 正确．若数列{}n a 的通项公式为2n a n =;且为3阶递归数列;只需存在123,,λλλ∈R ;使得()()()2222312213123321n n n n a a a a n n n n λλλλλλ+++=++⇔+=++++; 即1231212142649λλλλλλλ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩; 当1233,3,1λλλ==-=时;满足题意．故选D ．二、 填空题9．答案π4解析解：由正弦定理可知sin sin sin sin 3BC AC B A B =⇒=⇒所以π4B =． 故答案为π4． 10．答案1i 22+ 解析解：由题可知111i 1i 1i 1i 1i 2z ++==⋅=--+． 故答案为1i 22+．11．答案3;4 解析解：由切割线定理可知219PA PD PB =⋅=⨯;所以3PA =； 因为60PAC ABC ∠=∠=;且PA PE =; 故3AE AP EP ===;则2DE PE PD =-=;6BE PB PE =-=; 由相交弦定理可知312AE EC BE ED EC ⋅=⋅⇒=;所以4EC =． 故答案为3;4．12．答案0;()1,2 解析解：由题可知002b b -=⇒=； 当0x ≥;则不等式为()221132012x x x x x -+<⇒-+<⇒<<; 当0x <;则不等式为()221120x x x x -+<-⇒-+<; 因为180∆=-<;故方程无解． 故答案为0;()1,2．13．答案13;3π 解析解：由题可知,,PA AB AD 两两垂直; 所以1133V PA AB AD =⋅⋅⋅=； 可知三棱锥P ABCD -的外接球的直径为PC =所以表面积2224π4π4π3π2PC S r ⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭． P DCB A故答案为13;3π． 14．答案① ② ③解析解：设曲线C 上的动点为(),P x y ;则14y ++=;整理的216481x y y =+-+;① 正确．显然()1,P x y -也满足曲线方程; 则曲线C 关于y 轴对称；② 正确．当1y ≥-时;2224x y =-≤;故12y -≤≤； 当1y <-时;22212x y =-≥-;故21y -≤<-； 综上;2y ≤；③ 正确．由题可知41PF y ==-+; 因为22y -≤≤;所以013y ≤+≤; 故14PF ≤≤．故答案为① ② ③．。
2012北京数学理科(纯word版,含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3.设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 165.如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（） A ．CE ·CB=AD ·DB B ．CE ·CB=AD ·AB C ．AD ·AB= 2CD D ．CE ·EB= 2CD6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数， 其中奇数的个数为（ ）A ． 24B ． 18C ． 12D ． 67. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A．28+ B．30+ C．56+．60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ． 7C ． 9D ．11（第4题图）B第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩（α为参数）的交点个数为 .10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S = . 11.在△ABC 中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为 .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 ； DE DC ⋅的最大值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D,E 分别是AC ，AB 上的点， 且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2. （1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数） 18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题14分）已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A,G,N 三点共线. 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和1j n ≤≤； 记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；（2）设数表A=(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，21t +),求()k A 的最大值.（李国波录入2012-6-8）参考答案 一、选择题1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、C 二、填空题9、2；10、1，1(1)4n n +；11、4；1213、1,1；14、(4,2)--； 三、解答题15、解：（1）由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈，故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈. 由222,()242k x k x k k Z ππππππ-≤-≤+≠∈得3,()88k x k x k k Z πππππ-≤≤+≠∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-∈，和3(,]()8k k k Z πππ+∈. 16．解：（1） ,AC BC DE BC ⊥∥∴DE AC ⊥∴1DE A D ⊥,DE CD ⊥(1A D CD D = )又 DE ⊥平面1A DC ，∴DE 1AC ⊥ 又∵1A C CD ⊥，(DE CD D = ) ∴1AC ⊥平面BCDE （2）如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则(100A ，，，()020D ，，，M ,()300B ，，，()220E ，，，设平面1A BE 法向量为()n x y z = ，，，则10,0A B n BE n ⋅=⋅=∴(130A B =- ，，,()120BE =- ，，，∴3020x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则2,x z ==∴(21n = 设CM 与平面1A BE 所成的角为θ∵(0CM =∴sin |cos ,|||||||CM n n CM CM n θ⋅=====⋅CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）线段BC 上不存在点P,使平面1A DP 与平面1ABE 垂直。
北京丰台区2012高三年级第二学期第二次统一练习理科数学试题试题及答案
北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为(A)2 (B)3 (C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次 数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是开始结束0S =，1n =，3a =S S a =+2a a =+1n n =+输出S 是 否俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A +，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541PDC BA从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数()cos (3cos sin )3f x x x x =--． （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．ξ 100 80 60 0P0.05ab0.7（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º，AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -C 的余弦值为63，求PF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DACDBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10．7411．3，37712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.解：因为()cos (3cos sin )3f x x x x =--＝23cos sin cos 3x x x --=1cos 213()sin 2322x x +-- ＝313cos 2sin 2222x x --＝3cos(2)62x π+-． （Ⅰ）3()cos(2)3362f πππ=⨯+-=33322--=-． ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤． 当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--． 当512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=． 由806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得00.15.a b =⎧⎨=⎩ ……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．OBA CDEFP z yx PFEDCAB 因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º， 所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =- ，1(1,1,)2CP =-- ，所以45cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为4515． ……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC =，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ， 所以 12122212||26cos ,3||||22(2)1()n n n n n n t t⋅<>===⋅--++， 解得23t =，或2t =（舍）． 此时5||3PF =． ……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+． 因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =． 依题意，1231n n n a a +=+⋅+， 所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--， 所以 3n n a n =+．当n =1时，11314a =+=成立， 所以3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3n n a n =+，所以 22(3)3n n n n n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ． 若 22+210n n -+<，则132n +>，即 2n ≥时 1n n b b +<．又因为 113b =，249b =， 所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5． 因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P点处抛物线切线方程为240x y ++=，或24x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y y m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称，所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =， 所以直线l的方程为210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-． 令()0f x '=，得12x =． 当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分 （Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-． 所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++= ，则112222ln ln ln ln2k k kx x x x x x +++≥- ． 当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，- 11 -由（Ⅱ）得111212212()()l nk k k F x x x x+++--≥++-++++- =111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立． 所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以若211nii x==∑，则21ln ln 2nniii x x =≥-∑*(,)i n ∈N ． ……………………13分 （证法二）若1221n x x x +++= ， 那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2012年北京市顺义区高考数学二模试卷(理科)(附答案解析)
2012年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一.选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合M={0, 1, 3}，N={x|x=3a, a∈M}，则集合M∩N=()A.{0}B.{0, 1}C.{0, 3}D.{1, 3}2. 已知i为虚数单位，则复数i(1−i)所对应点的坐标为（）A.(−1, 1)B.(1, 1)C.(1, −1)D.(−1, −1)3. “p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也木必要条件4. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A.i<20B.i>20C.i<10D.i>105. 已知直线l:x−y−1=0和圆C:{x=cosθy=1+sinθ(θ为参数，θ∈R)，则直线l与圆C的位置关系为（）A.直线与圆相交B.直线与圆相切C.直线与圆相离D.直线与圆相交但不过圆心6. 甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.12种B.16种C.24种D.48种7. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.60B.80C.100D.1208. 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的点M的个数是（）A.4B.8C.12D.16二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上）若(x+1x)n展开式中第二项与第四项的系数相等，则n=________；展开式中间一项的系数为________．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N∗都有S n=2a n−1，则a1的值为________，数列{a n}的通项公式a n=________．如图所示：圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，∠BAC=30∘，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线，垂足为D，则CD的长为________．已知O 是坐标原点，点A(−2, 1)，若点M(x, y)为平面区域{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，上的一个动点，则OA →⋅OM →的最大值为________．已知A 、B 、P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ⋅k PB =12，则该双曲线的离心率e =________．已知全集为U ，P ⊈U ，定义集合P 的特征函数为f P (x)={1,x ∈P0,x ∈C U P ，对于A ⊊U ，B ⊊U ，给出下列四个结论：①对∀x ∈U ，有f CU A (x)+f A (x)=1； ②对∀x ∈U ，若A ⊊B ，则f A (x)≤f B (x)； ③对∀x ∈U ，有f A∩B (x)=f A (x)⋅f B (x)； ④对∀x ∈U ，有f A∪B (x)=f A (x)+f B (x)． 其中，正确结论的序号是________．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.已知向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R)，设函数f(x)=m →⋅n →． （1）求函数f(x)的值域；（2）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若f(A)=13，BC =2√3，AC =3，求边长AB 的值．如图：四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB =90∘，PA ⊥平面ABCD ，PA =BC =1，AB =√2，F 是BC 的中点．（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ，使CG // 平面PAF ；（3）求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：45、34、23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为：12、23、56，所有考试是否合格相互之间没有影响． （1）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大；（2）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率；（3）用X 表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望EX ．已知函数f(x)=x −ln x ，g(x)=x +a 2x，（其中a >0）．（1）求曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；（2）若x =1是函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a 的值；（3）若对任意的x 1，x 2∈[1, e]，(e 为自然对数的底数，e ≈2.718)都有f(x 1)≤g(x 2)，求实数a 的取值范围．已知动圆过点M(2, 0)，且被y 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 的直线交曲线C 于A ，B 两点，若在x 轴上存在定点P(a, 0)，使PM 平分∠APB ，求P 点的坐标．对于定义域为A 的函数f(x)，如果任意的x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N ∗上，函数值也在N ∗中的严格增函数，并且满足条件f （f(k)）=3k ． （I ）证明：f(3k)=3f(k)；（II ）求f(3k−1)(k ∈N ∗)的值；（III ）是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2012年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一.选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】将集合M中的元素0，1，3分别代入x=3a中计算，确定出集合N中的元素，得到集合N，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵合M={0, 1, 3}，N={x|x=3a, a∈M}，∴集合N中的元素为：0，3，9，即N={0, 3, 9}，则M∩N={0, 3}．故选C2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】先将z化为代数形式，确定好实部虚部，复数与复平面内点的对应关系得出对应的点的坐标．【解答】解：z=i(1−i)=i−i2=1+i，根据复数与复平面内点的对应关系，z对应的点为(1, 1)故选B．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查判断充要条件的方法，可以根据充要条件的定义判断，本题关键是复合命题真假的判断．【解答】解：由p且q是真命题知，p和q均为真命题，所以非p为假命题，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的充分条件；由非p为假命题知，p为真命题，但q真假不知，故无法判断p且q真假，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的不必要条件．故选A 4.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当条件满足时，用1n+s的值代替s得到新的s，并用n+2代替n、用i+1代替i，直到条件满足时，输出最后算出的s值．由此结合题意即可得到本题答案．【解答】解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到s=12，n=4，i=2；经过第二次循环得到s=12+14，n=6，i=3；经过第三次循环得到s=12+14+16，n=8，i=4；…看到S中最后一项的分母与i的关系是：分母=2(i−1)∴20=2(i−1)解得i=11时需要输出所以判断框的条件应为i>10．故选D．5.【答案】C【考点】圆的参数方程直线与圆的位置关系【解析】化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，和半径比较后即可得到结论．【解答】解：由{x=cosθy=1+sinθ(θ为参数，θ∈R)，得x2+(y−1)2=1．所以给出的圆C的圆心是(0, 1)，半径为1．又直线l:x−y−1=0，由点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离d=√12+(−1)2=√2>1．所以直线l与圆C的位置关系为相离．故选C．6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故只恰好有1门相同的选法有36−6−6=24种．故选C7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，其高为4，底面是一个等腰梯形，上下底边分别为2，8，高为4．据此即可得出体积‘【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，其高为4，底面是一个等腰梯形，上下底边分别为2，8，高为4．∴V=(2+8)×42×4=80．故选B．8.【答案】C【考点】椭圆的定义【解析】以椭圆G的一个顶点和一个焦点构成的线段的垂直平分线与椭圆的交点坐标都是满足条件的点M．【解答】解：设椭圆G:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，下顶点为B1，上顶点为B2，∵椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，∴A1F1、A1F2、A2F1、A2F2、B1F1、B2F1的垂直平分线与椭圆G的坐标都是满足条件的点M，∴满足条件的点M的个数是12个．故选C．二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上）【答案】4,6【考点】二项式定理的应用【解析】由题意可得C n1=C n3，故有1+3=n，求得n的值，从而求得展开式中间一项的系数【解答】解：若(x+1x)n展开式中第二项与第四项的系数相等，则得C n1=C n3，∴1+3=n，则n=4．展开式中间一项的系数为C42=6，故答案为4；6．【答案】1,2n−1【考点】数列递推式【解析】把n=1代入S n=2a n−1就可以求出a1的值；首先表示出s n−1，然后利用a n=s n−s n−1，即可求出通项公式．【解答】解：当n=1时，s1=2a1−1∴a1=1∵S n=2a n−1①∴s n−1=2a n−1−1②①-②得，a n=2a n−2a n−1∴a na n−1=2∴数列{a n}是以1为首项公比为2的等比数列∴数列{a n}的通项公式a n=2n−1故答案为1，2n−1．【答案】3√32【考点】与圆有关的比例线段【解析】连结BC，可得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，结合∠BAC=30∘且AB=6算出AC=3√3．由弦切角定理，得Rt△ADC中，∠DCA=∠B=60∘，从而算出CD=AC cos60∘=3√32，得到本题答案．【解答】解：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90∘∵∠BAC=30∘，AB=6，∴BC=12AB=3，AC=√32AB=3√3，∠B=60∘又∵直线CD切圆O于C，∴∠DCA=∠B=60∘因此，Rt △ADC 中，CD =12AC =3√32故答案为：3√32【答案】3【考点】 简单线性规划数量积的坐标表达式 【解析】首先画出可行域，z =OA →⋅OM →代入坐标变为z =x +2y ，即y =−2x +z ，z 表示斜率为−2的直线在y 轴上的截距，故求z 的最大值，即平移直线y =−2x 与可行域有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值即可． 【解答】解：如图所示：z =OA →⋅OM →=−2x +y ，即y =2x +z ，首先做出直线l 0:y =2x ，将l 0平行移动，当经过B(−2, −1)点时在y 轴上的截距最大，从而z 最大． 因为B(−2, −1)，故z 的最大值为z =2×2−1=3．故答案为：3．【答案】 √62【考点】 双曲线的特性 【解析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA ⋅k PB =12，即可求得结论． 【解答】解：由题意，设A(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)，则B(−x 1, −y 1)∴ k PA ⋅k PB =y 2−y 1x 2−x 1×y 2+y1x 2+x 1=y 22−y 12x 22−x 12∵ x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1，∴ 两式相减可得y 22−y 12x 22−x 12=b 2a 2∵ k PA ⋅k PB =12，∴ b 2a 2=12∴c 2−a 2a 2=12，∴c 2a 2−1=12∴ c 2a 2=32，∴ e =ca =√62故答案为：√62【答案】 ①、②、③ 【考点】全称命题与特称命题 【解析】利用特殊值法，先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案． 【解答】解：利用特殊值法进行求解．设U ={1, 2, 3}，A ={1}，B ={1, 2}．那么：对于①有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f C U A (1)=0，f C U A (2)=1，f C U A (3)=1．可知①正确； 对于②有f A (1)=1=f B (1)，f A (2)=0<f B (2)=1，f A (3)=f B (3)=0可知②正确；对于③有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f B (1)=1，f B (2)=1，f B (3)=0，f A∩B (1)=1，f A∩B (2)=0，f A∩B (3)=0．可知③正确；对于④有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f B (1)=1，f B (2)=1，f B (3)=0，f A∪B (1)=1，f A∪B (2)=1，f A∪B (3)=0可知．④不正确. 故答案为：①、②、③．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 【答案】解：（1）∵ 向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R)∴ f(x)=m →⋅n →=2cos 2x2−1=cos x ， ∵ x ∈R ，∴ f(x)=cos x 的值域为[−1, 1]． （2） f(A)=cos A =13，由余弦定理BC 2=AC 2+AB 2−2AC ⋅AB ⋅cos A ∴ 12=9+c 2−2×3×c ×13，即c 2−2c −3=0 ∴ AB =c =3． 【考点】 余弦定理数量积的坐标表达式【解析】(I 利用向量的数量积公式，结合二倍角公式化简函数，即可求函数f(x)的值域；（2）利用余弦定理，建立方程，即可求c 的值． 【解答】解：（1）∵ 向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R) ∴ f(x)=m →⋅n →=2cos 2x2−1=cos x ，∵ x ∈R ，∴ f(x)=cos x 的值域为[−1, 1]． （2） f(A)=cos A =13，由余弦定理BC 2=AC 2+AB 2−2AC ⋅AB ⋅cos A ∴ 12=9+c 2−2×3×c ×13，即c 2−2c −3=0 ∴ AB =c =3．【答案】（1） 证明：∵ 四边形是平行四边形，∴ ∠ACB =∠DAC =90∘， ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥DA ，又AC ⊥DA ，AC ∩PA =A ，∴ DA ⊥平面PAC ．（2）解：分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,0,0),B(1,−1,0),D(0,1,0),F(1,−12，0)，P(0,0,1) 设G 为PD 上一点，使CG // 平面PAF ，令PG →=λPD →=(0,λ,−λ)，(0≤λ≤√2)，GC →=PC →−PG →=(1,−λ,−1+λ) 设平面PAF 法向量为m →=(x,y,z) ∵ AP →=(0,0,1)，AF →=(1,−12,0) ∴ {z =0x −y 2=0∴ 可取平面PAF 法向量m →=(1,2,0)，要CG // 平面PAF ，∴ m →⋅GC →=0，解得λ=12． ∴ G 为PD 中点时，CG // 平面PAF ． （3）解：平面PCD 法向量为n →=(x′,y′,z′) ∵ PC →=(1,0,−1)，PD →=(0,1,−1)∴ {x′−z′=0y′−z′=0∴ 可取平面PCD 法向量n →=(1,1,1)， ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√155∴ 所求二面角的余弦值为√155． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 二面角的平面角及求法【解析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得AD ⊥AC ，再利用线面垂直的性质可得PA ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAF 法向量m →，要CG // 平面PAF ，可得m →⋅GC →=0，即可求得结论；（3）确定平面PCD 法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1） 证明：∵ 四边形是平行四边形，∴ ∠ACB =∠DAC =90∘， ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥DA ，又AC ⊥DA ，AC ∩PA =A ，∴ DA ⊥平面PAC ．（2）解：分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,0,0),B(1,−1,0),D(0,1,0),F(1,−12，0)，P(0,0,1)设G 为PD 上一点，使CG // 平面PAF ，令PG →=λPD →=(0,λ,−λ)，(0≤λ≤√2)，GC →=PC →−PG →=(1,−λ,−1+λ) 设平面PAF 法向量为m →=(x,y,z) ∵ AP →=(0,0,1)，AF →=(1,−12,0) ∴ {z =0x −y 2=0∴ 可取平面PAF 法向量m →=(1,2,0)，要CG // 平面PAF ，∴ m →⋅GC →=0，解得λ=12． ∴ G 为PD 中点时，CG // 平面PAF ． （3）解：平面PCD 法向量为n →=(x′,y′,z′) ∵ PC →=(1,0,−1)，PD →=(0,1,−1) ∴ {x′−z′=0y′−z′=0∴ 可取平面PCD 法向量n →=(1,1,1)， ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√155∴ 所求二面角的余弦值为√155． 【答案】解：（1）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ， 则P(A)=45×12=25=3690，P(B)=34×23=12=4590，P(C)=23×56=59=5090 P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．__________ （2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ， ∴ P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C) =25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．__________ （3）由题意可得X =0，1，2，3．， 可得P(X =0)=15×14×13=160，P(X =1)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960，P(X =2)=45×34×13+45×14×23+15×34×23=2660，P(X =3)=45×34×23=2460__________ 故X 的分布列为：∴ EX =0×160+1×960+2×2660+3×2460=13360； __________【考点】离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式【解析】（1）记“甲、乙、丙获得合格证书”分别为事件A 、B 、C ，由独立事件的概率分别可得P(C)，P(B)，P(A)，比较大小可得结论；（2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ，可得P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C)，由独立事件和互斥事件的概率公式可得；（3）由题意可得X =0，1，2，3，分别可得可得其对应的概率，进而可得X 的分布列为和数学期望EX ． 【解答】解：（1）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ， 则P(A)=45×12=25=3690，P(B)=34×23=12=4590，P(C)=23×56=59=5090 P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．__________ （2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ， ∴ P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C) =25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．__________ （3）由题意可得X =0，1，2，3．，可得P(X =0)=15×14×13=160，P(X =1)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960， P(X =2)=45×34×13+45×14×23+15×34×23=2660，P(X =3)=45×34×23=2460__________ 故X 的分布列为：∴ EX =0×160+1×960+2×2660+3×2460=13360； __________【答案】解：（1）f(1)=1−ln 1=1，f′(x)=1−1x ，则f′(1)=0，即切线斜率为0， 故曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y −1=0⋅(x −1)，即y =1； （2）ℎ(x)=f(x)+g(x)=x −ln x +x +a 2x=2x +a 2x−ln x ，定义域为(0, +∞)，∴ ℎ′(x)=2−a 2x 2−1x =2x 2−x−a 2x 2，令ℎ′(1)=0，解得a 2=1， 又a >0，∴ a =1， 经验证a =1符合条件．（3）对任意的x 1，x 2∈[1, e]都有f(x 1)≤g(x 2)成立，等价于对任意的x ∈[1, e]都有f max (x)≤g min (x)成立， 当x ∈[1, e]时，f ′(x)=1−1x =x−1x≥0，∴ f(x)在[1, e]上单调递增，f max (x)=f(e)=e −1．∵ g ′(x)=1−a 2x 2=(x−a)(x+a)x 2，x ∈[1, e]，a >0，∴ ①若0<a≤1，g′(x)≥0，g(x)=x+a2x在[1, e]上单调递增，∴g min(x)=g(1)=1+a2，∴1+a2≥e−1，解得√e−2≤a≤1．②若1<a<e，当1≤x<a时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2<0，当a≤x≤e时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2≥0，∴g(x)在[1, a)上递减，在[a, e]上递增，g min(x)=g(a)=2a≥f max(x)=e−1，解得a≥e−12，又1<a<e，∴a∈(1, e)③当a≥e时，g′(x)=(x−a)(x+a)x2≤0，∴g(x)在[1, e]上递减，g min(x)=g(e)=e+a2e≥f max(x)=e−1，∴a2≥−e恒成立．综上所述a∈[√e−2，+∞)．【考点】导数求函数的最值函数在某点取得极值的条件利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出切点坐标，切线斜率f′(1)，由点斜式即可求得切线方程；（2）写出ℎ(x)及其定义域，求出ℎ′(x)，由题意得ℎ′(1)=0，解出a值再进行验证即可；（3）对任意的x1，x2∈[1, e]都有f(x1)≤g(x2)成立，等价于对任意的x∈[1, e]都有f max(x)≤g min(x)成立，利用导数易判断f(x)在[1, e]上单调，从而可求得其最大值；求出导数g′(x)=(x−a)(x+a)x2，分0<a≤1，1<a<e，a≥e三种情况进行讨论可得g min(x)，然后解不等式f max(x)≤g min(x)可求得a的取值范围；【解答】解：（1）f(1)=1−ln1=1，f′(x)=1−1x，则f′(1)=0，即切线斜率为0，故曲线y=f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y−1=0⋅(x−1)，即y=1；（2）ℎ(x)=f(x)+g(x)=x−ln x+x+a 2x =2x+a2x−ln x，定义域为(0, +∞)，∴ℎ′(x)=2−a2x2−1x=2x2−x−a2x2，令ℎ′(1)=0，解得a2=1，又a>0，∴a=1，经验证a=1符合条件．（3）对任意的x1，x2∈[1, e]都有f(x1)≤g(x2)成立，等价于对任意的x∈[1, e]都有f max(x)≤g min(x)成立，当x∈[1, e]时，f′(x)=1−1x =x−1x≥0，∴f(x)在[1, e]上单调递增，f max(x)=f(e)=e−1．∵g′(x)=1−a2x2=(x−a)(x+a)x2，x∈[1, e]，a>0，∴ ①若0<a≤1，g′(x)≥0，g(x)=x+a2x 在[1, e]上单调递增，∴g min(x)=g(1)=1+a2，∴1+a2≥e−1，解得√e−2≤a≤1．②若1<a<e，当1≤x<a时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2<0，当a≤x≤e时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2≥0，∴g(x)在[1, a)上递减，在[a, e]上递增，g min(x)=g(a)=2a≥f max(x)=e−1，解得a≥e−12，又1<a<e，∴a∈(1, e)③当a≥e时，g′(x)=(x−a)(x+a)x2≤0，∴g(x)在[1, e]上递减，g min(x)=g(e)=e+a2e≥f max(x)=e−1，∴a2≥−e恒成立．综上所述a∈[√e−2，+∞)．【答案】解：（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)．依题意，有22+|x|2=(x−2)2+y2，化简得y2=4x．所以动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．所以y1+y2=4m，y1y2=−8．若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，所以2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．将y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，得(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，所以a=−2．故定点P的坐标为(−2, 0)．解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，联立{y=k(x−2)y2=4x，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4，∵PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，∴k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，(a≠2)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将y1=k(x1−2)y2=k(x2−2)代入上式，整理得k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)(x1−a)(x2−a)=0，∴k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)=0整理得2x1x2−(x1+x2)(2+a)+4a=0，将x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4代入化简得a=−2，故定点P的坐标为(−2, 0)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题圆锥曲线的轨迹问题【解析】（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)，利用垂径定理和两点间的距离公式即可得到22+|x|2=(x−2)2+y2，化简即可．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．得到根与系数的关系y1+y2=4m，y1y2=−8．由PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得k PA+k PB=0．利用斜率计算公式可得y1x1−a +y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，即2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．把y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，即可得到a的值；解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．②当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，与抛物线方程联立，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，得到根与系数的关系x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4；由已知PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得k PA+k PB=0．以下类比解法1．【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)．依题意，有22+|x|2=(x−2)2+y2，化简得y2=4x．所以动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．所以y1+y2=4m，y1y2=−8．若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，则有y1x1−a +y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，所以2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．将y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，得(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，所以a=−2．故定点P的坐标为(−2, 0)．解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，联立{y=k(x−2)y2=4x，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4，∵PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，∴k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，(a≠2)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将y1=k(x1−2)y2=k(x2−2)代入上式，整理得k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)(x1−a)(x2−a)=0，∴k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)=0整理得2x1x2−(x1+x2)(2+a)+4a=0，将x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4代入化简得a=−2，故定点P的坐标为(−2, 0)．【答案】解：(I)证明：∵对k∈N∗，f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=f(3k)①，由已知f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=3f(k)②，由①、②得f(3k)=3f(k)；（II）若f(1)=1，由已知f（f(k)）=3k得f(1)=3，矛盾；设f(1)=a>1，∴f（f(1)）=f(a)=3，③由f(k)严格递增，即1<a⇒f(1)<f(a)=3．，∴{f(1)≠1f(1)<3f(1)∈N∗，∴f(1)=2，由③有f（f(1)）=f(a)=3，故f（f(1)）=f(2)=3，∴f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3f(1)=6，f(6)=f(3⋅2)=3f(2)=9，f(9)=3f(3)=18，f(18)=3f(6)=27，f(27)=3f(9)=54，f(54)=3f(18)=81，…依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．下面用数学归纳法证明：（1）当k=1时，显然成立；（2）假设当k=l(l≥1)时成立，即f(3l−1)=2×3l−1，那么当k=l+1时，f(3l)=f(3×3l−1)=3f(3l−1)=3×2×3l−1=2⋅3l．猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对k∈N∗f(3k−1)=2×3k−1成立．（III）存在p=3k−1+1，当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．【考点】函数恒成立问题【解析】（I）证明：由f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=f(3k)①，再由f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=3f(k)②，联立①②可得结论．（II）由已知易判断f(1)=1不成立，设f(1)=a>1，则f（f(1)）=f(a)=3③，由f(k)严格递增，可判断f(1)=2，且f(2)=3，由此可推得f(3)=6，f(9)=3f(3)=18，f(27)=54，…，依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．再用数学归纳法证明即可；（III）由已知及(I)(II)知：当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．【解答】解：(I)证明：∵对k∈N∗，f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=f(3k)①，由已知f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=3f(k)②，由①、②得f(3k)=3f(k)；（II）若f(1)=1，由已知f（f(k)）=3k得f(1)=3，矛盾；设f(1)=a>1，∴f（f(1)）=f(a)=3，③由f(k)严格递增，即1<a⇒f(1)<f(a)=3．，∴{f(1)≠1 f(1)<3f(1)∈N∗，∴f(1)=2，由③有f（f(1)）=f(a)=3，故f（f(1)）=f(2)=3，∴f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3f(1)=6，f(6)=f(3⋅2)=3f(2)=9，f(9)=3f(3)=18，f(18)= 3f(6)=27，f(27)=3f(9)=54，f(54)=3f(18)=81，…依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．下面用数学归纳法证明：（1）当k=1时，显然成立；（2）假设当k=l(l≥1)时成立，即f(3l−1)=2×3l−1，那么当k=l+1时，f(3l)=f(3×3l−1)=3f(3l−1)=3×2×3l−1=2⋅3l．猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对k∈N∗f(3k−1)=2×3k−1成立．（III）存在p=3k−1+1，当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．。
2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷+答案解析
2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()A. B. C. D.3.设等差数列的前n项和为，若，，则()A.60B.80C.90D.1004.已知抛物线C：的焦点为F，点P为C上一点.若，则点P的横坐标为()A.5B.6C.7D.85.已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6.已知，是两个互相垂直的平面，l，m是两条直线，，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系xOy中，锐角以O为顶点，Ox为始边.将的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则()A. B. C. D.8.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式，其中是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数其大小取决于多种其他因素，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率当，S不变，v比原来提高时，下列说法正确的是()A.若C不变，则P比原来提高不超过B.若C不变，则P比原来提高超过C.为使P不变，则C比原来降低不超过D.为使P不变，则C比原来降低超过9.已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点若，，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有个小球，第三层有个小球⋯⋯依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市2012届高三各区二模数学(理)试题分类汇编十二、圆锥曲线1(选修2-1)
十二、圆锥曲线（选修2-1）1.（2012年朝阳二模理3）已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x=的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ C ）A ．6B ．2 C ．32 D ． 342.（2012年海淀二模理5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ C ）A ．0 B.1 C.2 D.3.（2012年丰台二模理10）已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．答案：4。
4.（2012年昌平二模理10）已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =. 答案：x y 21±=, 52。
5.（2012年东城二模理7）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为 （ D ）A ．2 2或2 D.26.（2012年西城二模理18）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（Ⅰ）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：（Ⅰ）依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． ………………1分将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=． …………3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-． ① ………………4分因为 2AF FB = ，所以 122y y =-． ② ………………5分联立①和②，消去12,y y，得4m =±． ………6分 所以直线AB的斜率是±． ………………7分（Ⅱ）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． ……… 9分 因为 12122||||2AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅- ………10分== ………12分所以 0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． …………13分 7.（2012年朝阳二模理19）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-.（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围.解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y12=-，整理得221(2x y x +=≠.所以动点E 的轨迹C的方程为221(2x y x +=≠. …5分（II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ……6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+.设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q ky k x k =-=-+， 所以2222(,)2121k kQ k k -++. ………9分由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++. 令0x =解得211212P k y k k k==++. ……10分当0k >时，因为12k k +≥0P y <≤= 当0k <时，因为12k k +≤-，所以04P y >≥=-2分 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[. ……13分 8.（2012年丰台二模理19）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P(x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5． 因为P(x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……4分 即 214y x =，所以 1'2y x =，点P(±4，4)，所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=． 所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y y m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l 的方程为 210y x =+． ………14分9.（2012年昌平二模理19）如图，已知椭圆M:)0(12222>>=+b a by a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1). (Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得AC PQ λ=成立？解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==,得 223b a = … 2分 )11(,B 点 在椭圆上11122=+b a 解得：34422==b ,a …… 4分故椭圆M 的方程为：143422=+y x … 4分（Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x-1)+1， y = -k (x-1) +1… 6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k … 8分 点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ……10分 ∴=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P)1,1(),0,2(--C A 31=∴AC k 即：AC PQ k k = ∴向量AC //PQ ，则总存在实数λ使AC PQ λ=成立. ………13分10.（2012年东城二模理18）已知抛物线C ：24x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M . 解：（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. …3分设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=． ……5分证明：（Ⅱ）设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ， 所以12MA x k =，22MB xk =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-． ……7分又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……9分因为2110(,1)4x MA x x =-+ ，2220(,1)4x MB x x =-+ ， 所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++ 2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++ 22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=.……13分所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ………14分11.（2012年海淀二模理18）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,)2-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a =……3分所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………4分（Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立.当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ?=-. 解得 54m =. ………6分 当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -.由于557(1,(1,424216+?-?，所以54m ?.下面证明54m =时，716QA QB ⋅=- 恒成立.……8分显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=- .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî………10分 因为 111x ty =+，221x ty =+， 所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+. 综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立.…13分。
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北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则U A B ð= A ．{}04x x ≤< B ．{}04x x <≤ C ．{}10x x -≤≤ D ．{}14x x -≤≤ 2.复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限 3.已知双曲线2215xym-=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6B ．2C ．32D ．344.在△ABC 中， 2AB = ，3AC = ，0AB AC ⋅< ，且△ABC 的面积为32，则B A C ∠等于A ．60或120B ．120C ．150D ．30或1505.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,4x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 6.下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ，=a ，2(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-；:r 若111adx =x⎰（1a >），则e =a . 其中所有的真命题是A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r 7.直线y x =与函数22,,()42,x m f x x x x m>⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[2,)+∞D ．(,1]-∞- 8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A. 1B.2C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.二项式25(+ax 展开式中的常数项为5，则实数a =_______.10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______.11.若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .（第10题图）12.如图，A B 是圆O 的直径，C D AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为A D 的中点，连接C E并延长交圆O 于F ．若CD =则A B =_______， E F =_________．13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加 投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资） 14.在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，则此数表中的 第5行第3列的数是 ；记第3行的 数3，5，8，13，22， ⋅⋅⋅ 为数列{}n b ，则数列 {}n b 的通项公式为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分） 已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M .（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△A B C 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ， 求()f A 的取值范围．16. （本小题满分13分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望.第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 …17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABC D 为正方形，⊥EA 平面ABC D ，//EF AB ， =4,=2,=1A B A E E F .（Ⅰ）若点M 在线段A C 上，且满足14C M C A =, 求证：//EM 平面F B C ； （Ⅱ）求证：⊥AF 平面E B C ； （Ⅲ）求二面角--A FBD 的余弦值. 18. （本小题满分14分） 已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤．19. （本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(0)A，0)B ，E 为动点，且直线E A 与直线E B 的斜率之积为12-.（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围. 20．（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a (,2)n n ∈≥*N 满足01==n a a ，且当n k ≤≤2()*N k ∈时，1)(21=--k k a a ，令1()nn ii S A a==∑．（Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能的值； （Ⅱ）求)(n A S 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=？若存在，求出数列n A ；若不存在，说明理由．ECBDMA F北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学答案（理工类） 2012.5一、选择题：9. 1 10. 13 11.1212.3 32**32100,020,,160,20,,N N x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈=⎨->∈⎩16 14. 16，121n n a n -=++三、解答题：15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由()12(cos 21)22f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()fx 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=， 解得12m =. ……5分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分所以2π03A <<，ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()84P A C +==.答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584.…4分（Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739281()843C C P B C ===.答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13. ……8分（Ⅲ）X 的取值为2,3,4,5.12212222391(2)21C C C C P X C+===， 12212424394(3)21C C C C P X C +===，12212626393(4)7C C C C P X C +===， 1218391(5)3C C P X C ===. ……11分所以X 的分布列为X 的数学期望143185234521217321E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……13分17. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）过M 作M N B C ⊥于N ，连结F N ，则M N //A B ，又14CM AC =，所以14M N A B =.又E F //A B 且14E F A B =，所以E F //M N ，且E F M N =，所以四边形E F N M 为平行四边形， 所以E M //F N .又F N ⊂平面FBC ，E M ⊄平面FBC ，所以//EM 平面F B C . ……4分（Ⅱ）因为⊥EA 平面ABC D ，⊥AB AD ，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A x y z.由已知可得 (0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F .显然=(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB .则=0,=0⋅⋅AF BC AF EB ， 所以,⊥⊥ AF BC AF EB .即,⊥⊥A F B C A F E B ，故⊥AF 平面E B C .E DCMAFBN（Ⅲ）因为E F //A B ，所以E F 与A B 确定平面EABF ，由已知得，=(0,4,0),=(3,0,-2) BC FB ，=(4,4,0)-BD . ……9分因为⊥EA 平面ABC D ，所以⊥EA BC . 由已知可得⊥A B B C 且= EA AB A ，所以⊥B C 平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量. 设平面D FB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x, 令2=x ，则(2,2,3)n =.所以cos <17,n n n⋅>==⋅BC BC BC 由题意知二面角A -FB -D 锐角，故二面角A -FB -D17. ……14分18. （本小题满分14分）解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >.()()22210a a f x x xx'=-+>.根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=，解得1a =-或32a =. ……3分 （II ）()()22222222()(2)10a a x ax ax a x a f x x xxxx+--+'=-+==>.（1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<. 所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减. （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-；由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. ……9分 （III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32ag a f a a a a a a a a=-=-+-=---.2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -'=-+-=--- ，令()0g a '=，得21e 2a =-.当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：21e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点.所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222最大值g a g =-=--⨯---2222131e ln e e e 222=-+=.所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立. ……14分19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y 12=-，整理得221(2xy x +=≠.所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2xy x +=≠. ………5分（II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212xy +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421kx x k +=+， 21222221k x x k -=+.设M N 的中点为Q ，则22221Q kx k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，所以2222(,)2121kk Q k k -++. ………9分由题意可知0k ≠，又直线M N 的垂直平分线的方程为22212()2121k ky x k kk +=--++.令0x =解得211212P k y k k k==++. .………10分当0k >时，因为12k k +≥04P y <≤=；当0k <时，因为12k k+≤-04P y >≥-=-. .………12分综上所述，点P纵坐标的取值范围是[,44-. .………13分20．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有： （1）01210,,,,.此时5()=4S A ；（2）01010,,,,.此时5()=2S A ； （3）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（4）01210,,,,.---此时5()=4S A -； （5）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（6）01010,,,,.--此时5()=2S A -； 所以，)(5A S 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分（Ⅱ）由1)(21=--k k a a ，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（n k ≤≤2，k ∈*N ），因为11n n n a a c ---=，所以 11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++11221n n a c c c c --==+++++ ．因为01==n a a ，所以1210n c c c -+++= ，且n 为奇数，121,,,n c c c - 是由21-n 个1和21-n 个1-构成的数列．所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++ 1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++ ． 则当121,,,n c c c - 的前21-n 项取1，后21-n 项取1-时)(n A S 最大，此时)(n A S 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++ 2(1)4n -=．证明如下：假设121,,,n c c c - 的前21-n 项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则121,,,n c c c - 的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤，112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t = ．所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++- 122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑．所以)(n A S 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c - 的前21-n 项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c - 的后21-n 项中恰有t 项12,,,tn n n c c c 取1，则21(1)()2()4tn iii n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()ti i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2-n 是奇数，而12()ti i i n m =-∑是偶数，因此不存在数列n A ，使得4)3()(2 -=nASn．……13分用心爱心专心- 11 -。