理论力学第8章_动量定理_48

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第八章 动量定理

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8.1 动量与冲量
一、质点的动量
物体的质量和它的质心速度的乘积。
r r 质点m的动量： p mv
r v
m
动量为矢量！
u r p
单位是 kg m s
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vC
C
p = pABx + pCDx + pBCx = 3mlw
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8.2 动量定理与动量守恒
m
z
r v
r a
y
一、质点动量定理 1、微分形式的动量定理
由牛顿第二定律 r d (mv) r F dt
x
r r
r F
o
r r 即: d (mv) Fdt r u dp r 或: F dt
2、积分形式 r t2 r r r p2 p1 Fdt I
t1
即：质点系的动量在一段有限时间间隔内的改变， 等于作用在质点系的所有外力在同一时间间隔内的 冲量的矢量和。 在 直角坐标轴上的投影式：
p2 x p1x I x p2 y p1 y I y p2 z p1z I z
A2
pCDDC ( A V t ) q tV V2 v 2 2 2 pABBA ( A1V1t )V1 qv tV1
mv2 x mv1x Fx dt I x
t1
t2
mv2 y mv1 y Fy dt I y
t1
t2
mv2 z mv1z Fz dt I z
t1
t2

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8.2 动量定理与动量守恒
3、质点的动量守恒
N x 201.5 30N
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例 NCEPU 电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的
质量为 m1 ，转子质量为 m2 。定子和机壳质心 O 1 ，转子质心 O ，O O e ，角速度 为常量
。求基础的水平及铅直约束力。
由于流体为定常流动 则p pCDDC p ABBA
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若进口截面AB与出口截面CD 的面积分别为A1、A2， 流体的流速分别为 V1、V2 ,
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A V1 1
qv A1V1 A2V2 常数
mBl xA (sin0 sin ) mA mB
得
x
mA g
r vA
vA
FA
r r vBA vB
mB l sin(0t ) xC mA mB
mB g
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r vA
C为初始时A的位置

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y方向因有外力，所以动量不守恒
Fy (m1 m2 ) g m2 e cos t
2
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NCEPU 例： 流体在管道内流动时产生的动压力
不可压缩流体在变截面的弯曲管中作定常流动
（即管内各点流动速度的分布不随时间变化。 管中流体每单位时间流过的体积，即体积流量 qv为常数）时管壁所受的动压力。
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现考虑质点系在微小时 间 间隔t内的动量变化 t时刻流体位置： ABCD
t t时刻流体位置：到达 ABCD
动量改变p应为: p p ABCD (t t时刻流体动量） pABCD （t时刻流体动量） （pABCD pCDDC ) ( pABBA pABCD )
解：选取胶带输送机上 的煤为质点系。
质点系受到的外力有： 胶带对煤的水平推力 N x， 铅直方向的反力 N y , 煤的重力G。 建立如图坐标系：
y
Ny
O
G
Nx
x
由质点系动量定理的微 分形式在 x轴上的投影式： dp x
dt
Nx
在dt时间内输入的煤的质量 为dM , 设煤进入胶带的速度为 u, 则煤在进入胶带的瞬时 ，动量为dM u，方向铅直向下；在 煤离开胶带的瞬间，动 量为dM v，方向水平向右。所以 在 时间dt内质点系沿水平方向的 动量的改变量为：
2 FN (mA mB ) g mB l 20 ( cos(t )sin 0 sin 2 (t ) cos )

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例：如图所示，胶带输 送机沿水平方向输送煤 72000 Kg / h，胶带的速度 NCEPU 为v 1.5m / s。求在匀速传动时，胶 带作用于煤上的水平推 力为多少？
mA g
dp y
dt p y m A 0 mB vBy
& mB l sin
Fy
r vA
FA
r r vBA vB
r mB g v A
dpy dt
2 mBl 20 cos(t )sin mBl 20 sin 2 (t )cos FN mA g mB g
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8.2 动量定理与动量守恒
说明：
1、外力影响质点系动量的变化，内力不能改变质 点系的总动量。
r r F N2 2 2、内力可以改变各质点的动量分配 r F1
r N1
（1）反座现象； （2）火箭的反推运动；
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2
1 2

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NCEPU 解： p m2 e
p x m2 e cos t
p y m2 e sin t
dp x Fx 由 dt dp y Fy m1 g m2 g dt
得
Fx m2 e 2 sin t
u r r 在 t1 t2 时间段内， 如果 F Fi 0 r r mv2 mv1 0 r r mv2 mv1 常矢量
同理：在 t1 t2时段内，如果 Fx Fix 0
mv2 x mv1x 0
mv2 x mv1x 常量
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8.2 动量定理与动量守恒
一、质点系动量定理 1、微分形式
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点Mi的质量为 u r mi，质点 M 所受的外力的合力为 F i ,所受的内力的合 r* 力为 Fi r r* d (mi vi ) Fi Fi (i 1, 2, L n) dt
对系内每个质点都写出如上等式，然后相加，得
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摆作平面运动
FA
r r vBA vB
mB g
r vA
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mA vAx mB vBx 0
& mA vA mB (vA l cos ) 0 & mB l cos
mA mB x t mB l 0 dxA mA mB 0 &cos dt
研究对象：弯管ABCD所包括流体的质点系

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受力分析： 1 、体积力：各质点的重 力，合力为 W;
2、表面力：作用在质点 系表面上的外力， 包括：管壁作用力的合 力N , 两截面AB和CD 处所受相邻流体的压力 P 1、P2

r I Ft

t2
t1 t2
Fx dt Fy dt Fz dt

t1 t2
t1
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8.1 动量与冲量
三、质点系的动量 质点系在某瞬时的动量，等于质点系中 各质点在同一瞬时动量的矢量和。
r 因第i质点的速度 r dri vi 可以表示为 dt
n
n
d d p = mi ri (Mrc ) Mvc dt i 1 dt
n
m
i 1

i 1
i i
M
i
质点系的动量等于质心速度与质点 系全部质量的乘积。
质点系由n个部分组成，动 量等于各个部分的质量与质 心数度乘积的矢量和。

r N r p = M I vCI
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8.1 动量与冲量
二、力（力系）的冲量 r
1、力为常矢量时
r r dI Fdt 2、力为变量时 元冲量 r t2 r F在（t1, t2 )时间内的冲量为 : I t Fdt 1 3、冲量在直角坐标系的投影
r r r r F Fx i Fy j Fz k
Ix Iy Iz
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8.2 动量定理与动量守恒
r dp 0 则 dt
3、质点系动量守恒定理
r 1、若 Fi 0
r 即：p 常矢量
2、若Fx Fix 0
I x 0, p2 x p1x 常量

I 1
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8.1 动量与冲量
例：四杆机构中，均质杆AB、CD长为l,质量为m，BC长为2l， 质量为2m，图示瞬时，AB角速度为，且与CD平行， 试求此时系统的动量。
解：分析各部件质心的运动特点 各部件质心速度都是水平方向
vB
B
D
v AB
ω A
vBC
vCD
l pABx m 2 l pCDx m 2 pBCx 2ml
8.2 动量定理与动量守恒
4、解题步骤：
1、选取研究对象； 2、进行受力分析，画受力图及坐标轴；
3、进行运动分析（用到运动学知识）；
4、用动量定理的投影式求解未知量；
5、如外力的合力为零，或外力合力在某一座标轴
上的投影为零，则可用动量守恒定理。

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r r r r* d d (mi vi ) ( mi v i ) Fi Fi dt dt r r r* dp 质点系微分形 Fi 而 Fi 0 式的动量定理 dt