高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式本讲知识归纳与达标验收同步配套教学案新人教A版选修4_5

第三讲 柯西不等式与排序不等式对应学生用书P37 考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验1．(陕西高考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且 a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，将已知代入得m 2＋n 2≥5⇒ m 2＋n 2≥5，当且仅当“a m ＝bn”时等号成立．答案： 52．(福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3.对应学生用书P37柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．[例1] 已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证： 1a2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da. [证明] 由柯西不等式(1a2＋1b2＋1c 2＋1d 2)(1b 2＋1c 2＋1d 2＋1a 2)≥(1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da)2，于是1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝a d⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．[例2] 设a ，b ，c 为实数，求证：a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10. [证明] 由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab.由排序不等式：顺序和≥乱序和得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.①又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．[例3] 已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．[解] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(5a )2＋(3b )2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b 即a ＝38，b ＝58时取等号．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.[例4] 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [解]不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1 x 3，…，1x n ，1x 1为序列{1x n }的一个排列． 根据排序不等式，得F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 21·1x 1＋x 22·1x 2＋…＋x 2n ·1x n＝x 1＋x 2＋…＋x n＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝P n时取等号．即F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2nx 1的最小值为P .对应学生用书P51(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝16，则1a ＋1b的最小值是( )A.14 B ．18C.116D.12解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·1b 2＝4，∴1a ＋1b ≥14. 当且仅当a ·1b＝b ×1a，即a ＝b ＝8时取等号． 答案：A2．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19解析：由柯西不等式得(22＋32＋42)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 即x 2＋y 2＋z 2≥10029.当且仅当x 2＝y 3＝z4时，取到最小值，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.答案：B3．已知a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝32，则a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．6 2解析：∵a ，b ，c 为正数．∴ 2 a 2＋b 2＝1＋1 a 2＋b 2≤a ＋b . 同理 2 b 2＋c 2≤b ＋c ， 2 c 2＋a 2≤c ＋a ，相加得 2 (a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2)≤2(b ＋c ＋a )＝62， 即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≤6.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号． 答案：C4．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21 B ．11 C ．18D ．28解析：根据柯西不等式得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2，∴(3x ＋4y －11)2≤100. 可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 答案：A5．已知：a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值为( )A ．1 B. 3 C ．3D ．4解析：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c＝[(a ＋b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b＋c ·1c 2＝22＝4.当且仅当a ＋b ＝c 时取等号． 答案：D6．函数f (x )＝2x －1＋6－3x 的最大值为( ) A.15 B.30 C.1230 D ．215解析：易知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2且f (x )>0， ∴f (x )＝2·x －12＋3·2－x≤ 22＋32]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋2－x2＝5×32＝1230.当且仅当2·2－x ＝3·x －12，即2(2－x )＝3(x －12)．即x ＝1110时等号成立．答案：C7．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( )A. 5B. 3 C ．2 3D.32解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13，∴(a ＋b ＋2c )2≤3.即当且仅当a ＝b ＝4c 时等式成立，所求为 3. 答案：B8．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：由f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ， 所以f (x )＝ 2 sin 2x ＋cos x ≤＋2x ＋cos 2x＝ 3.当且仅当cos x ＝33时取等号． 答案：A9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c ∈R ＋，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a的最小值为( ) A ．1 B ．3 C ．6D ．9解析：∵a ＋b ＋c ＝1， ∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a＝2(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9.答案：D10．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 的最小值是( )A.1nB ．nC ．1D ．不能确定解析：不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n ，1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，又反序和≤乱序和，所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n .答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中横线上) 11．x ，y ∈R ，若x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________． 解析：令a ＝(1,1)，b ＝(x ，y )，则a ·b ＝x ＋y ＝1， 又|a·b |≤|a ||b |，∴1≤(12＋12)2·(x 2＋y 2)2＝2(x 2＋y 2)．当且仅当x ＝y ＝12时取等号．∴x 2＋y 2≥12.答案：1212．已知A ，B ，C 是三角形三个内角的弧度数，则1A ＋1B ＋1C的最小值是________．解析：(A ＋B ＋C )⎝ ⎛⎭⎪⎫1A ＋1B ＋1C ≥(1＋1＋1)2＝9，而A ＋B ＋C ＝π，故1A ＋1B ＋1C ≥9π，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立．答案：9π13．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________． 解析：y ＝2×4－2x ＋2x －3≤22＋－2x ＋2x －＝ 3.当且仅当x ＝53时取等号．答案： 314．已知a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与yy ＋b 的大小关系是________．解析：∵1a ＞1b ，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，由排序不等式知，bx ＞ay .又xx ＋a －yy ＋b＝bx －ay x ＋a y ＋b ＞0，∴x x ＋a ＞yy ＋b.答案：xx ＋a ＞yy ＋b三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1. 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.∴－23≤c ≤1.16．(本小题满分12分)求函数y ＝1－sin x ＋4sin x －1的最大值． 解：由1－sin x ≥0,4sin x －1≥0， 得14≤sin x ≤1， 则y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋2sin x －142≤(1＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋sin x －14 ＝154，即y ≤152， 当且仅当4(1－sin x )＝sin x －14即sin x ＝1720时等号成立，所以函数y ＝1－sin x ＋4sin x －1的最大值为152. 17．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋， 求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥a ＋b ＋c2.证明：∵[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c ·a b ＋c ＋c ＋a ·b c ＋a ＋a ＋b ·c a ＋b 2＝(a ＋b ＋c )2，即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥(a ＋b ＋c )2. 又∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥a ＋b ＋c2.18．(本小题满分12分)(1)已知：a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝4，证明：1a ＋1b≥1；(2)已知： a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝9，证明：1a ＋1b ＋1c≥1；并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)．证明：(1)根据柯西不等式：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·1b 2＝4，∵a ＋b ＝4， ∴1a ＋1b≥1.(2)根据柯西不等式：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·1b＋c ·1c 2＝9，∵a ＋b ＋c ＝9，∴1a＋1b＋1c≥1.可以推广：若a1＋a2＋…＋a n＝n2，则1a1＋1a2＋…＋1a n≥1.11。