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湘教版高中数学选修4-4课件 1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
AB
1
1 2
2
0
3 2 2
3
小结： 1、极坐标化为平面直角坐标； 2、平面直角坐标化为极坐标.
谢谢！
任何朋友都是暂时的，只有利益是永恒的。敌人变成朋友多半是为了金钱，朋友变成敌人多半还是为了金钱。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。 如果要飞得高，就该把地平线忘掉。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 一份耕耘，份收获，努力越大，收获越多。 蝴蝶如要在百花园里得到飞舞的欢乐，那首先得忍受与蛹决裂的痛苦。 如果你很聪明，为什么不富有呢？ 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 成功永远属于一直在跑的人。 日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。 勤学和知识是一对最美的情人。 如果知识不是每天在增加，就会不断地减少。 能克服困难的人，可使困难化为良机。 你要结交敢于指责你缺点，当面批评你的人，远离恭维你缺点，一直对你嘻嘻哈哈的人！ 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 为中华之崛起而读书。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。
极坐标与平面直角坐标的互化
教学目标：
能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2kπ+θ)
湘教版高中数学选修4-5：不等式选讲-第5章 三个重要不等式 复习课件
谢谢
专题二：利用柯西不等式求最值。
• [考情分析] • 柯西不等式是除平均值不等式外求解含多个变量式
子最值的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一 工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进 行配凑，以保证出现常数结果。高考一般在选考题 中考查。
[高考冲浪]
1．设 x，y，z∈R，且满足 x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝ 14，
解析：由柯西不等式，得 (a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥ (a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36 ∴a2＋4b2＋9c2≥12.故a2＋4b2＋9c2的最小值为12 答案：12
3．已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c 的最 小值为 4.
（1）求 a＋b＋c 的值． （2）求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．① 同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．② 综合①②，原不等式成立．
（2）由题设及（1），知 a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)． 由排序不等式，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a) ＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c －b)＋ca(a－c)，①
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b) ＋cb(b－c)．②
将①和②相加再除以2，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
专题四：贝努利不等式的应用。
∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立， ∴f(x)的最小值等于3，即a＝3. （2）证明：由(1)知p＋q＋r＝3， 又∵p，q，r是正实数， ∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 即p2＋q2＋r2≥3.
高中数学选修4-5全册配套ppt课件.2
由柯西不等式得 (1 a2 1 b2 c2 ) (4+9+1)
49
≥ (a 2 b 3 c1)2 =(a+b+c)2=16,
23
即 1 a2+ 1 b2+c2≥ 8 ,
4
9
7
当且仅当
1a 2
1b 3
c
,
2 31
即 a 8，b 18，c 2 时等号成立,
7
7
【证明】左边=
a12
a22
a2 n1
an2
a1 a2 a2 a3
an1 an an a1
=[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]×
【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥ ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数) 【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2) ≥(ab+bc+cd+da)2, 所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.
当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b= 1 ,c= 1 时等号
2
4
成立,
所以 a 1 2b 1 4c 1 的最大值为3 2 .
【方法技巧】利用柯西不等式求最值的方法技巧 利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数 的最值问题,其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧 拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式 的结构特征且出现常数结果,同时要注意等号成立的条 件.
高中数学选修4-5课件：本讲小结4
第四讲数学归纳法证明不等式知识框图—原理数学归纳法|—匚应用方法总结利用数学归纳法证明的几类问题1.有关恒等式的证明问题用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+\时命题成立，从n = k+l的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化（即用k+1代替恒等式中的n）.2.有关整除与几何问题数学归纳法可以用来证明有关整除问题，几何方面的问题，证明的关键是寻求＞+1）与/伙）之间的递推关系，基本策略是"硬凑假设”即从金+1）中将张）分离出来，或者从特例入手，发现规律, 或用＞+!）-»看由n=k到”=k+l的变化情况.3.有关不等式的证明问题证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活，它往往结合综合法，分析法，比较法外，放缩法更显得重要，用数学归纳法证明的第二步，由假设_AQ>g伙）成立，推证金+l）>g 伙+ 1）.对这一条件不等式的证明，应灵活运用证明不等式的常用方法，其基本格式为_Ak+l+ A伙）〉g伙）+ A（Q>g伙+1）.具体证明过程中应注意以下几点：(1)瞄准当n=k^ 1时的目标，一切变换都向目标推进;(2)要把假设作为条件用上一次或几次；(3)活用起点的位置.4.有关归纳、猜想、证明问题数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是用不完全归纳法对一些具体的简单的情形进行观察，类比而提出的.他的可靠性就要用数学归纳法来证明，问题一般分为三步进行：验证：(l)P(l), P(2), P(3)…;(2)提出猜想；(3)用数学归纳法证明.简称为“归纳、猜想、证明”，是近几年高考的热点之一.专题探究开放性问题【例1】是否存在常数a, b, c,使得1-22+2-32+342+-fi（n -J-1）+〃（〃+1）2= Y2（初，+%+c）对一切〃WN+都成立？证明你的结论.【分析】此题可用归纳、猜想、证明来思考，先赋给〃值, 看a, b, c是否存在.【解】假设存在心4 C使题设等式成立，令斤=123时,4=6(a + b+c)，解得 a = 3, b=\\, c=10.22=q(4°+2b+c),70 = 9tz + 3b+c,•:当n = 1,2,3 时，等式1-22 + 2-32 + …+ n(n + l)2n(n + 1 )(3/ +11/1+10)12成猜想等式对H GN+都成立.立,12【证明】记5, = b22+2.32+-• +斤(斤+1)2.①当川=1,2,3时，上面已证.②假设兀=£时，猜想等式成立.心+1)(3泾+11£+10)12贝！J当n=k-\-l时,S R +I =S R +伙 +1)伙+2)2= —(3疋+1 \k~\~ 10) + 伙+1)伙+2)2警評伙+2)(3£+5) +伙 +1)伙+2)2当n = k-\r 1时，等式也成立.伙+1)伙+2) 12(3泾 + 5£+12£+24) 伙+1)伙+2) 12[3 伙+1尸+11 伙+1)+10].综上所述，当a = 3, b=ll, 均成立.=10时，题设的等式对nWM规律技巧对于开放性I可题’思路是先假设命题成立（或存在）进行推理，若推出矛盾，说明不存在.【例2】已知数列｛。
高中数学选修4-5全册配套ppt课件.3
三 排序不等式
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_. (2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_nb_1_.
3
【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如 何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都 是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤_a_1_b_1_+_a_2b_2_+_…__+_a_n_b_n ,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_. (2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_nb_1_.
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【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如 何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都 是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤_a_1_b_1_+_a_2b_2_+_…__+_a_n_b_n ,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
数学课件：4-5-3定积分的概念
(3)积零成整，精益求精，作和Sn＝I1＋I2＋…＋In ＝1n·[(1n)3＋(2n)3＋…＋(nn)3] ＝n14(13＋23＋…＋n3)＝n14·[nn＋ 2 1]2＝14(1＋1n)2. 当n趋于无穷大时，Sn趋于14，由上可知：1x3dx的值为14.
0
要点二 定积分的几何意义 例2 说明定积分22xdx的几何意义，并根据几何意义求出定积
当n趋于无穷大时，Sn趋于12(b2－a2)． 由上可知bxdx的值为12(b2－a2)．
a
规律方法 用定义计算定积分问题，只要按 照化整为零，插入等分点；以直代曲，估计 误差；积零成整，精益求精这三个步骤完成 即可．
跟踪演练1 利用定积分定义计算1x3dx. 0
解 (1)化整为零，插入等分点． 将区间[0,1]n等分，则每一个小区间长为Δx＝1n. (2)以直代曲，估计误差． 在小区间上取点Zi＝ni (i＝1,2，…，n)， ∴Ii＝(ni )3·1n(i＝1,2，…，n)．
．
3．定积分的物理意义
(1)当f(x)是表示速度关于时间x的函数时，bf(x)dx表示的是 a 运动物体从x＝a到x＝b时所走过的路程 ．
(2)当f(x)是表示力关于位移x的函数时，bf(x)dx表示的是
a
运动物体从x＝a到x＝b时所做的功
.
要点一 利用定积分定义进行计算 例1 利用定积分定义计算bxdx的值．
a
解 (1)化整为零，插入等分点． 将区间[a，b]n等分，则每一个小区间长为Δx＝b－n a.
(2)以直代曲，估计误差． 在小区间上取点Zi＝a＋ib－n a(i＝1,2，…，n)， ∴Ii＝[a＋ib－n a]·b－n a.
(3)积零成整，精益求精． 作和Sn＝I1＋I2＋…＋In ＝b－n a[na＋b－n a(1＋2＋…＋n)] ＝b－n a[na＋b－n a·nn＋2 1] ＝(b－a)·a＋b－a22nn2 2＋n ＝(b－a)·a＋b－2 a2·(1＋1n)．
【创新设计】高考数学一轮总复习 选修4-5 不等式选讲(22张ppt)课件 理 湘教版
考向一 含绝对值不等式的解法
【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值．
－x－5
x＜－12，
解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝3x－3 －12≤x＜4，
x＋5 x≥4.
当 x＜－12时，由 f(x)＝－x－5＞2 得，x＜－7.∴x＜－7；
解得 5＜b＜7.
答案 (5,7)
5．(2012·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立， 则实数a的取值范围是________．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案 [－2,4]
－1，x≥－12，
所以|h(x)|≤1，因此k≥1. 故k的取值范围是[1，＋∞)．
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值 的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然 后利用数形结合解决，是常用的思想方法． (2)f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
【训练3】 (2012·辽宁)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}．
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围是[－3,0]．
考向二 绝对值不等式的证明
所以aa－ ＋33＝ ＝－ 5，1， 解得 a＝2.
湘教版高中数学选修4-5：不等式选讲-第4章 平均值不等式 复习课件
解：剪下的三个全等的四边形如图所示， 设 A1F1＝x，则 AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x.
∴V＝ 43(36－2 3x)2·x
＝3
2
3 (6
3－x)(6
3－x)·2x.
∵0＜x＜6 3，∴6 3－x＞0.
又(6 3－x)＋(6 3－x)＋2x＝12 3，
∴当且仅当 6 3－x＝2x，
若 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求证：a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92.
证明：∵a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，
∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2.
∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a
≥
3
3
a＋bb＋cc＋a×3
证明：∵a＞0，b＞0，a3＋b3＝2，∴2＝a3＋b3≥2 a3b3.
故 ab≤1，当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立．
又
a
＋
b
＝
a×1×1
＋
b×1×1≤
a3＋1＋1 3
＋
b3＋1＋1 3
＝
a3＋3b3＋4＝63＝2，
当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立，
∴a＋b≤2，ab≤1.
二、用平均值不等式求最值。
∵p，q，r均不相等，∴等号不成立． ∴t1＜t2，甲先到达B地．
【点评】解决实际应用问题，关键是找出各变量之间的 关系，建立数学模型，从而将实际问题转化为数学问 题．本例中的数学问题，就是用平均值不等式比较两数 的大小．
变式训练
4．甲、乙是两位粮食经销商，他们每次都会在同 一粮食生产基地以相同的价格购进粮食。某月，他 们共购粮食3次，各次的价格不同，甲每次购 10000kg的粮食，乙每次购10000元的粮食，谁的购 粮方式更经济？ 解：设他们3次购粮的单价分别为每千克a1，a2，a3 元(a1，a2，a3互不相等)。
∴V＝ 43(36－2 3x)2·x
＝3
2
3 (6
3－x)(6
3－x)·2x.
∵0＜x＜6 3，∴6 3－x＞0.
又(6 3－x)＋(6 3－x)＋2x＝12 3，
∴当且仅当 6 3－x＝2x，
若 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求证：a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92.
证明：∵a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，
∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2.
∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a
≥
3
3
a＋bb＋cc＋a×3
证明：∵a＞0，b＞0，a3＋b3＝2，∴2＝a3＋b3≥2 a3b3.
故 ab≤1，当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立．
又
a
＋
b
＝
a×1×1
＋
b×1×1≤
a3＋1＋1 3
＋
b3＋1＋1 3
＝
a3＋3b3＋4＝63＝2，
当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立，
∴a＋b≤2，ab≤1.
二、用平均值不等式求最值。
∵p，q，r均不相等，∴等号不成立． ∴t1＜t2，甲先到达B地．
【点评】解决实际应用问题，关键是找出各变量之间的 关系，建立数学模型，从而将实际问题转化为数学问 题．本例中的数学问题，就是用平均值不等式比较两数 的大小．
变式训练
4．甲、乙是两位粮食经销商，他们每次都会在同 一粮食生产基地以相同的价格购进粮食。某月，他 们共购粮食3次，各次的价格不同，甲每次购 10000kg的粮食，乙每次购10000元的粮食，谁的购 粮方式更经济？ 解：设他们3次购粮的单价分别为每千克a1，a2，a3 元(a1，a2，a3互不相等)。
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引言
最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件Biblioteka 第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
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最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件目录
0002页 0092页 0130页 0209页 0266页 0326页 1168页 1201页 1230页 1301页 1399页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
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引言
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第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
最新人教版高三数学选修4－5全 册课件【完整版】目录
0002页 0056页 0116页 0143页 0209页 0248页 0292页 0325页 0337页 0408页 0506页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
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2.基本不等式
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3.三个正数的算术-几何平均不 等式
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