2016年秋季新版冀教版九年级数学上学期第24章、一元二次方程单元复习试卷5
九年级数学上册《第二十四章 一元二次方程》单元测试卷及答案(冀教版)
九年级数学上册《第二十四章 一元二次方程》单元测试卷及答案（冀教版）班级 姓名 学号一、单选题(共10小题，满分40分)1．在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了55次手，则参加会议的人数为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．对于任意实数m ，方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝6的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有实数根且都是正数 D ．有两个不相等的实数根3．如果关于x 的方程220x x c ++=没有实数根，那么c 在2、1、0、3-中取值是（ ）A ．2；B ．1；C ．0；D ．3-．5．已知关于x 的方程ax 2﹣x ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≠0B ．a ≤0C ．a ＞0D ．全体实数6．如果关于x 的方程22160x k +-=和23120x k -+=有相同的实数根，那么k 的值是（）A ．－7B ．－7或4C ．7D ．47．已知2是关于x 的方程：230x x a -+=的一个解，则21a -的值是（ ）．A ．5B ．－5C ．3D ．－38．下列方程中为一元二次方程的是（ ）9．若分式的值为0，则x 的值为（ ）A ．-1或-4B ．-1C ．-4D ．无法确定二、填空题（共8小题，满分32分）三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分）19．解下列方程：(1)2(2)3(2)x x x-=-；(2)2x x--=361020．请将下列解答过程补充完整：南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”解：设矩形田地的长为x步，则宽为______步依题意，可列方程为______整理得______解得______∴______答：______．参考答案：1．C2．D3．A4．A5．D6．D。
九年级上册数学单元测试卷-第24章 一元二次方程-冀教版(含答案)
九年级上册数学单元测试卷-第24章一元二次方程-冀教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为1，则另一个根为（）A.5B.4C.3D.22、已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A.a＜﹣1B.a≠0C.a＜1且a≠0D.a＜﹣1或a≠03、方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.6，2，9B.2，－6，9C.2，－6，－9D.2，6，－94、两个实根之和为3的一元二次方程是（）A.2x 2﹣3x+1=0B.x 2+1=3xC.x 2﹣3x+4=0D.3x 2+9x﹣1=05、若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围（）A. ，且k 1B. ，且k 1C.D.6、已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A.m＞B.m≥C.m＞且m≠2D.m≥且m≠27、欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图，解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝.则该方程的一个正根是( )A.AC的长 B.AD的长C.BC的长D.CD的长8、下列说法中，正确的说法有（）①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；②一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的根是x1=4，x2=﹣1；③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④一元一次不等式2x+5＜11的正整数解有3个；⑤八边形内角和是外角和的4倍．A.1个B.2个C.3个D.4个9、若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（）．A.-2B.2C.-2或2D.010、若二次函数y=x -4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为常数，则C的取值范围是（）A.c<4B.c≤4C.c﹥4D.c≥411、若3是关于方程x2－5x＋c＝的一个根，则这个方程的另一个根是（）A.－2B.2C.－5D.512、对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个（）A.正数B.非负数C.整数D.不能确定的数13、关于x的一元二次方程的根的情况是( )A.方程没有实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.以上答案都不对14、方程4x2＝81的一次项系数为（）A.4B.0C.81D.﹣8115、某公司今年销售-种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同，设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为( )A.10(1+x) 2=36.4B.10+10(1+x)2=36.4 C.10+10(1+x)+10(1+2x)=36.4 D.10+10(1+x)+10(1+x)2=36.4二、填空题(共10题，共计30分)16、若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，则m的取值范围是________．17、六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有________名同学．18、关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+ k2﹣1=0的两根互为倒数，则k的值是________．19、若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝________.20、若1是的解，则________．21、若x1， x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝________.22、已知方程的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的外接圆半径为________．23、关于x的一元二次方程2x2+kx+ =0有两个相等的实数根，则k 的值是________.24、某学校的校园超市4月份的销售额为16万元，6月份的销售额达到了25万元，5、6月份平均每月的增长率为________ ．25、写出一个有两个相等实数根的一元二次方程：________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程．27、如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长18米，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，且围成的鸡场面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？28、有一个边长为9 cm的正方形和一个长为24 cm、宽为6 cm的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少厘米？29、数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？30、某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、B4、B5、A6、C7、B8、B9、A10、C11、B12、A13、A14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、30、。
冀教版初三数学上册第二十四章一元二次方程测试卷
冀教版初三数学上册第二十四章 一元二次方程测试卷一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列方程中，是一元二次方程的有( )①x2＝0；②ax2＋bx ＋c ＝0；③3x2＝x ；④2x(x ＋4)－2x2＝0；⑤(x2－1)2＝9；⑥1x2＋1x －1＝0.A ．2个B .3个C .4个D .5个2．将一元二次方程x2－4x ＋3＝0配方可得( ) A ．(x －2)2＝7 B .(x －2)2＝1 C .(x ＋2)2＝1 D ．(x ＋2)2＝23．已知x ＝1是关于x 的一元二次方程(m －1)x2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B .－1C .0D .无法确定4．若关于x 的方程x2－x ＋a ＝0有实数根，则a 的值能够是( ) A ．2 B .1 C .0.5 D .0.255．若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－13x ＋36＝0的根，则那个三角形的周长为( )A ．13B .15C .18D .13或186．小红按某种规律写出4个方程：①x2＋x ＋2＝0；②x2＋2x ＋3＝0；③x2＋3x ＋4＝0；④x2＋4x ＋5＝0.按此规律，第五个方程的两个根为( )A ．－2，3B .2，－3C .－2，－3D .2，37．若关于x 的一元二次方程x2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a2－ab ＋b2＝18，则a b ＋ba 的值是( )A ．3B .－3C .5D .－58．某商店购进一种商品，每件的进价为30元．试销中发觉这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P ＝100－2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，依照题意，下面所列方程正确的是( )A ．(x －30)(100－2x)＝200B .x(100－2x)＝200C .(30－x)(100－2x)＝200D .(x －30)(2x －100)＝200二、填空题(每小题4分，共24分)9．把方程(2x ＋1)(x －2)＝5－3x 整理成一样形式得____________，其中一次项系数为______．10．若(m ＋1)x|m －1|＋5x －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为________．11．若关于x 的方程x2＋(k －2)x ＋k2＝0的两根互为倒数，则k ＝________．12．一个长方形的长比宽多4 cm ，面积为60 cm2，则它的周长为______ cm.13．关于x 的方程kx2－4x －4＝0有两个不相等的实数根，则k 的最小整数值为________．14．小明发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6.现将实数对(m ，－2m)放入其中，得到实数2，则m ＝________．三、解答题(共44分)15．(9分)用适当的方法解下列方程：(1)12(x ＋1)2－6＝0； (2)2x2－5x ＋2＝0； (3)x2＋25x ＋2＝0.16．(8分)如图24－Z －1，要建一个面积为150 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边沿用原先的一堵墙，墙长为a m ，其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为35 m.(1)假如a ＝40，那么养鸡场的长和宽各为多少米？(2)假如a 是一个能够变化的量，那么墙的长度a 对所建的养鸡场有如何样的阻碍？图24－Z－117．(8分)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优待，决定在原定票价基础上每张降价80元，如此按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．(1)求每张门票的原定票价；(2)依照实际情形，活动组织单位决定关于个人购票也采取优待政策，原定票价通过连续两次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．18．(8分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件的价格销售，售出了200件；第二个月假如单价不变，估量仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，依照市场调查发觉，该T恤的单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月终止后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为4 0元/件，设第二个月单价降低x元．(1)(2)假如批发商期望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应为多少？19．(11分)如图24－Z－2所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB ＝5 cm，BC＝7 cm，点Q从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点P从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动，假如点Q，P 分别从A，B两点同时动身，当一动点运动到终点，另一动点也随之停止运动．(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)几秒后，PQ的长度等于210 cm?(3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？试说明理由．图24－Z－21．A 2.B 3．B . 4．D5．A6．C 7．DA9．2x2－7＝0 0 10．3 －112．32 13．114．3或－115．解：(1)用直截了当开平方法比较简便． 12(x ＋1)2－6＝0，整理，得(x ＋1)2＝12， 开平方，得x ＋1＝±2 3，因此x1＝－1＋2 3，x2＝－1－2 3.(2)用因式分解法或公式法均可，但因式分解法比较简便． 法一：因式分解法． 2x2－5x ＋2＝0,原方程可变形为(x －2)(2x －1)＝0， 因此x －2＝0或2x －1＝0，因此x1＝2，x2＝12. 法二：公式法． 2x2－5x ＋2＝0.因为a ＝2，b ＝－5，c ＝2， 因此b2－4ac ＝9>0，代入公式，得x ＝－b ±b2－4ac 2a ＝5±92×2＝5±34，因此原方程的解为x1＝2，x2＝12. (3)用公式法比较简便．x2＋2 5x ＋2＝0，因为a ＝1，b ＝2 5，c ＝2，因此b2－4ac ＝12>0，代入公式，得x ＝－b ±b2－4ac 2a ＝－2 5±2 32＝－5± 3.因此原方程的解为x1＝－5＋ 3，x2＝－5－ 3.16．解：(1)设养鸡场与墙垂直的一边长为x m ，则与墙平行的一边长为(35－2x)m.依照题意，得x(35－2x)＝150. 解那个方程得x1＝10，x2＝7.5. 当x ＝10时，35－2x ＝15； 当x ＝7.5时，35－2x ＝20.答：养鸡场的长、宽分别为20 m ，7.5 m 或15 m ，10 m.(2)当a ＜15时，问题无解；当15≤a ＜20时，问题有一解，即可建成长为15 m 、宽为10 m 的养鸡场；当a ≥20时，问题有两解，即可建成长为15 m ，宽为10 m 或长为20 m ，宽为7.5 m 的养鸡场．17．解：(1)设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为(x －80)元．依照题意，得 6000x ＝4800x －80， 解得x ＝400.经检验，x ＝400是原方程的根，且符合题意． 答：每张门票的原定票价为400元．(2)设平均每次降价的百分率为y.依照题意，得400(1－y)2＝324， 解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9(不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为10%.18．(2)等量关系为总售价－总进价＝9000元．把相关数值代入运算即可．解：(1)填表如下．(2)80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40×[800－200－(200＋10x)]－800×50＝9000，即x2－20x ＋100＝0，解得x1＝x2＝10. 当x ＝10时，80－x ＝70.答：第二个月的单价应为70元/件． 19．解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积等于4 cm2. 现在，AQ ＝x cm ，QB ＝(5－x)cm ，BP ＝2x cm. 由12BP ·QB ＝4，得12×2x(5－x)＝4， 即x2－5x ＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4(不合题意，舍去)． 因此1 s 后，△PBQ 的面积等于4 cm2.(2)在Rt △PBQ 中，因为PQ ＝210 cm ，依照勾股定理，得(5－x)2＋(2x)2＝(210)2，解得x1＝3，x2＝－1(舍去)．因此3 s 后，PQ 的长度等于210 cm.(3)由(1)，得12×2x(5－x)＝7. 整理，得x2－5x ＋7＝0. 因为b2－4ac ＝25－28＜0， 因此此方程无解．因此△PBQ 的面积不可能等于7 cm2.。
第24章 一元二次方程数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)
第24章一元二次方程数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）A.方有两个相等的实数根B.方程有一根等于0C.方程两根之和等于0D.方程两根之积等于02、方程x2-x-1=0的解的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根 D.有一个实数根3、某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（）．A.1185X 2=580B.1185(1-X) 2=580C.1185(1-X2)=580 D.580(1+X) 2=11854、方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）A.x=2B.x=﹣3C.x1=﹣2，x2=3 D.x1=2，x2=﹣35、若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.6、香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（）．A.8棵B.9棵C.10棵D.11棵7、已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. 且 D. 且8、方程x2－2 x＋2＝0的根的情况为( )A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.有两个相等的实数根9、方程2x（x-1）=x-1的解是（）A.x1= ，x2=1 B.x1=- ，x2=1 C.x1=- ，x2=1 D.x1=，x2=-110、一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定11、已知m，n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根，则为（）．A.-1B.-3C.-5D.-712、若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A.0B.2C.7D.2或713、下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A.2x 2﹣x﹣y 2＝0B.x（x﹣2）＝0C.ax 2+bx+c＝0D.x﹣＝814、某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）.A. B. C. D.15、若是关于x的一元二次方程，则a的值是（）A.4B.2C.－2D.±2二、填空题(共10题，共计30分)16、若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是________．17、方程x2=9的解为________18、已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是________．19、若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k=________．20、若一个等腰三角形的边长均满足方程，则此三角形的周长为________ ．21、若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x -1 = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围是________．22、已知一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1，x2，则x1x2的值为________．23、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为________.24、如果是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，则a2+2a- 的值是________．25、为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程是________三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：．27、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．⑴求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；⑵若x1， x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．28、自国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数0 1 2 3 4 5（含5次以上）累计车费0 0.5 0.9 a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数0 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 30 25 15（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．29、为更好地响应丽水市的创国卫活动，某校抽取了九年级部分同学对饮食卫生知识进行了测试，并将测试结果按照A，B，C，D四个等级绘制成如下两个统计图，请结合图中信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中B部分所对应的圆心角的度数；（2）该校共有学生1 000人，若把测试结果为A的记为优秀，请根据样本估计全校饮食卫生知识了解情况达到优秀的学生人数是多少？（3）为进一步提高学生对饮食卫生知识的知晓率，学校又连续组织了两次测试，最后一次达到优秀的学生增加到750人，求平均每次的增长率．30、设a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足，求满足条件的一元二次方程．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、D5、A7、A8、D9、A10、A11、D12、A13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。
冀教版初中数学九年级上册《第24章 一元二次方程》单元测试卷
冀教新版九年级上学期《第24章一元二次方程》单元测试卷一．解答题（共50小题）1．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．2．给出以下五个方程：①2（x+1）2＝8；②x+2y＝6；③x2﹣4x﹣5＝0；④；⑤（1）其中一元二次方程有多少个？是哪几个？（2）请你选择（1）中的一个方程用适当的方法求出它的解．3．学了一元二次方程后，学生小刚和小明都想出个问题考考对方．下面是他们俩的一段对话：聪明的你能替小刚或小明解决问题吗？（要求任选一人回答）4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，求出a的值和方程的另一个根．5．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的实数根，求代数式的值．6．已知关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+3mx+5＝0有一根是x＝﹣1，求m的值．7．解方程：（x﹣1）2＝4．8．（3x﹣1）2＝（x+1）2．9．解方程：（x﹣3）2＝25．10．解方程：x2﹣4x+2＝0．11．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．12．配方法解：x2+3x﹣4＝0．13．解方程：x2﹣5x+3＝0．14．用公式法解方程：3x2+5（2x+1）＝0．15．解方程（1）x2+6x﹣1＝0（2）2x2+5x﹣3＝0．16．（x﹣3）（x+2）＝6．17．解下列方程①x2﹣8x+9＝0②（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0．18．解方程：（x+2）2﹣3（x+2）+2＝0．19．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．20．已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．21．已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0（1）若x＝2是方程的根，求m的值；（2）若方程总有两个实数根，求m的取值范围．22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．23．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．24．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．25．东台市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．（1）求平均每年投资增长的百分率；（2）按此增长率，计算2016年投资额能否达到1360万？26．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？27．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？28．方程；（1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值时是一元一次方程．29．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．30．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？31．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．32．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．33．解方程：x2+4x﹣7＝0．34．按要求解下列方程．（1）4x2+4x﹣3＝0 （用配方法解）（2）0.3y2+y＝0.8 （用公式法解）35．解方程x2﹣3x+1＝0．36．已知等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，求此等腰三角形的周长．37．解方程（x﹣2）2﹣4（x﹣2）+3＝0．38．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．39．已知：关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．40．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．41．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22＝6x1x2，求m的值．42．（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．43．边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k 的值并确定直角三角形三边之长．44．解下列方程：（1）用开平方法解方程：（x﹣1）2＝4（2）用配方法解方程：x2﹣4x+1＝0（3）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）＝0（4）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）45．已知关于x的方程mx2+x+1＝0，试按要求解答下列问题：（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．46．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且2x1•x2＝m2﹣3，求实数m的值．47．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．48．已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值．49．k取什么值时，方程组：有一个实数解并求出这时方程组的解．50．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2＝0的两根，且，求m的值．冀教新版九年级上学期《第24章一元二次方程》2019年单元测试卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．【解答】证明：∵a2﹣8a+20＝（a﹣4）2+4≥4，∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【点评】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c＝0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．2．给出以下五个方程：①2（x+1）2＝8；②x+2y＝6；③x2﹣4x﹣5＝0；④；⑤（1）其中一元二次方程有多少个？是哪几个？（2）请你选择（1）中的一个方程用适当的方法求出它的解．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：（1）其中一元二次方程有：①2（x+1）2＝8；③x2﹣4x﹣5＝0；④；②x+2y＝6是二元一次方程；⑤是分式方程．（2）例如：①2（x+1）2＝8，（x+1）2＝4，x+1＝±2，∴x1＝1，x2＝﹣3．（4分）【点评】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上两个方面的要求进行有针对性的判断．3．学了一元二次方程后，学生小刚和小明都想出个问题考考对方．下面是他们俩的一段对话：聪明的你能替小刚或小明解决问题吗？（要求任选一人回答）【分析】首先选出要解答的问题：小刚．然后根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入方程，然后解关于m的方程即可．【解答】解：我替小刚解答问题；根据题意，得x＝0满足关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0，∴0﹣0+m2＝0，解得m＝0；∴0+x2＝2（m+1），即x2＝2．故小刚的问题中m的值为0，另一个根为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．一元二次方程的解，即方程的根，一定满足该方程．4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，求出a的值和方程的另一个根．【分析】把x＝0代入原方程得到关于a的新方程，通过解方程来求a的值；然后由根与系数的关系来求另一根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，∴a+1＝0，解得a＝﹣1．则一元二次方程为﹣2x2+x＝0，即x（1﹣2x）＝0，解得x1＝0，x2＝，即方程的另一根是．综上所述，a的值是﹣1，方程的另一个根是．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解以及根与系数的关系．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．5．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的实数根，求代数式的值．【分析】把x＝m代入方程得到m2﹣2＝3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2＝3m 代入计算即可求出值．【解答】解：把x＝m代入方程得：m2﹣3m﹣2＝0，即m2﹣2＝3m，则原式＝＝＝3．【点评】此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．已知关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+3mx+5＝0有一根是x＝﹣1，求m的值．【分析】把方程的根代入方程，可以求出字母系数m值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程有：2m﹣1﹣3m+5＝0，∴m＝4．即m的值是4．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．7．解方程：（x﹣1）2＝4．【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．8．（3x﹣1）2＝（x+1）2．【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．【解答】解：方程两边直接开方得：3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），∴2x＝2，或4x＝0，解得：x1＝1，x2＝0．【点评】此题考查了用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．9．解方程：（x﹣3）2＝25．【分析】该问题转化为求（x﹣3）的平方根．【解答】解：由原方程开平方，得x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，解得，x1＝8，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．10．解方程：x2﹣4x+2＝0．【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．【解答】解：x2﹣4x+2＝0x2﹣4x＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2+4（x﹣2）2＝2，则x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题主要考查了配方法解方程，正确配平方是解题关键．11．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．【分析】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5，配方，得（x﹣1）2＝5，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12．配方法解：x2+3x﹣4＝0．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，把方程左边配成完全平方式，最后用直接开平方法解方程即可．【解答】解：x2+3x﹣4＝0x2+3x＝4x2+3x+＝4+＝∴x+＝±所以x1＝1，x2＝﹣4．【点评】掌握配方法，它是我们常用的数学思想方法．熟练运用它解一元二次方程．配方法一个重要环节就是配一次项系数一半的平方．13．解方程：x2﹣5x+3＝0．【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝3，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，则x1＝，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，然后当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解．14．用公式法解方程：3x2+5（2x+1）＝0．【分析】先把方程化为一般形式：3x2+10x+5＝0，然后把a＝3，b＝10，c＝5代入求根公式计算即可．【解答】解：方程化为一般形式，得3x2+10x+5＝0，∵a＝3，b＝10，c＝5，∴b2﹣4ac＝102﹣4×3×5＝40，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x＝（b2﹣4ac≥0）．15．解方程（1）x2+6x﹣1＝0（2）2x2+5x﹣3＝0．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2+6x＝1，x2+6x+9＝10，（x+3）2＝10，x+3＝±，所以x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（2）（2x﹣1）（x+3）＝0，2x﹣1＝0或x+3＝0，所以x1＝，x2＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．16．（x﹣3）（x+2）＝6．【分析】先将原方程转化为一般式方程，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：由原方程，得x2﹣x﹣12＝0，即（x+3）（x﹣4）＝0，所以，x+3＝0或x﹣4＝0，解得，x1＝﹣3，x2＝4．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．解下列方程①x2﹣8x+9＝0②（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0．【分析】（1）运用配方法解一元二次方程，先移项，将常数项移到等号的右边，然后再配方，最后用直接开平方法就求解．（2）设5x﹣1＝a，换元后，用因式分解法解就可以了．【解答】解：（1）移项为：x2﹣8x＝﹣9，配方为：∴x2﹣8x+16＝7∴（x﹣4）2＝7，开平方为：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4；（2）设5x﹣1＝a，则原方程变形为：a2﹣3a＝0，a（a﹣3）＝0，∴a1＝0，a2＝3．当5x﹣1＝0，时，x1＝，当5x﹣1＝3时，x2＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程的运用，换元法解一元二次方程的运用．在解答时要注意灵活选用不同的方法求解．18．解方程：（x+2）2﹣3（x+2）+2＝0．【分析】令x+2＝t，原方程可化为t2﹣3t+2＝0，用因式分解法求得t，再代入求出x．【解答】解：令x+2＝t，原方程可化为t2﹣3t+2＝0，（t﹣1）（t﹣2）＝0，解得t1＝1，t2＝2，∴x+2＝1或x+2＝2，∴x1＝﹣1，x2＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，换元法和因式分解法．19．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【分析】（1）代入x＝1可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝（a﹣2）2+4＞0，由此即可证出：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x＝1代入原方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得：a＝．（2）证明：△＝a2﹣4（a﹣2）＝（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：（1）代入x＝1求出a值；（2）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．20．已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．【分析】（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可求出k的值；（2）结合（1）找出k的值，利用分解因式法求出方程x2﹣4x+k＝0的根，再将x的值代入x2+mx﹣1＝0中即可求出m的值．【解答】解：（1）∵一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＜4且k≠2．（2）结合（1）可知k＝3，∴方程x2﹣4x+k＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3．当x＝1时，有1+m﹣1＝0，解得：m＝0；当x＝3时，有9+3m﹣1＝0，解得：m＝﹣．故m的值为0或﹣．【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，根据根的判别式得出不等式（或不等式组）是解题的关键21．已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0（1）若x＝2是方程的根，求m的值；（2）若方程总有两个实数根，求m的取值范围．【分析】（1）把x＝2代入方程，即可得出关于m的方程，求出方程的解即可；（2）根据已知得出△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）把x＝2代入方程x2+2x﹣m＝0得：4+4﹣m＝0，解得：m＝8；（2）∵方程x2+2x﹣m＝0有两个实数根，∴△＝22﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式，一元二次方程的解的应用，题目比较典型，难度适中．22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2（m+1）、x1x2＝m2+2，结合（x1+1）（x2+1）＝8可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m 的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0总有两个实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，解得：m≥．（2）∵x1、x2为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根，∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2．∵（x1+1）（x2+1）＝8，∴x1x2+（x1+x2）+1＝8，∴m2+2+2（m+1）+1＝8，整理，得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0，解得：m1＝﹣3（不合题意，舍去），m2＝1，∴m的值为1．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合（x1+1）（x2+1）＝8找出关于m的一元二次方程．23．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．【分析】（1）根据方程解的个数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）当k＝2时，原方程为x2﹣5x+5＝0，设方程的两个为m、n，根据根与系数的关系找出m+n＝5、mn＝5，将变形为，再代入数据即可得出结论．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）＝4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k＝2时，原方程为x2﹣5x+5＝0，设方程的两个为m、n，∴m+n＝5，mn＝5，∴＝＝．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时△＞0是解题的关键．24．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．【分析】设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，解得：x＝﹣，a＝，即a＝，方程的另一个根为﹣．【点评】本题考查了根与系数关系的关系的应用，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．25．东台市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．（1）求平均每年投资增长的百分率；（2）按此增长率，计算2016年投资额能否达到1360万？【分析】（1）利用2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元，进而得出等式求出即可；（2）利用（1）中所求，得出2016年投资额即可．【解答】解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x．由题意得1000（1+x）2＝1210，解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：平均每年投资增长的百分率为10%；（2）∵1210×（1+10%）＝1331＜1360，∴不能达到．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题得出等式是解题关键．26．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2＝4月份的盈利额列出方程求解即可．（2）5月份盈利＝4月份盈利×增长率．【解答】解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：2400（1+x）2＝3456，解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：3456×（1+20%）＝4147.2（元）．答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．（2）5月份盈利为4147.2元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来的量，其中增长用+，减少用﹣，难度一般．27．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4＝28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：＝28．解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），答：比赛组织者应邀请8队参赛．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．28．方程；（1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值时是一元一次方程．【分析】（1）要使关于x的方程是一元二次方程，则m2+1＝2且系数不为0．先确定m的值，然后求出一元二次方程的根．（2）当二次项系数为0，一次项系数不为零的时候，此方程为一元一次方程．【解答】解：（1）解：若方程是一元二次方程，则m2+1＝2，∴m＝±1．显然m＝﹣1时m+1＝0故m＝1符合题意．当m＝1时，原方程可化简为2x2﹣2x﹣1＝0，即：（x﹣1）（2x+1）＝0，∴x1＝，x2＝．因此m＝1，方程的两根为x1＝，x2＝．（2）当m+1＝0时，解得：m＝﹣1，此时方程为﹣4x﹣1＝0．当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣2x﹣1＝0，∴当m＝﹣1或m＝0时，方程为一元一次方程．【点评】本题考查了一元一次方程及一元二次方程的定义，当出现字母系数时，要特别注意字母系数的取值．29．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2﹣1＝0，m+1≠0，解即可；（2）根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，再解不等式即可．【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1＝0，m+1≠0，解得：m＝1，答：m＝1时，此方程是一元一次方程；②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，解得：m≠±1．一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念和一元一次方程的概念，关键是掌握两种方程的定义．30．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？【分析】常数项为零即m2﹣1＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，所以m＝﹣1．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．31．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．【分析】根据m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，m2﹣2＝m，∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝＝＝2×（1+1）＝2×2＝4．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．32．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．【分析】由m为已知方程的解，将x＝m代入方程求出m2+m的值，原式整理后代入计算即可求出值．【解答】解：把x＝m代入方程得：m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，则原式＝m2+2m+1+m2﹣1＝2（m2+m）＝2．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．33．解方程：x2+4x﹣7＝0．【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：x2+4x﹣7＝0，移项得，x2+4x＝7，配方得，x2+4x+4＝7+4，（x+2）2＝11，解得x+2＝±，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．34．按要求解下列方程．（1）4x2+4x﹣3＝0 （用配方法解）（2）0.3y2+y＝0.8 （用公式法解）【分析】（1）利用配方得到（2x+1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式，再计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）4x2+4x+1＝4，（2x+1）2＝4，2x+1＝±2，所以x1＝，x2＝﹣；（2）移项得0.3y2+y﹣0.8＝0，b2﹣4ac＝12﹣4×0.3×（﹣0.8）＝1.96，y＝＝，∴y1＝，y2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法，记住求根公式是解决问题的关键．35．解方程x2﹣3x+1＝0．【分析】根据公式法求解即可．【解答】解：x2﹣3x+1＝0，∵△＝9﹣4＝5＞0，∴x1＝，x2＝．【点评】考查了解一元二次方程﹣公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac ＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac ≥0．36．已知等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，求此等腰三角形的周长．【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0，x﹣5＝0，x1＝2，x2＝5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；即等腰三角形的周长是12．【点评】本题考查了等腰三角形性质，解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，关键是求出三角形的三边长．37．解方程（x﹣2）2﹣4（x﹣2）+3＝0．【分析】设x﹣2＝y，则原方程变为y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的方程，最后再来求x的值．【解答】解：x﹣2＝y，则有y2﹣4y+3＝0，∴（y﹣1）（y﹣3）＝0；解得，y＝1或y＝3；①当y＝1时，x＝3；②当y＝3时，x＝5．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的目的是降元．38．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根。
第24章 一元二次方程数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)
第24章一元二次方程数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解一元二次方程时，可配方得（）A. B. C. D.2、若关于的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）。
A.m＜-1B.m＜1C.m＞-1D.m＞13、方程x2＝x的解为（）A.x＝1B.x＝1，x2＝－1 C.x1＝1，x2＝0 D.以上答案都不对4、已知a、b、2分别为三角形三边，且a、b为方程(3x2-4x-1)(3x2-4x-5)=12的根，则三角形周长只可能为（）．A. 或B. 或C. 或D. 或5、用配方法解一元二次方程+4x-5=0，此方程可变形为（）.A. =9B. =9C. =1D. =16、下列关于的方程：①；②；③；④．其中一元二次方程有（）A. 个B. 个C. 个D. 个7、若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间比赛一场，则下列方程中正确的是A. B. C. D.8、如果关于x的方程ax2+x﹣1=0有两个实数根，则a的取值范围是( )A. aB. aC. a且a≠0D. a且a≠09、一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根.B.只有一个实数根.C.有两个不相等的实数根. D.没有实数根.10、下列方程为一元二次方程的是（）A. B. C. D.11、已知一个直角三角形的面积为10，两直角边长的和为9，则两直角边长分别为（）A.3，6B.2，7C.1，8D.4，512、如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A.5000﹣150x＝4704B.5000﹣150x﹣x 2＝4704C.5000﹣150x+＝4704 D.（100﹣x）（50﹣x）＝470413、下列方程是一元二次方程的是（）A.3x 2＋＝0B.（3x－1）（3x＋1）＝3C.（x－3）（x－2）＝x2 D.2x－3y＋1＝014、方程x2+x﹣1＝0的一个根是（）A.1﹣B.C.﹣1+D.15、已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A.-3B.3C.0D.0或3二、填空题(共10题，共计30分)16、等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是________．17、关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________．18、如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，那么常数b的值为________．19、实数x，y满足（x＋y）（x＋y＋1）＝2，x＋y的值为________.20、如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________.21、是方程的两个根，则代数式= ________ .22、若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________．23、关于的方程有两个整数根，则整数________．24、若,则的值是________.25、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________ ．三、解答题(共5题，共计25分)26、x2－2x-2＝0；27、（1）解方程：x2+2x=3；（2）解方程组：28、一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点B,C的横坐标，且此抛物线过点A(3,6)．（1）求此二次函数的解析式．（2）用配方法求此抛物线的顶点为P .对称轴（3）当x取什么值时， y随x增大而减小？29、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是多少？30、在国庆阅兵仪式上，三军女兵方队共378人，其中领队3人，方队中每排的人数比排数多10人，请你计算一下，三军女兵方队共有多少排？每排多少人？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、C4、D6、A7、C8、C9、D10、D11、D12、D13、B14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、30、。
第24章 一元二次方程数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)
第24章一元二次方程数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、下列所给的方程中没有实数根的是（）A.x 2=3xB.5x 2﹣4x﹣1=0C.3x 2﹣4x+1=0D.4x 2﹣5x+2=02、方程x2－4＝0的解是（）A.x＝2B.x＝－2C.x＝±2D.x＝±43、下列方程中，一元二次方程是（）A.x﹣1＝0B.x 2﹣3＝0C.D.x+y＝24、某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元.设平均每次降价的百分率为，可列方程为（）A. B. C. D.5、对于一元二次方程2x2+1=3x，下列说法错误的是（）A.二次项系数是2B.一次项系数是3C.常数项是1D.x=1是它的一个根6、某饮料厂今年一月份的产量是500吨，三月份上升到720吨，设平均每月增长的百分率是x，根据题意可得方程（）A.500（1+2x）=720B.500+500（1+x）+500（1+x）2=720C.720（1+x）2=500D.500（1+x）2=7207、已知关于x的一元二次方程x2－2x+k－1=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A.k＜0B.k≤0C.k≤2D.k＜28、欧几里得的《原本）记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，∠ACB=90°，BC= ，AC=b,再在斜边AB上截取BD= ，则该方程的一个正根是（）A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长9、一元二次方程x2-5x-6=0的根是（）A.x1=1，x2=6 B.x1=2，x2=3 C.x1=1，x2=-6 D.x1=-1，x2=610、已知方程x2-2x-5=0，有下列判断：①x1+x2=-2；②x1•x2=-5；③方程有实数根；④方程没有实数根；则下列选项正确的是（）A.①②B.①②③C.②③D.①②④11、方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.只有一个实数根12、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根13、如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（）A. B. C.D.14、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＜﹣2B.k＜2C.k＞2D.k＜2且k≠115、三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程 = x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A.13B.11C.11或13D.11和13二、填空题(共10题，共计30分)16、已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________.17、若方程kx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．18、关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=________.19、若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是________.20、已知某工厂积极创新，计划经过两年的时间，把某种产品的年产量从现在的100万台提高到121万台，若每年增长的百分率相同，则每年的平均增长率为________．21、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为________．22、如图，上海实行垃圾分类政策后，各街道、各小区都在积极改造垃圾房，在工地一边的靠墙处，用12米长的栏围一个占面积为20平方米的长方形临时垃圾堆放点，栅栏只围三边，并且开一个2米的小门，方便垃圾桶的搬运.设垂直于墙的一边长为米．根据题意，建立关于的方程是________．23、若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为________．(任意给出一个符合条件的值即可)24、设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1， x2，则x1+x2（x22﹣3x2）=________．25、已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1， x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于________．三、解答题(共5题，共计25分)26、用配方法说明：无论x取何值，代数式2x-x2-3的值恒小于0.27、x2+4x+2=028、如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？29、已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．30、将一元二次方程x2－6x－5＝0配方，化成(x＋a)2＝b的形式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、B4、D5、B6、D7、C9、D10、C11、B12、C13、B14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
冀教版九年级上册数学第24章 一元二次方程含答案(备考题)
冀教版九年级上册数学第24章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A.两个正根B.两个负根C.一个正根，一个负根D.根的符号与p的值有关2、x1， x2是关于x的一元二次方程x2-2mx-3m²=0的两根，则下列说法不正确的是( )A.x1+x2=2m B.x1x2=-3m 2 C.x1-x2=±4m D. =-33、一元二次方程x2+x=0的根的是（）A.x1=0，x2=1 B.x1=0，x2=﹣1 C.x1=1，x2=﹣1 D.x1=x2=﹣14、若一元二次方程x2﹣4x﹣4m＝0有两个不等的实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限5、一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A.x1=1，x2=2 B.x1=1，x2=﹣2 C.x1=﹣1，x2=﹣2 D.x1=﹣1，x2=26、用配方法解方程，下列配方正确的是（）．A. B. C. D.7、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）A.若x 2=4，则x=2B.若3x 2=6x，则x=2C.x 2+x-k=0的一个根是1，则k=2D.若分式的值为零，则x=2或x=08、下列方程中是一元二次方程的是（）A.2x+1=0B.y 2+x=1C.x 2+1=0D.9、已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m＞B.m≥C.m＞且m≠2D.m≥ 且m≠210、下列方程中，是关于x的一元二次方程为（）A.x 2﹣4x+5=0B.x 2+x+1=yC. +8x﹣5=0D.（x﹣1）2+y 2=311、使得关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根的最小整数k 为（）A.﹣1B.2C.3D.4个12、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元．设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（）A.580(1+x）²=1185B.1185(1+x）²=580C.1185(1-x）²=580 D.580(1-x）²=118513、三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2﹣24x+140＝0，则三角形周长为（）A.24B.28C.24或28D.以上都不对14、若x1、x2是一元二次方程x2+2x-3=0的两个根，则x1+x2的值为（）A.-2B.2C.3D.3或-315、若x1， x2是方程x2=4的两根，则x1+x2的值是（）A.0B.2C.4D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是________17、已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．18、方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是________19、将一元二次方程化为的形式为________．20、已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为________.21、若m是方程的根，则的值为________22、已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围为________．23、某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，由于换季现准备降价销售，若每件降价0.5元，则每天可多售5件，为了尽快减少库存且每天要盈利1080元，每件应降价________元.24、已知关于x的一元二次方程：x2﹣3x﹣2（m﹣1）=0的两个实数根是x1和x 2，且|x1﹣x2|=7，那么m的值是________ ．25、已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根，则△ABC是 ________ 三角形．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：x2﹣4x﹣12=0．27、光华机械厂生产某种产品，1999年的产量为2000件，经过技术改造，的产量达到2420件，平均每年增长的百分率是多少？28、如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．（2）请列出关于x的方程．29、已知二次三项式4x2+8x+8，圆圆同学对其进行变形如下：4x2+8x+8＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，所以圆圆得到结论：当x＝﹣1时，这个二次三项式有最小值为1.圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.30、小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、B4、B5、D6、C7、C8、C9、C10、A11、B12、C13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
第24章 一元二次方程数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)
第24章一元二次方程数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、方程x2﹣4=0的解是（）A.x=±2B.x=±4C.x=2D.x=﹣22、若关于x的一元二次方程x2﹣4x+（5﹣m）=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m＞1B.m≥1C.m＜1D.m≤13、若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c 的对称轴为直线（）A.x=1B.x=2C.x=D.x=﹣4、关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. ＜B. ≤C. ＞且≠2D. ≥且≠25、关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A. B. 且 C. D. 且6、若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A.k=0B.k≥﹣1且k≠0C.k≥﹣1D.k＞﹣17、设x1， x2是方程的两个实数根，则A.2016B.2017C.2018D.20198、已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（）A.b=﹣1，c=2B.b=1，c=﹣2C.b=1，c=2D.b=﹣1，c=﹣29、某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）A.7队B.6队C.5队D.4队10、下列方程中有两个相等实数根的是（）A. B. C. D.11、方程（x－4）2=81的解是（）A.x=13B.x=－5C.x=13或－5D.以上都不对12、若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A.2B.1C.-1D.013、若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A.﹣1B.1C.﹣4D.414、解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（）A.x1=1，x2=3 B.x1=﹣2，x2=3 C.x1=﹣3，x2=﹣1 D.x1=﹣1，x2=﹣215、若a为方程式(x-)2=100的一根，b为方程式（y-4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a-b之值为( )A.5B.6C.D.10-二、填空题(共10题，共计30分)16、方程x2－x＝0的解是________.17、若是方程的根，计算：________．18、方程（x﹣5）（2x﹣1）＝3的一般形式是________.19、若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m=________．20、把方程x(x-2)=4-5x改为方程的一般形式为________21、已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为________22、方程的根是________.23、方程的两根为则的值为________.24、若0是一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1=0的一个根，则m的值为________;25、中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中x2﹣2 x+a=0有两个不相等的实数根，且a为非负整数．27、已知关于的方程的一个根是.求的值和方程的另一个根.28、设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为多少．29、青山村种的水稻平均每公顷产7200kg，平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．30、如图所示，现有两道互相垂直的墙，墙的东西方向长米、南北方向长米．张大爷想利用这两道墙围出一个面积为平方米的矩形牛栏，牛栏的两边利用墙，另两边用长米的篱笆围起来，问牛栏东西方向的长为多少米？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、B3、C4、C5、D6、C7、C8、D9、C10、B11、C12、C13、B14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。
冀教版九年级数学上册第24章一元二次方程单元测试含答案
第24章一元二次方程单元测试一、单选题（共10题；共30分）1.方程x(x－1)＝2的解是（）A、x＝－1B、x＝－2C、x1＝1，x2＝－2D、x1＝－1，x2＝22.若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A、1B、2C、-1D、-23.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值（）.A、 B、 C、 D、或4.如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，那么它的周长为（）A.17B.15C.13D.13或175.方程2x2﹣4x+1=0的解是（）A.1±2B.2±22C.1±22D.2±26.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是﹣2，则这个方程是（）A.x2+3x﹣2=0B.x2+3x+2=0C.x2﹣3x+2=0D.x2﹣3x﹣2=07.下列各方程中，是一元二次方程的为（）A.3x2﹣7=2y+1B.5x2﹣6x+2C.73 x= x22 +x﹣ 5D.ax2+（b﹣c）x+5+c=08.方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）A、x=2B、x=﹣3C、x1=﹣2，x2=3D、x1=2，x2=﹣39.若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣m﹣=0有两个相等的实数根，则m的值为（）A、m=B、m=﹣C、m=2D、m=﹣210.关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A、m＜1B、m≤1C、m＜1且m≠0D、m≤1且m≠0二、填空题（共8题；共24分）11.若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=________ .12.用配方法解x2﹣6=﹣2（x+1），此方程配方形式为________13.已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________14.已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=________．15.已知方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k=________．16.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m=________．17.方程（3x+1）（2x﹣3）=1化成一般式的常数项是________．18.若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是________．三、解答题（共6题；共42分）19.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为大于1的整数，求方程的根．20.已知关于x的方程x2﹣6x+k+7=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求方程的根．21.已知关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0．（1）求证：无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为2，试求出k的值和另一根．22.已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根为x1， x2，且x12+x22=10，求实数a的值．23.已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2﹣k=0（k＞0）．问x=0可能是方程一个根吗？若是，求出k值及方程的另一个根，若不是，请说明理由．24.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】∵x（x-1)=2，∴x2-x-2=0，∴（x-2)（x+1)=0，即x-2=0或x+1=0，∴x=2或x=-1，∴原方程的根为：x1=2，x2=-1．故选：D2、【答案】D【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n得出m+n+2=0，求出即可．【解答】∵n（n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，代入得：n2+mn+2n=0，∵n≠0，∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，∴m+n=-2．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．3、【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法，根的判别式【解析】【解答】∵一元二次方程x2+（m-2）x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m-2）2-4×1×（m+1）=0，整理，得m2-8m=0，解得m1=0，m2=8．故选D．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+（m-2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则有△=0，得到关于m的方程，解方程即可．4、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，∴方程x2﹣10x+21=0的两个根分别是x1=3，x2=7，∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，∴等腰三角形的周长为：7+7+3=17．故选：A．【分析】首先求出方程x2﹣10x+21=0的两根，然后确定等腰三角形的腰长和底，进而求出它的周长．5、【答案】C【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】解：2x2﹣4x+1=0，∵a=2，b=﹣4，c=1，∴b2﹣4ac=8，∴x=4±84=1±22；故选C．【分析】先确定出a，b，c的值，再根据公式法求出方程的解即可．6、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根之和是3，两根之积是﹣2，∴这个一元二次方程可为x2﹣3x﹣2=0．故选D．【分析】根据根与系数的关系可写出二次项系数为1的一元二次方程，然后对各选项进行判断．7、【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故A错误； B、是整式不是方程，故B错误；C、是一元二次方程，故C正确；D、a=0是不是一元二次方程，故D错误；故选：C．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．8、【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0，x﹣2=0，x+3=0，x1=2，x2=﹣3，故选D．【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．9、【答案】B【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣m﹣=0有两个相等的实数根，∴b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×（﹣m﹣）=0，即（2m+1）2=0，解得：m=﹣．故选B．【分析】由方程有两个相等的实数根可知b2﹣4ac=0，套入数据可得（2m+1）2=0，解该方程即可得出m 的值．10、【答案】C【考点】根的判别式【解析】【解答】解：根据题意得m≠0且△=22﹣4m＞0，所以m＜1且m≠0．故选C．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=22﹣4m＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．二、填空题11、【答案】-3【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解：将x=1代入得：1+2+a=0，解得：a=﹣3．故答案为：﹣3．【分析】根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可．12、【答案】（x+1）2=5【考点】解一元二次方程-配方法【解析】【解答】解：方程整理得：x2+2x+1=5，即（x+1）2=5，故答案为：（x+1）2=5【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方即可得到结果．13、【答案】m＜9【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0，解得：m＜9．故答案为m＜9．【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．14、【答案】2【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0，∴m=2，故答案为：2．【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值即可．此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．15、【答案】1【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4k=0，解得：k=1．故答案为：1【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．16、【答案】3或﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中得m2﹣2m﹣1=2移项得m2﹣2m﹣3=0因式分解得（m﹣3）（m+1）=0解得m=3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【分析】根据题意，把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出m的值．17、【答案】-4【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：（3x+1）（2x﹣3）=1，6x2﹣9x+2x﹣3﹣1=0，6x2﹣7x﹣4=0，常数项为﹣4，故答案为：﹣4．【分析】先化成一元二次方程的一般形式，即可得出答案．18、【答案】k≤9，且k≠0【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，即k≤9，且k≠0【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．三、解答题19、【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣2）＞0，即12﹣4k＞0，解得：k＜3．故k的取值范围为k＜3．（2）∵k为大于1的整数，且k＜3，∴k=2．将k=2代入原方程得：x2+2x=x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2．故当k为大于1的整数，方程的根为x1=0和x2=﹣2．【考点】根的判别式【解析】【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据k为大于1的整数以及（1）的结论可得出k的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．20、【答案】解：（1）由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4（k+7）=8﹣4k＞0，解得：k＜2．（2）∵k＜2，且k为正整数，∴k=1．将k=1代入到方程x2﹣6x+k+7=0中，得x2﹣6x+8=0，∵x2﹣6x+8=（x﹣4）（x﹣2）=0，解得：x1=4，x2=2．【考点】根的判别式【解析】【分析】（1）由方程有两个不等实数根，可得出b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）的结论和k为正整数，可得出k=1，将其代入到原方程中，利用分解因式法解方程即可得出结论．21、【答案】（1）证明：∵b2﹣4ac=[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）=（k+1）2+24≥24，∴无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=2代入方程x2﹣（k+1）x﹣6=0中，22﹣2（k+1）﹣6=0，即k+2=0，解得：k=﹣2．∴原方程=x2+x﹣6=（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=2，x2=﹣3．故k的值为﹣2，方程的另一根为﹣3．【考点】根的判别式【解析】【分析】（1）代入数据求出b2﹣4ac的值，由b2﹣4ac≥24可证出结论；（2）将x=2代入到原方程中得到关于k的一元一次方程，解方程可得出k值，将k值代入到原方程，解方程即可得出方程的另外一根．22、【答案】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4，∵（a+1）2≥0，∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，即a的值为﹣2+或﹣2﹣．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）先计算判别式，再进行配方得到△=（a+1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，再利用完全平方公式由x12+x22=10得（x1+x2）2﹣2x1x2=10，则（a+3）2﹣2（a+1）=10，然后解关于a的方程即可．23、【答案】解：将x=0代入原方程得：k2﹣k=0，解得：k=0或k=1，∵k＞0，∴k=1，∴x=0能是方程一个根．把k=1代入原方程得：x2+2x=x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2．∴方程的另一个根为x=﹣2【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之可得出k的值，结合k＞0即可确定k值，将k值代入原方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得出方程的另一个根，此题得解．24、【答案】解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴，解得，，即m，n的值分别是1、﹣2．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求m、n的值．11 / 11。
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第二十四章 一元二次方程
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下面关于的方程：①；②；③；
④（）；⑤1x +=-1.其中是一元二次方程的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.方程(2)0x x +=的根是（ ）
A.2x =
B.0x =
C.120,2x x ==-
D.120,2x x ==
3.若关于x 的一元二次方程的两个根为1212x x ==，，则这个方程是（ ）
A.2320x x +-=
B.2320x x -+=
C.2230x x -+=
D.2320x x ++= 4.若(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m n +的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条
件是（ ）
A.240b ac -=
B.240b ac -＞
C.240b ac -＜
D.2
40b ac -≤ 6.某商品原价元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D.
7.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，•则这个两位数为（ ）
A.25
B.36
C.25或36
D.-25或-36
8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价的百分率 是（ ） A. B. C. D.
9.关于的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
10.已知分别是三角形的三边长，则方程
的根的情
况是（ ）
A.没有实数根
B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根 二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如果，那么的关系是________. 12.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，那么k 的取值范围为_____________.
13.若，则________. 14.若（是关于的一元二次方程，则的值是________. 15.若方程20x x -=的两根为1212,()x x x x <，则21x x -=_______．
16.2012年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为元，2014年增长到元.若设年平均增长率为，则根据题意可列方程为_____________.
17.若两个连续偶数的积是224，则这两个偶数的和是__________.
18.已知关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一个根为 .
三、解答题（共46分）
19.（5分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）
⊕24x = 的解.
20.(5分)若关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，则m 的值是多少？
21.（6分）在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小
正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，
求所截去的小正方形的边长.
22.(6分)如果关于的一元二次方程有实
根，求的取值范围. 23.（6分）已知关于的方程（ 的两根之和 为，两根之差为1，•其中是△的三边长.
（1）求方程的根；（2）试判断△的形状.
24.（6分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4 万
元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x .
（1）用含x 的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分 率x .
25.（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐
款活动.第一天收到捐款元，第三天收到捐款元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
26.（6分）已知方程2200920100x x +-= 的较大根为m ，方程2(2010)2009x +⨯ 201110x -= 的较小根为n ，求n m +的值.
第21题图
第二十四章 一元二次方程检测题参考答案
1.B 解析：方程①与的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，•是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为，不论取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程仅有2个．
2.C 解析：由(2)0x x +=，得所以
3.B 解析：两个根为1212x x ==，，则两根的和是3，积是2．
A.两根之和等于3，两根之积却等于-2，所以此选项不正确．
B.两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确．
C.两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确．
D.两根之和等于-3，两根之积等于2，所以此选项不正确．
故选B ．
4.D 解析：将x n =代入方程得220n mn n ++=，∵ 0n ≠，∴ 20n m ++=， ∴ 2m n +=-.故选D.
5.B 解析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 240b ac ∆=-＞．故选B ．
6.A 解析：根据题意可得两次降价后售价为，故方程为
． 7.C 解析：设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为3x +.
依题意，得2103(3)x x x ++=+，解得122,3x x ==.∴ 这个两位数为25或36.故选C. 8.A 解析：设平均每次降价的百分率是
由题意得所以
所以 所以平均每次降价的百分率是
9.A 解析：因为()()()22
22441248240b ac m m m m m -=--⨯⨯-=-+=-+>， 所以方程有两个不相等的实数根.
10.A 解析：因为
且,,a b c 分别是三角形的三边长，所以
所以所以方程没有实数根. 11. 解析：原方程可化为[]24()50x y -+=，∴.
12.1k <- 解析：∵224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+<，∴ 1k <-． 13.14 解析：由，得．两边同时平方，得，即
，所以
． 14. 解析：由得或． 15.1 解析：∵ 20,x x -=∴ (1)0,x x -=
∴ 0x =或1x =.∵ 12x x <，∴ 120,1x x ==.
∴ 211x x -=.
16. 解析：∵ 2012年农村居民人均纯收入为元，人均纯收入的年平均增长率为x ，∴ 2013年农村居民人均纯收入为元，∴ 2014年农村居民人均纯收入为元，∴ 可列方程为.
17. 解析：设其中一个偶数为，则，解得
•所以另一个偶数为16或-14．故这两个偶数的和是． 18. 解析：把代入 化为
19.解：∵ 22a b a b ⊕=-，∴ 2222(43)(43)77x x x x ⊕⊕=-⊕=⊕=-．
∴ 22724x -=．∴ 225x =．∴ 5x =±．
20.解:由题意得
即当1m =-时，一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为
21.解：设小正方形的边长为.
由题意得， 解得
所以截去的小正方形的边长为.
22.解：由于方程是一元二次方程，所以，解得.
由于方程有实根， 因此, 解得. 因此的取值范围是且.
23.解：（1）设方程的两根为，则
解得
（2）当时，，所以
. 当时,
所以，所以， 所以△为等边三角形．
24.解：（1）()22.61x +；
（2）根据题意可得()24 2.617.146,x ++=解得120.1, 2.1x x ==-（舍去）.
答：可变成本平均每年增长的百分率为10％.
25.解：（1）设捐款增长率为，
根据题意列方程，得()210000112100x += ，
解得120.1, 2.1x x ==-（不合题意，舍去）.
答：捐款增长率为10%．
（2）．
答：第四天该单位能收到13 310元捐款．
26.解：将方程2200920100x x +-= 因式分解，得(2010)(1)0x x +-= ， ∴ 20100x += 或10x -=，∴ 12010x =- ，21x =.
∴ 较大根为1，即1m =.
将方程2(2010)2009201110x x +⨯-= 变形为 2(2010)(20101)(20101)10x x +-⨯+-= ，
∴ 22(2010)201010x x x +--= ， ∴ 22010(1)(1)0x x x +-+= ， ∴ 2(20101)(1)0x x -+= ， ∴ 2201010x -= 或10x +=，
∴ 32
12010x =
，14-=x . ∴ 较小根为，即1n =-. ∴ 1(1)0m n +=+-=.。