例谈解析几何中的定点定值问题
解析几何中定值与定点问题
7“解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. ⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究. 【实例探究】 题型1:定值问题：例1:已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 ： 的2后焦点，离心率等于 ：(I)求椭圆 c 的标准方程；(H)过椭圆 C 的右焦点作直线I 交椭圆C 于A B 两点，交y 轴于M 点，若MA- \AF,MB 二划朋'，求证孙+心为定值.(II )方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为 偽 Ji)/(曲 jjMQyJ 易知F 点的坐标为(2, 0).MA :. (x Lr ^L -y 0) = ^(2-Xi-yj2JL y 心= ---------- ,v T -- -------- .\ + \ [ +召2J去分母整理得1'' - J将A 点坐标代入到椭圆方程中，得5:则由题意知b = 1.同理鉱二4辭］得:才+10& +5-5^ =Q :.心站是方程？+1X+5-5允二啲两个根, ，”召 +血-10.方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2, 0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k,则直线I的方程是y-k（x-2）. 将直线I的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（l+5t3）x a-20jk3x+20t a-5=0+20疋20^ —5v MA = \AFMB =诵細点坐标代入得石=/一X] 2_召又♦“ 两勺2（x1+ x a）-2x1x2“:石 +爲=—+—二----------------------- ----- =■ =-10.2-兀1 2-巧4_ 2（如+ xj+斤工2例2.已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a2-b2=c2 =1设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1将（1，3/2）代入整理得4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1（2）设AE斜率为k则AE 方程为y-（3/2）=k（x-1）①x2/4+y2/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2 ）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y 得（1/4+k2/3）x2-（2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根据韦达定理x1 •= （k2/3-k-1/4 ）/ （1/4+k2/3［③将③的结果代入①式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ）/（1/4+k2 /3）设AF 斜率为-k，F (x2，y2) 则AF 方程为y- (3/2 ) =-k (x-1 [④x2/4+y2/3=1 ②5不存在，请说明理由.••• MA.(x 1-m,y 1),MB -g-my),5 3k 2,^(x ^m)(x 2 -m) y 1y 13k 2 1 k2x1 1 x2 13k 5 11k 2 X 1X 2 kF X 1 X 2m2k 2 3：!②④联立同样解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3) y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF 斜率为(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。
定点定值
x=a 2E K DBAF g l Oy x解析几何中的定点、定值问题阳信一中 郑振华有关解析几何的问题中,常常涉及到证明直线过定点、两直线相交于定点、动圆过定点及两变量的和、差、积或两向量的数量积为定值的问题,对于每类问题如何解决,笔者给出了以下例题,以期能起到“以点带面”之功效. 一、共点直线系例1.已知(1)(1)20m x m y m +---=为直线l 的方程,求证：不论m 取任何实数,直线l 必过定点,并求出这个定点的坐标.证明:方法一:由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,即(2)0m x y x y --++=. 当20x y --=且0x y +=时, 不论m 取任何实数方程恒成立,故直线l 必过定点解方程组200x y x y --=⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=-⎩,即定点坐标为(1,1)-.方法二: 由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,(1)(1),m x m m y m ∴+-=-+(1)1(1)1,(1)(1)(1)(1)m x m m y m m x m m y m +--=-+-+-+=-+-,即11(1)(1),1m y x m m ++=-≠-因此当1m ≠时,直线l 必过定点(1,1).-当1m =时,原直线l 的方程为1,x =同样过点(1,1).- 综上所述,不论m 取取任何实数,直线l 必过定点(1,1).-【点评】(1)若直线方程中含有参数m ,可将方程整理成(,)(,)0f x y m x y ϕ+=的形式, 令(,)0(,)0f x y x y ϕ=⎧⎨=⎩,解得0x x y y =⎧⎨=⎩.则直线恒过点00(,)x y .(2)共点直线系:00()[y y k x x -=-定点00(,),x y k 为变数],表示一束过定点00(,)x y 的直线系(不包括直线0)x x =二、两动直线相交于定点(两变量的差为定值) 例2.已知直线l :1x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的右焦点F ,且交椭圆C 于,A B 两点,点,,A F B 在直线2:g x a =上的射影依次为点,,D K E .连结,AE BD ,证明:当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点. 证明:因为(1,0)F ,所以2(,0).K a先探索:当0m =时,直线l ⊥x 轴,此时四边形A B E D 为矩形, 由对称性知,,AE BD 相交于F K 的中点21(,0).2a N +猜想: 当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点21(,0).2a N +证明:设22112212(,),(,),(,),(,).A x y B x y D a y E a y 首先证明当m 变化时,直线AE 过定点N .由22221,1,x m y x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得2222222()2(1)0.a b m y m b y b a +++-= 222224(1)0(1),a b a m b a ∆=+->>22212122222222(1),.mbb a y y y y a b ma b m-+=-=++12221,.1122AN EN y y k k a a m y --==---122211122AN EN y y k k a a m y --∴-=----22222121222222222221112(1)1()()221111()()2222a m bb a a m y y m y y a b m a b ma a a a m y m y -----+-++==------ 22222222212(1)2(1)0.1(1)()()2m a b m a b a a my a b m ---==---+,AN EN k k ∴=故,,A E N 三点共线;同理可证,,B D N 三点共线.所以,当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点.【点评】(1)若曲线在一般情况下具有某一性质,则在特殊情形下一定具有该性质,故上述例题首先取一特殊情况(直线斜率不存在)求出定点,然后给出一般情况下的证明. (2)证三条直线共点时,可首先证明两直线相交于一点,再证第三条直线过交点;同理,证明两直线相交于一点,可先证明一直线过定点,再证另一直线也过该点. 三、动圆恒过定点 例3已知椭圆22142xy+=,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P 作椭圆的切线l ,交y轴与点,A 直线l '过点P 且垂直与l ,交y 轴与点.B 试判断以AB 为直径的圆能否经过定yxPQOBAy xBAPO 点？若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.解:设点0000(,)(0,0)P x y x y ≠≠,直线l 的方程为00(),y y k x x -=-代入22142xy+=,整理得2220000(34)8()4()120k x k y kx y kx ++-+--=.0x x =是方程的两个相等实根,00028()2,34k y kx x k-∴=-+解得003.4x k y =-[或根据234(0)2y x y =->求导解得]∴∴直线l 的方程为00003().4x y y x x y -=--令0x =,得点A 的坐标为220043(0,).4y x y +又222200001,4312,43x y y x +=∴+=∴点A 的坐标为03(0,).y又直线l '的方程为00004(),3y y y x x x -=-令0x =,得点B 的坐标为0(0,),3y -∴以AB 为直径的圆方程为003()()0,3y x x y y y ⋅+-⋅+=整理得2203()10.3y x y y y ++--=由2210,0x y y ⎧+-=⎨=⎩得1.0x y =±⎧⎨=⎩ ∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)-和(1,0).【点评】过圆C ：220x y Dx Ey F ++++=与直线:0l Ax By C ++=交点的圆系方程为： 22()0x y D x Ey F Ax By C λ+++++++=.交点坐标由2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩解得 四、动点在某定直线上 例4.设椭圆C :221,42xy+=当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,A B 时，在线段AB 上取点Q ,满足||||||||.A P Q B A Q P B ⋅=⋅证明:点Q 总在某定直线上.证明:设点,,Q A B 的坐标分别为1122(,),(,),(,).x y x y x y由题设知||,||,||,||AP PB AQ Q B 均不为零,记||||,||||AP AQ PB QB λ==则0λ>且 1.λ≠又,,,A P B Q 四点共线, 从而,.AP PB AQ Q B λλ=-=于是12124,1.11x x y y λλλλ--==--1212,1.11x x y y x λλλλ++==++从而2221224,1x x x λλ-=- ①2221221y y y λλ-=-. ②又点,A B 在椭圆C 上,即221124,x y += ③ 22222 4.x y += ④①+2⨯②并结合③,④得42 4.x y +=即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上. 【点评】(1)解答本题有两个关键，一是将向量模之间的关系转化成向量之间的线性关系，从而得到动点、定点之间的坐标关系；二是如何合理整合各关系式.（2）圆锥曲线上的动点满足三个基本条件:①动点满足曲线定义的几何条件;②动点满足曲线的几何性质;③动点坐标满足标准方程的代数条件.应充分利用这些特征,根据函数与方程思想和几何性质处理有关“定”的问题. 五、两变量的和为定值例5.已知抛物线:C 24,x y =其焦点为F ,过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点,交抛物线的准线l 于点,N 已知12,,NA AF NB BF λλ==求证:12λλ+为定值.证明:方法一:如图所示,设直线AB 的方程为11221,(,),(,),y kx A x y B x y =+则2(,1).N k--联立方程组24,1x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得22440,(4)160,x kx k --=∆=-+>故12124, 4.x x k x x +==-由12,NA AF NB BF λλ==得11122222,,x x x x kkλλ+=-+=-整理得1212221,1.kx kx λλ=--=--故12122112()kx x λλ+=--+1212224220.4x x k k x x k +=--⋅=--⋅=- 方法二:由已知12,,NA AF NB BF λλ==得120.λλ⋅<于是12||||,||||NA AF NB BF λλ=-①如图,过,A B 两点分别作准线l 的垂线,垂足 分别为11,A B ,则有11||||||,||||||AA NA AF NB BB BF ==② 由①、②得120.λλ+=【点评】如何利用题设条件中向量之间的线性关系,本例给出了启示,即根据向量平行将 12,λλ用坐标表示出来,进而化简整理证得;另利用初中所学的平面几何知识解决有关直线与抛物线的位置关系问题,有时可将解答过程大大简化. 六、两变量的积为定值 例6.已知曲线1C :22221(0,0)x y b a y ab+=>>≥与抛物线2C :22(0)x py p =>的交点分别为,A B (点A 在点B 左边),曲线1C 和抛物线2C 在点A 处的切线分别为12,,l l 且12,l l 的斜率分别为12,.k k 当b a为定值时,求证;12k k ⋅为定值(与p 无关),并求出这个定值.证明:设点A 的坐标为00(,),x y 曲线1C 的方程可写成:222200,,b b y a x y a x aa=-∴=-所以002001222220|()|.x x x x bx b x bx k y a y a a xa a x=='==-=-=---200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=又002021|()|,2x x x x x k y x pp==''===所以200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=222222x b b apy a-⋅=-为定值.【点评】由题意,两直线斜率都可通过求导求的,相乘约分即可求出定值,但复合函数的求导问题值得关注. 七、数量积为定值 例7.已知椭圆C :221,2xy +=点M 的坐标为5(,0)4,过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,对于任意的,k R ∈M A M B ⋅是否为定值？若是求出这个定值;若不是,请说明理由.解析:由已知得(1,0),F 直线l 的方程为(1).y k x =-由22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(21)42(1)0,k x k x k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x yF 2F 1yxBA P则2212122242(1),.2121kk x x x x k k -+==++112255(,)(,)44M A M B x y x y ∴⋅=-- 121255()()44x x y y --+2121255()()(1)(1)44x x k x x =--+--2221212525(1)()()416k x x k x x k=+-++++222222254()22254(1)212116k k k k k k k +-=+-++++2242257.211616k k --=+=-+由此可知,716M A M B ⋅=- 为定值. 【点评】证明数量积为定值,首先将向量用坐标表示,而进行怎样的转化,如何利用题设条件是证明的关键.八、直线斜率为定值 例8.已知椭圆22124xy+=的上、下焦点为12,,F F 点P 在第一象限且是椭圆上的点，并满足121PF PF ⋅=,过P 作倾斜角互补的两条直线,PA PB 分别交椭圆于,A B 两点. 求证:直线AB 的斜率为定值.证明;由题意可得12(0,2),(0,2),F F -设0000(,)(0,0),P x y x y >>则100200(,2),(,2),P F x y P F x y =--=---221200(2)1,PF PF x y ∴⋅=--= 又点00(,)P x y 在椭圆上,所以22001,24x y += 所以224,2y x -=从而2204(2)1,2y y ---=得0 2.y =则点P 的坐标为(1,2).因为直线P A 、P B 的斜率比存在,故不妨设直线P B 的斜率为(0)k k >,则直线P B 的方程为:2(1).y k x -=-由222(1),124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222(2)2(2)(2)40,k x k k x k ++-+--=设(,),(,),B B A A B x y A x y则22222(2)2(2)2221,1,222B B k k k k k k x x kkk----+==-=+++同理可得22222,2A k k x k+-=+则242,2A B k x x k -=+28(1)(1).2A B A B k y y k x k x k-=----=+所以直线AB 的斜率2A B AB A By y k x x -==-为定值.【点评】(1)若已知条件中的曲线满足某些特殊位置关系(本例中的倾斜角互补),则与这些曲线相关的点也可能较“特殊”.(2)当两直线的斜率满足120k k +=或121k k =-等关系时，若通过整理运算得到一关于1k 的关系式，关于2k 的关系式即用2k -或21k -代替上式中的1k 便可求的.。
14】第十四讲 解析几何中的定点、定值和存在性问题
x1 x2
8mk 4(m2 3) , x x . 1 2 3 4k 2 3 4k 2
2 2
3(m2 4k 2 ) y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) k x1 x2 mk ( x1 x2 ) m . 3 4k 2
2p 2p 2 pk 即 k ( x 2 p) y tan tan 0．
此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx
所以直线 AB 恒过定点 2 p, 所以由（1） （2）知，当 定点 2 p,
2p tan
．
y 2 2 px( P 0) 联 立 消 去 x ， 得 k 2 y 2
3
p y 2
p 0 b 韦 达 定 理 知 由
y1 y2
2p 2 pb ①． , y1 y2 k k
（ 1 ）当
2
时，即
2
时， tan tan 1 所以
y1 y2 1, x1 x2 y1 y2 0 ， x1 x2
1 2k 2 1 ． , y1 y2 2a 16a 2
1 k 2 1 1 1 k 2 ． , pq y1 y2 ( y1 y2 ) a 4a 16a 2 4a 2
2 y12 y2 2 pb y1 y2 0 所以 y1 y2 4 p 2 由①知： 4 p 2 所以 b 2 pk. 因此直线 AB 的方程可 2 4p k
表示为 y kx 2 Pk ，即 k ( x 2 P) y 0 所以直线 AB 恒过定点 2 p, 0 ． （2）当
解析解析几何中定点定值问题
解析解析几何中;^点定值问题1.已知椭圆C 中心在原点，焦点在X 轴上，焦距为2,短轴长为2JJ ・（I ）求椭圆C 的标准方程:（II ）若宜线y = kx + m （k^0）^9椭圆交于不同的两点M 、N （M. N 不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ・ 求证：直线/过定点，并求出世点的坐标.解：（I ）设椭圆的长半轴为d,短半轴长为/八 半焦距为C,则•••椭圆C 的标准方程为乂+21 =4 3y = fcx + m（3 + 4A-）A -' + 8fom- + 4加2 -12 = 0 .由题意△ = （8加）2-4（3+4，）（4加 2-12）＞0, 整理得：3+4jt--/zr >0①设M （Xpy,）s 川（花」2），则Shfi 4m--n由已知.AM 丄AN.且椭圆的右顶点为A （2,0）, •••（人・|-2）（勺一2） +）小=0・ 即+（加一 2）（X （ +x,） + «r+4 = 0,-…… /- , T\ 4w" —12 Z, 宀\ Sfoti … 也即（+*-）• 3 + 俯 +（如"一2）・^7^ + "广+"°'整理得7ftr +16,戚+ 4^2 = 0・2c = 2. -2/? = 2点a- =h- +C-,解得f _；k=73,（11）由方程组10分解得〃一汰或"一〒均满足①当m = -2k 时，宜线/的方程为y = kx-2k •过泄点(Z0),不符合题意舍去;2.在直角坐标系兀0y 中，点M 到F I (-A /3,0). F2(J 亍.0)的距离之和是4,点M 的轨迹C与X 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的宜线/： y = kx + b^轨迹C 交于不同的两点P 和(1)求轨迹C 的方程:(2) 当AP AQ = 0时，求k^h 的关系，并证明宜线/过定点.解：(1) •••点M 到(-JMo), (73,0)的距离之和是4.的轨迹C 是长轴长为4,焦点在X 轴上焦距为2 的椭圆, 次方程为乂+),2=1.4(2)将y = h:+h.代入曲线C 的方程,所以△ = 64 疋沪 一4（1 + 4鸟2）（4 沪-4） = 16（4疋一沪 + 1）＞0・ 设P (引yj ，Q (心比)，则8kbX + £ = ------ 7-1 + 碌2且 V I * >2 =（U +b ）（g +h ） = k~x^x^+kh{x^ + ） + />" ■ 显然，曲线C 与兀轴的负半轴交于点A(-20),当m = ~时，直线/的方程为y = k2）X ——7丿2故直线/过楚点，且定点的坐标为(彳,0).13分（1 + 4妒）F+8肋・丫 + 4〃2-4 = 0 ,因为宜线/与曲线C 交于不同的两点P 和e ，y。
例谈解析几何中的定点定值问题
（ ２ ） 若动点 Ｐ 在直 线 ， 上， 过 Ｐ作直线 交椭 圆 Ｃ 于 Ｍ ， Ⅳ两
． 求证 ：直线』 ’经过一定点；
Ｐ
Ｍ — ，一Ｉ ／
点， ＂ ￣ － Ｐ Ｍ ＝Ｐ Ｎ ，再过 Ｐ作直线 上 Ⅳ ．证 明 ： 直线 ， ， 恒过
例谈 解 析几何 中的定 点定 值 问题
扬 州中学教 育集团树 人学校
解析几何 中的定点定值问题一直是高考 与竞赛 中的热点之一 ， 由于现行教材对这 个问题没有做专门 的介绍 ，因此也成 了高中数 学 的难点之一 ，事实上 ，对这类问题的解答还是有规律可循 的 ，如证 明直线过定点 的解 题步骤可以归纳为 ：一选 、二求 、三定点 。具 体 操 作程序如下 ：
・ ． ．
的变化而变化 ， 可选择 这个量为参变量 （ 当动直线牵涉 的量 比较 多 时 ，也可以选择多个参变量 ） 。 二求 ： 求 出动直线的方程。 求 出只含上述参 变量 的动直 线方程 ， 并 由其他辅助条件减少参变 量的个数 ，最终使动直线 的方程 的系数
跗
一
：
嵩＝ ， １ ０ ｋ 詈 ５ １ Ｏ ｋ 州 ４ ５
ａ
＋ ＝１（ ａ＞ｂ＞０） 和圆 ：
ｂ 一
直线 ＭＥ 的斜率为 一 ÷。
＋Ｙ ＝ｂ ，已知 圆 ｃ ， 将椭 圆 的长轴 三等分 ，椭 圆 右焦 点
到右 准线的距离为 兰 ，椭 圆Ｇ 的下 顶点为 Ｅ ，过坐标原点 Ｏ且 与
３ ） 利用直线与椭圆联立方程， 将 ， Ｐ两点的坐标用参数ｋ表
￣ ／ ３ 一 ２ ＿ ４ ３２ ．， Ｊ
， ＿
解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》
分析几何题型2——《分析几何中的定值定点问题》题型特色：定值、定点问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题中的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点。
解决这种问题的重点就是引进参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒建立、数式变换等找寻不受参数影响的量。
这种试题考察的是在运动变化过程中找寻不变量的方法。
典例 1 如图，已知双曲线 C :x2 y 2 1(a 0) 的右焦点为 F ，点 A ， B 分别在 C 的两条渐近线上，a2AF x 轴， AB OB ， BF // OA （ O 为坐标原点）。
（ 1）求双曲线C的方程；（ 2）过C上一点P( x0, y0)的直线l :xxy0 y 1与直线 AF 订交于点 M ，与直线 x 3 订交于点 N ，a2 2MF恒为定值，并求此定值。
证明：当点 P 在 C 上挪动时，NF典例 2已知动圆过定点A(4,0) ，且在 y 轴上截得的弦MN 的长为8。
（ 1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（ 2）已知点B(1,0) ，设不垂直于x 轴的直线l与轨迹C交于不一样的两点P ， Q ，若x轴是PBQ 的角均分线，证明直线l 过定点。
典例 3 已知直线 l : y x 6 ，圆O : x2 y 2 5，椭圆 E :y2 x2 1(a b 0) 的离心率 e 3 ，a 2 b2 3 直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等。
（1）求椭圆E的方程；（2）过圆O上随意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值。
典例 4 椭圆的两焦点坐标分别为F1 ( 3,0) 和 F2 ( 3,0) ,且椭圆过点(1, 3 ) 。
2（ 1）求椭圆方程；（ 2）过点(6 ,0) 作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左极点，试判断5 MAN 的大小能否为定值，并说明原因。
解析几何中的定点、定值问题
解析几何中的定点、定值问题解析几何中的定点、定值问题[考情分析把握方向]解析几何中的定值、定点、定直线问题是近几年高考命题的热点,这类问题也是高考题中的一大难点。
此类问题动中有定，定中有动，并且常与轨迹问题、曲线系问题等问题相结合，深入考查直线与圆、圆锥曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等相关知识。
考察数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想方法。
高考年份填空题解答题附加题2010年第9题点到直线的距离为定值第18题证明直线过定点2011年第18题证明直线垂直 2012年第19题证明定值问题[备考策略提升信心]高考中重点关注以下几方面的问题：1．直线方程、圆的方程、直线与圆及直线与圆锥曲线的位置关系，重点是直线与圆的位置关系；2．圆锥曲线的标准方程和几何性质，特别是椭圆的标准方程及几何性质，同时注意它们的图形特征；3．轨迹问题求解的常用方法；数形结合思想以及函数与方程思想的应用；4．求圆锥曲线的方程的运算的要求有所提高，考查趋于方程的变形运算。
[小题训练激活思维]1.已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>过定点(1,1)P ，圆22:1C x y +=，直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，且0OM ON ?=，则直线l 与圆C 的位置关系是。
相切2．若双曲线122=-y x 的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值是。
123．已知O 为坐标原点，定点(1,0)A ，动点M 是直线:2l x =上的点，过点A 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，则线段ON 的长为。
4.已知椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点M 在右准线l 上运动，记直线FM OM AM ,,的斜率分别为321,,k k k ，若椭圆E 的离心率为21，则=+231k kk5.已知直线032:=++-a y ax l 及点)4,3(P .当点P 到直线l 的距离最大时,直线l 的方程是 .变式1：0)()2(:=-++++b a y b a x b a l 变式2：032)2()3(:22=-++++a a y a x a l[核心问题聚焦突破]已知椭圆2222:1x y C a b+=经过点(0,3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 与椭圆交于,A B 两点，点,,A F B 在直线4x =上的射影依次为点,,D K E 。
解析几何中的定点与定值问题
例1：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆T的方程为
+ = , 设, , 是椭圆上的三点（异于椭圆顶
点），且存在锐角θ，使
= + .
(1)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
(2)求 + 的值。
两点，设两直线的斜率分别为
, , 且 + = , 求直线
AB恒过定点的坐标。
小结：
2、通过设动直线方程再利用
条件，寻找动直线中的字母关
系（k与b）；或者解出动点坐
标，再出动直线方程，通过
化简求出定点；或者利用两个
特殊位置先求出定点，再证明。
变式训练：
在平面直角坐标系xoy中，椭圆C；
右顶点B的任意一点P，
记直线PA,PB的斜率分别为 , ,则 ∙
的值为_____________.
题型二、特值法（再证明）、设动直线方程、
解动点坐标等方法处理定点问题
例2、已知椭圆C: + =1,M(0,2)
是椭圆的一个顶点，过点M分
别作直线MA,MB交椭圆于A,B
+
= , 过点 ， −
的动直线与
椭圆交于, 两点，试判断以为
直径的圆是否恒过定点，说明理
由。
课堂小结：
本节课你学习到了？
小结：
1、设曲线上的动点坐
标，利用动点在曲线上
进行坐标运算、
以及整体运算、和消元
思想。
变式训练：
1、设M为双曲线
− =1(a>0,b>0)上的任意
解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展解答
专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。
)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一 点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为 弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程； 若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0,1〕,过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB.对于给定的实数)1(>a a ,证明：直线AB 过定点.解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥,从而直线MA 与坐标轴不垂直, 故可设直线MA 的方程为1y kx =+,直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程,整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+,故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理,点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++,即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点,且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ,证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ ),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线,得〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),(y x M 在椭圆上,即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 又222222212133,33b y x b y x =+=+又,代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值,定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点,B A ,分别为左顶点和上顶点,过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点,直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,,试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦,M 是AB 的中点,O 是椭圆的中心,OM AB k k ⋅=______22ab -3.在椭圆2212x y +=上,对不同于顶点的任意三个点,,M A B ,存在锐角θ,使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为. 12-4.如图,AB 是平面α的斜线段．．．,A 为斜足,若点P 在平面α内运动,使得ABP △的面积为定值,则动点P 的轨迹是椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、A B P α2C 上的动点,且OM ⊥ON ,求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时,|ON|=1,|OM|=22,则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕,则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ,得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ,所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d,因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+,所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ,即d=33.综上,O 到直线MN 的距离是定值.6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E ：22143x y +=若点A ,B 分别是椭圆E 的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点,并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-,直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-, 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x xx y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+, 所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22,且过点)21,22(P ,记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ,C 两点,试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ,2k 的直线交椭圆于D ,E 两点,且221=k k ,求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0,1〕,过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB.对于给定的实数)1(>a a ,证明：直线AB 过定点.例2一束光线从点1(1,0)F -出发,经直线l :230x y -+=上一点P 反射后,恰好穿过点2(1,0)F ． 〔1〕求P 点的坐标；〔2〕求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；〔3〕设点Q 是椭圆C 上除长轴两端点外的任意一点,试问在x 轴上是否存在两定点A 、B ,使得直线QA 、QB 的斜率之积为定值？若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点A 、B 的坐标；若不存在,请说明理由．例3 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点,且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ,证明22μλ+为定值.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点,B A ,分别为左顶点和上顶点,过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点,直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,,试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-的值为______．2.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦,M 是AB 的中点,O 是椭圆的中心,OM AB k k ⋅=______3.在椭圆2212x y +=上,对不同于顶点的任意三个点,,M A B ,存在锐角θ,使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为.4.如图,AB 是平面α的斜线段．．．,A 为斜足,若点P 在平面α内运动,使得ABP △的面积为定值,则动点P 的轨迹是5.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点,且OM ⊥ON ,求证：O 到直线MN 的距离是定值.A B P α 〔第4题〕6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E ：22143x y +=若点A ,B 分别是椭圆E 的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点,并求出定点的坐标.7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22,且过点)21,22(P ,记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ,C 两点,试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ,2k 的直线交椭圆于D ,E 两点,且221=k k ,求证：直线DE 恒过一个定点.。