322函数的运用(3)

常见的数学函数模型 • 一次函数模型：y=kx+b (k≠0) • 二次函数模型：y=ax2+bx+c (a≠0) • 指数函数模型： y=max+n (m≠0,a>0且a≠1) • 对数函数模型： y=mlogax+n (m≠0,a>0且a≠1) • 幂函数模型：y=bxa+c (b≠0,a≠1) • 分段函数模型：
2300
2200 2100 2000 0 1 2 3 4 5 t
解应用题的策略
一般思路可表示如下：
实际问题
问 题 解 决
数学化
(转化为数学问题) 抽象概括
数学问题
数 学 解 答
推 理 演 算
实际问题 结论
符合实际
(回到实际问题) 还原说明
数学问题 结论
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段 时间的经营实践，旅社经理发现，每间客 房每天的价格与住房率之间有如下关系：
当x 6.5时，y 有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润
解2:设每桶水定价为x元时，日销售利润为y元, 则日均销售量为 480 40( x 6) 720 40 x 桶
y (720 40 x)( x 5) 200 2 40 x 920 x 3800
v
90 80 70 60 50 40 30 20 10
1
2
3
4
5
t
50t 2004 (2)解: 80( t 1) 2054 S 90( t 2) 2134 75( t 3) 2224 65( t 4) 2299
s 2400
0 t 1 1 t 2 2t 3 3t 4 4t 5
思考引 入 某学生早上起床太晚，为避免迟到，
不得不跑步去学校，但由于平时不注 意锻炼身体，结果跑了一段路后就累 了，于是就走完余下的路程。
如果用纵轴表示该同学去学校时离 开家的距离，横轴表示出发后的时 间，则下列四个图象比较符合此学 生走法的是（ ）
d d
0
d d
0
变化
0
d d
(A)
0
t
0
t
0
d d
每间每天房价 20元 18元 16元 住房率 65％ 75％
.
14元 95％
85％
要使每天收入达到最高,每间定价应为( )C A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
2.将进货单价为80元的商品按90元 一个售出时，能卖出400个，已知 这种商品每个涨价1元，其销售量 就减少20个，为了取得最大利润， 每个售价应定为( A )
x y a (a 0且a 1) 3.指数函数的解析式为___________ 图象分布在____ x 轴上方 当______ 上为增函数， a 1 时，函数在 ( , ) 当______ 时，函数在 ( 上为减函数。 , ) 0 a 1
y loga x (a 0且a 1) 4.对数函数的解析式为____________________ 其图像分布在______ y 轴右侧 (0 , )单调递增 当______ a 1 时，函数在区间__________ 当______ __________ (0 , )单调递减 0 a 时，函数在区间 1
4ac __________ 4a
b b ( , ] ( , ) 函数有单调增区间__________ 单调减区间 _________ 2a 2a
3.指数函数的解析式为___________ 图象分布在____轴上方 当______ 时，函数在 上为增函数， 当______ 时，函数在 上为减函数。
3.2.2函数模型及 其应用(3)
1.一次函数的解析式为_____________,其图像是 当______时，一次函数在 上为增函数， 当______时，一次函数在 上为减函数。 2.二次函数的解析式为_______________________, 其图像是一条________线， 当______时，函数有最小值为__________，
y x a ( a R) 5.幂函数的解析式为____________________ 函数在第___ 点 I象限一定有图像，图象恒过_____ (1,1) (0 , ) 单调递增 当______ a 0 时，函数在区间__________ 当______ a 0 时，函数在区间__________ (0 , ) 单调递减
注意：建立相应函数模型后，求函数解析式多采用用待定系数法
我们在前面的学习中已提到：函 数是描述事物运动变化规律的数学模 型。如果了解了函数的变化规律，那 么也就基本掌握了相应事物的变化规 律。
然而在许多实际问题面前，我们 常常会发现并没有现成的函数模型直 接让我们使用。这就需要我们学会利 用具体问题的条件和背景来寻找和建 立合适的数学解题模型。
(B)
0
t
0
t
0 （C)
t
0
t
0
t (D)
0
t
通过上述问题的分析我们再一次认识 到函数是描述事物运动变化规律的数学 模型，通过函数研究，我们可以认识事 物的变化规律。以前我们学过哪些描述 函数的具体方法？
列表法、图象法、解析法
根据你的理解，用函数模型研究实际 应用问题时我们应当注意什么？解题的 基本步骤有哪些？
解决实际应用问题的一般步骤： ①审题：弄清题意,分清条件和结论, 理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言, 利用数学知识,建立相应的数学模型; ③解模：求解数学模型,得出数学结论; ④还原：将用数学知识和方法得出的 结论,还原为实际问题．
例1：某桶装水销售部每天的房租、人员工资等 固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售 单价与日均销售量的关系如表所示：
函数有单调减区间__________单调增区间_________
当______时，函数有最大值为____________， 函数有单调增区间__________单调减区间_________
1.一次函数的解析式为_____________, 其图像是 一直线 y k x b( k 0) 当______时，一次函数在 ( 上为增函数， ,) 当______时，一次函数在 ( 上为减函数。 ,)
y ax2 bx c(a 0) 2.二次函数的解析式为_______________________, 抛物 线， 其图像是一条________ 4ac b 2 当______ a 0时，函数有最小值为__________ 4a ， b b ( , ] ( , ) 函数有单调减区间__________ 2a 单调增区间_________ 2a
.
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元
y=(90+x-80)(400-20x)
小结
本节我们通过分析一些实际问题 背景,尝试运用所学函数模型去解决 问题，初步认识并体会了函数应用的 基本方法和步骤.我们要在逐步应用 的过程中掌握这一问题的解题策略． 常见的函数模型有：一次函数、 二次函数、分段函数及简单的指对函 数．
销售单价(元) 日均销量(桶)
6
7
8
9
10
11
12
480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎 样定价才能获得最大利润？
分析思考： ①销售单价每增加1元，日均销售量就 减少多少桶？ ②销售利润有哪些因素决定？怎样计 算较好？ ③为了建立数学函数模型，需要做哪 些准备工作？ ④实际问题的解题书写应注意什么？ 试着解决问题并写出具体解题过程。
40( x 11.5) 1490
2
而
x 5, 且720 40 x 0,即5 x 18
当x 11.5时，y 有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润
例2:一辆汽车在某段路程的行驶速度与时间关系 如图所示：（1）求图中阴影部分的面积，并说明 所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程 表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建 立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时 间t h的函数解析式，并作出相应的图象
解1:设在进价基础上增加x元后，日均利润为y元, 则日均销售量为 480 40( x 1) 520 40 x 桶
y (520 40x) x 200 40x 520x 200
2
40( x 6.5) 1490
2
而
x 0, 且520 40x 0,即0 x 13
4.对数函数的解析式为____________________ 其图像分布在______轴右侧 当______ 时，函数在区间__________单调递增 当______ 时，函数在区间__________单调递减
5.幂函数的解析式为____________________ 函数在第___象限一定有图像，图象恒过_____点 当______时，函数在区间__________单调递增 当______时，函数在区间__________单调递减