2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若命题∃x∈{2，3}，x2﹣4＞0，则命题￢p为．2．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了9名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．3．（5分）图中的伪代码运行后输出的结果是．4．（5分）下列事件是随机事件的是（填序号）．①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在1℃时结冰；④任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．5．（5分）某企业共有职工627人，总裁为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况，决定抽取10%的职工进行问卷调查，如果采用系统抽样方法抽取这一样本，则应分成段抽取．6．（5分）下表是一个容量为60的样本（60名学生的数学考试成绩，成绩为0﹣100的整数）的频率分布表，则表中频率a的值为．7．（5分）以下四个命题中是真命题的有（填序号）．①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则0.005×20×2+0.0025×20=0.25有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．8．（5分）如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．9．（5分）在1L高产小麦种子中混入1粒带麦锈病的种子，从中随机取出20mL，则不含有麦锈病种子的概率为．10．（5分）有分别写着数字1～12的12张卡片，若从中随机取出一张，则这张卡片上的数字是2或3的倍数的概率为．11．（5分）如图是一个算法的伪代码，运行后输出的n值为．12．（5分）定义运算⊗，a⊗b=S的运算原理如伪代码所示，则式子5⊗3+2⊗4=．13．（5分）根据流程图，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=（）x﹣m，g（x）=x2．若对∀x1∈[﹣1，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）我县某中学为了配备高一新生中寄宿生的用品，招生前随机抽取部分准高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生应寄宿，且该校计划招生1800名，请估计新生中应有多少名学生寄宿；（3）若不安排寄宿的话，请估计所有学生上学的平均耗时（用组中值代替各组数据的平均值）．16．（14分）已知数列{a n}中，a1=2，如图1的伪代码的功能是求数列{a n}的第m项a m的值（m≥2），现给出此算法流程图的一部分．（1）直接写出流程图（图2）中的空格①、②处应填上的内容，并写出a n与a n+1之间的关系；（2）若输入的m值为2015，求输出的a值（写明过程）．17．（14分）用计算机随机产生的有序二元数组（x，y）满足﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1．（1）求事件x≤的概率；（2）求事件“x2+y2＞1”的概率．18．（16分）抽取某种型号的车床生产的10个零件，编号为A1，A2，…，A10，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率；（3）若甲、乙分别从一等品中各取一个，求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．19．（16分）已知，命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1=0．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（3）若命题“p∨q”为真命题，且命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20．（16分）已知集合A={x|log5（ax+1）＜1}（a≠0），B={x|2x2﹣3x﹣2＜0}．（1）求集合B；（2）求证：A=B的充要条件为a=2；（3）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若命题∃x∈{2，3}，x2﹣4＞0，则命题￢p为∀x∈{2，3}，x2﹣4≤0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题∃x∈{2，3}，x2﹣4＞0，则命题￢p为：∀x∈{2，3}，x2﹣4≤0．故答案为：∀x∈{2，3}，x2﹣4≤0．2．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了9名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为12．【解答】解：∵在高一年级的学生中抽取了9名，∴在高二年级的学生中应抽取的人数为人，故答案为：12；3．（5分）图中的伪代码运行后输出的结果是3．【解答】解：根据已知伪代码，可得：a=3b=﹣5c=3a=﹣5b=3输出b的值为3．故答案为：3．4．（5分）下列事件是随机事件的是①④（填序号）．①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在1℃时结冰；④任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．【解答】解：①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上，是随机事件；②异性电荷相互吸引，是不可能事件；③在标准大气压下，水在1℃时结冰，是不可能事件；④任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数，是随机事件．故答案为：①④；5．（5分）某企业共有职工627人，总裁为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况，决定抽取10%的职工进行问卷调查，如果采用系统抽样方法抽取这一样本，则应分成62段抽取．【解答】解：由于抽取10%，即抽取比例为10：1，则每10人一组，∵627÷10=62+7，∴应该分成62段，故答案为：62；6．（5分）下表是一个容量为60的样本（60名学生的数学考试成绩，成绩为0﹣100的整数）的频率分布表，则表中频率a的值为0.35．【解答】解：根据题意，填写表中数据，如下；成绩在0.5～20.5内的频率是=0.05，成绩在20.5～40.5内的频率是=0.10，成绩在40.5～60.5内的频率是=0.20，∴成绩在60.5～80.5内的频率是1﹣（0.05+0.10+0.20+0.30）=0.35；∴a的值是0.35．故答案为：0.35．7．（5分）以下四个命题中是真命题的有①②（填序号）．①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则0.005×20×2+0.0025×20=0.25有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．【解答】解：对于①，命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”，它是真命题；对于②，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”，它是真命题；对于③，命题“若m≤1，则0.005×20×2+0.0025×20=0.25有实根”是假命题，∴它的逆否命题也是假命题；对于④，命题“若A∩B=B，则A⊆B”是假命题，∴它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是①②．故答案为：①②．8．（5分）如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 3.2．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为83，84，84，86，88，平均数为（83+84+84+86+88）=85，方差为（4+1+1+1+9）=3.2，故答案为：3.2．9．（5分）在1L高产小麦种子中混入1粒带麦锈病的种子，从中随机取出20mL，则不含有麦锈病种子的概率为．【解答】解：在1L高产小麦种子中随机取出20mL，恰好含有麦锈病种子的概率P==，故从中随机取出20mL，不含有麦锈病种子的概率P=1﹣=；故答案为：10．（5分）有分别写着数字1～12的12张卡片，若从中随机取出一张，则这张卡片上的数字是2或3的倍数的概率为．【解答】解：从12张卡片中随机取出一张，共有12种情况，其中卡片上的数字是2倍数有：2，4，6，8，10，12，其中卡片上的数字是3数有：3，6，9，12，故卡片上的数字是2或3的倍数的情况有2，3，4，6，8，9，10，12，共8种，故这张卡片上的数字是2或3的倍数的概率P==；故答案为：11．（5分）如图是一个算法的伪代码，运行后输出的n值为2．【解答】解：模拟执行伪代码，可得n=5，S=0满足条件S＜10，S=5，n=4满足条件S＜10，S=9，n=3满足条件S＜10，S=12，n=2不满足条件S＜10，退出循环，输出n的值为2．故答案为：2．12．（5分）定义运算⊗，a⊗b=S的运算原理如伪代码所示，则式子5⊗3+2⊗4=32．【解答】解：有程序可知S=a⊗b=，∴5⊗3+2⊗4=5×（3+1）+4×（2+1）=32．故答案为：32．13．（5分）根据流程图，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，4）．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或1＜m＜4，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，4）．14．（5分）已知函数f（x）=（）x﹣m，g（x）=x2．若对∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围为﹣2≤m≤．【解答】解：f（x）=（）x﹣m，∀x1∈[﹣1，3]，∴f（x）∈[﹣m，2﹣m]，g（x）=x2，x2∈[﹣1，2]，∴g（x）∈[0，4]，∴﹣m≥0，2﹣m≤4，∴﹣2≤m≤．故答案为∴﹣2≤m≤．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）我县某中学为了配备高一新生中寄宿生的用品，招生前随机抽取部分准高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生应寄宿，且该校计划招生1800名，请估计新生中应有多少名学生寄宿；（3）若不安排寄宿的话，请估计所有学生上学的平均耗时（用组中值代替各组数据的平均值）．【解答】解：（1）由直方图可得：20x+0.025×20+0.005×20×2+0.0025×20=1．所以x=0.0125．…（4分）（2）新生上学所需时间不少于40分钟的频率为：0.005×20×2+0.0025×20=0.25…（7分）因为1800×0.25=450所以1800名新生中有450名学生寄宿．…（9分）（3）0.0125×20×10+0.025×20×30+0.005×20×50+0.005×20×70+0.0025×20×90=34．所以所有学生上学的平均耗时为34分钟．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}中，a1=2，如图1的伪代码的功能是求数列{a n}的第m项a m的值（m≥2），现给出此算法流程图的一部分．（1）直接写出流程图（图2）中的空格①、②处应填上的内容，并写出a n与a n+1之间的关系；（2）若输入的m值为2015，求输出的a值（写明过程）．【解答】解：（1）①2；…（2分）②m+1；…（4分）a n+1=a n+2 …（7分）（2）模拟执行程序，可得：m=2015，a=2i=2，a=2+2（2﹣1）=4i=3，a=2+（3﹣1）×2=6…i=2015，a=2+（2015﹣1）×2=4030．故若输入的m值为2015，输出的a值为4030…（10分）17．（14分）用计算机随机产生的有序二元数组（x，y）满足﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1．（1）求事件x≤的概率；（2）求事件“x2+y2＞1”的概率．【解答】解：（1）记事件“x≤”为事件A，…（1分）x可以看成数轴上的点，则所有试验结果形成的区域D为数轴上﹣1到1的线段，其测度为2，…（3分）事件A的表示的区域d为数轴上﹣1到的线段，测度为，…（5分）P（A）===．答：事件x≤的概率为．…（7分）（2）记事件“x2+y2＞1”事件为B，…（8分）由于x，y的随机性，（x，y）可以看成坐标平面中的点，所有试验的全部结果D'为{（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1}表示的平面区域，是边长为2正方形，测度为4，…（10分）事件B表示的平面区域d'为圆O的外部，则其测度为（4﹣π）…（12分）则：，答：事件“x2+y2＞1”的概率为．…（14分）18．（16分）抽取某种型号的车床生产的10个零件，编号为A1，A2，…，A10，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率；（3）若甲、乙分别从一等品中各取一个，求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．【解答】解：（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则p（A）==．所以，从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为．（2）①解：一等品零件的编号为A1、A2、A3、A4、A5，从这5个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：A1、A2；A1、A3；A1、A4；A1、A5；A2、A3；A2、A4；A2、A5；A3、A4；A3、A5；A4、A5，共计10个．②解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：A1、A4；A2、A3；A2、A5；A3、A5，共有4种．故从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为=．（3）由（2）知甲、乙分别从一等品中各取一个，共有20种可能（有序），甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的有6种可能．记“甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径”为事件C，则甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率为=．19．（16分）已知，命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1=0．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（3）若命题“p∨q”为真命题，且命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：：∀x∈R，x2+ax+2≥0，为真命题，则方程x2+ax+2=0的判别式△=a2﹣8≤0，…（2分）所以实数a的取值范围为；…（4分）（2）若命题q为真命题，x2﹣ax+1=0，因为，所以x≠0，所以…（6分）因为，所以，当且仅当x=﹣1时取等号，…（8分）又在[﹣3，﹣1]上单调增，上单调减，，f（﹣）=﹣，所以f（x）值域为[﹣，﹣2]，所以实数a的取值范围[﹣，﹣2]…（10分）（3）命题“p∨q”为真命题，则a∈[﹣2，2]∪[﹣，﹣2]=[﹣，2]；…（12分）命题“p∧q”为真命题，则，…（14分）所以命题B﹣FC1﹣C为假命题，则，所以若命题为真命题，命题B﹣FC1﹣C为假命题，则=所以实数a的取值范围…（16分）．20．（16分）已知集合A={x|log5（ax+1）＜1}（a≠0），B={x|2x2﹣3x﹣2＜0}．（1）求集合B；（2）求证：A=B的充要条件为a=2；（3）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）2x2﹣3x﹣2＜0，（2x+1）（x﹣2）＜0，所以，所以…（4分）（2）证明：充分性：当a=2时，，所以当a=2时：A=B．…（6分）必要性：A={x|log5（ax+1）＜1}={x|0＜ax+1＜5}={x|﹣1＜ax＜4}当a＞0时，又A=B，∴，…（8分）当a＜0时，，∴，无解，A≠B，故A=B时，a=2．∴A=B的充要条件为：a=2…（10分）（3）∵p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，…（12分）由（2）知当a＞0时，，则，解得a＞2…（14分）当a＜0时，，则，综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是a ＞2，或a ≤﹣8．…（16分）。