7.4简单的线性规划
《简单的线性规划》教学设计2
《简单的线性规划》教学设计一、内容和内容解析线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。
与其它部分知识的联系，表现在：二、目标和目标解析本课时的目标是：1．了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念．了解线性规划模型的特征：一组决策变量表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．2．掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤．会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一族平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答．3．培养学生数形结合的能力．对模型中z的最小值的求解，通过对式子的变形，变为，利用数形结合思想，把看作斜率为的平行直线系在y轴上的截距．平移直线，使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过M（4，2），得出最优解x＝4，y＝2．三、教学问题诊断分析线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求．其中第一个难点通过第1课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之．将决策变量x，y以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案．借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系；以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。
简单的线性规划
练习：画出下列不等式组表示的平面区域：
Y ≤X 2Y≥X ⑵
⑴
X+2Y ≤4
Y≥-2
3X+2Y≥6
3Y<X+9
⑶
X+2Y+1>0
X-Y+4<0
⑷
X+2Y+1<0
X-Y+4>0
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Y ≤X
2Y≥X
⑴
X+2Y ≤4
Y≥-2
⑵
3X+2Y≥6
问题：如何判断平面内任意一点 （X，Y）与直线 X+Y-1=0 的关系呢？
方法：将点的坐标（x,y）代入x+y-1可得一个实数。若为0，则 点在直线上；若>0则点在直线x+y-1=0的右上角的平面区域；若 <0则在直线x+y-1=0左下方区域，所以说：在平面直角坐标系中， 以二元一次不等式x+y-1>0的为坐标点的集合为{(x,y)|x+y-1>0}, 以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合为{(x,y)|x+y1<0} 所以说：在平面直角坐标系中二元一次不等式X+Y-1>0 的 解为坐标的点的集合为｛（X，Y）|X+Y-1>0｝以二元一次不 等式X+Y-1<0 的解为坐标的点的集合为 ｛（X，Y）|X+Y-1<0｝
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(A>0 B<0)
实例分析：
例 1 画出不等式 2X+Y-6<0 表 示的平面区域
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简单的线性规划PPT课件
思考分析：判断Ax+By+C>0在直线Ax+By+C＝0 的哪一侧区域的步骤
对于直线Ax+By+C＝0同一侧的所有点(x , y) ， 把坐标(x , y)代入所得到实数的符号都相同，所以 只需要在直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0）， 从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直 线哪一侧的平面区域。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
-2 -1
o 12
x区域如图所示。
作图要求
1：用直尺作图； 2：三要素要标明：x,y轴；原点；单位长度； 3：实、虚线要分清； 4：要注明每条边界直线的方程.
随堂练习
（1）画出不等式2x-y-4≥0所表示的平面区域。 （2）画出不等式y>2x所表示的平面区域。 （3）画出不等式x≥1所表示的平面
点集 {(x,y)|x+y-1<0}表示的是直线x+y-1=0的 左下方区域。
得出结论：
二元一次不等式Ax+By+C>0(<0)在平 面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某 一侧所有点组成的平面区域。
想一想：
问题3：Ax+By+C>0 与Ax+By+C≥0有什么区别？
问题4：如何判断Ax+By+C>0在直线Ax+By+C＝0 的哪一侧区域上？
演讲完毕，谢谢观看！
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2013届高考北师大版数学总复习课件：7.4二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
知识梳理 1．二元一次不等式(组 )表示平面区域 作二元一次不等式 ax＋ by＋ c＞ 0(或 ax＋ by＋ c＜ 0)表示的 平面区域的方法步骤： (1)在平面直角坐标系中作出直线 a的一侧任取一点 P(x0，y0)，特别地，当 c≠0 时，常把原点作为此特殊点． (3)若 ax0＋ by 0＋ c＞ 0，则包含点 P 的半平面为不等式
ax＋by＋c>0 所表示的平面区域， 不包含点 P 的半平面为不
等式 ax＋by＋c<0所表示的平面区域．
2．线性规划的有关概念 (1)线性约束条件 ——由条件列出一次不等式 (或方程 )组． (2)线性目标函数 ——由条件列出一次函数表达式． (3)线性规划问题： 求线性目标函数在约束条件下的最大值 或最小值问题．
直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 偏上方 直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 偏下方
直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 偏下方 直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 偏上方
主要看不等号与 B 的符号是否同向， 若同向则在直线上方， 若异向则在直线下方， 简记为“同上异下”， 这叫 B 值判断法． 一般地说，直线不过原点时用原点判断法或 B 值判断法， 直线过原点时用 B 值判断法或用(1,0)点判断．
)
[答案] D
[解析 ] 本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题 首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端点的值为目标函数 的最值，求出交点坐标代入目标函数即可． x≥ 1， 由x＋ y－ 4≤ 0， x－ 3y＋ 4≤ 0，
作出可行域如下图：
当直线 z＝3x－ y 过点 A(2,2)点时 z 有最大值． z 最大值＝3×2－ 2＝4.
)
[答案] B
[解析] 画出可行域 (如下图 )，由图可知，当直线 l 经过点 A(1，－ 1)时， z 最大，且最大值为 zmax＝ 1－ 2× (－1)＝ 3.
7.4(1)简单的线性规划
练习 课本 P64 课堂作业
练习:1,(1)(2)
课本 P65
习题7.5 第2题(1),(2)
�
简单的线形规划
一,复习回顾
1,二元一次方程与不等式的联系:
二元一次方程 表示直线 表示直线 Ax + By + C = 0 某一侧所有点组成的平面区 域(不包括边界,画成虚线) 表示包括直线边界的半平面 (包括边界,画成实线) )
Ax + By + C = 0
二元一次不等式
Ax + By + C > 0
l : Ax + By - z = 0, 观察
l
的"特殊位置";
(令z=0,画出 l 0 ,在可行域内平行移动 l 0 ,得其在y轴有 最大,最小截距的两条平行线) 3,代入计算.(直接代入交点坐标,可得最大,最小值) 特别地,当B>0,Z的最大值就是直线最大截距的时候,Z的 最小值是直线有最小截距的时候;反之,B<0,则相反.
x=1
l : x - 2y - z = 0,
使之与平面区域 有公共点,由图知, 当 l 过A(5,2)时,
5 4 C A B 2 3 4 5 6 3x+5y-25=0 7 x x-4y+3=0
l2
3 2 1
22 C (1, ) 时,z的值最小, 5
所以,
z的值最大,当 l 过 l
-1 O
1
zmax = 5 2 × 2 = 1
z = x2 + y2 2,目标函数:关于x,y的解析式,如z=2x+y,
3,线形目标函数:如果这个解析式是x,y的一次解析式,则 目标函数又称为线形目标函数. 4,可行解:满足线形约束条件的解(x,y)叫做可行解. 5,可行域:由所有可行解组成的集合叫做可行域. 6,最优解:分别使目标函数取得最大值和最小值的解,叫 做这个问题的最优解. 7,线性规划问题:求线形目标函数在线形约束条件下的最大值或 最小值的问题,统称为线形规划问题.
简单的线性规划
所表示的平面区域的公共部
分。
表示的平面区域
x－y+5=0
Y
x+y=0
O
X
解：不等式ｘ－ｙ＋５＞０表示
直线ｘ－ｙ＋５＝０上及右
x=3
下方的点的集合，ｘ＋ｙ≥０
表示直线ｘ＋ｙ＝０上及右上方的点的集合，ｘ≤３
表示直线ｘ＝３上及左方的点的集合。
巩固练习２：画出下列不等式组表示的平面区域：
y＜x
⑴ x+2y≤4 y≥－２
A(-3,1)
kMA
2 1 1 (3)
1 4
kMC
20 1 (1)
1
B(-2,0)
得 1 <k<1,即 1 b 2 1
4
4 a 1
b
C(-1,0) -2
M(1,2)
b=0 a
a+2b+1=0 a+b+2=0
例:已知实数x,y满足
4x y 10 4x 3y 20 x 0 y 0
1
a
2b
0
b0 o a 2b 1 0
1
2x
4 2a 2b 0 a b 2 0
将不等式组看成关于a,b的二元一次组, 用线性规划画出a,b满足的区域
k b2 a 1
b0 a 2b 1 0 a b 2 0
2.|x|+|y|<2表示正方形之内的区 域.
例3:求证:方程
(x-a)(x-b)+ (x-a)(x-c)
+ (x-c)(x-b)=0 有两个实根,其中一个根大于b,另一个根 小于b.
简单的线性规划
7.4 简单的线性规划
一、教学目的及要求：1、使学生会用二元一次不等式表示平面区域；
2、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行
解、可行域、最优解等基本概念，了解线性规划问题的图解
法；
3、使学生能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
二、教学重点： 1、 使学生会用二元一次不等式表示平面区域 ；
2、使学生能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
三、教学难点： 使学生掌握把实际问题转化成线性规划问题的基本方法。
教学过程：
一、复习：复习方程的有关知识
二、讲新课：1、简单介绍二元一次不等式表示平面区域；
2、学生先看后讲59P 例1；
3、学生先看后讲59P 例2；
4、学生先做后讲60P 练习1；
5、学生先做后讲60P 练习2；
6、学生先看60P 至61P 后简单介绍线性约束条件、线性目标函数、可行解、
可行域、最优解等基本概念；
7、学生先看后讲61P 例3；
8、；学生先看后讲63P 例4
9、学生先做后讲64P 练习1 （1）；
10、学生先做后讲64P 练习1 （2）；
11、学生先做后讲64P 练习2；
12、学生先做后讲64P 习题7.4 1；
13、学生先做后讲65P 习题7.4 2 （1）；
14、学生先做后讲65P 习题7.4 2 （2）；
三、小结：
四、课外作业： 65P 习题7.4 2 （3）。
简单的线性规划(一)
课题：7.4 简单的线性规划(一)授课人：石家庄市第一中学孟庆善教材分析：本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件．使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣．教学目标：1．使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2. 掌握根据二元一次不等式（组）正确做出平面区域的方法，培养学生作图的能力．3．让学生通过观察、联想，体验数学的作用，培养学生学习数学的兴趣，培养学生勤于思考、勇于探索和团结协作的精神。
教学重点：二元一次不等式表示平面区域．教学难点：1．二元一次不等式表示平面区域；2．根据二元一次不等式（组）正确做出平面区域．教法分析：师生互动，探究、研讨、辨析、总结鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法．首先设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；其次提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识．恰当的利用多媒体课件辅助教学，直观生动地呈现学生思维的形成过程，从而提高教学效率．在教学过程中，注重学生的探索经历和发现新知的体验，使其形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略．教学过程：小结：1．二元一次不等式表示平面区域；2．二元一次不等式（组）表示平面区域的作图方法．作业：1．阅读教材Ｐ63－Ｐ65；2．习题7.4 1．。
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解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的 可行域； 可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组 平行线中，利用平移的方法找出与可行域 平行线中， 有公共点且纵截距最大或最小的直线； 有公共点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； 通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。 作出答案。
求z=2x-y+4的最大值 的最大值
目标函数:z=Ax+By 平移直线的纵截距最大, 当B>0时,平移直线的纵截距最大 时 平移直线的纵截距最大 则Z在该可行解处取到最大值 在该可行解处取到最大值 当B<0时,平移直线的纵截距 时 平移直线的纵截距 最大,则 在该可行解处取到 最大 则Z在该可行解处取到 最小值
③线性规划问题：一般地，求线性目标 线性规划问题：一般地， 函数在线性约束条件下的最大值或最小 值的问题，统称为线性规划问题． 值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解： 可行解、可行域和最优解： • 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行 满足线性约束条件的解（ 解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可 行解叫线性规划问题的最优解． 行解叫线性规划问题的最优解．
①线性约束条件：在上述问题中，不等式 线性约束条件：在上述问题中， 的约束条件， 组是一组变量x、y的约束条件，这组约束 的一次不等式， 条件都是关于x、y的一次不等式，故又称 线性约束条件． 线性约束条件． ②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y 线性目标函数： 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数． 的解析式，叫线性目标函数．
y
o
x
简单的线性规划( 简单的线性规划(第二课时) 可行域上的最优解
例1：设 z = 2 x + y ，式中变量 ：
x, y
满足下列条件： 满足下列条件： x − 4 y ≤ −3 3x + 5 y Байду номын сангаас 25 x ≥ 1 的最值. 求 的最值
z
线性规划的基本概念: 线性规划的基本概念
例4．在如图所示的坐标平面的可行 ． 阴影部分且包括边界 包括边界） 域（阴影部分且包括边界）内，目标 函数 z = 2 x − ay 取得最大值的 最优解有无数个， 最优解有无数个，求实数
a 的值 的值.
课后作业： 习题7.4 第2题 课后作业：P65习题 习题 题
2 x + y − 2 ≥ 0, 补充:1 补充 已知 x, y 满足 x − 2 y + 4 ≥ 0, 3x − y − 3 ≤ 0.
求 x + y 的最大值和最小值 的最大值和最小值.
2 2
2 已知 x, y 满足 | x − 1 | + | y + 1 |< 1 ,求 求
y−2 f = x −1
的取值范围. 的取值范围
例2已知 已知
x, y 满足
x − 4 y + 3 ≤ 0, 3x + 5 y − 25 ≤ 0, x ≥ 1.
y 分别求(1) 分别求 z = x
(2)
s = ( x − 4)
2
2 的最值 的最值. + ( y − 1)
在线性约束下, 例3.在线性约束下 在线性约束下
x + 3 y ≥ 12 x + y ≤ 10 3 x + y ≥ 12