2020-2021学年上海中学高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海中学高二（上）期末数学试卷

1.（填空）若复数 a+3i 1+2i （a∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ___ ．

2.（填空）函数f （n ）=i n +i -n （n∈N*，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为___ ．

3.（填空）已知方程 x 2−2−λ+y 21+2λ =-3表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是___ ．

4.（填空）已知双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y= √3 x ，它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为___ ．

5.（填空）若点（3，1）是抛物线y 2=2px （p ＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=___ ．

6.（填空）把参数方程 {x =sinθ−cosθy =sinθ+cosθ

（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是___ ． 7.（填空）已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ___ ．

8.（填空）设复数z 满足条件|z|=1，那么|z+2 √2 +i|的最大值是___ ．

9.（填空）若曲线y 2=|x|+1与直线y=kx+b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是___ ．

10.（填空）已知F 1，F 2是等轴双曲线C ：x 2-y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|•|PF 2|等于___ ．

11.（填空）已知双曲线C ： x 2a 2−y 2b 2 =1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，

垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若7 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN

⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的渐近线方程为 ___ ． 12.（填空）直线l 与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为-1，以线段AB 的中点为圆心， √2 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点，M （6，0），则|MP|2+|MQ|2的最小值为___ ．

13.（单选）已知椭圆 x 22a 2 + y 22b 2 =1（a ＞b ＞0）与双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1有相同的焦点，则椭圆的离

心率为（ ）

A. √22

B. 12

C. √66

D. √63

14.（单选）已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）

A.3

B.4

C. 3√2

D. 4√2 15.（单选）已知圆（x-2）2+y 2=9的圆心为C ，过点M （-2，0）且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间．过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹为（ ）

A.圆的一部分

B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

16.（单选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为 a 4

的圆在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为 x 23+y 23=a 23 ，给出下列四个结论，正确的有（ ）

（1）星形线的参数方程为： {x =acos 3t y =asin 3t

（t 为参数）； （2）若a=5，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）

（3）曲线 x 12+y 12 =1在星形线 x 23+y 23 =1的内部（包含边界）；

（4）设星形线围成的面积为S ，则 S ∈(π4a 2，a 2) ． A.（1）（3）（4）

B.（1）（2）（3）（4）

C.（2）（3）

D.（1）（2）（3）

17.（问答）已知复数z=1+i ，求实数a ，b 使az+2b z =（a+2z ）2．

18.（问答）已知关于x 的复系数一元二次方程x 2+zx+4+3i=0（z∈C ）有实数根，求复数|z|的最小值．

19.（问答）已知直线y=kx+1（k∈R ）与双曲线3x 2-y 2=1，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？

20.（问答）已知关于t 的方程t 2+（2+i ）t+2xy+（x-y ）i=0（x ，y∈R ）．

（1）当方程有实数根时，求点（x ，y ）的轨迹方程；

（2）求方程的实数根的取值范围．

21.（问答）已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）过点T （2，-4）．

（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离．

（2）已知点A （4，0），过点B （-4，0）的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线x=-4于点P 、Q ，求 |PB||BQ| 的值．

22.（问答）已知椭圆C ： x 24+y 22 =1，点P （4，1）为椭圆外一点．

（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；

（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足| AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|QB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，证明：点Q 总在某定直线上．