内点法无法处理等式约束
(完整版)机械优化设计试卷期末考试及答案
第一、填空题1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。
2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。
3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。
4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。
5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。
6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。
7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession矩阵为 。
（2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。
9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠度 最低 的那个单元的可靠度还低。
10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。
11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。
12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。
13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。
14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。
15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向，模型求解 两方面的内容。
17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。
18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。
19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据范围涵盖了均值左右 3σ 的区间。
内点法求解约束优化问题
min G ( x, rk )
由于问题本身很简单， 我们利用无约束优化问题的最优性条件得到以 上问题的解。即利用解析的方法，令
rk dG 1 = ( x1 + 1) 2 − =0 2 dx1 4 ( x1 − 1)
r dG = 1 − k2 = 0 dx2 x2
解得
x rk = ( x1 , x2 ) =
例 8.3：考虑下列问题，利用内点法求解。
min
1 3 ( x1 + 1) + x2 12 s.t. x1 − 1 ≥ 0 x2 ≥ 0
解：定义障碍函数
G ( x, rk ) =
1 1 1 3 + ( x1 + 1) + x2 + rk 12 x1 − 1 x2
可通过求解下列无约束优化问题，求得该问题的近似解：
G ( x, r ) = ( x + 1) + r
2
1 x
可通过求解下列无约束优化问题，求得该问题的近似解：
min G ( x, r )
由于问题本身很简单， 我们利用无约束优化问题的最优性条件得到以 上问题的解。即利用解析的方法，令
dG r = 2( x + 1) − 2 = 0 dx x
解得
2( x
显然， rk 越小， x rk 越接近问题的最优解，当 rk → 0 时，
x rk → x → (1, 0) 。
所以问题的最优解为 x 。
例 8.4：考虑下列问题，利用内点法求解。
min f ( x) = ( x + 1) 2 s.t. g ( x) = x ≥ 0
解：定义障碍函数
显然， r 越小， x r 越接近问题的最优解，当 r → 0 时，
内点法迭代原理及工程实例求解应用
内点法迭代原理及工程实例求解应用摘要：内点法是一种求解线性规划和非线性规划问题的多项式算法，其迭代次数与系统规模关系不大。
目前，内点法被扩展运用于求解二次规划模型，其计算速度和处理不等式约束的能力已经超过了求解二次规划模型的经典算法。
本文主要介绍线性规划中内点法的运用以及对工程实例的计算，并且分析了如何运用内点法迭代原理得到最优解。
关键字：线性规划问题；内点法；最优解；二次规划；1 引言1984年，Karmarkar发现了一个关于求解线性规划的方法，这个方法称作内点法。
内点法是罚函数中的一种，与外点法的最大的区别在于该方法利用罚函数生成一系列内点来逼近原约束问题的最优解。
罚函数的作用是对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外。
内点法在迭代中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索。
后得出最优解。
对于不等式约束的最优化问题，比较适合用内点法来解决。
经过实际计算结果得出内点法与单纯形法存在着很大的可比性。
在线性规划问题中，内点法比起单纯形法来说迭代次数更少，所以计算速度更快，从求得的结果来看，收敛性也比较好。
内点法中比较常用的方法是最速下降法和牛顿法。
最速下降法在解析法中是属于比较古老的一种，受该方法的启发，渐渐得到了其他不同的解析方法。
最速下降法每次迭代的计算量很小，解法简单。
如果从一个不好的初始点出发，也能收敛到局部极小点。
迭代原理的应用对于解决线性规划和非线性规划问题中具有至关重要的作用。
2 内点法2.1运筹学运筹学[1]到现在都没有一个相对比较统一的定义，这正是因为它使用的复杂性以及使用的广泛性，也凸显出了它另一方面的独特魅力。
以下是我查阅大量书籍后对运筹学所给出的定义：运筹学是一门在现有的技术及理论条件下，对问题现状的分析强调最优化决策的科学方法。
运筹帷幄之中，决胜千里之外这其中的运筹两字是赤壁之战的核心与关键，是整个战争通敌制胜的法宝。
内点法介绍(Interior Point Method)
内点法介绍（Interior Point Method）在面对无约束的优化命题时，我们可以采用牛顿法等方法来求解。
而面对有约束的命题时，我们往往需要更高级的算法。
单纯形法（Simplex Method）可以用来求解带约束的线性规划命题（LP），与之类似的有效集法（Active Set Method）可以用来求解带约束的二次规划（QP），而内点法（Interior Point Method）则是另一种用于求解带约束的优化命题的方法。
而且无论是面对LP还是QP，内点法都显示出了相当的极好的性能，例如多项式的算法复杂度。
本文主要介绍两种内点法，障碍函数法（Barrier Method）和原始对偶法（Primal-Dual Method）。
其中障碍函数法的内容主要来源于Stephen Boyd与Lieven Vandenberghe的Convex Optimization一书，原始对偶法的内容主要来源于Jorge Nocedal和Stephen J. Wright的Numerical Optimization一书（第二版）。
为了便于与原书对照理解，后面的命题与公式分别采用了对应书中的记法，并且两者方法针对的是不同的命题。
两种方法中的同一变量可能在不同的方法中有不同的意义，如μ。
在介绍玩两种方法后会有一些比较。
障碍函数法Barrier MethodCentral Path举例原始对偶内点法Primal Dual Interior Point Method Central Path举例几个问题障碍函数法（Barrier Method）对于障碍函数法，我们考虑一个一般性的优化命题：minsubject tof0(x)fi(x)≤0,i=1,...,mAx=b(1) 这里f0,...,fm:Rn→R 是二阶可导的凸函数。
同时我也要求命题是有解的，即最优解x 存在，且其对应的目标函数为p。
此外，我们还假设原命题是可行的（feasible）。
内点法求解约束优化问题
内点法求解约束优化问题
内点法是求解约束优化问题的常用方法。
它是基于一系列有着内点性质的状态，以及坐标搜索的方式协调各个变量的取值，使得最后的决策策略最优化的一种方法。
内点法的主要思想是由近及远，先从尽量满足约束条件的中心点出发，向给定目标所指示的方向搜索，每次搜索考虑当前状态以及离目标最近的方向，每次搜索都朝着目标达到最优的方向移动，不断地搜索直到达到“内点”的状态，从而实现最优化的目的。
与其它优化方法相比，内点法有多种优势，首先它会在搜索的过程中避免计算量大的函数的导数，其次它可以有效的避免进入未知的未知地带，可以保证每次搜索都是按照“内点”的方向进行，这样可以较快收敛至最优解，收敛速度也很快。
内点法在求解约束优化问题时具有重要意义，它能够有效地解决最优化问题，即使在约束条件和函数的较复杂的情况下也可以有效的获得最优值。
然而，由于内点法所求解的优化问题较多复杂，因此求解时间也会较长，因此在实际应用时需要有较强的可调整性，以便在不同的情况下能够有效调整搜索方向、步长大小等参数，以达到最优效果。
总之，内点法是一种用于求解约束优化问题常用的优化方法，它以坐标搜索的方式考虑变量的取值，使得最后的决策策略最优化，可以有效收敛到最优解，但是同时也受到参数的调整性的影响，因此在实际应用中必须根据情况来调整搜索参数，以达到最优效果。
非凸优化问题的约束优化算法研究
非凸优化问题的约束优化算法研究非凸优化问题是现实生活中广泛存在的一类重要问题，其约束优化算法的研究对于解决实际问题具有重要意义。
本文将对非凸优化问题的约束优化算法进行深入研究，探讨其应用场景、算法原理以及存在的挑战和解决方案。
一、引言非凸优化问题是指目标函数和约束函数中至少有一个是非凸函数的优化问题。
相比于凸优化问题，非凸优化问题更具挑战性，因为其解空间中存在多个局部最优解。
而约束优化算法旨在在满足一定约束条件下寻找全局最优解。
二、应用场景非凸优化在实际生活中有广泛应用。
例如，在工程设计中，我们常常需要考虑多个设计变量和多个目标函数之间的平衡关系；在金融领域，我们需要考虑投资组合的风险和收益之间的平衡；在机器学习领域，我们需要通过调整模型参数来最小化损失函数等等。
这些都是典型的非凸优化问题。
三、常见算法1. 梯度下降法梯度下降法是一种常见且经典的优化算法，其思想是通过迭代的方式不断调整参数，使目标函数逐渐收敛到最优解。
然而，由于非凸优化问题存在多个局部最优解，梯度下降法容易陷入局部最优解而无法找到全局最优解。
2. 全局优化算法全局优化算法是专门用于解决非凸问题的一类算法。
其中，遗传算法、模拟退火算法和粒子群算法等被广泛应用于非凸问题的求解。
这些算法通过引入随机性和多个搜索点来提高全局搜索能力。
3. 内点方法内点方法是一种求解约束最优化问题的有效方法。
其基本思想是通过将约束条件转化为罚函数或者广义拉格朗日函数，并引入惩罚项来实现约束条件的满足。
内点方法能够有效地处理非线性约束和不等式约束等复杂情况。
四、挑战与解决方案1. 局部最优陷阱非凸问题存在多个局部最优解，使得传统的梯度下降等方法容易陷入其中无法跳出。
为了克服这一挑战，可以采用全局搜索策略来提高找到全局最优解的概率。
2. 多约束条件非凸优化问题往往伴随着多个约束条件，这增加了问题的复杂性。
内点方法是解决多约束条件问题的有效方法，通过将约束条件转化为罚函数或广义拉格朗日函数，将多个约束条件转化为单一目标函数进行求解。
吉大18春学期《机械优化设计》在线作业一-0004
吉大18春学期《机械优化设计》在线作业一-0004
（）是用内点法处理不等式约束，用外点法处理等式约束。
A:外点法
B:内点法
C:混合法
D:抛物线法
答案：C
下列说法不正确的一项是（????? ）。
A:变量轮换法的方法是依次沿相应的坐标轴方向进行的一维优化，收敛速度较慢
B:二维正定二次函数的等值线是同心的椭圆族，且椭圆中心就是以该函数为目标函数的极小点
C:用梯度法寻求目标函数的最小值时，就是沿目标函数方向上的一维搜索寻优法
D:利用复合形法进行优化设计时，构造初始复合形的全部顶点都必须在可行城内选取。
答案：C
黄金分割的数值为（）。
A:0.618
B:0.318
C:0.218
D:0.118
答案：A
具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值亦即全域最优值的函数，称为（）。
A:凸函数
B:双峰函数
C:一次函数
D:线性函数
答案：A
动态问题分为约束问题和（）两种。
A:一维问题
B:n维性问题
C:无约束问题
D:约束问题
答案：C
一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作（）。
A:可行条件
B:固定条件
C:约束条件
D:边界条件
答案：C
（）是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。
A:外点法
B:内点法
C:混合法
D:抛物线法。
优化设计习题答案
第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2。
函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3。
目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，,同时必须是设计变量的可计算函数 .4。
建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6。
随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7。
最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 .8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1， 空间中描述出来,为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法.14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16。
机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提。
二、名词解释 1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。
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内点法无法处理等式约束
1. 引言
在数学和优化领域中，等式约束是一类经常出现的问题。
在优化问题中，等式约束指的是优化目标函数所受到的一系列等式限制条件。
内点法（Interior Point Method）是一种常用的优化算法，通常用于解决约束优化问题。
然而，内点法无法处理等式约束问题，因为等式约束问题的解空间通常是非凸的。
本文将详细介绍内点法的原理和应用，并解释为什么内点法无法处理等式约束。
2. 内点法的原理
内点法是一种迭代算法，用于求解凸优化问题。
其基本思想是通过将问题转化为无约束问题，找到目标函数在可行域内的最优解。
内点法的核心思想是通过引入一系列罚函数，将约束条件转化为目标函数的惩罚项，从而将原问题转化为一个无约束优化问题。
内点法的基本步骤如下：
1.初始化：选择初始点作为可行解。
2.内点迭代：迭代计算目标函数的梯度和Hessian矩阵，并更新可行点，直到
满足终止条件。
3.输出结果：输出最优解。
内点法的优点是收敛速度快，对于大规模问题具有较好的求解效果。
然而，当问题存在等式约束时，内点法的应用受到限制。
3. 等式约束问题
等式约束问题是指在优化问题中，目标函数受到一系列等式限制条件的约束。
等式约束问题的一般形式如下：
minimize f(x)
subject to c(x) = 0
其中，f(x)是目标函数，c(x)是一组等式约束条件。
等式约束问题的解空间通常是非凸的，即不满足凸集的定义。
因此，内点法无法直接应用于等式约束问题。
4. 内点法无法处理等式约束的原因
内点法无法处理等式约束问题的原因主要有以下几点：
4.1 非凸性
等式约束问题的解空间通常是非凸的。
非凸集是指不满足凸集的定义，即集合中的任意两点的连线不完全位于集合内部。
内点法是一种基于凸集的优化算法，只能处理凸优化问题。
因此，当问题存在非凸性时，内点法无法应用。
4.2 无法构造合适的罚函数
内点法通过引入罚函数将约束条件转化为目标函数的惩罚项。
然而，在等式约束问题中，无法构造合适的罚函数来处理等式约束条件。
因为等式约束条件的梯度为零，罚函数无法对等式约束进行惩罚，导致内点法无法处理等式约束。
4.3 无法满足等式约束条件
内点法的迭代过程是通过更新可行点来逐步逼近最优解。
然而，在等式约束问题中，无法通过迭代更新来满足等式约束条件。
因为等式约束条件是固定的，无法通过改变可行点来满足等式约束，导致内点法无法处理等式约束。
5. 处理等式约束的方法
虽然内点法无法直接处理等式约束问题，但可以通过一些方法来间接处理等式约束。
以下是几种常用的方法：
5.1 乘子法
乘子法是一种常用的处理等式约束问题的方法。
该方法通过引入拉格朗日乘子，将等式约束问题转化为无约束问题。
通过求解拉格朗日函数的梯度为零的条件，可以得到等式约束问题的最优解。
5.2 惩罚函数法
惩罚函数法是一种通过引入惩罚函数来处理等式约束问题的方法。
该方法通过将等式约束条件转化为目标函数的惩罚项，将等式约束问题转化为无约束问题。
通过迭代求解无约束问题，可以得到等式约束问题的最优解。
5.3 内点法的扩展
内点法可以通过一些扩展方法来间接处理等式约束问题。
例如，可以将等式约束问题转化为近似的凸优化问题，然后应用内点法进行求解。
这种方法可以通过逼近等式约束问题的解空间来求解等式约束问题。
6. 结论
内点法是一种常用的优化算法，用于求解凸优化问题。
然而，内点法无法直接处理等式约束问题，因为等式约束问题的解空间通常是非凸的。
本文详细介绍了内点法的原理和应用，并解释了为什么内点法无法处理等式约束。
同时，介绍了一些处理等式约束问题的方法，如乘子法、惩罚函数法和内点法的扩展方法。
这些方法可以
在一定程度上间接处理等式约束问题。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的方法来处理等式约束。