备战2021年高考数学一轮复习易错题08不等式含解析

易错点08 不等式-备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知a >0，b 〉0，且a +b =1，则（ ） A 。

2212a b +≥B 。

122a b ->C 。

22log log 2a b +≥-D.≤【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A,()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确;对于B,211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立,故C 不正确；对于D,因为2112a b =+++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养。

【易错警示】易错点1．随意消项致误 【例1】解不等式；22(1025)(43)0x x x x -+-+≥．【错解】原不等式可化为:2(5)(1)(3)0x x x ---≥，因为2(5)x -≥，所以(1)(3)0x x --≥，所以31x x ≥≤或，故原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或． 【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(5)0x -=时，原不等式亦成立．【正解】原不等式可化为：50(1)(3)0x x x -≠⎧⎨--≥⎩或50x -=，解得3x ≥或1x ≤或5x =．所以原不等式的解集为：{}315x x x ≥≤=x|或或易错点2．认为分式不等式与二次不等式等价致误 【例2】解不等式；102x x -≤+． 【错解】原不等式可化为：(1)(2)0x x -+≤，解得21x -≤≤，所以原不等式的解集为[2,1]-．【错因】没有考虑分母不能为0【正解】原不等式可化为：(1)(2)02x x x -+≤⎧⎨≠-⎩,解得21x -<≤, 所以原不等式的解集为(2,1]-．易错点3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误 【例3】解不等式；122x x -≤+． 【错解】不等式两边同乘以2x +得：12(2)x x -≤+，解得5x ≥-， 所以原不等式的解集为[5,)-+∞． 【错因】两边同乘以2x +，导致错误【正解】原不等式可化为:1520022x x x x -+-≤⇒≥++，解得5x ≤-或2x >-，所以原不等式的解集为(,5](2,)-∞--+∞．易错点4．漏端点致误 【例4】集合{}{}2|20,|3A x x x B x a x a =--≤=<<+，且A B φ=，则实数的取值范围是______ 【错解】{}{}2|20|12A x xx x x =--≤=-≤≤ ，若使AB φ=，需满足231a a >+<-或．解得24a a ><-或,所以实数a 的取值范围是24a a ><-或．【错因】忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2a =时{}|25B x x =<<,满足A B φ=;当31a +=-时,即4a =-时也满足AB φ=．【正解】{}{}2|20|12A x xx x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a ≥+≤-或,解得24a a ≥≤-或,所以实数a 的取值范围是24a a ≥≤-或． 易错点5．忽视基本不等式成立的前提“正数” 【例5】求函数1y x x=+的值域．【错解】因为12y x x=+≥=，所以函数 1y x x=+的值域为[2,)+∞． 【错因】没有考虑为负数的情形．【正解】由题意，函数1y x x=+的定义域为{|0}x x ≠．当0x >时，12y x x=+≥=，当1x =时取得等号；当0x <时，11()2y x x x x=+=--+≤-=--，当1x =-时取得等号． 综上，求函数1y x x=+的值域是(,2][2,)-∞-+∞． 易错点6．忽视基本不等式取等的条件 【例6】求函数2y =的最小值．【错解】函数222y ===≥,所以函数的最小值为2．【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即a b a b+≥=才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的． 【正解】22y ===令2t ≥,1y t t =+在2t ≥时是单调递增的，115222y t t ∴=+≥+=． 故函数的最小值是52．易错点7．多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立【例7】已知两个正实数,x y ,满足4x y +=,求14x y+的最小值．【错解】由已知得44x y xy =+≥≤，142x y +≥=≥,所以14x y +最小值是2．【错因】两次使用基本不等式,其中4xy ≤等号成立必须满足x y =，而14x y+≥的等号成立时,必须有4x y =，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的． 【正解】141444()()()59x y x y x y x y y x +=++=++≥,当且仅当14x y=且4x y +=，即48,33x y ==时取等号，1494x y ∴+≥，即14x y +最小值为94．【变式练习】一、单选题1．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）已知0a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b <B ．11a b <C ．22ab < D ．2ab b<【答案】C 【解析】试题分析:取a =-2,b =—1，代入到各个选项中得到正确答案为C ．2．（2020·河北省高二开学考试）若正数a ，b 满足31a b +=，则13a b+的最小值为（ ） A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】因为31a b +=，所以()131333310b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭,因为a ,b 为正数，所以33b a a b +≥，当且仅当33b a a b =，即14a b ==时取等号， 故13a b +的最小值为16，故选：C 。

3．（2019·广东省执信中学高二月考）“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立"的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】0x ∀>时,12x x+≥， ∴“x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤， 而2a =可推出2a ≤,2a ≤不能推出2a =， 所以“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥”成立的充分不必要条件,故选A.4．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）若不等式222424ax ax x x+-<+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 【答案】C 【解析】由题意，不等式222424axax x x+-<+，可化为2(2)2(2)40a xa x -+--<，当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意;当20a -≠时,要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩ ，解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ．5．（2020·安徽省太和第一中学高一期末)设正实数,,x y z 满足22240x xy y z -+-=，则xy z当取得最大值时，211x y z+-的最大值为（ ） A ．1 B ．4C ．94D ．92【答案】B【解析】因为22240x xy y z -+-=,所以22241x xy y z z z -+=，且2244x y xy z z z +≥=，则421xy xy z z -≤，即12xy z ≤，取等号时有：2x y =，且24z y =；2221121114444x y z y y y ⎛⎫+-=-=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当111,,424y x z ===时取得最大值：4， 故选：B. 二、多选题6．（2020·山东省泰安一中高二期中）下列说法正确的有（ ） A ．不等式21131x x ->+的解集是1(2,)3-- B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件 C ．命题:p x ∀∈R ，2x>，则:p x ⌝∃∈R ,20x<D ．“5a <”是“3a <"的必要条件 【答案】ABD【解析】由21131x x ->+得2031x x -->+，(2)(31)0x x ++<,123x -<<-，A正确;1,1a b >>时一定有1ab >，但1ab >时不一定有1,1a b >>成立,如16,2a b ==，满足1ab >，但1b <，因此“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件,B 正确； 命题:p x ∀∈R ，2x>，则:p x ⌝∃∈R ，2x≤，C 错误；5a <不能推出3a <，但3a <时一定有5a <成立，“5a <”是“3a <”的必要条件，D 正确． 故选：ABD ．7．（2020·宁阳县第四中学高二期末）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式，其中正确的有（ ） A ．1ab ≤ B C ．222a b +≥D ．112a b +≥【答案】ACD【解析】由题：0,0,2a b a b >>+= 由基本不等式可得：2()12a b ab +≤=,所以A 正确；当1a b ==2=>所以B 错误；222a b ab+≥,所以222222()2()4ab a b ab a b +≥++=+=，即222ab +≥，所以C 正确;因为20()12a b ab +<≤=,所以121,2,2a bab ab ab+≥≥≥ 即112a b +≥，所以D 正确。