高中数学备课教案数理统计中的线性回归与相关系数
学新教材高中数学概率与统计统计模型相关关系与回归直线方程教案新人教B版选择性必修第二册
４.３统计模型４.３．１一元线性回归模型第１课时相关关系与回归直线方程学习目标核心素养１．了解变量间的相关关系．（易混点）２．会根据散点图判断数据是否具有相关关系．（重点）３．了解最小二乘法的思想，会求回归直线方程，掌握回归方程的性质．（重点、难点）１．通过回归直线方程及相关关系的学习，体会数学建模与直观想象的素养．２．借助回归直线方程的求法，培养数学运算的素养.你知道“名师出高徒”的意思吗？——高明的师傅一定能教出技艺高的徒弟，比喻学识丰富的人对于培养人才的重要．也就是说，高水平的老师往往能教出高水平的学生．问题：那么老师的水平与学生的水平之间具有怎样的关系呢？这种关系是确定的吗？该关系与函数关系相同吗？１．相关关系如果两个变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性，像这样两个变量之间的关系，统计学上都称为相关关系．思考１：函数关系是相关关系吗？[提示] 不是．函数关系中两个变量之间是一种确定关系．２．线性相关（１）散点图一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据（简称为成对数据），如下表所示．序号i１２３…n变量x x１x２x３…x n变量y y１y２y３…y n则在平面直角坐标系xOy i i n对数据的散点图．（２）线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关．（３）正相关和负相关若x与y线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．３．回归直线方程（１）一般地，已知变量x与y的n对成对数据（x i，y i），i＝１,２,３，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的x i，由直线方程可以得到一个估计值错误!i＝bx i＋a，如果一次函数错误!＝错误!x＋错误!能使错误!取得最小值，则错误!＝错误!x＋错误!称为y关于x的回归直线方程（对应的直线称为回归直线）．因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法．其中，回归系数错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!—错误!错误!.错误!＝错误!（x１＋x２＋…＋x n）＝错误!错误!x i；错误!＝错误!（y１＋y２＋…＋y n）＝错误!错误!y i.４．回归直线方程：错误!＝错误!x＋错误!的性质（１）回归直线一定过点（错误!，错误!）．（２）回归系数错误!的实际意义１错误!是回归方程的斜率；２当x增大一个单位时，错误!增大错误!个单位．思考２：y与x正负相关的充要条件分别是什么？[提示] 当错误!＞0时，y与x正相关，反之也成立，同理错误!＜0是y与x负相关的充要条件．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）相关关系是两个变量之间的一种确定的关系. ．（）（２）回归直线方程一定过样本中心点．（）（３）选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同．（４）根据回归直线方程得到的结论一定是可靠的．（）[答案] （１）×（２）√（３）×（４）×２．下列两个变量具有正相关关系的是（）Ａ．正方形的面积与边长Ｂ．吸烟与健康Ｃ．数学成绩与物理成绩Ｄ．汽车的重量与汽车每消耗１L汽油所行驶的平均路程C[正方形的面积与边长是函数关系，A错误；吸烟与健康具有负相关关系，B错误；汽车越重，每消耗１L汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的重量与汽车每消耗１L汽油所行驶的平均路程具有负相关关系，D错误；数学成绩越好，物理成绩也会越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系，C正确．]３．已知x与y之间的一组数据．若y与x线性相关，则y与x!必过点（）Ａ．（２,２）Ｂ．（１．５,0）Ｃ．（１,２）Ｄ．（１．５,４）D[∵错误!＝错误!＝１．５，错误!＝错误!＝４，∴回归直线必过点（１．５,４）．故选Ｄ．]４．已知回归直线的斜率的估计值是１．２３，且过定点（４,５），则线性回归方程是________．错误!＝１．２３x＋0．08 [回归直线的斜率的估计值为１．２３，即错误!＝１．２３，又回归直线过定点（４,５），∴错误!＝５—１．２３×４＝0．08，∴错误!＝１．２３x＋0．08．]变量间相关关系的判断１扇形的半径与面积之间的关系；２农作物的产量与施肥量之间的关系；３出租车费与行驶的里程；４降雪量与交通事故的发生率之间的关系．（２）某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）．x２４５68y３0４060５070１画出散点图；２从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？（１）２４[在１中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系；在２中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；３为确定的函数关系；在４中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]（２）[解] １以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示．２从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．两个变量是否相关的两种判断方法１．根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．２．利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．错误!１．在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）（１）（２）（３）（４）Ａ．（１）（２）Ｂ．（１）（３）Ｃ．（２）（４）Ｄ．（２）（３）D[图（１）的两个变量具有函数关系；图（２）（３）的两个变量具有相关关系；图（４）的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系．]求回归直线方程能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．x３４５6y２．５３４４．５（２）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!；（３）已知该厂技改前１00吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１00吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：３×２．５＋４×３＋５×４＋6×４．５＝66．５）[解] （１）由题设所给数据，可得散点图如图．（２）由对照数据，计算得：错误!x错误!＝86，错误!＝错误!＝４．５，错误!＝错误!＝３．５，已知错误!x i y i＝66．５，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为错误!＝错误!＝错误!＝0．7，错误!＝错误!—b错误!＝３．５—0．7×４．５＝0．３５．因此，所求的线性回归方程为错误!＝0．7x＋0．３５．（３）由（２）的回归方程及技改前生产１00吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90—（0．7×１00＋0．３５）＝１9．6５（吨标准煤）．求回归方程的一般步骤（１）收集样本数据，设为（x i，y i）（i＝１,２，…，n）．（２）作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．（３）计算错误!，错误!，错误!x错误!，错误!x i y i.（４）代入公式计算错误!，错误!，公式为错误!（５）写出回归方程错误!＝错误!x＋错误!.错误!２．已知变量x，y有如下对应数据．x１２３４y１３４５（１）作出散点图；（２）用最小二乘法求关于x，y的回归方程．[解] （１）散点图如图所示．（２）错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!＝错误!，错误!x i y i＝１＋6＋１２＋２0＝３9,错误!x错误!＝１＋４＋9＋１6＝３0，错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!—错误!×错误!＝0，所以错误!＝错误!x即为所求的回归方程.回归直线方程的性质及应用假设y与x具有相关关系，而且回归直线方程为错误!＝错误!x＋错误!.１．回归直线方程的单调性由哪个参数决定？[提示] 错误!.２．该方程必过哪个定点？[提示] （错误!，错误!）．【例３】（多选题）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝１,２，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为错误!＝0．8５x—8５．7１，则下列结论中正确的是（）Ａ．y与x具有正的线性相关关系Ｂ．回归直线过样本点中心（错误!，错误!）Ｃ．若该大学某女生身高增加１cm，则其体重约增加0．8５kgＤ．若该大学某女生身高为１70 cm，则可断定其体重必为５8．79 kgABC[当x＝１70时，错误!＝0．8５×１70—8５．7１＝５8．79，体重的估计值为５8．79 kg，故D错误，ABC均正确．]１．相关关系的正、负相关类同于函数的增、减性，与其斜率有关，必要时可画散点图以增强直观性．２．由回归方程得出的函数值不一定是准确值，只是个估计值．错误!３．（１）根据如下样本数据得到的回归方程为错误!＝错误!x＋错误!，则（）x３４５678y４．0２．５—0．５0．５—２．0—３．0Ａ．错误!＞0，Ｃ．错误!＜0，错误!＞0 Ｄ．错误!＜0，错误!＜0（２）某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某４天的用电量与当天气温，并制作了对照表．气温（℃）１8１３１0—１用电量（度）２４３４３86４℃时，用电量的度数约为________度．（１）B（２）68 [（１）画出散点图，知错误!＞0，错误!＜0．（２）错误!＝１0，错误!＝４0，回归方程过点（错误!，错误!），∴４0＝—２×１0＋错误!.∴错误!＝60．∴错误!＝—２x＋60．令x＝—４，∴错误!＝（—２）×（—４）＋60＝68．]１．相关关系和函数关系的异同点（１）相同点：两者均是指两个变量的关系．（２）不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系．２．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．３．回归方程必过点（错误!，错误!）．利用回归方程，我们可以进行估计和预测，若回归方程为错误!＝错误!x＋错误!，则在x＝x0处的估计值为错误!0＝错误!x0＋错误!.１．以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是（）１２３４Ａ．１２Ｂ．１３Ｃ．２３Ｄ．３４B[１３中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型．]２．由变量x与y相对应的一组数据（１，y１），（５，y２），（7，y３），（１３，y４），（１9，y５）得到的线性回归方程为错误!＝２x＋４５，则错误!＝（）Ａ．１３５Ｂ．90Ｃ．67 Ｄ．6３D[∵错误!＝错误!（１＋５＋7＋１３＋１9）＝9，错误!＝２错误!＋４５，∴错误!＝２×9＋４５＝6３，故选Ｄ．]３．工人工资y（元）与劳动生产率x（千元）的相关关系的回归方程为错误!＝５0＋80x，下列判断正确的是（）Ａ．劳动生产率为１000元时，工人工资为１３0元Ｂ．劳动生产率提高１000元时，工人工资平均提高80元Ｃ．劳动生产率提高１000元时，工人工资平均提高１３0元Ｄ．当月工资为２５0元时，劳动生产率为２000元B[因为回归直线的斜率为80，所以x每增加１，y平均增加80，即劳动生产率提高１000元时，工人工资平均提高80元．]４．某地区近居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合错误!＝0．8x＋0．１（单位：亿元），预计今年该地区居民收入为１５亿元，则今年支出估计是________亿元．１２.１[将x＝１５代入错误!＝0．8x＋0．１，得错误!＝１２．１．]５．由某种设备的使用年限x i（年）与所支出的维修费y i（万元）的数据资料算得如下结果，错误!x 错误!＝90，错误!x i y i＝１１２，错误!x i＝２0，错误!y i＝２５．（１）求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!；（２）１判断变量x与y之间是正相关还是负相关；２当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？[解] （１）∵错误!x i＝２0，错误!y i＝２５，∴错误!＝错误!错误!x i＝４，错误!＝错误!错误!y i＝５，∴错误!＝错误!＝错误!＝１．２，错误!＝错误!—错误!错误!＝５—１．２×４＝0．２．∴线性回归方程为错误!＝１．２x＋0．２．（２）１由（１）知错误!＝１．２＞0，∴变量x与y之间是正相关．２由（１）知，当x＝8时，错误!＝１．２×8＋0．２＝9．8，即使用年限为8年时，支出的维修费约是9．8万元．。
高三数学 线性回归 第二课时
高三数学 线性回归 第二课时一、教学目标：1．了解相关系数的计算公式及其意义．会用相关系数公式进行计算；2．了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验；3．能根据相关数据和相关性检验方法进行检验；4．感受数学在实际生活中的应用．二、教学重点：相关性检验方法和检验步骤；教学难点：相关性检验方法依据的理解．三、教学用具：多媒体四、教学过程：1．提出问题，引导思索先给出如图1－11（教科书）所示的各点不集中在一条直线的散点图，并提问：可否按前面求回归直线方程的步骤，求出回归直线方程？若能求出，求出的回归直线方程是否有实际意义？引导学生解决以上问题后，板书：2．样本相关系数首先，指出衡量数据线性程度的必要性，再引入样本相关系数（即相关系数）的概念．即∑∑∑===----=n i n n ii ni ii y y x x y y x x r 11221)()())((或 ∑∑∑===---=n i n n i i n i i iy n y x n x xy n y x r 1122221))(( 叫做变量y 与x 之间的样本相关系数（简称相关系数），用它来衡量它们之间的线性相关程度． 由学生计算本节前面水稻产量与施化肥量的相关系数，即.9733.0)3.39971132725)(3077000(3.39930787175 )7()(7(7227171222271≈⨯-⨯-⨯⨯-=---=∑∑∑===i n i i i i iy y x x xy y x r由上述计算可得到 并向学生指出：1≤r ，且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小． 根据上述结论，引导学生提出如下问题：当r 与1接近到什么程度时表明y 与x 之间具有线性相关关系？为解决上述问题，一般采取以下方法：3．（板书）线性相关关系检验方法（1）说明线性相关关系检验方法的思想及前提．（2）检验的具体方法．①根据公式计算相关系数r 的值；②在附表中查出与显著性水平0.05和自由度2-n 相应的相关系数临界值05.0r ；③检验所得结果：若05.0r r ≤，则y 与x 之间线性相关关系不显著；若05.0r r >，则y 与x 之间存在线性相关关系．（3）具体例子：计算本节水稻产量与施化肥量中有关数据进行相关性检验，并指出检验方法中的①②可互换．（4）课内练习．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克／升）与消光系数如下表：①对变量y 与x 进行相关性检验；②如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程．参考答案：（1）05.005.0.878.0,9997.05.14781478r r r r >=≈=，故y 与x 之间显著线性相关；（2）.3.1195.36-=∧x y（5）课堂小结．一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验．在确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程．由部分数据得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究．由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．六、布置作业：教科书第41页习题1．6第3题．。
江西省九江市高中数学 第三章 统计案例 1 回归分析 相关系数教案 北师大版选修23
1 回归分析一、教学目标：1、通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用；2、能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题；3、进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。
二、教学重点，难点：相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤． 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程 （一）、问题情境1、情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义． （二）、学生活动对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）． （三）、探析新课1、相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n ，样本相关系数r 的计算公式为2、相关系数r 的性质：（1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强；（3）||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．3、对相关系数r 进行显著性检验的步骤： 相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）；（3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系。
数学统计学中的相关性与回归分析
数学统计学中的相关性与回归分析教案主题：数学统计学中的相关性与回归分析导言：统计学是一门重要且实用的学科，它在各个领域都有广泛的应用。
在数学统计学中，相关性和回归分析是两个基本的概念和方法。
相关性研究变量之间的关系，而回归分析则用于建立变量间的数学模型。
本节课将重点介绍相关性和回归分析的基本概念和应用场景。
第一部分：相关性的概念与计算方法（500字）相关性指的是两个或多个变量之间的关联程度。
常用的计算相关性的方法有以下几种：1.皮尔逊相关系数：皮尔逊相关系数是一种衡量两个变量线性相关性的方法。
它的取值范围在-1到1之间，接近1表示正相关性，接近-1表示负相关性，接近0表示无相关性。
2.斯皮尔曼等级相关系数：斯皮尔曼等级相关系数适用于非线性相关关系。
它是通过对变量的观察值进行排序，计算排名之间的相关性。
3.判定系数：判定系数用于衡量回归方程的拟合程度，也就是解释变量对因变量的解释能力。
判定系数的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型的拟合程度越好。
第二部分：回归分析的基本原理与步骤（700字）回归分析是通过建立数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。
它可以帮助我们预测未来的观察值或者解释变量之间的关系。
回归分析的基本步骤如下：1.确定因变量和自变量：回归分析中，需要明确因变量和自变量。
因变量是需要解释或者预测的目标变量，自变量是用于解释或预测因变量的变量。
2.收集数据：收集因变量和自变量的数据。
数据的质量对回归分析的结果影响重大，需要注意数据的准确性和自变量之间的独立性。
3.拟合回归方程：通过统计学方法来建立回归方程。
常用的回归模型有线性回归、多项式回归和非线性回归等。
4.检验回归模型：对拟合的回归模型进行检验，确保模型的可靠性和有效性。
常用的检验方法有残差分析、显著性检验和方差分析等。
5.解释和应用回归模型：对回归模型进行解释和应用。
通过分析回归系数和判定系数等指标，解释变量之间的关系，并使用模型进行预测和决策。
高中数学 3.2 回归分析教案 理 新人教B版选修2-3
3.2 回归分析【教学目标】1.通过实例了解线性回归模型，感受产生随机误差的原因； 2.能求出简单实际问题的线性回归方程；3.能用相关系数进行相关性检验，并解决简单的回归分析问题；【教学重点】线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法；【教学难点】相关系数的性质及其相关性检验的基本思想、操作步骤。
一、课前预习1. 若两个变量与之间有近似的线性相关关系，则可以用一个回归直线方程bx a y+=ˆ来反应这种关系，利用最小二乘法可以得到a 和回归系数b 的估计值a ˆ和b ˆ的计算公式：=bˆ___________________=______________________ =aˆ___________________ 由此得到的直线x b a yˆˆˆ+=就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中aˆ、b ˆ分别为a 、b 的估计值，a ˆ称为回归截距，b ˆ称为回归系数，y ˆ称为回归值。
由公式可以判定：点_________一定在回归直线上，这个点称为样本中心点。
2. 线性回归方程x b a yˆˆˆ+=中a ˆ和b ˆ的意义是：以a ˆ为基数，x 每增加1个单位， y 相应地平均增加________个单位。
3. 对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义，我们可以利用________粗略地估计两个变量间是否有线性相关关系。
若散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；若散点基本上在一条直线附近，则可以粗略地判断为线性相关，但它们线性相关的程度又如何呢？如何较为精确地刻画线性相关关系呢? 我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验，简称_________.4. 相关系数的计算公式对于x 与y 随机取到的n 对数据),(i i y x (i =1,2,3,…,n ),样本相关系数r 的计 算公式为:r=___________________________________________5.相关系数r 的性质（1）____________________；（2）__________________________________________； （3）__________________________________________．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．6. 相关性检验的步骤：（1）作统计假设：___________________________________________; （2）查表：_________________________________________________; （3）计算：_________________________________________________; （4）作统计推断：___________________________________________;二、课上学习例1.研究某灌溉渠道水的流速Y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下：（1） 求对 的回归直线方程；（保留三位有效数字）（2） 预测水深为1.95m 时水的流速是多少？（保留两位有效数字） 参考数据：,82.15,00.148181==∑∑==i i i iy x,993.27,92.2481812==∑∑==i i i i i y x x三、 课堂小结四、课后练习1、下列结论正确的是①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④2．一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：年龄（岁） 3 4 5 6 7 8 9 身高（94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她建立了身高与年龄的回归模型 ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是（ ）A.她儿子10岁时的身高一定是145.83B.她儿子10岁时的身高在145.83 以上C.她儿子10岁时的身高在145.83 左右D.她儿子10岁时的身高在145.83 以下 3.两个变量相关性越强，相关系数r （ ）A ．越接近于0 B.越接近于1 C.越接近于－1 D.绝对值越接近1 4.若散点图中所有样本点都在一条直线上，两个变量的相关系数为（ ） A ．0 B.1 C.－1 D.－1或1 5.两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中， 的系数 （ ）A.B.C.D.6.三点),10,3(),20,7()24,11(的回归直线方程为________________________.7.某种产品的广告费支出x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y3040605070(1)试对x 和y 的关系进行相关性检验。
高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程讲义 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教案
2.4 线性回归方程在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种． 3．线性回归方程系数公式能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b ＝n ∑i ＝1nx i y i－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nx i⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1ny in ∑i ＝1nx 2i－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nx i2，a ＝y －b x .上式还可以表示为错误!1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中具有相关关系的是________．①③④[②⑤为确定关系不是相关关系．]2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．③[散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.] 3．工人工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的线性回归方程为y^＝50＋80x，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1 000元时，工资为130元；②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元；③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元；④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．②[回归直线斜率为80，所以x每增加1，y^增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．]4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元)1461014销售额(千元)1944405253 销售额y(千元)与广告费用x(千元)之间有线性相关关系，回归方程为y^＝2.3x＋a(a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．15 [x＝7，y＝41.6，则a＝y－2.3x＝41.6－2.3×7＝25.5.当y＝6万元＝60千元时，60＝2.3x＋25.5，解得x＝15(千元)．]变量间相关关系的判断【例1】在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________．①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]1．函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键．要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系．两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”．1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________．③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]散点图的画法及应用学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462关关系，是正相关还是负相关？思路点拨：本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解] 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(x i，y i)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．1．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系．2．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关．正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小．从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域．提醒：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．3．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．[解] 不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：年龄(岁)12345 6身高(cm)788798108115120 画出散点图，并判断它们是否有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？思路点拨：描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．[解] 作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．线性回归方程的求法及应用位：万元)之间有下表所对应的数据．广告支出x/万元123 4销售收入y /万元 12 28 42 56(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y 对x 的回归直线方程y ^＝bx ＋a ，并解释b 的意义； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 思路点拨：画散点图→列表处理数据→计算x ，y ，n ∑i ＝14x 2i ，∑i ＝14x i y i→计算b →计算a→线性回归方程→销售收入[解] (1)散点图如图．(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a ，B ．序号 xyx 2y 2xy1 1 12 1 144 12 2 2 28 4 784 563 3 42 9 1 764 126 4 4 56 16 3 136 224 ∑10138305 828418于是x ＝52，y ＝692，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14y 2i ＝5 828，∑i ＝14x i y i ＝418，代入公式得，b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i－4x 2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2.故y 对x 的回归直线方程为y ^＝735x －2，其中回归系数b ＝735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ^＝735×9－2＝129.4(万元)， 即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元． 1．求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： 第一步，计算平均数x ，y ；第二步，求和∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i ；第三步，计算b ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x ；第四步，写出线性回归方程y ^＝bx ＋A ．2．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．提醒：(1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a ，b 的计算公式，计算出a ，b ，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误．(2)为了方便，常制表对应算出x i y i ，x 2i ，以便于求和． (3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据．5．如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑ 7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1t i －ty i －y∑ n i ＝1t i －t2∑ni ＝1y i －y2，回归方程y ^＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ ni ＝1t i －ty i －y∑ni ＝1t i －t2，a ＝y －－b t .思路点拨：(1)利用相关系数的大小――→确定y 与t 的线性相关程度(2)求出回归方程→利用方程进行估计[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑ 7i ＝1(t i －t )2＝28，∑7i ＝1y i －y2＝0.55，∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑ 7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑ 7i ＝1t i －ty i －y∑ 7i ＝1t i －t2＝2.8928≈0.103.a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念．2．本节课要掌握以下几类问题(1)准确区分相关关系与函数关系．(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系．(3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤.1．在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是( )A．①②B．①④C．②③D．②④D[由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④.]2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号有( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④B [由正、负相关性的定义知①④一定不正确．]3．某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________．y ^＝0.7x ＋0.35 [∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， ∴a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)思路点拨：按照求线性回归方程的一般步骤，求出线性回归方程，再根据回归方程作出预测．[解] (1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36， x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.(2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)，可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．。
高中数学回归讲解教案
高中数学回归讲解教案
教案主题：回归分析
教学目标：
1. 了解回归分析的基本概念和原理
2. 掌握简单线性回归分析和多元线性回归分析的计算方法
3. 能够应用回归分析方法解决实际问题
4. 培养学生的数理统计思维和分析能力
教学内容：
1. 回归分析的概念和基本原理
2. 简单线性回归分析
3. 多元线性回归分析
4. 实际问题的回归分析方法应用
教学步骤：
第一步：导入（5分钟）
介绍回归分析的基本概念和作用，引起学生对回归分析的兴趣和重要性。
第二步：简单线性回归分析（20分钟）
1. 讲解简单线性回归的定义和公式
2. 演示简单线性回归的计算方法
3. 给出一个简单线性回归的实例，让学生自行计算
第三步：多元线性回归分析（20分钟）
1. 讲解多元线性回归的定义和公式
2. 演示多元线性回归的计算方法
3. 给出一个多元线性回归的实例，让学生自行计算
第四步：实际问题应用（15分钟）
1. 给出一个实际问题，让学生利用回归分析方法进行分析
2. 引导学生思考回归分析在实际问题中的应用价值
第五步：总结（10分钟）
1. 总结回归分析的基本原理和方法
2. 强调回归分析在实际问题中的重要性和应用价值
3. 解答学生的问题并进行互动交流
教学反思：
通过本节课的教学，学生了解了回归分析的基本概念和原理，掌握了简单线性回归和多元线性回归的计算方法，并通过实际问题的应用进行了综合训练。
同时，也培养了学生的数理统计思维和分析能力，提高了他们解决实际问题的能力。
希望学生能够在今后的学习和工作中，充分运用回归分析方法，发挥其应用价值。
高中数学线性回归概念教案
高中数学线性回归概念教案1. 理解线性回归的基本概念和原理2. 掌握线性回归的计算方法和应用技巧3. 能够通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学重点：1. 线性回归的定义和特点2. 最小二乘法求解线性回归方程3. 线性回归在实际问题中的应用教学难点：1. 线性回归的计算方法和应用技巧2. 如何通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学准备：1. 教学课件2. 实例数据3. 计算工具、软件教学内容：一、线性回归的定义和特点1. 线性回归是一种用于分析变量之间线性关系的统计方法2. 线性回归模型可以表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε3. 线性回归的基本假设包括线性关系、正态分布、独立性等二、最小二乘法求解线性回归方程1. 最小二乘法是一种常见的求解线性回归方程的方法2. 最小二乘法的核心思想是使残差平方和最小化来求解回归系数3. 求解线性回归方程的步骤包括建立模型、计算回归系数、评估模型等三、线性回归在实际问题中的应用1. 线性回归可以用于预测和控制变量之间的关系2. 实际问题中的线性回归应用包括销售预测、市场分析等3. 通过实例数据进行线性回归分析，可以更好地理解线性回归的应用技巧和方法教学步骤：1. 引入线性回归的基本概念和原理，并进行概念讲解2. 通过实例数据演示最小二乘法求解线性回归方程的方法3. 分组讨论，学生分析实际问题中的线性回归应用4. 带领学生进行实例数据分析和线性回归计算5. 总结课程内容，答疑解惑教学评估：1. 学生课堂表现2. 课后作业完成情况3. 学生对线性回归应用的理解和运用能力教学反思：1. 教学内容是否贴近实际应用2. 学生对线性回归的理解程度和应用能力3. 教学方法和手段是否合理有效。
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高中数学备课教案数理统计中的线性回归与
相关系数
高中数学备课教案：数理统计中的线性回归与相关系数
引言：
在数理统计中，线性回归与相关系数是非常重要的概念和工具。
线
性回归可以用来建立变量之间的线性关系模型，帮助我们预测或解释
变量之间的关系；相关系数则能够衡量变量之间的相关性强弱。
本教
案将针对高中数学的教学要求，详细介绍线性回归与相关系数的概念、计算方法以及实际应用。
一、线性回归的概念和原理
1.1 线性回归的基本概念
线性回归是一种建立自变量与因变量之间线性关系的模型。
在数理
统计中，我们常常使用最小二乘法来拟合线性回归模型，即找到一条
直线使得实际观测数据点到该直线的距离最小。
1.2 线性回归的原理
线性回归的原理基于统计学中的回归分析。
我们利用已知数据点进
行拟合，并通过方程预测或解释变量之间的关系。
通过最小二乘法，
我们可以求得斜率和截距，进而建立线性回归模型。
二、线性回归的计算方法
2.1 线性回归的计算步骤
1）收集数据：收集自变量和因变量的观测数据。
2）计算相关系数：通过相关系数判断自变量和因变量之间的相关性。
3）计算斜率和截距：利用最小二乘法计算斜率和截距。
4）建立回归模型：根据计算结果，建立线性回归方程。
2.2 线性回归的实际应用
线性回归可以应用于各种实际问题，例如预测房价、分析销售趋势等。
通过建立适当的自变量和因变量之间的模型，我们可以进行有效的预测和决策。
三、相关系数的计算方法
3.1 相关系数的基本概念
相关系数是衡量两个变量之间线性相关性强弱的统计量。
相关系数的取值范围在-1到+1之间，接近-1表示负相关，接近+1表示正相关，接近0表示无相关。
3.2 相关系数的计算步骤
1）计算协方差：计算两个变量的协方差，衡量两个变量的总体变化趋势是否一致。
2）计算标准差：分别计算两个变量的标准差。
3）计算相关系数：通过协方差和标准差计算相关系数。
四、线性回归与相关系数的联系和区别
线性回归和相关系数都能够衡量变量之间的关系，但二者有一些区别。
线性回归可以通过建立模型来预测或解释变量之间的关系，而相
关系数则是一个统计量，只能衡量线性相关性的强弱。
五、案例分析：汽车速度与刹车距离的线性回归分析
本教案将以汽车速度与刹车距离之间的关系为例进行线性回归分析。
通过收集不同车速下刹车距离的观测数据，我们可以建立一个回归模型，并通过该模型预测刹车距离。
总结：
线性回归与相关系数是数理统计中重要的概念和工具。
通过学习和
理解线性回归的原理和计算方法，以及相关系数的概念和计算步骤，
我们能够应用这些知识解决实际问题，并进行有效的预测和决策。
希
望本教案能够帮助学生理解和掌握线性回归与相关系数的基本概念和
应用方法。