应力强度因子
应力强度因子的计算
M1
1
0.12(1
a )2 2c
M2
(2B
a
tan
a
)
1 2
2B
表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）
KI
Me
a
23
§2-4 其他问题应力强度因子的计算 一、Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算
复变数： z x iy z x iy
取复变解析函数：x(z) p iq (z) p1 iq1
KI表 KI边 KI埋 KI中
又有
KI边 K I中
(1
0.1sin 2 A 1
W
tan A
)2
W
裂纹长度 板宽度
19
当
A W
1 时，
sin 2 A 2 A
WW
KI边 1.2 1.1 KI中
KI表 1.1 KI埋
tan A A
WW
KI表
1.1KI埋
利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿 透裂纹问题.
27
二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算
实际情况应看成有限宽板计算.必须考虑自由边界对 裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解. 通过近似的简化或数值计算方法.
方法:边界配置法,有限单元法等. 边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足 双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而 是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函 数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定 K 值. 边界配置法:只限于讨论直边界问题.
E
KⅠ
r
2
应力强度因子的计算
第二章 应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要,计算K 值的几种方法: 1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算K 的基本公式，适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b =±处各作用一对集中力p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠRe Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠRe xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数：222()Z z b π=- 边界条件：a.,0x y xy z σστ→∞===.b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。
c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。
y '以新坐标表示：Z=⇒lim()K Zξξ→==Ⅰ2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a=±的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段→集中力qdx→dK=Ⅰ⇒K=⎰Ⅰ令cos cosx a aθθ==,cosdx a dθθ=⇒111sin()1cos22(cosaa aaaK daθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,1a a→.⇒12()aaK-==Ⅰ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b 的裂纹.边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==.b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =又Z 应为2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin()a Z πσξ+=当0ξ→时,sin,cos1222bbbπππξξξ==⇒sin()sincos cos sin22222a a a bbbbbπππππξξξ+=+σcossin222a a bbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cos sin(sin)2222222a a a a a bbbbbb bπππππππξξξ+=++22[sin()](sin )2cos sin22222a a a a bbbbbπππππξξ⇒+-=sinaZ ξπσ→⇒=sinlim aK ξπσ→⇒===Ⅰ=取w M =修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K Ⅰ的影响. 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125a b ≤)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim (K Z ξξ→=Ⅱ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.τsin()zZ z πτ=sin()()a Z πτξξ+=lim ()K ξξ→⇒==Ⅱ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim ()K ξξ→=Ⅲ4.周期性裂纹:K =§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y 方向的张开位移为:1222022(1)x z y y a c=--其中:202(1)ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分.有φϕ= (于仁东书) 1222220[sin ()cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰(王铎书)1962年,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子σ原裂纹面11cos ,sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+= ⇒ρ=假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径ρ的增值r 与ρ成正比.r f ρ= (f 远小于1)r f ρ⇒==边缘上任一点(,)p x z ''',有:1()sin (1)sin (1)x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1()cos (1)z r f z ρϕ'=+=+11(,),(,)p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内. 222242222(1)c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)c f c '=+,短轴(1)a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1)2(1)(1)(1)a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面:222220()1x z ya c y ++=扩展后裂纹面:222220()1x z y a c y '''++='''以1x x '=,1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y 向位移y ',有2222211112222222011(1)(1)x z x z y y a c f a f c'=-+=--'''++2222221111112222221(12)(12)12()x z x z x z f f f a c a c a c----=--++B2f =2222200022(1)2y fy f f y fy ''⇒==+B又f =⇒2y '=设各边缘的法向平面为平面应变,有:31)sin sin ]22v k θθ=+- 其中34k μ=-当θπ=时24(1)v K E μ-=222216(1)2I r K E μπ-⇒=22021E ()41I K y acπμ⇒=-又202(1)ay E μσϕ-=14122222()(sin cos )I a K c a cϕϕφ⇒=+在椭圆的短轴方向上，即2πϕ=，有I ImaxK K φ== 危险部位 →椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子当a c =时→圆片状裂纹，2πφ=2I K π⇒=§2-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算一、表面浅裂纹的应力强度因子当a B =（板厚）→线裂纹⇒可以忽略后自由表面对A 点应力强度的影响 欧文假设：半椭圆片状表面线裂纹I K 与深埋椭圆裂纹的I K 之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的I K 值之比。
应力强度因子的计算
3
以新坐标表示
边界条件：
z ,x y xy 0
z a, 除去 z b 处裂纹自由 表面上 y 0, xy 0 如切出 xy 坐标系内的第一象限的
薄平板，在 x 轴所在截面上内力
总和为P
Z 2P( a) a2 b2
y 0, xy 0
sin z
Z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
7
采用新坐标: z a
sin ( a)
Z
2b
(sin ( a))2 (sin a )2
2b
2b
当 0 时，sin , cos 1
[( a)2 b2 ] ( 2a)
KⅠ
lim
0
2 Z ( )
2P a
(a2 b2)
4
2.在无限大平板中,具有长度为 2a 的穿透板厚的裂纹表 面上,在距离 x a1 的范围内受均布载荷q作用
利用叠加原理
集中力 qdx dKⅠ
2q a dx
KⅠ 2q
a
sin1(a a)
q
a
3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 x 轴上有一系列
长度为 2a ,间距为 2b 的裂纹
单个裂纹时
Z z
z2 a2
6
边界条件是周期的: z , y x
y 0, a x a, a 2b x a 2b
p(x, z), p(x1, z1) 均在 y 0的平面内
dyna 应力强度因子
dyna 应力强度因子Dyna 应力强度因子引言：在材料力学中，应力强度因子是衡量裂纹尖端应力场的一种参数，可用于预测裂纹扩展的可能性和速率。
Dyna 应力强度因子是一种动态应力强度因子，考虑了载荷速率对裂纹尖端应力场的影响。
在工程实践中，准确地确定动态应力强度因子对于评估材料的断裂行为和结构的寿命至关重要。
1. 动态载荷对应力强度因子的影响动态载荷是指载荷在时间上的变化，对于裂纹尖端应力场的影响是不可忽视的。
在动态载荷下，裂纹尖端附近的应力场会发生明显的变化，从而导致动态应力强度因子的变化。
当载荷速率增加时，动态应力强度因子会增大，这意味着裂纹的扩展速率也会增加。
因此，准确地计算和评估动态应力强度因子对于预测材料的疲劳寿命至关重要。
2. 动态应力强度因子的计算方法计算动态应力强度因子需要考虑载荷的变化率和载荷的频率。
常用的计算方法包括线性弹性法、弹塑性法和有限元法。
线性弹性法适用于裂纹尖端附近应力场近似为线性弹性的情况，可以通过解析方法或数值方法进行计算。
弹塑性法考虑了材料的非线性行为，适用于裂纹尖端附近应力场存在明显的塑性区域的情况。
有限元法是一种广泛应用的数值方法，可以对复杂的裂纹形状和载荷条件进行计算。
通过这些方法可以得到动态应力强度因子的近似解，为评估材料的断裂行为提供了重要的参考。
3. 动态应力强度因子的工程应用动态应力强度因子在工程实践中具有重要的应用价值。
首先，准确地计算动态应力强度因子可以预测材料的疲劳寿命，帮助工程师优化设计和维护策略。
其次，动态应力强度因子对于评估材料的断裂韧性和抗裂纹扩展能力也是至关重要的。
通过实验和数值模拟，可以获得不同材料在不同载荷下的动态应力强度因子，从而为工程实践提供可靠的数据支持。
4. 动态应力强度因子的研究进展随着材料科学和工程技术的发展，对动态应力强度因子的研究也得到了广泛关注。
研究者们通过实验和数值模拟，探索了不同载荷速率、不同载荷类型和不同材料性质对动态应力强度因子的影响。
i型应力强度因子为负值 -回复
i型应力强度因子为负值-回复什么是应力强度因子？为什么i型应力强度因子可以为负值？在工程和科学领域中，应力强度因子是一个重要的概念，用来评估结构材料中裂纹尖端的应力和应变情况。
它在研究断裂机械行为、裂纹扩展机制及材料疲劳寿命等方面具有重要意义。
i型应力强度因子常常用于描述轴对称弹性问题，例如压边杆件、薄壁结构等。
但是，在某些情况下，i型应力强度因子可以取负值，这可能会对结构的稳定性和性能产生一定的影响。
首先，我们需要了解什么是应力强度因子。
应力强度因子（Stress Intensity Factor，为简称SIF）是一个无量纲参数，用来表示裂纹尖端处的应力和应变场的强度。
在弹性材料中，裂纹尖端处的应力和应变会集中，并达到无限大。
应力强度因子的值与裂纹尺寸、应力状态和几何形状等因素有关。
在应力强度因子的计算中，通常使用的是线性弹性断裂力学原理，其基本假设包括应力的线性弹性行为、平面应力状态、齐次材料等。
通过对结构中的裂纹尖端施加指定的加载，可以计算出裂纹尖端的应力强度因子。
为什么i型应力强度因子可以为负值呢？在分析应力强度因子时，通常使用了坐标系转换的方法，以简化问题。
在一些特殊情况下，i型应力强度因子（K1）的计算可能会产生负值。
这通常出现在加载方式和裂纹的几何形状上存在对称性的情况下。
例如，在轴对称的压边杆件中，沿着轴向施加的均匀拉伸应力会导致裂纹的扩展。
在这种情况下，裂纹尖端处的应力和应变会在裂纹面上达到最大值，并且具有对称的特点。
根据应力强度因子的定义，i型应力强度因子与裂纹尖端W方向上的正应力成正比，与长轴方向H的应力成反比。
如图所示，假设将均匀拉伸应力施加在裂纹尖端方向（W方向），则i型应力强度因子为正值。
而如果施加的是均匀的压缩应力，i型应力强度因子将会为负值。
这是因为在加载的情况下，沿着H方向的应力为负值。
由于i型应力强度因子的定义与应力的正负有关，就产生了负值的情况。
负值的i型应力强度因子在工程和科学领域中会对结构的稳定性和性能产生一定的影响。
应力强度因子的计算
KⅢ
lim
0
2 Z ( )
4.Ⅲ型周期性裂纹:
KIII
a
2b tan a a 2b
11
§2-2
深埋裂纹的应力强度因子的计算
1950年,格林和斯内登分析了弹 性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的 应力和应变得到椭圆表面上任意点,
沿 y 方向的张开位移为
y
y0 (1
x2 a2
z2 c2
1
)2
其中:
2b
2b
2b 2b 2b
8
Z 0
sin a
2b
2 cos a sin a
2b 2b 2b
KⅠ
lim
0
2 Z
sin a
2b
2b tan a a
1 cos a sin a
2b
2b 2b 2b
2b tan a a 2b
取 Mw
2b tan a a 2b
--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 KⅠ 的影响
ZII (z)
sin z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
ZII ( )
sin ( a)
2b
[sin ( a)]2 (sin a )2
2b
2b
10
KⅡ
lim
0
2 ZII ( )
a
2b tan a a 2b
3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
利用叠加原理
集中力 qdx dKⅠ
2q a dx
(a2 x2)
a
KⅠ 0
2q a dx
(a2 x2)
令 x asin a2 x2 acos dx a cosd
xfem计算应力强度因子
xfem计算应力强度因子引言应力强度因子是评估裂纹尖端应力场的重要参数，对于研究裂纹扩展行为和预测断裂失效具有重要意义。
传统的有限元法在计算应力强度因子时需要事先确定裂纹尖端位置，然而在实际工程中，裂纹的形状和位置往往是未知的。
为了克服传统有限元法的缺陷，出现了扩展有限元法（Extended Finite Element Method，简称xfem）。
xfem方法xfem方法是一种基于有限元法的计算方法，它通过在有限元中引入裂纹的自由度，克服了传统有限元法中需要提前确定裂纹位置的问题。
xfem方法的基本原理是在有限元网格中引入额外的自由度，以描述裂纹的形状和位置。
通过这种方式，裂纹的形状和位置可以在计算过程中自动更新，从而实现对裂纹扩展行为的准确模拟。
xfem方法在计算应力强度因子方面的应用xfem方法在计算应力强度因子方面具有很大的优势。
相比传统有限元法，xfem方法能够更准确地模拟裂纹扩展行为。
在传统有限元法中，由于需要提前确定裂纹位置，因此裂纹的形状和位置通常是固定的，无法考虑裂纹扩展过程中的形变和位移。
而xfem方法通过引入额外的自由度，能够更精确地描述裂纹的形状和位置，从而能够更准确地计算应力强度因子。
xfem方法还能够模拟复杂的裂纹形态，包括分支和交叉等情况。
传统有限元法往往难以处理这些复杂情况，而xfem方法通过引入额外的自由度，能够更灵活地描述裂纹形态，从而能够处理各种复杂情况。
xfem方法的计算步骤xfem方法的计算步骤主要包括以下几个方面：1. 网格划分：首先需要对计算区域进行网格划分，将其分割成多个小单元，每个小单元内部包含有限元节点。
2. 裂纹表达：在网格中引入额外的自由度，以描述裂纹的形状和位置。
常用的裂纹表达方式有分段线性函数和基函数等。
3. 裂纹扩展：根据裂纹扩展准则，通过更新裂纹的形状和位置，模拟裂纹在计算过程中的扩展行为。
裂纹扩展准则可以根据不同的应用需求进行选择。
j积分与应力强度因子的
j积分与应力强度因子的
J积分和应力强度因子是材料科学和力学领域中两个重要的概念。
J积分是一种描述材料断裂强度的参数，它反映了材料在裂纹扩展时的能量释放率。
而应力强度因子则描述了应力场对材料中裂纹扩展的影响。
J积分是一种描述材料断裂强度的参数，它可以通过对材料试样进行拉伸、压缩、弯曲等实验来测量。
J积分可以表示材料在裂纹扩展时的能量释放率，即材料在裂纹扩展时所需的能量。
J积分的应用非常广泛，它不仅可以用于评估材料的断裂强度，还可以用于研究材料的疲劳性能、断裂韧性等。
应力强度因子是描述应力场对材料中裂纹扩展的影响的参数。
它可以通过计算材料中的应力场和裂纹的几何形状来得到。
应力强度因子越大，材料中的裂纹就越容易扩展，反之亦然。
应力强度因子的应用主要在于预测材料在复杂应力场下的裂纹扩展行为，以及优化材料的结构和性能。
在实际情况中，J积分和应力强度因子往往同时存在于材料的断裂过程中，它们之间存在着复杂的关系。
J积分可以用来评估材料的断裂强度，而应力强度因子则可以用来预测材料在复杂应力场下的裂纹扩展行为。
因此，在材料科学和力学的研究中，理解和掌握J积分和应力强度因子的概念和应用是非常重要的。
J积分和应力强度因子是材料科学和力学领域中两个重要的概念，它们分别描述了材料的断裂强度和应力场对材料中裂纹扩展的影响。
理解和掌握这两个概念，对于研究材料的性能和优化材料的设计具有重要意义。
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应力强度因子断裂与损伤力学应力强度因子数值计算方法综述2013年6月第一章应力强度因子求解方法概述含有裂纹的工程结构的断裂力学分析一直是一个重要问题，在断裂力学理论中应力强度因子是线弹性断裂力学中最重要的参量。
它是由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式而确定。
由于裂尖应力场强度取决于应力强度因子，因此在计算各种构件或试件的应力强度因子是线弹性断裂力学的一项重要任务。
由于应力强度因子在裂纹体分析中的中心地位，它的求解自断裂力学问世以来就受到了高度的重视。
迄今为止，已经产生了众多的理论和致值解法。
70年代中期以前的有关工作在文献中已有相当全面的总结，近20年来，求解的方法又得刭了明显的发展与完善。
下文将穿透裂纹问题(二维)与部分穿透裂纹问题（三维）分开讨论。
第二章 二维裂纹问题2.1 复变函数法由Muskhelishvili 的复变函数法，应力函数为：_])()()([2/1)]()(Re[z z z z z z z z χψψχψ++=+=Φ平面应变情况下的应力与位移为： )]('Re[42222z yx y x ϕφφσσ=∂∂+∂∂=+ )]('')(''[22z z z i xy y x χϕτσσ+=+-)](')('[21)(243x z z z iv u χϕμϕμμ+--=+ 可以证明，在裂纹尖端区域：)]('lim[220z z z iK K K I ϕπ-=-=∏由上式可见。
由于k 仅与)(z φ有关，因此只需确定一个解析函数)(z φ，就能求得k I ，这一方法一般只能用来解无限体裂纹问题。
对于含孔边裂纹的无限大板，通常可利用复变函数的保角映射原理来简化解题过程。
如采用复变（解析）变分方法，则可求解具有复杂几何形状的含裂纹有限大板的应力强度因子。
2.2 积分方程法弹性边值问题可以变为求解下列形式的积分方程：)())(()().,(r f dt t b a t t P t r M -=--⎰ 由积分方程解出沿裂纹的坐标的函数，便能直接求出应力强度因子k 。
这个积分方程在有些特殊情况下可用普通的Gauss-Chebyshellr 积分或它的修正形式来求解。
2.3边界配置法边界配置法是求解各类边值问题的一种半解析半数值方法。
用应力函数法求解二维裂纹问题，关键是选择合适的满足全部边界条件的双调和应力函数，而对有限体或裂纹分布较复杂的情况，封闭形式的应力函数是很难选取的。
边界配置法克服了这一困难，它的基本思路是选择以级数展开形式的函数作为满足双调和方程和裂纹面边界条件的应力函数，通过边界条件来确定含有限项的级数中的待定系数。
这些待定系数可以通过求解满足边界上的应力，载葡或位移的一组线性代数方程而确定。
求解中可以在指定点上精确地满足，也可以在最小均方差的意义上满足边界条件。
这样得到的级致解一般能精确满足域内的给定条件，并且近似地满足其余边界上的条件。
在裂纹问题的边界配置法中有两种基本的应力函数可供选择，即Williams 的应力函数和Muskhelishyili的复变应力函数，从发展过程看，前者一般用在边缘裂纹问题中，后者可用于内埋裂纹与边缘裂纹的情况。
边界配置法的求解精度较高。
它的不足之处是：对于不同类型的裂纹问题，应力函数必须改变。
而建立这些新的应力函数的工作量将是很大的，对于较复杂的几何与载荷情况，应力函数所应满足的边界条件很难确定，另外，解的收敛性还没有得到严格的证明。
2.4边界力法边界力法通过利用无限体中有限数量的集中力和集中力矩的叠加来求解边值问题。
这种解法以无限体中集中力和集中力矩的弹性解为基本解，对于不含裂纹的板，基本解取Muskhelishyili的解，对于含裂纹的板，则取Erdogan的解作为基本解。
由于Erdogan的解精确地满足了裂纹面应力为零的条件，所以裂纹面就不再需要作为边界的一一部分加以考虑。
因为基本解满足了物体内部的所有弹性力学方程，余下所需满足的条件只是边界条件。
这些边界条件则是通过在相应于真实裂纹体的假想边界上施加一系列的集中力和集中力矩来满足的，先把假想的边界离散化为一组线段，在每一段的中心，在离开假想边界处加上一对集中力和力矩，这些力和力矩的值可通过近似地满足边界条件得以确定。
与其他数值方法相比，边界力法有其明显的优点。
由于这一方法已精确地满足了裂纹面上的边界条件，所以它不需要像边界元法那样把裂纹面视为边界的一部分。
另外，它也克服了边界配位法中所需要的对每一类裂纹问题都要建立新的应力函数的缺点。
这种解法只要较小的自由度就能达到相当高的精度。
因此它在求解几何形体复杂的裂纹向题中有着明显的优点，但在处理复杂载荷的能力方面，则远非如权函数法那样灵活。
2.5权函数法权函数法是一种求解在任意受载条件下裂纹应力强度因子的高效方法。
这种解法的高效性在于它把影响应力强度因子的两个因素，即载荷与几何，作了变量分离。
权函数仅反映了裂纹体的几何特性，它可以根据一种受载情况下的已知解确定。
一经导出，它就能被用来不受限制地求解任意加载条件下的k 值，求解中只需作一个积分运算：dx x x a m K a )().,(0σ⎰=式中m(a,x)为权函数，)(x σ为无裂纹体中假想裂纹处的应力分布。
除了灵活通用，简单经济等特点外，这一方法所得的结果有高的可靠性。
2.6 有限元法有限元法在断裂力学中有着非常广泛的应用，它不受解析方法常遇到的因裂纹体几何或载荷的复杂性的限制。
这种方法的基本思路是用一系列离散化的，区段连续的场变量来对任何连续的场交量作逼近。
这些区段称为单元，单元间由结点互相连结。
因为单元内的场变量的变化规律是未知的，所以要用某些近似函数来描述它们在单元内的行为。
这些近似函数称为插值函数。
求解以有限矩阵形式出现的场的方程，便能得到整个系统的单元结点的场变量值，进而确定单元内的变量值，关于这一方法本身的理论可另见有关专著，这里只对利用有限元法求解裂纹体应力强度因子作一简单介绍。
除了极少数特殊设计的专用程序能在有限元输出结果中直接给出应力强度因子k 以外，一般的有限元计算结果都需要再通过一定的中间运算才能最终确定k 值，目前在文献中用有限元法求解应力强度因子大致可以分成直接法和间接法两种，直接法是指由有限元计算输出的应力或位移求k 值。
间接法则是通过有限元求出某些中间量，进而导出k 值。
2.6.1 直接法常用的直接法一般有以下三种：(l)采用非奇异元的位移法有限元计算所得的结点位移，通过近裂纹尖端区位移与应力强度因子之间的关系，求得一组应力强度因子值。
一般建议用由裂尖起始的，沿θ为常数(通常取θ=180)的射线上的结点位移。
在裂纹面上取若干结点的位移，作出k-r/a 的关系图。
在r/a=0的小区域内，由于采用常规单元体体现不了裂纹尖端的奇异性，可能会出现k 的异常变化，为了提高求解精度，可将k-r/a 的直线段外延到与纵轴k 的交点，交点的值即为所求的k 。
(2)采用非奇异元的应力法与位移法类似，可利用裂尖区应力场与应力强度因子的关系求k 值。
)(2θπσij ij f r K = 以有限元结点或高斯点的应力值代入上式。
并采用与位移法类似的由k-r/a 直线段外推到，r/a=0，便能确定应力强度因子值。
对于基于位移假设的有限元解法，由干位移的计算精度比应力的精度高，而且裂尖区应力的奇异性在常规元中又不能体现，所以通常都是由位移解来导出应力强度因子值。
(3)裂尖奇异元用常规的非奇异元来求解裂纹问题的一大困难是需要用很细的网格，即大量的自由度，才能使应力强度因子解达到一定的精度水平，为了压缩计算工作量，发展了各类具有r /1奇异性的裂尖奇异元，这些奇异元自身所具有的应力与应变r /1奇异性使得用较小的自由度便能达刭一定的求解精度，然而这些奇异元在某些方面也有着不足之处，如：缺乏刚性位移，与常规元不易协调，在通用的结构分析有限元程序中并不具备，因此应用起来较麻烦等等。
后来出现的一种新的奇异元则克服了以上的不足，这种新的奇异元就是由广为使用的二次等参元退化而成的四分之一结点奇异元。
四分之一结点的四边形单元的这种奇异性只在单元的两个侧边上才存在。
而在单元内部，任一条自裂尖起始的射线上奇异性并不存在。
然而，如果把四边形的一条边压缩成位于裂尖的一个点，并把两侧边的中结点向裂尖移到四分之一边长的位置，则沿自裂尖出发的任一条射线，这种经畸变后的裂失单元通常称为畸变的（或退化的）四分之一结点奇异元。
由于一般的有限元程序中都含有8结点二次等参元（三维则为20结点六面体等参元），所以采用这种四分之一结点奇异元能够在一般的有限元程序中实现，且不需对程序作任何修改。
所需要做的只是在输入文件中写进畸变后单元的结点坐标（而其他类型的裂尖奇异元法则需要有限元程序本身就具有这些裂尖奇异元，这就大大地限制了它们的使用范围）。
另外，这种四分之一结点奇异元不存在与周围的非奇异元不相容的问蹲。
由于这些明显的优点，这种裂尖元得到了非常广泛的应用。
2.6.2 间接法应用直接法遇到的一个主要问题是：由于裂纹尖端的奇异性，应力在r=0时以r/1。
方式趋于无穷。
为了保证解的精度，在用常规非奇异元时需要把网格划得很细，从而导致自由度和计算量的增加，解决这一问题除了上面已讨论的奇异元外，还可以采用各种间接法，如能量释放率，J积分，刚度导数等方法间接地导出应力强度因子。
(1)能量释放率法线弹性断裂力学的理论已证明，应力强度因子k与裂纹体能量释放率G之间有如下关系。
K'=EG=EE'2ν-)1/(计算G的一个简单方法是进行两次有限元计算，在一个计算中取裂纹长度为a，在另一个计算中释放紧靠裂纹尖端的一个结点，用公式计算应变能。
取两个计算之差值，可得能量释放率,由此便能得到k值。
这种方法的优点是对网格细化的程度要求较低。
(2)J 积分法J 积分为应力强度因子的求解提供了另一种数值方法，积分是沿着包围裂纹尖端的某路径的一个线积分，其定义是⎰∂∂-=).(ds xu T wdy J 式中w 为应变能密度，T 为积分路径的外法线方向的面力矢量，U 为位移矢量，ds 是沿积分路径的弧长。
Rice 已经证明了J 积分的路径无关性。
这一特性为J 积分的计算带来很大方便。
由于积分路径可选在近裂尖区以外，因而就降低了对裂尖区单元及其密度的要求。
在线弹性条件下，J 积分与应变能释放率G 是等同的，因此由J 积分可得应力强度因子k 。
为了计算J 积分，必须有一个根据其定义式建立的一个专用的计算机后处理程序,并要有一个描述数值积分路径的子程序。
如果在计算机中采用的是二次等参元，则最好选择通过单元Gauss 点（而不是结点）的路径。