2020年福建南平高三一模数学试卷(理科)
福建省南平市2020届高三上学期第一次综合质量检查数学(文)试题(解析版)
2020届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则B A =R I ð（ ）A ．{}|21x x -<<B ．{}|21x x -≤<C ．{}|21x x -<≤D ．{}2|1x x -≤≤【答案】B【解析】先求集合A 的补集，再进行交集运算，即可得答案. 【详解】因为集合{}1A x x =≥，所以{|1}A x x =<R ð， 所以{}|21B A x x -=≤<R I ð. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，即补集和交集，考查基本运算能力，属于基础题. 2．若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】对得复数进行除法运算，再利用纯虚数的概念，求得a 的值. 【详解】 因为i (i)(1i)(1)(1)i1i (1i)(1i)2a a a a z -----+===++-， 所以101a a -=⇒=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3．已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=（其中e 为自然对数的底数），则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a <<D ．c b a <<【解析】引入中间变量0和1，易得1,0,01a b c ><<<，即可得到答案. 【详解】因为10ln 211ln 2<<⇒>，则1a >； 因为1lnln102<=，则0b <； 因为1020e e 1-<<=，则01c <<； 所以b c a <<. 故选：C 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较式子的大小，考查数形结合思想的应用.4．已知平面向量a r 与b r满足)a =r ，4b =r ，且()2a b a -⊥r r r，则a b -=r r （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】对式子a b -r r进行平方，再将已知条件代入计算求解，即可得答案.【详解】因为)a =r ，所以24a =r， 因为()()22220a b b a a b a a a -⊥⇒-⋅=⋅⇒=r r r r r r r r r ，所以2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r 441616=-+=，所以4a b -=r r.故选：C 【点睛】本题考查向量的模的计算、向量数量积、向量垂直关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（ ） A ．58B ．18C ．56D ．16【解析】列出所有等可能结果，计算两次取出小球颜色不同事件所含的基本事件总数，再利用古典概型概率计算公式求解. 【详解】记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的基本事件总数有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有： (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共10个基本事件，所以两次取出小球颜色不同的概率为58. 故选：A. 【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查基本运算求解能力，求解时注意区分有放回和无放回的区别.6．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆E ，则椭圆E 的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】B【解析】将点,22P ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得2213124a b +=，结合离心率2c a =及222a b c =+，求得c 的值，即可得到答案.【详解】因为椭圆E 的离心率为2，所以2c a =，因为椭圆过点2P ⎛ ⎝⎭，所以2213124a b +=， 又222a b c =+，解得：1c =， 所以焦距为22c =. 故选：B.本题考查椭圆的离心率及焦距的概念，考查基本运算求解能力，求解时注意焦距是2c 而不是c .7．已知函数()2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C ．函数()g x 是奇函数 D ．其图象关于直线π2x =对称 【答案】D【解析】先通过平移得到()2cos2g x x =，再一一对照选项进行验证，即可得到答案. 【详解】对A ，因为()2cos2g x x =，所以222,2k x k k x k k Z ππππππ≤≤+⇒≤≤+∈，所以()g x 的递减区间为[,],2k k k Z πππ+∈，π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是递减区间的子区间，故A 错误； 对B ，因为π6π23x ≤≤，所以3ππ234x ≤≤，利用单位圆三角函数线可得，函数的值域为1[1,]2-，故B 错误；对C ，因为()()g x g x -=，所以函数为偶函数，故C 错误； 对D ，当π2x =时，π()2cos 22g π==-，故D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的平移、三角函数的单调性、奇偶性、周期性，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用，求解时注意左右平移是针对自变量x 而言的.8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =（ ）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】C【解析】根据,a b 的输入值分别为6,2，1n =，执行程序中的循环结构，从而得到输出值n . 【详解】由题意得：,a b 的输入值分别为6,2，1,9,4n a b ===，272,,82n a b ===， 813,,164n a b ===，2434,,328n a b ===，此时，243328≤终止循环，输出4n =. 故选：C 【点睛】本题考查数学文化与程序框图的交会，考查阅读理解能力和有条理思考问题的能力，求解时注意根据判断框的条件，得到何时终止循环. 9．函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据函数为奇函数，排除B,C 选项，再根据(,0)x π∈-函数值的正负，排除D 选项，从而得到正确答案. 【详解】 因为()2sin()()cos()()x x f x f x x x ---==--+-，所以函数为奇函数，故排除B,C 选项；当(,0)x π∈-时，2sin 0,cos 0x x x x <+>，所以()0f x <，故排除D ；故选：A 【点睛】本题考查利用函数解析式挖掘函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项. 10．给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin12x =； ②0a ≤是210ax ax +-<恒成立的充分条件； ③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】对①，存在01x =成立；对②，求出使210ax ax +-<恒成立的a 的取值范围，再根据子集关系判断；对③，利用导数的几何意义可求出切线方程；对④，利用零点存在定理判断零点存在性. 【详解】对①，当01x =时，πsin12=显然成立，故①正确； 对②，当210ax ax +-<恒成立时，0a =或20,40,a a a <⎧⎨∆=+<⎩解得：40a -<?，因为0a ≤推不出40a -<?，所以0a ≤不是210ax ax +-<恒成立的充分条件，故②错误；对③，因为'221ln 1ln ()x x x x f x x x ⋅--==，所以'()0f e =，所以切线方程为1y e=，故③错误；对④，因为()2110,()90f f e e =-<=->，所以函数在(1,)e 存在零点，故④正确；故选：B 【点睛】本题考查命题真假的判断、简易逻辑知识的运用、导数的几何意义、零点存在定理，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11．在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为BD 的最大值是（ ） A． BCD【答案】B【解析】将ABC ∆的面积分成两个小三角形面积和，得到关于BD 的方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，所以11sin 90sin 3022AB BD BD BC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=o o，即124BD BC AB =+，因为1822AB BC AB BC ⋅⋅⋅=⇒⋅=，所以1224BD BCAB =≤=+2,4AB BC ==. 故选：B 【点睛】本题考查三角形面积公式、基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.12．已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A ．()0,6 B ．()2,0-C ．(),2-∞-D ．()(),20,6-∞-U【答案】D【解析】根据不等式构造函数()(),(2)xg x e f x x =<，再利用导数研究函数()g x 在(,2)-∞的单调性，再根据对称性得到()g x 的图象特征，将不等式()0x f x ⋅>化为：0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩即可得到答案. 【详解】()(),(2)x g x e f x x =<，()()()()()0x x x g x e f x e f x e f x f x ''⎡⎤=+=+>⎣⎦，()g x 在(,2)-∞单调递增，2(2)(2)0g e f -∴-=-=，∴当(,2)x ∈-∞-时，()0<g x ，当(2,2)x ∈-时，()0>g x ，又0x e >，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x <，当(2,2)x ∈-时，()0f x >， 又()f x 满足()()4f x f x =-，()f x ∴图象关于直线2x =对称，∴当(2,6)x ∈-时，()0f x >，当(,2)(6,)x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x <，不等式()0x f x ⋅>等价于0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩ 解得：()(),20,6x ∈-∞-U . 故选：D 【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是根据题目所给的不等式构造函数，再利用导数研究所构造函数的性质，进而求解不等式.二、填空题13．已知cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=__________． 【答案】34-【解析】∵cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭∴sin )24αα+=，即1cos sin 2αα+= ∴221cos sin sin 24ααα++= ∴3sin 24α=-故答案为34-. 14．已知函数{}n a 是公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________；【答案】4-【解析】利用等比中项性质得25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，再利用等差数列的通项公式求得1a ，进而得到8a 的值. 【详解】因为21a +，51a +，61a +成等比数列，所以25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，所以1112][14(2)25(21]())1[a a a +⋅--+⋅-=+++⋅，解得：110a =，所以817107(2)4a a d =+=+⋅-=-. 故答案为：4- 【点睛】本题考查等比数列中项的性质、等差数列通项公式的应用，考查基本量法的运用.15．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________； 【答案】16π【解析】根据三棱柱的特征，先确定其外接球球心的位置，再列出关于外接球半径R 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】设上下底面的外心分别为12,O O ，则球心O 为12O O 的中点，则121O O AA =，因为底面外接圆半径为12sin BC r A ==外接球的半径222111342R r AA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以外接球的表面积为：2416R ππ=. 故答案为：16π. 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的应用、柱体体积、球的表面积计算公式、三棱柱与其外接球的关系，考查空间想象能力和运算求解能力.16．已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．【解析】求出点4,3a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点A 在以12F F 为直径的圆上得12F A F A ⊥，接着利用向量数量积为0，从而得到关于,a c 的方程，进而得到离心率. 【详解】设4,3a A y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入22221x y a b-=化简得2279y b =，由已知得12F A F A ⊥，则210F A A F ⋅=u u u r u u u u r.因为2144(,),(,),33a aF A c y F A c y =+=-u u u r u u u u r 所以2204444733339a c a c y a c a cb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+-+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭，又222+=a b c ，整理得：222229922a a c c e =⇒=⇒=，【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用及向量知识的应用.三、解答题17．国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） （2）已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？【答案】（1）ˆ0.70.35.yx =-（2）1.75吨. 【解析】（1）直接利用最小二乘法求回归直线方程；（2）将8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗，从而求得生产能耗比技术改造前降低的吨数. 【详解】 (1)4567 2.534 4.55.5, 3.544x y ++++++====,414 2.553647 4.580.5,i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑42222214567126,ii x==+++=∑4142221480.54 5.5 3.50.7,1264 5.54ˆi ii i i x y xybx x ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑ 3.50.7ˆˆ 5.50.35,ay bx =-=-⨯=- 则所求的方程为ˆ0.70.35.yx =- (2)把8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗是0.780.35 5.25y =⨯-=吨，7 5.25 1.75-=吨， 所以，预测生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低1.75吨.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，考查数据处理能力和运算求解能力. 18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（2）11121n n T +=--【解析】（1）利用临差法得到12n n a a -=⋅，再根据11a S =求得1a =，从而求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=⋅()*,因为{}n a 是等比数列，所以121a a =-满足()*式，所以21a a -=，即1a =， 因此等比数列{}n a 的首项为1,公比为2,所以等比数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n nn n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以11121n n T +=--.【点睛】本题考查数列的通项公式、裂项相消法求和，考查方程思想、转化与化归思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意先对通项进行改写，再决定选用什么方法求和.19．如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC P 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．（1）求证：CE P 平面111A B C ；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1， 证明CE ∥C 1F ，即可证明线面平行；（2）根据三棱锥的等积法得11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===，即可求得答案.【详解】(1)证明 如图，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1，∵E 为AB 1中点，∴EF//A 1A 且EF=12A 1A ， ∵AA 1∥CC 1且AA 1=2CC 1，∴EF//CC 1且EF =CC 1，即四边形EFC 1C 为平行四边形， ∴CE ∥C 1F .∵111CE A B C ⊄平面，1111C F A B C ⊂平面， ∴CE ∥平面A 1B 1C 1.(2) ∵平面AB B 1A 1⊥平面ABC ，交线为AB 又矩形AB B 1A 1中A A 1⊥AB ，∴AA 1⊥平面ABC ， ∵AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥平面ABC ，∵BB 1∥CC 1，111BB C AC ⊄平面，111CC C AC ⊂平面， ∴BB 1∥11C A C 平面，∴11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===11122222323=⨯⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查线面平行判定定理、三棱锥体积的求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20．已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限的动点，直线AO （O 为坐标原点）交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点．（1）若5AF =，求直线BF 的方程；（2）试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】（1）210x y --=（2）是，定值0【解析】（1）由AF =5及抛物线定义得A 点横坐标为4，求出直线 OA 的方程，进而求得(1,1)B --，利用点斜式方程即可得到直线B F 的方程；（2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --；由M 为线段DE 中点，得M 坐标为284(1,)k k+，将直线OA 的方程与抛物线方程联立可得244(,)A k k，计算直线AM 的斜率即可得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：24y x =的准线为1x =-，C 的焦点为(1,0)F ， 由5AF =及抛物线定义得A 点横坐标为4，由A 点位于第一象限内且在抛物线C ：24y x =上得A 点坐标为(4,4)， 于是OA k =1，则直线OA 的方程为y x =，与准线1x =-联立解得(1,1)B --， 因此BF k =12，所以直线B F 的方程为1122y x =-，即210x y --=. （2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --，于是2BF kk =，由已知0k >，故设直线BF 的方程为21x y k=+，与24y x =联立并消去x 得， 2840y y k--=，其中264160k ∆=+>.设1122(,),,D x y E x y （），则128y y k +=，则212162x x k +=+ ， 由于M 为线段DE 中点，于是M 点坐标为284(1,)k k+， 直线OA 的方程0y kx k =>（），与24y x =联立解得244(,)A k k， 所以直线AM 的斜率为0，综上可知直线AM 的斜率为定值0. 【点睛】本题考查直线方程的求解、直线与抛物线中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，将点的坐标及斜率转化成用变量k 表示. 21．已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈． （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．【答案】（1）()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．（2）证明见解析【解析】（1）对函数进行求导得2()x af x x-'=，再对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到函数的单调性；（2）将不等式等价于ln 1e cos x x x x +<+，再对x 分成01x <≤和1x >两种情况讨论. 【详解】 （1）由 221()a x af x x x x-'=-=(0)x > 知： （i ）若0a ≤，2()0(0)x af x x x-'=>>，∴ ()f x 在区间()0,∞+上为增函数． （ii ）若0a >，∴当x ∈()0,a 时，有()0f x '<，∴ ()f x 在区间()0,a 上为减函数． 当x ∈(),a +∞时，有()0f x '>，∴ ()f x 在区间(),a +∞上为增函数． 综上：当0a ≤时，()f x 在区间()0,∞+上为增函数；当0a >时，()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．（2）若1a =，则1()ln (0)f x x x x=+>要证e cos ()x xf x x+<，只需证ln 1e cos x x x x +<+，即证：ln e cos 1x x x x <+-.（i ）当01x <≤时，ln 0x x ≤，而e cos 11cos11cos10x x +->+-=> ∴此时ln <e cos 1x x x x +-成立.（ii ）当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，()0,x ∈+∞， ∵ ()e sin ln 1x g x x x '=---， 设()()e sin ln 1x h x g x x x '==---，则 1()e cos xh x x x'=--Q 1x >，∴1()e cos e 110x h x x x'=-->-->∴当1x >时，()h x 单调递增，∴()(1)e sin110h x h >=-->，即()0g x '> ∴()g x 在()1,+∞单调递增，∴()(1)e cos110g x g >=+-> 即()e cos ln 10x g x x x x =+-->，即ln <e cos 1x x x x +-，∴e cos ()<x xf x x+综上：当0x >时，有e cos ()<x xf x x+成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.22．在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩（α为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． （2）求PAB △面积的最大值．【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y +-=,曲线C 的普通方程为22182x y +=（22【解析】（1）直线lcos()14πθ-=利用两角差的余弦公式展开，再利用公式cos ,sin x y ρθρθ==，将方程化成普通方程形式；对曲线C 的参数α进行消参，从而得到普通方程；（2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，将点到直线的距离转化为三角函数的值域问题. 【详解】（1）直线lcos()14πθ-=化成cos sin 1ρθρθ+=，Q cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=，曲线C 的参数方程化成：cos sin ,(2cos sin xy ααααα⎧=+⎪⎨⎪=-⎩为参数）. 平方相加得2224x y +=，即22182x y +=（2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，则P 到直线l 的距离为：d==，当sin()1αϕ+=-时，max d =设PAB ∆的面积为S，则max 12S AB =⨯⨯=【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、利用三角函数的值域求点到直线距离的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力. 23．已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．（1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤． 【答案】（1）1t =，不等式解集为(,1)(1,)-∞-+∞U （2）证明见解析【解析】（1）根据不等式的解集，可得1t =，再利用分类讨论求解绝对值不等式； （2）由21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立，即min 2(2122)a b x x +≤++-将问题转化为证明23()13a ab a b ++≤≤成立. 【详解】（1）由()1f x <可得：121x t -<+<，即1122t tx +--<<， 解集为(1,0)-，所以1t =.当21x ≥-时，不等式()2f x x >+化成212x x +>+，解得：1x > 当21x <-时，不等式()2f x x >+化成212x x -->+，解得：1x <-综上所述，解集为(,1)(1,)-∞-+∞U …（2）由题意得21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立， 从而min 2(2122)a b x x +≤++-，2122(21)(22)3x x x x ++-≥+--=Q ， 2122x x ∴++-的最小值为3.∴23a b +≤，又,a b R +∈， ∴23()13a ab a b ++≤≤. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、不等式的证明，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
2020年福建省南平市建阳第一初级中学高三数学理联考试题含解析
2020年福建省南平市建阳第一初级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出下列函数：①；②；③.，使得的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：B2. 函数y＝xe x的最小值是()A. －1B. －eC. －D. 不存在参考答案：C【分析】先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.【详解】y′＝e x＋xe x＝(1＋x)e x，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x ＝－1时，y min＝－.选C.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.3. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=，AD：BC：AB=2:3:4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥F C；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．③④参考答案：B略4. 下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量=（3，﹣4），=（2，1），则向量在向量方向上的投影是．说法错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题①是考查特称命题的否定，特称命题的否定是全称命题；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后在幂函数解析式中取x=4求值；命题④向量在向量的方向上的投影为：，即可得出结论．【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不一定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），所以2α=，所以α=﹣，所以幂函数为f（x）=，所以f（4）=，所以命题③正确；④∵向量=（3，﹣4），=（2，1），∴?=3×2+（﹣4）×1=2，||=，∴向量在向量的方向上的投影为： =，故④不正确．故选：C．5. 球O与棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面均相切，如图，用平平行于底面的平面截去长方体A2B2C2D2﹣A1B1C1D1，得到截面A2B2C2D2，且A2A=a，现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆，则黄豆落在截面中的圆内的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】几何概型．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离；概率与统计．【分析】求出截面中的圆的半径为=，面积为，截面A2B2C2D2的面积为a2，利用面积比可求概率．【解答】解：由题意，截面中的圆的半径为=，面积为，∵截面A2B2C2D2的面积为a2，∴黄豆落在截面中的圆内的概率为，故选B．【点评】本题考查正方体的内切圆，考查面积的计算，正确求出截面中的圆的半径是关键．6. 已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A略7. “”是“”的（）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略8. i为虚数单位，则=( )A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简为i，根据=i4×503+3=i3，求得结果．【解答】解：∵===i，则=i4×503+3=i3=﹣i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．9. 复数等于（A ） (B) ( C) ( D)参考答案： D，选D.10. 给出如下四个判断： ①；②；③设是实数，是的充要条件 ; ④命题“若则”的逆否命题 是若,则. 其中正确的判断个数是( )A ．１B ．２C ．３D ．４参考答案：A 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （几何证明选做题）如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则．参考答案：12. 已知点落在角的终边上，且，则的值为_____________；参考答案：13. 如图所示的程序框图输出的值是参考答案： 14414. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．参考答案：1464【知识点】函数模型及其应用【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A 用涂料1，房间B 用涂料3， 房间C 用涂料2，即最低的涂料总费用是元。
2020届福建省南平市2017级高三上学期第一次模拟检测数学(理)试卷及解析
2020届福建省南平市2017级高三上学期第一次模拟检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效．4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}230A x x x =-<,{}2log 0B x x =>,则A B =（ ）A. {}3|1x x <<B. {}|02x x <<C. {}|03x x <<D. {}1|0x x <<【答案】A【解析】 解不等式化简集合,A B ,再进行交集运算,即可得答案. 【详解】因为2{30}{|03}A x x x x x =-<=<<,{}2{log 0}1B x x x x =>=,所以{|13}A B x x ⋂=<<.故选：A2.在复平面内,复数()212i 1i -+对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】对复数进行四则运算并化简成z a bi =+的形式,从而得到得复数对应点所在象限.【详解】因为复数()212i12i 1221i i i --==--+, 所以复数对应的点在第三象限.故选：C3.已知命题p ：x R ∀∈,sin cos 2x x +<．则p ⌝为（ ）A. 0x R ∃∈,00sin cos 2x x +>B. x R ∀∈,sin cos 2x x +≥C. x R ∀∈,sin cos 2x x +>D. 0x R ∃∈,00sin cos 2x x +≥ 【答案】D【解析】全称命题的否定为特称命题,任意改成存在,结论进行否定即可得到答案.【详解】因为p ：x R ∀∈,sin cos 2x x +<,所以p ⌝：0x R ∃∈,00sin cos 2x x +≥.故选：D4.下列函数中,既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（ ）A. 22x x y -=-B. tan y x x =C. sin y x x =-D. 12y x x =- 【答案】D【解析】根据函数为奇函数可排除B,再利用函数的单调性可排除A 、C,即选出正确答案.【详解】对A,函数22x x y -=-在()0,∞+单调递增,故A 不符合；对B,函数tan y x x =为偶函数,故B 不符合；对C,函数'1cos 0y x =-≥在()0,∞+恒成立,所以在()0,∞+单调递增,故C 不符合； 对D,函数既是奇函数又在()0,∞+单调递减,故D 符合；。
2020年福建省南平市高考数学一模试卷
2020年福建省南平市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，2{|log 0}B x x =>，则(A B = )A ．{|13}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|01}x x <<2．（5分）在复平面内，复数212(1)ii -+对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知命题:p x R ∀∈，sin cos 2x x +<．则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，00sin cos 2x x +> B ．x R ∀∈，sin cos 2x x + C ．x R ∀∈，sin cos 2x x +>D ．0x R ∃∈，00sin cos 2x x +4．（5分）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是( ) A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 5．（5分）已知函数2()sin 1xf x x x=+，则函数()y f x =的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．6．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n 个数1x ，2x ，⋯，n x ，1y ，2y ，⋯，n y 构成n 个数对1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．5B ．6C ．7D ．88．（5分）已知非零向量a ，b 满足，(4)(4)a b a b +⊥-，22||a a b =，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 9．（5分）设抛物线2:4C x y =焦点为F ，直线2y kx =+与C 交于A ，B 两点，且||||25AF BF =，则k 的值为( )A ．2±B ．1-C ．1±D ．2-10．（5分）已知函数221tan ()2sin cos 1tan x f x x x x-=-+给出下列三个结论：①函数()f x 的最小正周期是π； ②函数()f x 在区间[,]88ππ-上是增函数；③函数()f x 的图象关于点(,0)8π-对称．其中正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）设数列{}n a 满足12(1)n n a a n +-=+，12a =，则数列{(1)}n n a -的前200项和是()A ．20100B ．20200C ．40200D ．4040012．（5分）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AA ，BC 的中点，点M 在棱11B C 上，11114B M BC =，若平面FEM 交11A B 于点N ，四棱锥11N BDD B -的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 半径为( )A B C ．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）函数()f x x lnx =的单调递减区间为 ．14．（5分）将5名志愿者分派到2个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排2人参加活动，则不同的分派方案共有 种；（用数字作答）15．（5分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，4a 是2a 与8a 的等比中项，3720a a +=，则n a = ；16．（5分）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，若双曲线上存在点P 满足2122PF PF a =-，则双曲线离心率的取值范围为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设222()tan a b c C +-=． （1）求C ；（2）若3sin 4sin A B =，且ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．18．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SBD ⊥平面ABCD ，AB AD ==，2CB CD ==，120BCD ∠=︒．（1）求证：AC SB ⊥；（2）若M 为线段BD 上的一点，14DM BD =，SM =，SM BD ⊥，求平面ABS 与平面BCS 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线:4430l x y -+==交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足223||||4OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．20．（12分）已知函数()()lnx a f x a R x+=∈，()1xg x e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()g x f x 在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如表所示：（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人y 次关于活动推出天数x 的回归方程适合用x y c d =来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； （2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如表：商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受8折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12．现有一名顾客购买了a 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？参考数据：设i i v lgy =，711 1.527i i v v ==≈∑，7149.56i i i x v =≈∑，0.5210 3.31≈参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u vnuv unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 请考生在第22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（10分）在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14πθ-=，曲线C 的参数方程为：2(cos sin ),(cos sin ,x y ααααα=+⎧⎨=-⎩为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． （2）求PAB ∆面积的最大值．23．已知函数()|2|f x x t =+，若()1f x <的解集为(1,0)-． （1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：a ，b R +∈，若()2|22|f x a b x +--对一切实数都成立，求证：21a b ．。
2020届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学(文)试题(原卷版)
南平市2019—2020学年高中毕业班第一次综合质量检测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则B A =R I ð( )A. {}|21x x -<<B. {}|21x x -≤<C. {}|21x x -<≤D. {}2|1x x -≤≤2.若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A. 2 B. 1C. 1-D. 2-3.已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=(其中e 为自然对数的底数)，则( ) A. c a b << B. a c b << C. b c a <<D. c b a <<4.已知平面向量a r 与b r满足)a =r ，4b =r ，且()2a b a -⊥r r r，则a b -=r r ( )A. 2B. 3C. 4D. 55.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是( ) A.58B.18C.56D.166.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点22P ⎛ ⎝⎭，椭圆E 的离心率为2，则椭圆E 的焦距为( )A. 1B. 2C.D.7.已知函数()3sin 2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是( ) A. 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B. 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C. 函数()g x 是奇函数D. 其图象关于直线π2x =对称 8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =( )A. 5B. 3C. 4D. 29.函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为( ) A. B.C. D.10.给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin12x =； ②0a ≤是210ax ax +-<恒成立的充分条件；③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 411.在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为则BD 的最大值是( ) A.B.C.D.12.已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为( ) A. ()0,6 B. ()2,0-C. (),2-∞-D. ()(),20,6-∞-U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 2α=__________． 14.已知函数{}n a 是公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________； 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________；16.已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．x (吨)45 67y (吨)2.534 4.5(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； (1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-) (2)已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据(1)求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC P 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．(1)求证：CE P 平面111A B C ；(2)若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -体积．20.已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限动点，直线AO (O 为坐标原点)交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点． (1)若5AF =，求直线BF方程；(2)试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由． 21.已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈． (1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩(α为参数)，A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上． (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． (2)求PAB △面积的最大值．23.已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．(1)求t 并解不等式()2f x x >+；(2)已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤．。
福建省南平市九牧中学2020年高三数学理测试题含解析
福建省南平市九牧中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知x∈[，]，则“x∈”是“sin(sinx)<cos(cosx)成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx＜﹣cosx，∴sin（sinx）＜sin（﹣cosx），即sin（sinx）＜cos（cosx）成立，（2）∵sin（sinx）＜cos（cosx）∴sin（sinx）＜sin（﹣cosx），sinx＜﹣cosxsinx+cosx＜，x∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断2. 在复平面内，复数对应的点在（）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B略3. 直线与圆相交于两点，若弦的中点为，则直线的方程为( )A． B． C． D．参考答案：C4. 等腰三角形中，边中线上任意一点，则的值为（）A、B、C、5 D、参考答案：D在等腰三角形中，，所以，所以设边上的中线为，所以..,又，即，所以，所以，所以，选D.5. 函数y=的最大值是( )A．1B．3C．D．2﹣5参考答案：A考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化简y=﹣=﹣，令（x+2）2=t，（t≥0）；从而可得故y=﹣=，从而确定最值．解答：解：y=﹣=﹣，令（x+2）2=t，（t≥0）；故y=﹣=，故易知当t=0时有最大值1，故选A．点评：本题考查了函数表达式的化简与最值的求法6. 执行程序框图，若，则输出的（）....参考答案：B7. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是A．2 B．C．D．参考答案：C8. 如图，AB是圆O的一条直径，C、D是半圆弧的两个三等分点，则A. B. C. D.参考答案：D9. 设随机变量服从正态分布N (3，7)，若，则a =（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C由题意知对称轴为，故选C．10. 在等比数列{a n}中，，则=A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有下列命题：①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于轴对称；②若函数f（x）＝，则，都有；③若函数f（x）＝log a| x |在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）> f（a＋1）；④若函数(x∈)，则函数f(x)的最小值为.其中真命题的序号是.参考答案：②④12. 在中，若=°, ∠B=°，BC =，则AC =参考答案：略13. 已知不等式有实数解，则实数的取值范围是______________.参考答案：略14. 直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则等于____________．参考答案：略15. 已知等差数列的公差，若，则_____.参考答案：略16. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为▲参考答案：417. 已知集合，，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
福建南平2020高三毕业班第一次综合质量检测--数学理
南平市2019－2020学年高中毕业班第一次综合质量检测理科数学(满分：150分 考试时间：120分钟)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|x 2－3x<0}，B ＝{x|log 2x>0}，则A∩B ＝A.{x|1<x<3}B.{x|0<x<2}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<1} 2.在复平面内，复数2(1)12ii +-对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知命题p ：∀x ∈R ，sinx ＋cosx<2.则－p 为A.∃x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0>2B.∀x ∈R ，sinx ＋cosx ≥2C.∀x ∈R ，sinx ＋cosx>2D.∃x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0≥2 4.下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)单调递减的函数是 A.y ＝2x －2－x B.y ＝xtanx C.y ＝x －sinx D.y ＝1x－2x 5.已知函数2()sin 1xf x x x =⋅+，则函数y ＝f(x)的图像大致为6.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，……，x n ，y 1，y 2，……，y n ，组成坐标平面上的n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…(x n ，y n )，其中到原点距离小于1的点有m 个，用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是A.5B.6C.7D.88.已知非零向量a r ，b r 满足，(4a r ＋b r )⊥(4a r －b r )，2|a r |2＝a r ·b r ，则向量a r ，b r夹角为A.6π B.3π C.2πD.23π9.设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且|AF|·|BF|＝25，则k 的值为 A.±2 B.－1 C.±1 D.－210.已知函数221tan ()2sin cos 1tan xf x x x x-=-+，给出下列三个结论： ①函数f(x)的最小正周期是π； ②函数f(x)在区间[－8π，8π]上是增函数； ③函数f(x)的图像关于点(－8π，0)对称。
南平市2020届高三上学期第一次综合质量检查
南平市2019—2020学年高中毕业班第一次综合质量检测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则BA =R（ ）A. {}|21x x -<<B. {}|21x x -≤<C. {}|21x x -<≤D.{}2|1x x -≤≤2.若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 1C. 1-D. 2-3.已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=（其中e 为自然对数的底数），则（ ） A. c a b << B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<4.已知平面向量a 与b 满足()3,1a =，4b =，且()2a b a -⊥，则a b -=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 55.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（ ） A.58B.18C.56D.166.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点23,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆E 的离心率为22，则椭圆E 的焦距为（ ） A. 1B. 2C.2 D. 227.已知函数()3sin 2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A. 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B. 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C. 函数()g x 是奇函数D. 其图象关于直线π2x =对称 8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =（ ）A. 5B. 3C. 4D. 29.函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为（ ） A. B.C. D.10.给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin 12x =； ②0a ≤是210ax ax 恒成立的充分条件；③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 411.在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为23则BD 的最大值是（ ） A.2B.3 C. 5 D.612.已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A. ()0,6 B. ()2,0- C. (),2-∞-D. ()(),20,6-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知2cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=__________． 14.已知函数{}n a 是公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________； 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为33BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________；16.已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．x （吨）4 5 67y （吨）2.5 3 4 4.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） （2）已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？ 18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．（1）求证：CE平面111A B C ；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -体积．20.已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限动点，直线AO （O 为坐标原点）交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点． （1）若5AF =，求直线BF方程；（2）试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由． 21.已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈． （1）试讨论函数()f x 单调性；（2）若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的π2cos 14ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩（α为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． （2）求PAB △面积的最大值．23.已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．（1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤．南平市2019—2020学年高中毕业班第一次综合质量检测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则BA =R（ ）A. {}|21x x -<<B. {}|21x x -≤<C. {}|21x x -<≤D.{}2|1x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求集合A 的补集，再进行交集运算，即可得答案. 【详解】因为集合{}1A x x =≥，所以{|1}A x x =<R， 所以{}|21B A x x -=≤<R . 故选：B.【点睛】本题考查集合的基本运算，即补集和交集，考查基本运算能力，属于基础题. 2.若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】对得复数进行除法运算，再利用纯虚数的概念，求得a 的值. 【详解】因为i (i)(1i)(1)(1)i1i (1i)(1i)2a a a a z -----+===++-， 所以101a a -=⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3.已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=（其中e 为自然对数的底数），则（ ） A. c a b << B. a c b << C. b c a << D. c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】引入中间变量0和1，易得1,0,01a b c ><<<，即可得到答案. 【详解】因为10ln 211ln 2<<⇒>，则1a >； 因为1lnln102<=，则0b <； 因为1020e e 1-<<=，则01c <<； 所以b c a <<.故选：C【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较式子的大小，考查数形结合思想的应用. 4.已知平面向量a 与b 满足()3,1a =，4b =，且()2a b a -⊥，则a b -=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】 【分析】对式子a b -进行平方，再将已知条件代入计算求解，即可得答案. 【详解】因()3,1a =，所以24a =，因为()()22220a b b a a b a a a -⊥⇒-⋅=⋅⇒=， 所以2222a b a a b b -=-⋅+441616=-+=， 所以4a b -=. 故选：C【点睛】本题考查向量的模的计算、向量数量积、向量垂直关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（ ） A.58B.18C.56D.16【答案】A 【解析】 【分析】列出所有等可能结果，计算两次取出小球颜色不同事件所含的基本事件总数，再利用古典概型概率计算公式求解.【详解】记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的基本事件总数有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共10个基本事件，所以两次取出小球颜色不同的概率为58. 故选：A.【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查基本运算求解能力，求解时注意区分有放回和无放回的区别.6.已知椭圆E：()222210x y a b a b +=>>过点22P ⎛ ⎝⎭，椭圆E的离心率为2，则椭圆E 的焦距为（ ） A. 1 B. 2C.D.【答案】B 【解析】 【分析】将点P ⎝⎭代入椭圆方程得2213124a b +=，结合离心率2c a =及222a b c =+，求得c 的值，即可得到答案.【详解】因为椭圆E ，所以2c a =，因为椭圆过点23,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2213124a b +=， 又222a b c =+，解得：1c =，所以焦距为22c =.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率及焦距的概念，考查基本运算求解能力，求解时注意焦距是2c 而不是c .7.已知函数()3sin 2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A. 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B. 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C. 函数()g x 是奇函数 D. 其图象关于直线π2x =对称 【答案】D 【解析】 【分析】先通过平移得到()2cos2g x x =，再一一对照选项进行验证，即可得到答案. 【详解】对A ，因为()2cos2g x x =，所以222,2k x k k x k k Z ππππππ≤≤+⇒≤≤+∈，所以()g x 的递减区间为[,],2k k k Z πππ+∈，π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是递减区间的子区间，故A 错误； 对B ，因为π6π23x ≤≤，所以3ππ234x ≤≤，利用单位圆三角函数线可得，函数的值域为1[1,]2-，故B 错误；对C ，因为()()g x g x -=，所以函数为偶函数，故C 错误；对D ，当π2x =时，π()2cos 22g π==-，故D 正确； 故选：D.【点睛】本题考查函数图象的平移、三角函数的单调性、奇偶性、周期性，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用，求解时注意左右平移是针对自变量x 而言的.8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =（ ）A. 5B. 3C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据,a b 的输入值分别为6,2，1n =，执行程序中的循环结构，从而得到输出值n . 【详解】由题意得：,a b 的输入值分别为6,2，1,9,4n a b ===，272,,82n a b ===， 813,,164n a b ===，2434,,328n a b ===，此时，243328≤终止循环，输出4n =. 故选：C【点睛】本题考查数学文化与程序框图的交会，考查阅读理解能力和有条理思考问题的能力，求解时注意根据判断框的条件，得到何时终止循环. 9.函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数为奇函数，排除B,C 选项，再根据(,0)x π∈-函数值的正负，排除D 选项，从而得到正确答案.【详解】因为()2sin()()cos()()x x f x f x x x ---==--+-，所以函数为奇函数，故排除B,C 选项；当(,0)x π∈-时，2sin 0,cos 0x x x x <+>，所以()0f x <，故排除D ；故选：A【点睛】本题考查利用函数解析式挖掘函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项. 10.给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin 12x =； ②0a ≤是210ax ax 恒成立的充分条件；③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】 【分析】对①，存在01x =成立；对②，求出使210ax ax 恒成立的a 的取值范围，再根据子集关系判断；对③，利用导数的几何意义可求出切线方程；对④，利用零点存在定理判断零点存在性. 【详解】对①，当01x =时，πsin12=显然成立，故①正确； 对②，当210axax 恒成立时，0a =或20,40,a a a <⎧⎨∆=+<⎩解得：40a ， 因为0a ≤推不出40a ，所以0a ≤不是210ax ax 恒成立的充分条件，故②错误；对③，因为'221ln 1ln ()x x x x f x x x ⋅--==，所以'()0f e =，所以切线方程为1y e=，故③错误；对④，因为()2110,()90f f e e =-<=->，所以函数在(1,)e 存在零点，故④正确；故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断、简易逻辑知识的运用、导数的几何意义、零点存在定理，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为则BD 的最大值是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】将ABC ∆的面积分成两个小三角形面积和，得到关于BD 的方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，所以11sin 90sin 302322AB BD BD BC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，即124BD BC AB =+，因为182AB BC AB BC ⋅⋅=⋅=， 所以24BD AB =≤=+2,4AB BC ==. 故选：B【点睛】本题考查三角形面积公式、基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.12.已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A. ()0,6 B. ()2,0- C. (),2-∞- D. ()(),20,6-∞-【答案】D【解析】 【分析】根据不等式构造函数()(),(2)xg x e f x x =<，再利用导数研究函数()g x 在(,2)-∞的单调性，再根据对称性得到()g x 的图象特征，将不等式()0x f x ⋅>化为：0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩即可得到答案.【详解】()(),(2)xg x e f x x =<，()()()()()0x x x g x e f x e f x e f x f x ''⎡⎤=+=+>⎣⎦，()g x 在(,2)-∞单调递增，2(2)(2)0g e f -∴-=-=，∴当(,2)x ∈-∞-时，()0<g x ，当(2,2)x ∈-时，()0>g x ，又0x e >，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x <，当(2,2)x ∈-时，()0f x >， 又()f x 满足()()4f x f x =-，()f x ∴图象关于直线2x =对称，∴当(2,6)x ∈-时，()0f x >，当(,2)(6,)x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x <，不等式()0x f x ⋅>等价于0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩解得：()(),20,6x ∈-∞-.故选：D【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是根据题目所给的不等式构造函数，再利用导数研究所构造函数的性质，进而求解不等式.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 2α=__________． 【答案】34-【解析】∵cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭∴(cos sin )24αα+=，即1cos sin 2αα+= ∴221cos sin sin 24ααα++= ∴3sin 24α=-故答案为34-.14.已知函数{}n a 公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________；【答案】4- 【解析】 【分析】利用等比中项性质得25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，再利用等差数列的通项公式求得1a ，进而得到8a 的值.【详解】因为21a +，51a +，61a +成等比数列，所以25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，所以1112][14(2)25(21]())1[a a a +⋅--+⋅-=+++⋅，解得：110a =，所以817107(2)4a a d =+=+⋅-=-. 故答案为：4-【点睛】本题考查等比数列中项的性质、等差数列通项公式的应用，考查基本量法的运用. 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________； 【答案】16π 【解析】 【分析】根据三棱柱的特征，先确定其外接球球心的位置，再列出关于外接球半径R 的方程，解方程即可得到答案.【详解】设上下底面的外心分别为12,O O ，则球心O 为12O O 的中点，则121O O AA =，因为底面外接圆半径为12sin BC r A ==外接球的半径222111342R r AA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以外接球的表面积为：2416R ππ=. 故答案为：16π.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的应用、柱体体积、球的表面积计算公式、三棱柱与其外接球的关系，考查空间想象能力和运算求解能力.16.已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．【解析】 【分析】求出点4,3a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点A 在以12F F 为直径的圆上得12F A F A ⊥，接着利用向量数量积为0，从而得到关于,a c 的方程，进而得到离心率.【详解】设4,3a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入22221x y a b-=化简得2279y b =，由已知得12F A F A ⊥，则210F A A F ⋅=. 因为2144(,),(,),33a aF A c y F A c y =+=- 所以2204444733339a c a c y a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭，又222+=a b c，整理得：222229922a a c c e =⇒=⇒=，【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用及向量知识的应用.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） （2）已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？【答案】（1）ˆ0.70.35.yx =-（2）1.75吨. 【解析】 【分析】（1）直接利用最小二乘法求回归直线方程；（2）将8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗，从而求得生产能耗比技术改造前降低的吨数. 【详解】(1)4567 2.534 4.55.5, 3.544x y ++++++====,414 2.553647 4.580.5,i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑42222214567126,i i x==+++=∑4142221480.54 5.5 3.50.7,1264 5.54ˆi ii ii x y xybxx ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑ 3.50.7ˆˆ 5.50.35,ay bx =-=-⨯=- 则所求的方程为ˆ0.70.35.yx =-(2)把8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗是0.780.35 5.25y =⨯-=吨，7 5.25 1.75-=吨， 所以，预测生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低1.75吨.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，考查数据处理能力和运算求解能力. 18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a （2）11121n n T +=--【解析】 【分析】（1）利用临差法得到12n n a a -=⋅，再根据11a S =求得1a =，从而求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=⋅()*,因为{}n a 是等比数列，所以121a a =-满足()*式，所以21a a -=，即1a =， 因此等比数列{}n a 的首项为1,公比为2, 所以等比数列{}n a 的通项公式12n na .（2）由（1）知21nn S =-，则11n nn n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以11121n n T +=--.【点睛】本题考查数列的通项公式、裂项相消法求和，考查方程思想、转化与化归思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意先对通项进行改写，再决定选用什么方法求和. 19.如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．（1）求证：CE平面111A B C ；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】 【分析】（1）取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1， 证明CE ∥C 1F ，即可证明线面平行；（2）根据三棱锥的等积法得11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===，即可求得答案.【详解】(1)证明 如图，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1，∵E 为AB 1中点，∴EF//A 1A 且EF=12A 1A ，∵AA 1∥CC 1且AA 1=2CC 1，∴EF//CC 1且EF =CC 1，即四边形EFC 1C 为平行四边形， ∴CE ∥C 1F .∵111CE A B C ⊄平面，1111C F A B C ⊂平面， ∴CE ∥平面A 1B 1C 1.(2) ∵平面AB B 1A 1⊥平面ABC ，交线为AB 又矩形AB B 1A 1中A A 1⊥AB ，∴AA 1⊥平面ABC ， ∵AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥平面ABC ，∵BB 1∥CC 1，111BB C AC ⊄平面，111CC C AC ⊂平面， ∴BB 1∥11C A C 平面，∴11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===11122222323=⨯⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查线面平行判定定理、三棱锥体积的求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20.已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限的动点，直线AO （O 为坐标原点）交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点． （1）若5AF =，求直线BF 的方程；（2）试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）210x y --=（2）是，定值0 【解析】【分析】（1）由AF =5及抛物线定义得A 点横坐标为4，求出直线 OA 的方程，进而求得(1,1)B --，利用点斜式方程即可得到直线B F 的方程；（2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --；由M 为线段DE 中点，得M 坐标为284(1,)k k+，将直线OA 的方程与抛物线方程联立可得244(,)A k k，计算直线AM 的斜率即可得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：24y x =的准线为1x =-，C 的焦点为(1,0)F ， 由5AF =及抛物线定义得A 点横坐标为4，由A 点位于第一象限内且在抛物线C ：24y x =上得A 点坐标为(4,4)， 于是OA k =1，则直线OA 的方程为y x =，与准线1x =-联立解得(1,1)B --， 因此BF k =12，所以直线B F 的方程为1122y x =-，即210x y --=. （2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --，于是2BF kk =， 由已知0k >，故设直线BF 的方程为21x y k =+，与24y x =联立并消去x 得， 2840y y k--=，其中264160k ∆=+>. 设1122(,),,D x y E x y （），则128y y k+=，则212162x x k +=+ ， 由于M 为线段DE 中点，于是M 点坐标为284(1,)k k+， 直线OA 的方程0y kx k =>（），与24y x =联立解得244(,)A k k， 所以直线AM 的斜率为0，综上可知直线AM 的斜率为定值0.【点睛】本题考查直线方程的求解、直线与抛物线中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，将点的坐标及斜率转化成用变量k 表示.21.已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．【答案】（1）()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导得2()x af x x-'=，再对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到函数的单调性；（2）将不等式等价于ln 1e cos x x x x +<+，再对x 分成01x <≤和1x >两种情况讨论. 【详解】（1）由 221()a x af x x x x-'=-=(0)x > 知： （i ）若0a ≤，2()0(0)x af x x x -'=>>，∴ ()f x 在区间()0,∞+上为增函数． （ii ）若0a >，∴当x ∈()0,a 时，有()0f x '<，∴ ()f x 在区间()0,a 上为减函数． 当x ∈(),a +∞时，有()0f x '>，∴ ()f x 在区间(),a +∞上为增函数． 综上：当0a ≤时，()f x 在区间()0,∞+上为增函数；当0a >时，()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数． （2）若1a =，则1()ln (0)f x x x x=+> 要证e cos ()xxf x x+<，只需证ln 1e cos x x x x +<+， 即证：ln e cos 1x x x x <+-.（i ）当01x <≤时，ln 0x x ≤，而e cos 11cos11cos10x x +->+-=> ∴此时ln <e cos 1x x x x +-成立.（ii ）当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，()0,x ∈+∞， ∵ ()e sin ln 1x g x x x '=---，设()()e sin ln 1x h x g x x x '==---，则 1()e cos xh x x x'=--1x >，∴1()e cos e 110x h x x x'=-->-->∴当1x >时，()h x 单调递增，∴()(1)e sin110h x h >=-->，即()0g x '> ∴()g x 在()1,+∞单调递增，∴()(1)e cos110g x g >=+-> 即()e cos ln 10x g x x x x =+-->，即ln <e cos 1x x x x +-，∴e cos ()<x xf x x+ 综上：当0x >时，有e cos ()<x xf x x+成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩（α为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程．（2）求PAB △面积的最大值．【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y +-=,曲线C 的普通方程为22182x y +=（2【解析】 【分析】（1）直线l 的极坐标方程cos()14πθ-=利用两角差的余弦公式展开，再利用公式cos ,sin x y ρθρθ==，将方程化成普通方程形式；对曲线C 的参数α进行消参，从而得到普通方程；（2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，将点到直线的距离转化为三角函数的值域问题. 【详解】（1）直线lcos()14πθ-=化成cos sin 1ρθρθ+=，cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=， 曲线C 的参数方程化成：cos sin ,(2cos sin xy ααααα⎧=+⎪⎨⎪=-⎩为参数）. 平方相加得2224x y +=，即22182x y+= （2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，则P 到直线l 的距离为：d==，当sin()1αϕ+=-时，max 2d =设PAB ∆的面积为S，则max 12S AB =⨯⨯=【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、利用三角函数的值域求点到直线距离的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力. 23.已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．（1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤．【答案】（1）1t =，不等式解集为(,1)(1,)-∞-+∞（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，可得1t =，再利用分类讨论求解绝对值不等式；（2）由21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立，即min 2(2122)a b x x +≤++- 将问题转化为证明23()13a ab a b ++≤≤成立. 【详解】（1）由()1f x <可得：121x t -<+<，即1122t tx +--<<， 解集为(1,0)-，所以1t =.当21x ≥-时，不等式()2f x x >+化成212x x +>+，解得：1x > 当21x <-时，不等式()2f x x >+化成212x x -->+，解得：1x <-综上所述，解集为(,1)(1,)-∞-+∞…（2）由题意得21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立， 从而min 2(2122)a b x x +≤++-，2122(21)(22)3x x x x ++-≥+--=，2122x x ∴++-的最小值为3.∴23a b +≤，又,a b R +∈，∴23()13a ab a b ++≤≤. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、不等式的证明，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
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，则双曲线 离心率的取值范围为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 锐角
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设
．
（1） 求 ．
（2） 若
，且
的面积为 ，求
的周长．
18. 如图，在四棱锥 ．
中，平面
平面
，
，
，
（ 1 ） 求证：
．
（2）
4
若 为线段 上的一点， 二面角的余弦值．
中心为点 ，作
为外接球的球心：
，
，
即球 半径为
．
故选： ．
， 交 中垂线 于点 ，
，
13.
解析:
∵
当
时，
，
，∴ 单减区间为
．
14.
解析:
由题意，从 名志愿者中选 人有
种，
再分派到 个不同的舍去参加公益活动，则不同的分派方案有
故答案为： ．
种．
15.
解析:
∵数列 为等差数列，且 是 和 的等比中项，
∴
16
（ 2 ）记一名顾客购物支付的费用为 ， ， ， ， ，
分布列为：
所以，一名顾客购物的平均费用为：
（元）．
22.（ 1 ）曲线 的普通方程
，直线 的直角坐标方程为
．
（2）
．
解析:
（ 1 ）直线 的极坐标方程
化成
，
∵
，
，
∴直线 的直角坐标方程为
，
曲线 的参数方程化成：
，（ 为参数），
平方相加得
，
单调递减的函数是（ ）．
5. 已知函数 A.
，则函数
的图象大致为（ ）．
B.
C. D.
1
6. 从区间 随机抽取 个数 ， ， ， ， ， ， ， ，组成坐标平面上的 个点
，
，
，其中到原点距离小于 的点有 个，用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 执行如图所示的程序框里，输出的结果是（ ）．
，
即
．
当
时，
当
时，
所以
所以 的取值范围是
，在 ，在
．
单调递减； 单调递增； ．
21.（ 1 ）
，．
（ 2 ）0.85a元．
解析:
（ 1 ）由
，两边同时取常用对数得：
设
，
∴
，
∵
，
，
， ，
∴
把样本中心点
代入
，
得：
，
∴
，
∴
，
∴ 关于 的回归方程为：
把
代入上式，
，
活动推出第 天使用扫码支付的人次为 ．
， ，
（2） 求
面积的最大值．
23. 已知函数
，若
的解集为
．
（ 1 ） 求 并解不等式
．
（ 2 ） 已知：
，若
，对一切实数 都成立，求证：
．
【答案】 1. A
解析: ∵ ∴ 对于 ∴ ∴ 故选： ．
2. C 解析:
对应的点为
， ， ， ， ．
， ，位于第三象限．
6
故选 ．
3. D
解析:
全称命题的否定为特称命题，
（ 2 ）设
，
由
得
因为
，
故
，
，
，
，
．
．
，
， 在椭圆 上，
，即
，
．
20.（ 1 ） 的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）
．
解析:
（1）
，
15
当
时，
， 单调递增；
当
时，
， 单调递减．
所以 的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（ 2 ）由
得
，
也就是
，令
，
则
，由
知，
．
设
，
，在
单调递增，
又
，
，所以存在
使得
，． ， ， ， ， ，
8. B 解析:
8
设向量 与夹角为 ，
∵
，
∴
，
，
又由
，
则
，
所以
．
故选 ．
9. A 解析: 如图过点 作
垂直准线交准线于点 ，过点 作
y
4
垂直准线交准线于点 ，
2
–4 –2 O
x
2
4
–2
抛物线
的焦点的坐标为
，联立
得
由韦达定理知
，
，
∴
，
，
由抛物线定义知
，
，
∴
∴
，
∴
．
故选 ．
， ，
∴全称命题，
，
的否定为特称命题，
，
．
故选 ．
4. D
5. C
解析:
的定义域为 ，
∵
，
∴ 为偶函数，
∵
，
，
∴
．
故选 ．
6. C
解析:
由题意，两数的平方和小于 ，对应的区域的面积为
，从区间 随机抽取 个数 ， ，
， ，，，
构成 个数对
，
，，
对应的区域的面积为 ，
∴
，
∴
．
故选： ．
7
2
7. B 解析: 如图程序框图中，初始值为 第 次循环： ． 不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，成立． 循环终止，输出 ． 故选 ．
即
．
故答案为：
．
（ 2 ）设点
则 到直线 的距离为：
， ，
当
时，
，设的面积为 ，则 Nhomakorabea．
17
故答案为：
．
23.（ 1 ） ；解集为
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）由
可得：
，即
，
解集为
，所以 ，
当
时，不等式
化成
，解得：
；
当
时，不等式
化成
，解得：
，
综上所述，解集为
．
（ 2 ）由题意得
对一切实数 恒成立，
，
最小二乘估计公式分别为：
， ，，
，
， ，其回归直线
．
． 的斜率和截距的
（ 1 ） 根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次 关于活动推出天数 的回归方程适合用
来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第 天使用扫码支付的人，．
（ 2 ） 推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式
，
，
，求平面 与平面 所成锐
19. 已知椭圆
的长轴长是离心率的两倍，直线
， 点，且 的中点横坐标为 ．
（ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 若 ， 是椭圆 上的点， 为坐标原点，且满足
率的平方之积是定值．
交于 ，求证： ， 斜
20. 已知函数
（ 1 ） 求 的单调区间．
（2） 若
在
，
．
上成立，求 的取值范围．
10. B 解析:
9
函数 的最小正周期为
令
，
，
则函数 在
，故①正确； ， ，
上为增函数，
当
时，
在
上为增函数，
当
时，
在
上为增函数，
故②错误；
令
，
，
，
，
则函数 关于点
对称，故③错误；
综上所述，①正确，②③错误． 故选 ．
11. B
解析:
数列 满足
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
累加后得，
，
则
，
10
则数列
的前 项和是，
，即
，∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
．
故答案为：
．
16.
解析:
设
，
，
则
，
12
， 又由余弦定理得：
，
即
①，
又由双曲线定义得
，
即
②，
而
，
即
③，
② ③得
，
将①代入得：
，
即
，
∴
，
∴
．
17.（ 1 ） ．
（2）
．
解析: （ 1 ）由已知及余弦定理可得：
，
∴
，
∵
为锐角三角形，
∴
．
（ 2 ）由正弦定理，可得
，
∵
，
∴
，
解得
，
从而
，
∵
，
∴
的最小值为 ，
∴
，又
，
∴
．
18
现金
会员卡
扫码
比例
商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受 折优惠，扫码支付的顾客随机优
惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受 折优惠的概率为 ，享受 折优惠的概率为 ，
5
享受 折优惠的概率为 ，现有一名顾客购买了 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相 应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少．
，故 正确； 故选 ．
12. A