洛阳市2020年春高二数学 (文)下学期期中试卷附答案解析
（2）若
x，y
都是正实数，且
x
y
2
1
，用反证法证明：
x
2与1Leabharlann y2中至少有一个成立.
y
x
19．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分 数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每 班均为 20 人）学生的数学期末考试成绩．
3．对下列三种图像，正确的表述为（ ）
5
A．它们都是流程图 B．它们都是结构图 C．（1）、（2）是流程图，（3）是结构图 D．（1）是流程图，（2）、（3）是结构图 【答案】C 【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图． 解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图． （2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图． （3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图． 故选 C． 点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
9
A．
28
19
B．
28
27
C．
64
37
D．
64
12．已知复数 z 满 | z 1 2i | | z 2 i | 2 2 （i 是虚数单位），若在复平面内复数 z 对应的点为 Z ，则
点 Z 的轨迹为（ ）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
（1）学校规定：成绩不低于 75 分的为优秀．请画出下面的 2 2 列联表．
优秀 不优秀 合计
甲班
乙班
合计
3
（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”． 下面临界值表仅供参考：
P(x2 k)
0.15 0.10
0.05 0.025 0.010
k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635
4
22．已知函数 f (x) ln x ax 1 ．
（1）若曲线 y f (x) 在点 A1, f(1) 处的切线 l 与直线 4x 3y 3 0 垂直，求实数 a 的值；
（2）若 f (x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）证明： ln(n 1)
1 1 1
23
n 1
C．假设三内角至多有一个大于 60°
D．假设三内角至多有两个大于 60°
3．对下列三种图像，正确的表述为（ ）
A．它们都是流程图 B．它们都是结构图 C．（1）、（2）是流程图，（3）是结构图 D．（1）是流程图，（2）、（3）是结构图
4．有线性相关关系的变量 濈੭ 有观测数据 濈੭
݅ 濈 濈...濈 ᔭ ，已知它们之间的线性回归方程是੭ ݅ ᔭ
三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的.
【考点】演绎推理.
7．如图：图 O 内切于正三角形 ABC ，则 SABC SOAB SOAC SOBC 3 SOBC ，即
1 | BC | h 3 1 | BC | r ， h 3r ，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的 3 倍”；类
݅
.，
代入回归直线方程可求得੭ ݅ ᔭ .
݅，
所以
ᔭ ݅
੭
݅
ᔭ ݅ ᔭᔭ，
故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果， 属于简单题目. 5．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”， 逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过 逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推 向“未知”．我们易得答案． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选 A 点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果 分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已 知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由
2
2
比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的 a 倍”，则实数 a （ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
8．观察下列各式，a b 1，a2 b2 3 ，a3 b3 4 ，a 4 b4 7 ，a5 b5 11，…，则 a9 b9 （ ）
1
A．47
B．76
二、填空题
13．设复数
z
1 i ，则|
2 z2
z |
___________.
D．一条射线
14．我们知道：在平面内，点
x0 , y0
到直线 Ax By C 0 的距离公式为 d
Ax0 By0 C A2 B2
，通过类比
的方法，可求得在空间中，点 2, 4,1 到平面 x 2 y 3z 1 0 的距离为___________.
，若 ᔭ
݅
݅
h，则
ᔭ ݅
੭
݅
（
）
A．
B．h
C．
5．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
D． ᔭᔭ
6．有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线 a 平面 ，直线 b ∥平面 ，
则 b ∥ a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A． 20202
B．10092
C．10102
D．10112
11．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式， 即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且 还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种 分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个 小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
2
2
比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的 a 倍”，则实数 a （ ）
A．5
B．4
C．3
【答案】B
【解析】利用等体积，即可得出结论.
【详解】
解：设正四面体的高为 h ，底面积为 S ，内切球的半径为 r ，
D．2
则V 1 Sh 4 1 Sr ，
3
3
h 4r ， 则a 4.
③根据 2 2 列联表中的数据计算得出的 K2 的值越大，两类变量相关的可能性就越大；
④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好； ⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分 层抽样． 其中真命题的序号是_______． 三、解答题
【详解】
D．123
根据题目所给等式可知： a6 b6 7 11 18, a7 b7 11 18 29 ， a8 b8 18 29 47 ，
a9 b9 29 47 76 .
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
7．如图：图 O 内切于正三角形 ABC ，则 SABC SOAB SOAC SOBC 3 SOBC ，即
1 | BC | h 3 1 | BC | r ， h 3r ，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的 3 倍”；类
C．121
D．123
9．若 P a a 5 ， Q a 2 a 3 （ a 0 ），则 P ， Q 的大小关系是（ ）
A． P Q B． P Q C． P Q
D． P ， Q 的大小由 a 的取值确定
10．阅读如图所示的程序框图，若输入 m 2020 ，则输出 S 为输出（ ）
n N
解析
洛阳市 2020 年春高二数学 （文）下学期期中试卷
一、单选题
1．若复数 z 满足 i z 1 i ，则 z 的共轭复数的虚部是（ ）
A．i
B． i
C．1
D． 1
【答案】C
【解析】由题意结合复数的除法法则可得 z 1 i ，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解.
【详解】
由题意
z
1 i
17．已知 m 为实数，设复数 z (m2 5m 6) (2m2 5m 3)i .
（1）当复数 z 为纯虚数时，求 m 的值；
（2）当复数 z 对应的点在直线 x y 7 0 的上方，求 m 的取值范围.
18．（1）已知 a b 0 ，求证： 2a3 b3 2ab2 a2b ；
4．有线性相关关系的变量 濈੭ 有观测数据 濈੭ ݅ 濈 濈...濈 ᔭ ，已知它们之间的线性回归方程是੭ ݅ ᔭ
，若 ᔭ
݅
݅
h，则
ᔭ ݅
੭
݅
（
）
A．
B．h
C．
【答案】D
D． ᔭᔭ
【解析】先计算
݅
h ᔭ
݅
. ，代入回归直线方程，可得੭ ݅ ᔭ
.
【详解】
݅ ，从而可求得结果.
河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. i -C. 1D. 1-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i +⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°【★答案★】B 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3.对下列三种图像，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)i ix y i=，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511y x=+，若15118 iix ==∑，则151iiy ==∑（）A. 17B. 86C. 101D. 255【★答案★】D【解析】【分析】先计算181.215x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117y=⨯+=，从而可求得结果.【详解】因为15118 iix ==∑，所以18 1.215x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117y=⨯+=，所以1511715255 iiy==⨯=∑，故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【★答案★】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题目所给等式，归纳出正确结论.【详解】根据题目所给等式可知：667771118,111829a b a b +=+=+=+=，88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =++，23Q a a =+++（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q <B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（）且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）A. 22020B. 21009C. 21010D. 21011【★答案★】D 【解析】 【分析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出212021132021*********S +=+++=⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.928B.1928C.2764D.3764【★答案★】C 【解析】 【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【★答案★】B 【解析】 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22||z z-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=.故★答案★为：5.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为22222431114123d +⨯+⨯+==++.故★答案★为：14.【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到★答案★.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.（2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12yx+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12yx+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，所以假设不成立，即12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．【解析】试题分析：解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.试题解析:（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40（2）=因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a a N n +=+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1{}na 是等差数列. 【★答案★】（1）234331,,452a a a ===，32n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据*1131,()3nn na a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n na a n a +=+∈N ，得到11113n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a n a +=+∈N ， 令1n =，可得1213333314a a a ===++； 令2n =，可得2323335a a a ==+； 令3n =，可得343331362a a a ===+； 所以234331,,452a a a ===， 猜想：数列{}n a 的通项公式32n a n =+.（2）由*13()3n nn a a n a +=+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即11113n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以111a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以13为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点()1,2A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．【★答案★】（1）22142y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则12122211AB AD y y x x k k +=--+--，由此导出结果.【详解】（1）由题意，可得e =c a =22，代入A （1，2）得22211a b+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程22142y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2-4=0 所以△=-8m 2+64＞0，所以22-＜m ＜22．x 1+x 2=-22m ，21244m x x -⋅=设直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =121212121222222111y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+=2222222222042142m m m m --+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()111ln(1)231n n N n *+>++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）14a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()10,,()f x a x+∞'=-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为34，从而314a -=，解得14a = ,（2）若0a ≤，则()10,f x a x->'=则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()10.f x a x -<'=所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .令1n x n =+，则1ln1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有11211ln,ln ,......,ln .223311n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得12111lnln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即1111ln......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭故()111ln 1 (231)n n +>++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020-2021学年洛阳市高二(下)期中数学复习卷2(含答案解析)
2020-2021学年洛阳市高二(下)期中数学复习卷2一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x∈R|x≥0}，N⊆M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是()A. {0,1}B. {x|x2=1}C. {x|x2>0}D. R2.用演绎法证明函数f(x)=x3是增函数时的小前提是()A. 增函数的定义B. 函数f(x)=x3满足增函数的定义C. 若x1<x2，则f(x1)<f(x2)D. 若x1<x2，则f(x1)>f(x2)3.为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是()A. 50B. 47C. 48D. 524.设i是虚数单位，若复数z(1+i)=1−i满足z(1+i)=1−i，则复数z=()A. −1B. 1C. iD. −i5.在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别是A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，D(7,8)，则y与x之间的回归直线方程为()A. y∧=x+1B. y∧=x+2C. y∧=2x+1D. y∧=x−16.某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是()A. 男医生B. 男护士C. 女医生D. 女护士7.设x0∈(0,6)，按照如图程序框图运行后，能输出x0的概率是()A. 12B. 23C. 34D. 458.若log a(2x−1)>log a(x−1)，则有()A. 0<a<1，x>0B. 0<a<1，x>1C. a>1，x>0D. a>1，x>19.在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海上港、山东鲁能泰山分别积分59分、58分、56分、50分，四家俱乐部都有机会夺冠．A，B，C三个球迷依据四支球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进行如下猜测：A猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山；B猜测冠军一定不是上海上港和山东鲁能泰山；C猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安．联赛结束后，发现A，B，C三人中只有一人的猜测是正确的，则冠军是()A. 广州恒大淘宝B. 北京中赫国安C. 上海上港D. 山东鲁能泰山10.执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为()A. (8,2)B. (8,3)C. (16,3)D. (16,4)11.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是()A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果12.定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”.有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；②“—伴随函数”至少有一个零点；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是()A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 0个；二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数的共轭复数是________14.古希腊毕达哥拉斯派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n，记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)=12n2+12n正方形数N(n,4)=n2五边形数N(n,5)=32n2−12n六边形数N(n,6)=2n2−n…可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(8,12)=______ ．15.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是______ ．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得GF//EH//BD；③存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；④对于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH．,2]上任意x1，x，|f(x1)−f(x)|最大是______ ．16.已数f(x)2x3−32+1，对于区间[12三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知i是虚数单位，复数z=2m2−m−1+(m−1)i，m∈R．(1)若z是纯虚数，求m的值；(2)若z=(1−ai)(a−i)，a∈R，求a的值．18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5是“年轻人”．次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有56(Ⅰ)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用共享单车用户120不常使用共享单车用户80合计16040200(Ⅱ)将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．(参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635，n=a+b+c+d)其中，K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图所示，菱形ABCD与正△BCE所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且AB=2，FD=√3．(Ⅰ)求证：EF//平面ABCD；(Ⅱ)若BD=2√3，求几何体EFABCD的体积．20.21.(本小题满分14分)且在处切线方程为，；21.17、在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1的右焦点是圆C：(x−2)2+y2=9的圆心，且右准线方程为x=4．(1)求椭圆E的标准方程；(2)求以椭圆E的左焦点为圆心，且与圆C相切的圆的方程；(3)设P为椭圆E的上顶点，过点M(0,−23)的任意直线(除y轴)与椭圆E交于A，B两点，求证：PA⊥PB．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合间的包含关系，属于基础题．由元素与集合间的关系，集合与集合间的关系直接判断．解：∵0∈M，1∈M，∴{0,1}⊆M，故选：A．2.答案：B解析：解：∵证明y=x3是增函数时，依据的原理就是增函数的定义，∴用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提是：增函数的定义，小前提是函数f(x)=x3满足增函数的定义．结论：函数f(x)=x3是增函数故选B．大前提提供了一个一般性的原理，小前提提出了一个特殊对象，两者联系，得出结论．用演绎法证明y=x3是增函数时的依据的原理是增函数的定义，小前提是一个特殊对象即函数f(x)=x3满足增函数的定义．本题考查对三段论的理解，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理．三段论式推理，是演绎推理的主要形式．其思维过程大致是：大前提提供了一个一般性的原理，小前提提出了一个特殊对象，两者联系，得出结论．演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．3.答案：C解析：解：设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三小组的频率分别为x，2x，3x；由题意可知所求频率和为1，即x+2x+3x+(0.0375+0.0125)×5=1解得2x=0.25则0.25=12n，解得n=48．∴抽取的学生数为48．故选：C．设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3设出频率，再根据所有频率和为1，解之即可求出第2组频率，根据第2小组的频数为12，可求得样本容量．本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力．4.答案：D解析：解：由z(1+i)=1−i，得z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i．故选：D．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．5.答案：A解析：解：x=1+3+5+74=4，y=2+4+6+84=5．经验证只有y∧=x+1经过(4,5)，故选：A．求出数据样本中心，通过样本中心必在回归直线上验证即可．本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题．6.答案：C解析：解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c>a，③a>b④d≥2得出：c>a>b>d≥2，假设：d =2，仅有：a =5，b =4，c =6，d =2时符合条件，又因为使abcd 中一个数减一人符合条件，只有b −1符合，即女医生． 假设：d >2则没有能满足条件的情况． 综上，这位说话的人是女医生， 故选：C设男医生人数为a ，女医生人数为b ，女护士人数为c ，男护士人数为d ，根据已知构造不等式组，推理可得结论．本题考查的知识点是逻辑推理，难度中档．7.答案：B解析：解：模拟执行程序框图，可得当x 0的取值为3，4，5，6时有log 2x0>1，从而输出x 0． 当x 0的取值为3，4，5，6时的概率P =6−26−0=46=23． 故选：B ．程序框图的功能是当x 0的取值为3，4，5，6时有log 2x0>1，从而输出x 0.求出当x 0的取值为3，4，5，6时的概率P 即可．本题主要考查了程序框图和算法，考查了概率的基本知识，属于基本知识的考查．8.答案：D解析：解：当a >1时，由log a (2x −1)>log a (x −1)，可得{2x −1>x −1x −1>0，求得x >1；当0<a <1时，由log a (2x −1)>log a (x −1)，可得{2x −1<x −12x −1>0，求得x 无解．故选：D ．分a >1、0<a <1两种情况，分别求得x 的范围，综合可得结论．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．9.答案：D解析：解：①当A 猜测正确时：冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山，又因为B 猜测错误，所以冠军是上海上港或山东鲁能泰山，故冠军是山东鲁能泰山，这时C 猜测错误，符合三人中只有一人的猜测是正确的要求，所以冠军是山东鲁能泰山；。
洛阳市2019-2020高二下学期期中考试文科数学试卷及其答案
#'答题前#考生务必将自己的姓名%考号%考试科目涂写在答题卷上$!'考试结束#将答题卷交回$一 选择题 本大题共#!小题 每小题%分 共&"分!在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的!#!若复数"满足#&"$#%##则"的共轭复数的虚部是(!#!!!!!!!)!&#!!!!!!!*!#!!!!!!!+!&#!!用反证法证明命题'(三角形的内角中至少有一个不大于&"度)时#假设正确的是(!假设三内角都不大于&"度*!假设三内角至多有两个大于&"度*!假设三内角至多有一个大于&"度+!假设三内角都大于&"度,!对下列三种图形#正确的表述为(!它们都是流程图)!它们都是结构图*!!#"%!!"是流程图#!,"是结构图+!!#"是流程图#!!"%!,"是结构图-!设'#(是具有线性相关关系的两个变量#现有观测数据!'##(#"!#$##!#*##%"#已知它们之间的线性回归方程是)($%'%###若"#%#$#'#$#.#则"#%#$#(#$(!#/)!.&*!#"#+!!%%%!分析法是从要证的不等式出发#寻求使它成立的(!充分条件)!必要条件*!充要条件*!既不充分又不必要条件&!有一段演绎推理'(直线平行于平面#则这条直线平行于平面内所有直线+直线+#平面 #直线,$平面 #则直线,$直线+)的结论是错误的#这是因为(!大前提错误)!小前提错误*!推理形式错误+!非以上错误/!如图'图-内切于正三角形%./0#则1%./0$1%-./%1%-.0%1%-/0$,&1%-/0#洛阳市!"#$ !"!"学年第二学期期中考试高二数学试卷 文第 卷 选择题 共&"分注意事项高二数学!文"!第#页!!共-页"!初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店。
河南省洛阳市2019_2020学年高二数学下学期期中试题理含解析.doc
河南省洛阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一､选择题1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. i B. i -C. 1D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i+⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 至少有一个是无理数”时，假设正确的是（ ） A. 假设a ，b ，c 都是有理数 B. 假设a ，b ，c 至少有一个是有理数 C. 假设a ，b ，c 不都是无理数 D. 假设a ，b ，c 至少有一个不是无理数【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合反证法的概念直接写出原命题的否定，即可得解. 【详解】用反证法证明命题时，需要假设命题的否定是正确的，原命题的否定是“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 都不是无理数”即“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 都是有理数”. 所以需要假设a ，b ，c 都是有理数. 故选：A.【点睛】本题考查了反证法的概念辨析，关键是对于反证法概念的掌握，属于基础题. 3.函数()f x 的图象如下图，则函数()f x 在下列区间上平均变化率最大的是（ ）A. []1,2B. []2,3C. []3,4D. []4,7【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解. 【详解】函数()f x 在区间上的平均变化率为yx∆∆， 由函数图象可得，在区间[]4,7上，0yx∆<∆即函数()f x 在区间[]4,7上的平均变化率小于0； 在区间[]1,2、[]2,3、[]3,4上时，0y x ∆>∆且x ∆相同，由图象可知函数在区间[]3,4上的y x∆∆最大.所以函数()f x 在区间[]3,4上的平均变化率最大. 故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题. 4.有一段演绎推理：“若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则通项公式-1n n n a S S =-.已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则通项公式–121n n n a S S n =-=-”.对该演绎推理描述正确的是（ ）A. 大前提错误，导致结论错误B. 小前提错误，导致结论错误C. 推理形式错误，导致结论错误D. 以上演绎推理是正确的【答案】A 【解析】 【分析】根据演绎推理：三段论的推理过程即可判断.【详解】若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则通项公式-1n n n a S S =-， 需2n ≥，所以21n S n =+，则通项公式–121n n n a S S n =-=-，2n ≥，当1n =时，12a =，不满足通项公式， 即大前提错误，导致结论错误. 故选：A【点睛】本题考查了演绎推理的三段论的推理过程，属于基础题. 5.函数()()cos sin 0f x x x x x =->的单调递增区间为（ ） A. *3(,)()22n N n n ππππ∈++B. *(1)(,)()22N n n n ππ+∈ C. *(())(,1)n n N n ππ+∈ D. ()*())21,2(n n N n ππ-∈【答案】D 【解析】 【分析】先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可求解. 【详解】函数()()cos sin 0f x x x x x =->，()cos sin cos sin y x x x x x x '∴=+--=-，由sin 0x x ->，0x >，可得sin 0x <， 解得()22n x n k Z πππ-<<∈，所以函数的单调递增区间为()*())21,2(n n N n ππ-∈.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解三角不等式，解题的关键是利用导数的运算法则求出导函数，属于基础题.6.已知过原点的直线l 与曲线xy e =相切，则由曲线xy e =，y 轴和直线l 所围成的平面图形的面积是（ ） A.e12- B. 1e - C.2e D. 1e +【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出直线l 的方程，再确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.【详解】解：由已知xy e =的导函数为'e xy =，设过原点的直线l 与曲线xy e =相切于点(),aa e，则'|ax a y e ==，直线l 的方程为()aa y ex a e =-+，即a a a y e x ae e =-+，又直线l 过原点，则0a a ae e -+=，解得1a =， 所以直线l 的方程为y ex =，由曲线xy e =，y 轴和直线l 所围成的平面图形的面积为()1201111110222xx e ex dx e ex e e e ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 故选：A.【点睛】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题. 7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.若函数()22ln 2x a f x x x =-+存在极值，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. (],1-∞C. ()0,1D. (]0,1【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点，令()0f x '=可得221a x x =-，换元10t x=>，可得220t t a -+=，则实数a 的取值范围为函数22y t t 在()0,∞+上的值域且满足>0∆，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()22ln 2x a f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()12f x ax x'=-+. 由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点， 由()0f x '=可得221a x x=-，令10t x =>，则22a t t =-，则实数a 的取值范围为函数22yt t 在()0,∞+上的值域且满足>0∆，对于二次函数()22211y t t t =-=--+，当0t >时，()222111y t t t =-=--+≤，对于二次方程22a t t =-，即220t t a -+=，440a ∆=->，解得1a <. 因此，实数a 的取值范围是(),1-∞. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数的图象与x 轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 9.若1a b >>，b P ae =，aQ be =，则P ，Q 的大小关系是（ ） A. P Q > B. P Q =C. P Q <D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】对P ，Q 作商并化简，构造函数()xe f x x=，根据函数的单调性判断P Q 与1的大小关系，即可得出P ，Q 的大小关系.【详解】P ，Q 作商可得==a a bb e P ae b e Q be a，令·()x e f x x =，则()()21x e x f x x-'=，当1x >时，()0f x '>，所以()x e f x x =在()1,+∞上单调递增，因为1a b >>，所以<b a e e b a ，又0>b e b ，0>aea，所以1<a be b e a，所以P Q <. 故选：C【点睛】本题主要考查作商法比较大小，解题的关键是会构造函数并判断单调性.10.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为3，则第n 个图中阴影部分的面积为（ ）133n + 33()2n⋅ 33()4n D.33()4n 【答案】D 【解析】 【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的34，根据等比数列公式得到答案. 【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的343，公比为34的等比数列， 故第n 13333()44n n -⎛⎫=⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11.已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x by e +=相切，则2a b的取值范围是（ ）A. [),e +∞B. 2[,)e +∞C. [2,)+∞D. [4,)+∞【答案】D 【解析】【分析】取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】x by e+=，则'1x by e+==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，将切点代入直线得到1b a =-+，()2211224b a b bbb +==++≥=，当1b =时等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定1b a =-+是解题的关键. 12.关于x 的方程ln ln 0xm x x x x++=-有三个不等的实数解1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2123123ln ln l (1)(1)(1n )x x x x x x ---的值为（ ） A. e B. 1C. 1m +D. 1m -【答案】B 【解析】 【分析】 设()ln xf x x =，求导计算单调区间，画出函数图像，设ln x t x=，代入化简得到二次方程，计算根与系数关系，代入式子计算得到答案. 【详解】设()ln x f x x =，则()'21ln x f x x -=， 故函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()1f e e=，画出函数图像，如图所示： 设ln x t x=，ln ln 0x m x x x x ++=-，则ln n 011l x x x m x ++=-，即101t m t ++=-， 化简整理得到：()2110t m t m +-+-=，故121t t m +=-，121t t m =-，且10t <，210t e<<，()()()()2222312121212123(1)(1)(1ln ln ln )1111t t t t t x x x t x x x ---=--=-++=. 故选：B.【点睛】本题考查了求利用导数研究方程的解，意在考查学生的计算能力和应用能力，换元是解题的关键. 二､填空题13.设复数1z i =+，则22||z z -=___________. 5【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到答案. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=5【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.2322(4)x x dx -+-=⎰___________【答案】2π 【解析】【分析】3y x =为奇函数，2320x dx -=⎰，再利用定积分的几何意义计算得到答案.【详解】3y x =为奇函数，故22223322(x dx x dx ----=+=⎰⎰⎰⎰，设y =224x y +=，0y ≥，对应半圆的面积为21222ππ⋅=，故232(2x dx π-+=⎰.故答案为：2π.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为对应半圆的面积是解题的关键.15.已知函数sin 1()xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然对数的底数.若2()(23)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围是_______.【答案】[]3,1- 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为()2()32f a f a ≤-，根据函数单调性计算得到答案.【详解】sin 1()xx f x x x e e =-+-，则()1sin ()xxf x x e x e f x -=++--=-，故函数为奇函数.'cos co 1()111cos 0s x xf x e x x x e =-+≥-=++≥+，函数单调递增， 2()(23)0f a f a +-≤，故()2()(23)32f a f a f a ≤--=-，故232a a ≤-，解得31a -≤≤. 故答案为：[]3,1-.【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16.已知函数()23f x x =+，()ln g x x x =+，若()()12f x g x =，则21x x -的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】求导得到()'11g x x =+，取()'112g x x=+=得到1x =，计算切线得到答案. 【详解】()ln g x x x =+，则()'11g x x =+，取()'112g x x =+=，故1x =，()11g =， 故切线方程为21y x =-，取231y x =+=，解得1x =-，故21x x -的最小值()112--=.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方程是解题的关键.三､解答题17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.【答案】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得答案.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到答案.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-. （2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-，直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-，∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12y x +<中至少有一个成立.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12y x+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+- ()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>，从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12y x+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+，与条件2x y +>矛盾， 所以假设不成立，即12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19.不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【解析】【分析】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，由数据可得30.006p v =，列出航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)y v v v v v=+=+>，再利用导数求出最值即可.【详解】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，其中k 为比例系数.由10v =，6p ，得360.00610k ==， 于是30.006p v =.设船的速度为v 海里/时，航行1海里所需的总费用为y 元，而每小时所需的总费用是()30.00696v +元，航行1海里所需时间为1v， 所以航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)y v v v v v=+=+>. 所以322960.0120.012(8000)y v v v v'=-=-. 令0y '=，解得20v =.因为当020v <<时，0y '<；当20v >时，0y '>，所以当20v =时，y 取得最小值.故当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【点睛】本题考查了分式函数模型、利用导数求最值，考查了考生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.20.在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足11()2n n na S a +=. (1)求123,,a a a (2)由(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】试题分析：（I ）由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n 分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想n a =（II ）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题解析：(1)当1n =时，111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴11a =或11a =-(舍,0n a >). 当2n =时，1222112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴21a =． 当3n =时，12333112a a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，∴2a =猜想：n a = (2)证明：①当1n =时，显然成立．②假设n k =时，k a =成立，则当1n k =+时，1111111122k k k k k k k a S S a a a a ++++⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1111k k k k a a a a ++⎛⎫-=-+=-=- ⎪⎝⎭∴1k a += 由①、②可知，*n N ∀∈，n a =点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n 都成立．21.已知函数()2(1)x f x x e ax =--，（a R ∈）． （1）若12a =，求()f x 的极值； （2）若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值是112e -，()f x 的极小值是0（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）()()2112x x f x e x =-- ，求导()()()110x f x x e '=+-=，判断()f x '，()f x 变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a 的范围，解法二: ()x f x e a '=-，讨论a 的范围得解 【详解】（1）当12a =时，()()2112x x f x e x =-- ()()()110x f x x e '=+-=时，则1x =-，0x =.当x 变化时，()f x '，()f x 变化状态如下表：所以()f x 的极大值是()1112f e-=-，()f x 的极小值是()00f = （2））等价于当0x ≥时，()()10xf x x e ax =--≥恒成立 解法一: 当0x =，等号成立，当x>0，()10x e f x a x -≥⇔≤，设()1x eg x x-= ()min a g x ≤，由经典不等式1x e x >+ ∴1a ≤或者()21x x xe e g x x-+'=，()1x x x xe e ϕ=-+，()0x x x x x e xe e xe ϕ='+-=> ()x ϕ↑，()()00ϕϕ>=x ∴()0g x '>，()g x ↑，又()0,1x g x →→ ∴1a ≤ 解法二: ()xf x e a '=-，0x ≥，1x e ≥ 若1a ≤，则()0xf x e a ='-≥，()f x ↑，∴()()00f x f ≥=，即不等式恒成立.（充分性）若1a >，()0x f x e a '=-= ∴0ln 0x a =>()00,x x ∈，()0f x '<，()f x ↓，()()00f x f ≤=，这与当0x ≥时，()10x f x e ax =--≥恒成立相矛盾（必要性）【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题22.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且14()(2)(13ln )2x f x f x f '=++. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数21()()2h x xf x x ax b =---区间(1,)+∞上存在非负的极值，求1b a +的最大值.【答案】（1）1()ln 22f x x x =+-；（2）e - 【解析】【分析】 （1）令1x =可求得(1)f ，求导后再令2x =即可求得()2f '，即可得解；（2）对函数()h x 求导后，根据10a +≤、10a +>分类讨论，求出函数的极值，进而可得111a b e a a +≤-++，令()(0)xe x x xϕ=->，求导后，得出()x ϕ的最大值，即可得解. 【详解】（1）令1x =，41(1)(1)32f f =+，∴3(1)2f =-， ∴1()(2)l 22n x f x f x '=+-， ∴(2)1()2f f x x ''=+，代入2x =可得(2)1(2)22f f ''=+，∴21f ， ∴1()ln 22f x x x =+-. （2）由题意21()()l 2n 2h x xf x x ax b x x ax b x =---=---， ∴()()ln 12ln 1x a h x x a =+-=--'+，当10a +≤即1a ≤-时，()0h x '>在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在区间(1,)+∞上单调递增，()h x 无极值，不合题意；当10a +>即1a >-时，令()0h x '=，则1a x e +=，∴当()11,a x e +∈，()0h x '<，函数()h x 单调递减；()1,a x e +∈+∞，()0h x '>，函数()h x 单调递增；∴()h x 在(1,)+∞存在唯一极值()1a h e +， 又函数()h x 区间(1,)+∞上存在非负的极值，∴存在()111111ln 20a a a a a a h e ee e ae b e b ++++++=---=--≥， ∴存在1a b e +≤-即111a b e a a +≤-++，令()(0)x e x x x ϕ=->，∴2(1)()xx e x x ϕ-'=-， ∴当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；∴max ()(1)x e ϕϕ==-，∴当11a +=即0a =时，11a e a +-+取最大值e -， ∴1b a +的最大值为e -. 【点睛】本题考查了导数的综合应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，解题的关键是条件的转化及新函数的构造，属于中档题.。
洛阳市2019-2020高二下学期期中考试文科数学
线性相关系数4越大#两个变量的线性相关性越强+反之#线性相关性越弱+ 用 <! 来刻画回归效果#<! 越大#说明模型的拟合效果越好+ 根据!=!列联表中的数据计算得出的 >! 的值越大#两类变量相关的可能性就越 大+
在回归分析模型中#残差平方和越小#说明模型的拟合效果越好+
从匀速传递的产品生产流水线上#质检员每#"分钟从中抽取一件产品进行某项指
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解得 7 '-或 7 (&-#
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!#"当复数" 为纯虚数时#求 7 的值+
!!"当复数" 对应的点在直线' &(%/$"的上方#求 7 的取值范围!
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河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期6月质量检测数学试卷(含答案)
洛阳市2023——2024学年高二质量检测数学试卷本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列导数运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：x 123y2536404856且经验回归方程为，则当时，y 的预测值为（ ）A ．62.5B ．61.7C ．61.5D ．59.73．已知，则（ ）A．B ． CD ．4．已知成等比数列，则（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）A ．2B ．C ．D ．6．已知向量，则在上的投影向量为（ ）A ． B． C ．D．7．经过抛物线的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，与抛物线C 的准线交于点P ，若ππsincos 66⎛⎫'= ⎪⎝⎭'=()212122ln 2x x ++'=()1ln x x-'=⎡⎤⎣⎦2-1-ˆˆ5.5yx a =+4x =πsin 12α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πcos 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2323-2,,,,4x y z --xyz =±-16±16-()g x ()(),a g a 210x y -+=()g x ()g x '()'g a -=2-1212-()3,1,b a b =-== a b31,22⎛⎫-⎪⎝⎭31,22⎛⎫-⎪⎝⎭31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2:8C y x =,,AF AP BF成等差数列，则（）A ．B ． C．D ．8．甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者，甲、乙、丙胜各局的概率均为，且各局胜负相互独立．若比赛至多进行四局，则甲获得优胜者的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．各项系数的和是1024B ．各二项式系数的和是1024C ．含x 的项的系数是D ．第7项的系数是21010．下列命题中正确的是（ ）A ．设随机变量，若，则B ．一个袋子中有大小相同的3个红球，2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为x ，则C ．已知随机变量，若，则D ．若随机变量，则当时概率最大11．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，则下列叙述正确的是（）A ．直线与直线的斜率之积为B ．的最小值为C ．若，则的周长为D ．点P 到两条渐近线的距离之积12．如图，在棱长为2的正方体中，E 为的中点，点F 满足，AB =16332312385161411610x ⎫-⎪⎭210-()~0,1X N ()1P X p >=()1102P X p -<≤=-()95E X =()~,X B n p ()()30,20E X D X ==23p =()~10,0.9X B 9X =12,F F 22:132x y C -=2F 1PF 2PF 32PQ PQ =1PF Q △651111ABCD A B C D -1AA ()11101A F A B λλ=≤≤则（ ）A ．三棱锥的体积是定值B ．当时，平面BDFC ．存在，使得AC 与平面BDF所成的角为D ．当时，平面BDF 截该正方体的外接球所得到的截面的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线被圆截得的弦长为_________．14．校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，现从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录，跳高记录，跳远记录工作，其中甲、乙、丙不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）15．在等差数列中，为其前n 项的和，若，则_________．16．若函数有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．（1）求B ；（2）若，求的周长l 的取值范围．18．（12分）已知正项数列的前n 项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）求证：．19．（12分）F BDE -0λ=1AC ⊥λπ323λ=56π19:0l x =()22:22C x y -+={}n a n S 486,20S S ==20S =()()12xf x e x ax =+-+ABC △sin cos C c c B -=3b =ABC △{}n a n S ()241n n S a =+{}n a 112ni iS =<∑如图所示，两个长方形框架ABCD ，ABEF 满足M ，N 分别在长方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记．（1）a 为何值时，MN 的长最小?（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 的夹角的余弦值．20．（12分）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．设n 次传球后球在乙手中的概率为；（1）求；（2）求；21．（12分）已知函数．（1）讨论在上的单调性；（2）证明：22．（12分）已知定圆，动圆P 过点，且和圆相切．（1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设P 是第一象限内轨迹E 上的一点，的延长线分别交轨迹E 于点．若分别为，的内切圆的半径，求的最大值．洛阳市2023——2024学年高二质量检测1,AB BC BE ===()02CM BN a a ==<<n P 123,,P P P n P ()()ln 2f x x ax =+-()f x ()0,+∞()16xf x e ax <--221:(1)8F x y ++=()21,0F 1F 12,PF PF 12,Q Q 12,r r 12PF Q △21PF Q △12r r -数学试卷参考答案一、单选题1–4DDCB5–8ACDB 二、多选题9．BD10．ABD11．BCD12．BCD三、填空题13．214．2415．11016．四、解答题17．解：（1， 1分∵，，即 3分又∵，∴． 4分（2）由（1）及正弦定理可知，，，6分∴， 7分又，∴，∴，∴，即， 9分∴的周长l 的取值范围为．10分18．解：（1）当时，得，当时，，31,0e ⎛-⎫⎪⎝⎭sin sin sin cos B C C CB -=0πC <<cos 1B B -=π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πB <<π3B=2si n b R B ===2sin a R A A ==()ππ2sin sin cos cos sin 3cos 33c R C A B A A A A ⎫==+=+=+⎪⎭π3cos 6sin 6a c A A A ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭2π03A <<π36sin 66A ⎛⎫ ⎝+⎪⎭<≤36a c <+≤69a b c <++≤(]6,9l ∈ABC △(]6,91n =2114(1)a a =+11a =2n ≥()21141n n S a --=+又，两式相减得，4分又∵，∴，∴是首项为1，公差为2的等差数列， 5分∴． 6分（2）∵，7分∴时，， 8分时，， 9分∴ 11分∴成立． 12分19．解：∵平面平面ABEF ，平面平面，∴平面ABEF ，∴，从而CB ，AB ，B E 两两垂直． 2分建立如图所示空间直角坐标系，，∵，∴．4分()241n n S a =+()()1120n n n n a a a a --+--=0n a >12n n a a --={}n a 21n a n =-()21212n n n S n +-==1n=111112Sa ==<2n≥()21111111n S n n n n n=<=---222211111111111111221232231ni iS n n n n ==++++<+-+-++-=-<-∑ 112ni iS =<∑ABCD ⊥ABCD ,ABEF AB CB AB =⊥CB ⊥CB BE ⊥()()(()()0,0,0,1,0,0,,,B A C F E CM BN a ==,,022a a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴． 5分∴时， 6分（2）由（1）可知：M ，N 为中点时，MN 最短，则，取MN中点为G ，连接AG ，BG，则，∵，∴．∴是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角．8分∵． 9分∴11分∴平面MNA 与平面MNB的夹角的余弦值为20．解：记“经过n 次传球后，球在乙手中”，，… （1）当时，当时， 3分当时， 3分（2）由即， 8分MN ==1a =minMN=11,22M N ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭12G ⎛ ⎝,AM AN BM BN ==,AG MN BG MN ⊥⊥AGB ∠11,,,22GA GB ⎛⎛==- ⎝⎝ 1cos ,5GA GB GA GB GA GB⋅=== 15n A =1,2,3n =1n =()1112P P A ==2n =()()()()()221211211111||02224P P A P A P A A P A P A A =⨯+⨯+===3n =()()()()()332322323113||04248P P A P A P A A P A P A A =⨯+⨯+===()()()()()()()111111||10122n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A P P A P ++++=-⋅+⋅===-+11122n n P P +=-+∴，∴是首项为，公比为的等比数列， 10分∴11分∴ 12分21．解：（1）由，得 1分当时，，在单调递增；当时，，在单调递减； 3分当时，可得：时，，单调递增，时，，单调递减5分综上所述，当时，在单调递增，当时，在单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减．6分（2）要证，即证，令，则，可知在上单调递增． 7分又，故在上有唯一的实根，且． 8分1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1612-1111362n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1111362n n P -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()ln 2f x x ax =+-()12f x a x '=-+0a ≤()0f x '>()f x ()0,+∞12a ≥()0f x '<()f x ()0,+∞102a <<120,a a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-()0f x '>()f x 12,x a a -+∈∞⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<()f x 0a ≤()f x ()0,+∞12a ≥()f x ()0,+∞102a <<()f x 120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()16xf x e ax <--()1ln 26xe x -+>()()ln 2xg x e x =-+()12xg x e x '=-+()g x '()2,-+∞()12121'0,'00232g e g --=-<=⎫ ⎪⎝⎭>⎛()'0g x =()2,-+∞0x 01,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭当时，；当时，，从而当时，有最小值9分由，得，故 11分综上， 12分22．解（1）圆的圆心为，半径．设动圆P 的半径为r ，依题意有．由，可知点在圆内，从而圆P 内切于圆，故即．2分所以动点P 的轨迹E 是以为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．4分（2）设，则直线的方程为， 5分将其代人椭圆的方程可得，整理可得，则，，得，故7分当时，直线的方程为，()02,x x ∈-()'0g x <()0,x x ∈+∞()'0g x >0x x =()g x ()0'0g x =()00001,ln 22x e x x x ==-++()()000001123122222326g x g x x x x x ≥=+=++->--=++()16xf x e ax <--1F ()11,0F -R =2r PF =122F F =2F 1F 1F 12PF R PF =-1221PF PF F F +=>12,F F 2221x y +=()()()()0011122200,,,,,0,0P x y Q x y Q x y x y >>220022x y +=1F P ()0011y y x x =++()()2202021211y x x x +++=()2002200234340x x y x x x ++--=2000103423x x x x x --=+00001100003434,12312323x y x y x y x x x x ⎛⎫++=-=-+=- ⎪++++⎝⎭0010034,2323x y Q x x ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭01x ≠2F P ()0011y y x x =--将其代入椭圆方程并整理可得，同理，可得，8分由椭圆定义可知：，则和的周长均为因为，所以10分组仅当时，等号成立轴时，易知此时 11分综上的最大值为12分()2220000234340x x y x x x -+--+=0020034,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭1211122122PF PF Q F Q F Q F Q F +=+=+=21PQ F △12PQ F △12211211,22PF Q PF Q S S =⨯=⨯△△12r r -==00002323y y x x ⎫==--=⎪+-⎭0013=≤=00x y ==2PF x ⊥12,P y y ⎛== ⎝1215r r -===12r r -13。
2020-2021学年河南省洛阳市高二下学期期末质量检测数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年河南省洛阳市高二下学期期末质量检测数学（文）试题一、单选题1．在极坐标系中，与点1,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ）A ．51,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．51,6π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据极坐标的对称关系，即可求出答案. 【详解】根据极坐标的对称关系， 点1,6π⎛⎫-⎪⎝⎭关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为1,2,6k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当0k =时，坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭故选：C2．下列可以作为直线230x y +-=的参数方程的是（ ）A．215x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）B．11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）C．215x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）D．11x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）【答案】B【分析】将各选项的参数方程化为普通方程，即可得到答案. 【详解】对A ：消去参数t 可得0x y +=； 对B ：消去参数t 可得230x y +-=； 对C ：消去参数t 可得250x y +-=； 对D ：消去参数t 可得230(1)x y x +-=≥.故选：B【点睛】方法点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数；常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法；参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．3．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，21464a a =，13521a a a ++=，则n a =（ ）A ．132n -⨯B ．123n -⨯C ．12n -D ．12n +【答案】C【分析】根据题意设公比为q ，且1q >，由21464a a =，可得34a =，再由13521a a a ++=可得2244421q q++=，求出首项和公比即可求出通项公式． 【详解】解：数列{}n a 为各项为正的递增数列，设公比为q ，且1q >，21464a a =， 36164a q ∴=， 2134a q a ∴==，13521a a a ++=，∴2244421q q++=， 即22(41)(4)0q q --=， 解得2q，11a ∴=，1112n n n a a q --∴==．故选：C ．4．在用最小二乘法进行线性回归分析时，有下列说法：①由样本数据得到的线性回归方程y bx a =+必过样本点的中心(),x y ；②由样本点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；③利用()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y 来刻画回归的效果，20.75R ≈比20.64R ≈的模型回归效果好；④残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低；其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用回归分析的相关概念及性质即可判断四个命题的正误而得解.【详解】线性回归直线必过样本点的中心，而样本点未必在回归直线上，即①正确，②错误；相关指数2R 越大，拟合效果越好，③正确；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，④错误. 故选：B5．使得0a b >>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．110b a>> B ．a b e e > C ．22a b > D ．ln ln 0a b >>【答案】D【分析】根据不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，若110b a>>，则可以得到0a b >>；反之当0a b >>时也可以得到110b a >>，所以110b a>>是0a b >>的充分必要条件；故排除A ； B 选项，若a b e e >，则a b >，但不一定得出0a b >>，所以a b e e >不是0a b >>的充分不必要条件；故B 错；C 选项，当3,1a b ==-时，2291a b =>=，故22a b >推不出0a b >>，不是一个 充分不必要条件，故排除C ；D 选项，由ln ln 0a b >>可得ln ln ln1a b >>，则1a b >>，能推出0a b >>，反之不能推出，所以ln ln 0a b >>是0a b >>的充分不必要条件；故D 正确. 故选：D.【点睛】结论点睛：判定充分条件和必要条件时，一般可根据概念直接判定，有时也需要根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．6．曲线C 的参数方程为221x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线C 的离心率e =（ ）A．2BC．4D【答案】B【分析】把曲线C 的参数方程化为普通方程，再根据曲线特征即可得解.【详解】由222122()4112x x t t x t t y y t y t t t ⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⇒-=⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩，即曲线C ：221164x y -=是焦点在x 轴上，实半轴、虚半轴长a =4，b =2，半焦距c ===，则曲线C的离心率c e a ==. 故选：B7．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为S =.若ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin sin c A C =，cos 45B =，a b c <<，则用“三斜求积术”求得ABC 的面积为（ ）A ．53B ．1C ．35D ．310【答案】D【分析】由正弦定理得1ac =，由cos 45B =得3sin 5B =，进而可得ABC 的面积. 【详解】根据正弦定理，由22sin sin 1c A C c a c ac =⇒=⇒=，由cos 45B =得3sin 5B =， 所以ABC 的面积1133sin 122510S ac B ==⨯⨯=. 故选：D.8．已知1a >，1b >，且2ab =，则（ ） A ．221log log 4a b ⋅≤ B ．12a b -< C ．224a b +> D ．112a b+≥ 【答案】A【分析】利用基本不等式判断A ，利用特殊值判断BCD ； 【详解】解：因为1a >，1b >，且2ab =，对于A ：()22222222log log log 11log log 2224ab a b a b ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⋅≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当22log log a b =，即a b ==A 正确；对于B ：当116a =，1211b =时，满足1a >，1b >，且2ab =，但是491662a b -=>，故B 错误；对于C ：当a b ==1a >，1b >，且2ab =，但是224a b +=，故C错误；对于D ：当a b ==1a >，1b >，且2ab =，但是11a b+=D 错误； 故选：A9．已知复数z 满足|43|2z i -+=，则||z 的最大值为（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】A【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，进而得复数z 对应的点(),a b 在以()4,3-为圆心，以2为半径的圆上，再求圆上的点到原点距离的最值即可．【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，则由|43|2z i -+=2，所以()()22434a b -++=，所以复数z 对应的点(),a b 在以()4,3-为圆心，以2为半径的圆上.所以z =z 对应的点与原点距离的最大值，所以max 27z ==故选：A【点睛】本题考查复数模的几何意义，考查数形结合思想，回归转化思想，是中档题．本题解题的关键在于由题得复数z 对应的点(),a b 在以()4,3-为圆心，以2为半径的圆上，进而求解． 10．观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++……若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（ ） A ．42 B ．43C ．44D ．45【答案】D【分析】根据观察归纳左式为3n ，右式有n 个连续奇数相加，设第n 个式子的右式的第一个数为n a ，用累加法可得n a ，计算可得45461981,2071a a ==，即可得出结论. 【详解】设第n 个式子的右式的第一个数为n a ， 则有213212,4,2(1)n n a a a a a a n --=-=-=-，以上(n )1-相加可得21(1)[22(1)]2n n n a a n n -+--==-，所以21n a n n =-+，可得45461981,2071a a ==，所以2021在第45行. 故选：D【点睛】本题考查了新定义的应用、归纳推理、等差数列的前n 项和，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、推理能力，属于中档题.本题解题的关键在于设第n 个式子的右式的第一个数为n a ，根据题意得213212,4,2(1)n n a a a a a a n --=-=-=-，进而求和得21n a n n =-+，进而可求得答案.11．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2AF BF =，则AB =（ ）A ．3B ．9C ．32D ．92【答案】D【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得结果.【详解】解：抛物线的焦点坐标为()1,0F ，设点()11,A x y ，()22,B x y ， 易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为()1y k x =-.由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++=，得121=x x ，①因为2AF BF =，由抛物线的定义得()12121x x +=+， 即1221x x =+，② 由①②解得12x =，212x =， 所以12192222AB AF BF x x p =+=++=++=. 故选：D【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，将直线方程与抛物线联立，利用韦达定理法结合抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，考查运算求解能力，属于中等题.12．函数()(ln )xe f x a x x x=--在(0,1)内有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞【答案】C【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】由()(ln )xe f x a x x x =--得，21111()()(1)(1)()xxe f x e a a x x x x x'=---=--，因函数()(ln )x e f x a x x x=--在(0,1)内有极值，则(0,1)x ∈时，()0xef x a x '=⇔=有解，即在(0,1)x ∈时，函数()xe g x x=与直线y =a 有公共点，而1()(1)0x e g x x x'=-<，即()g x 在(0,1)上单调递减，(0,1),()(1)x g x g e ∀∈>=，则a e >，显然在xea x=零点左右两侧()'f x 异号，所以实数a 的取值范围是(,)e +∞. 故选：C【点睛】结论点睛：可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．二、填空题13．若实数x ，y 满足不等式001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的最大值为______.【答案】3【分析】作出不等式表示的可行域，利用几何法即可得解.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图中AOB 表示的阴影区域：目标函数3z x y =+表示斜率为13-，纵截距为13z 的平行直线系，作直线l 0：30x y +=，平移l 0使其过点A 时的直线纵截距最大，z 最大， 而点A (0，1)，max 3z =. 故答案为：314．关于实数x 的不等式20x nx p ++<的解集为(1,2)-，则复数(,)p ni p n +∈R 所对应的点位于复平面内的第______象限. 【答案】三【分析】由不等式解集求出p ，n 值即可得解.【详解】依题意：-1，2是方程20x nx p ++=的两个根，由韦达定理得1,2n p -==-，即1,2n p =-=-，复数p ni +所对点的坐标为(-2，-1)，它位于第三象限. 故答案为：三15．在极坐标系中，直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3ρ=交于A 、B 两点，则AB =______.【答案】【分析】将直线与圆的极坐标方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得AB .【详解】)sin cos ρθρθ+=，化为普通方程为20x y +-=，将圆的极坐标方程化为普通方程可得229x y +=，圆心为()0,0O ，半径为3r =，圆心到直线的距离为d ==AB ==故答案为：【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式12AB x =-.16．若x y <时，不等式2[sin()sin()]()44x y m x y ππ+-+<-恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】(,2]-∞-【分析】把给定不等式等价转化，利用单调性借助导数即可得解. 【详解】因2[sin()sin(,)]()2sin()sin()4444x y m x x y y x mx y myππππ+-+<-⇔+-<<+-∀，令()2sin()4f x x mx π=+-，即()(),f x x y f y ∀<<，于是()f x 在R 上单调递增， ,()2cos()02cos()44x R f x x m m x ππ'∀∈=+-≥⇔≤+，而2cos()4x π+有最小值-2，即2m ≤-，所以实数m 的取值范围是(,2]-∞-. 故答案为：(,2]-∞-【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立，等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4a =，c =30B =︒.（1）求sin C 的值；（2）BD BC λ=且120ADC =∠︒，求正实数λ的值.【答案】（1）14；（2）12.【分析】(1)利用余弦定理求出边b 的值，再用正弦定理即可作答； (2)由给定条件结合ABD △特征求出BD 长即可得解.【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos 7b a c ac B =+-=，即b =由正弦定理知，sin sin 14c B C b ==；（2）因点D 在边BC 上，且120ADC =∠︒，则60ADB ∠=︒，而30B =︒，则有ABD △为直角三角形，2cos cos30AB BD B ===，又BD BC λ=，4BC =， 所以12λ=. 18．已知数列{}n b 首项13b =，且满足()*1212123n n n b b n n n +-=+-∈-N ，令23nn b c n =-. （1）求证：数列{}n c 为等差数列； （2）求数列{}n b 中的最小项. 【答案】（1）证明见解析；（2）-3.【分析】（1）将递推关系两边同除以21n -，得到112123n nb b n n +=+--，从而证得数列{}nc 为等差数列；（2）由（1）中结论求得的{}n c 通项公式，求得(23)(4)n b n n =--，写出前3项，当4n ≥时，0n b ≥，易知其最小的项.【详解】（1）1212123n n n b b n n +-=+--， 112123n nb b n n +∴=+--， 即11n n c c +-=. 又11323b c ==--， {}n c ∴为首项为-3，公差为1的等差数列，3(1)423nn b c n n n ==-+-=--. （2）423nb n n =--，即(23)(4)n b n n =--. 又13b =，22b =-，33b =-， 当4n ≥时，0n b ≥.∴数列{}n b 中的最小项为33b =-.【点睛】方法点睛：递推关系较为复杂时，按照题干给定的新数列的表达式形式，化成相同的形式，从而根据等差或等比数列定义求得新数列类型.19．某学校针对“学生的网上购物热现象”，对“喜欢网上购物和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢网上购物的人数占男生人数的16，女生喜欢网上购物人数占女生人数的23，设男生人数为x .（1）作出22⨯列联表；（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢网上购物和性别有关，则男生至少有多少人?参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）表格见解析；（2）12人 . 【分析】（1）依题意完成列联表即可；（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢网上购物和性别有关，则2 3.841K ≥.根据列联表，得到不等式，解得参数的取值范围，即可得解；【详解】解：（1）依题意可得列联表如下：（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢网上购物和性别有关， 则2 3.841K ≥.由2235326663 3.841822x x x x x K x x x x x ⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭==≥⨯⨯⨯， 解得10.243x ≥.2x ，6x为整数， ∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢网上购物和性别有关，则男生至少有12人20．已知曲线11cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线23cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化1C ，2C 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数απ=，点Q 为2C 上一动点，PQ 中点为M ，求点M到直线332:2x tC y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）距离的最小值以及此时点M 的坐标.【答案】（1）221:(1)(3)1C x y ++-=，曲线1C 表示(1,3)-为圆心，1为半径的圆，222:194x y C +=，曲线2C 表示焦点在x 轴上的椭圆；（2，点M 坐标为123,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用消参法将参数方程化为普通方程即可；（2）由题意知(2,3)P -，(3cos ,2sin )Q θθ，即可得到M 的坐标，将直线的参数方程转化为普通方程，利用点到线的距离公式及三角恒等变换与三角函数的性质计算可得；【详解】（1）由22sin cos 1αα+=，曲线11cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数）得221:(1)(3)1C x y ++-=，曲线1C 表示(1,3)-为圆心，1为半径的圆，因为曲线23cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以222:194x y C +=，曲线2C 表示焦点在x轴上的椭圆， 其中3a =，2b =.（2）由题意知(2,3)P -，(3cos ,2sin )Q θθ， 则23cos 32sin ,22M θθ-++⎛⎫⎪⎝⎭. 直线332:2x tC y t=+⎧⎨=-⎩，消t 得270x y +-=.∴点M到直线的距离d =，即d ==其中3sin 5o θ=，4cos 5o θ=. 当()sin 1o θθ+=时，即2o πθθ=-时，min d =， 此时4sin 5θ=，3cos 5θ=，点M 坐标为123,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右顶点(2,0)A ，上顶点为B ，左，右焦点分别为1F ，2F ，且1260F BF ∠=︒. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:0l x my t --=与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，若椭圆C 上存在点P ，使得OM NP =，求直线l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值.【答案】（1）22143x y +=；（2【分析】（1）由题意得2a =，在2Rt OBF 中，可得230OBF ∠=︒，则cos30b a =︒=C 的方程；（2）设()12,M x y ，()22,N x y ，将直线方程与椭圆方程联立，消去x 后，再利用根与系数的关系，结合OM NP =可得122634P mty y y m =+=-+，从而可求出()1212122P x x x my t my t m y y t =+=+++=++，再将点P 的坐标代入椭圆方程中化简可得22434t m =+，所以可得21134||28||t m S t m m +==⋅，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：（1）由题意得：2a =， 在2Rt OBF 中，||OB b =，2OF c =，2BF a ∴=，又1260F BF ∠=︒，230OBF ∴∠=︒cos30b a ∴=︒，∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意可设()12,M x y ，()22,N x y .联立22143x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2223463120m y mty t +++-=， 则()()22222236434312144481920m t m t m t ∆=-+-=-+>，22340m t ∴-+>.122634mty y m ∴+=-+，OM NP =， OP OM ON ∴=+.122634P mty y y m ∴=+=-+，()12121228234P tx x x my t my t m y y t m =+=+++=++=+，点P 在椭圆C 上，()()2222222161213434t m t mm∴+=++，整理得224134t m =+， 22434t m ∴=+，在直线:0l x my t --=中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则0t ≠，0m ≠ 令0x =，得t y m=-， 令0y =，得x t =.所以直线l 与坐标轴围成三角形面积为21134141||3||28||8||8t m S t m m m m ⎛⎫+==⋅=⋅+≥⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当234m =时取等号，此时22t =，2880∆=>.min S ∴=【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由OM NP =可得122634P mty y y m =+=-+，从而可得()1212122P x x x my t my t m y y t =+=+++=++，然后将点P 的坐标代入椭圆方程中化简可得22434t m =+，考查计算能力和转化思想，属于中档题 22．已知函数()2ln f x ax x =-，其中0a >. （1）当a e =时，求曲线()y f x =在1=x e处的切线方程； （2）若不等式2()(1)10f x x a x ⎡⎤-++≥⎣⎦对0x >恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）20ex y -+=；（2）1[,1]2e. 【分析】(1)在给定条件下求导，并求出在1=x e处的导数值即可得解； (2)先求出()f x 的最小值，再分情况讨论即可得解.【详解】（1）当a e =时，()2ln f x ex x =-，求导得1()2f x e x '=-，1f e e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，而13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在1=x e 处的切线方程为13y e x e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即20ex y -+=；（2）()2ln f x ax x =-定义域为(0,)x ∈+∞，则121()2ax f x a x x-'=-=， 当0a >时，令()0f x '=，可得1x =，列表如下：于是有min 11()()1ln 1ln 222f x f a a a==-=+，令2()(1)1g x x a x =-++， ①当1()1ln 202f a a =+<时，即102a e <<时，221122()024a a g a a-+=>， 则11()()022f g a a<，不符合题意； ②当1()1ln 202f a a=+≥时，即12a e ≥时，()0f x ≥对任意的0x >恒成立，要使()()0f x g x ≥，必有min ()0g x ≥，二次函数2()(1)1g x x a x =-++的对称轴为1122a x +=>，则0x >时2min(1)()14a g x +=-，即2(1)104a +-≥， 解得31a -≤≤，从而有112x e ≤≤， 所以实数a 的取值范围是1[,1]2e. 【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
2020-2021学年洛阳市高二(下)期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年洛阳市高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=1−2i1+i的实部为()A. −12B. 12C. 32D. −322.从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色．如图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图(图中的数据均是每年12月31日的统计结果).根据上述信息，下列结论中正确的是()A. 截止到2015年12月31日，高铁运营总里程数超过2万公里B. 2011年与2012年新增高铁运营里程数之和超过了0.5万公里C. 从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年D. 从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增3.已知一个物体的运动方程为s=1−t+t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s时的瞬时速度为()A. 5 m/sB. 6 m/sC. 7 m/sD. 8 m/s4.由曲线与的边界所围成区域的面积为A. B. C. 1 D.5.已知复数满足，则Z等于()A. B. C. D.6.对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)=0}，μ∈{x∈R|g(x)=0}，使得|λ−μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点接近函数”，现已知函数f(x)=e x−2+x−3与g(x)=x2−ax−x+4互为“零点接近函数”，则实数a的取值范围()A. [3,4]B. [1,3]C. [4,5]D. [1,2]7.下列说法中正确的是A. 合情推理就是正确的推理B. 归纳推理是从一般到特殊的推理过程C. 合情推理就是归纳推理D. 类比推理是从特殊到特殊的推理过程8.已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n,S n)在函数f(x)=∫(x12t+1)dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为()A. a n=2n−2B. a n=n2+n−2C. a n={0,n=12n−1,n≥2D. a n={0,n=12n,n≥29.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A+B+C=90°+90°+C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°．正确顺序的序号为()A. ①②③B. ③①②C. ①③②D. ②③①10.已知函数f(x)=4ln(x−1)+12x2−(m+2)x+32−m，(其中为m常数)函数y=f(x)有两个极值点，则数m的取值范围是()A. (−∞,−3)∪(1,+∞)B. (−∞,−3]∪[1,+∞)C. (1,3)D. (3,+∞)11.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象过点(1,1)，f′(x)为函数f(x)的导函数，e为自然对数的底数．若x>0时，xf′(x)>1恒成立，则不等式f(x)>lnx+1的解集为()A. (0,1e) B. (0,1) C. (1,+∞) D. (e.+∞)12.若函数f(x)=x2−2ax+1−a在[0,2]上的最小值为−1.则a=()A. 1或2B. 1C. 1或65D. −2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z的实部Rez、虚部Imz：满足：i−Rez−2Imzi=1+2i，其中i为虚数单位，则z=______14.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密密钥为y=log a(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为______ ．15.若x=1是函数f(x)=(ax−2)⋅e x的一个极值点，则a=______ ．16.已知函数f(x)=lnx−b2e x(其中b∈R)的图象在x=1处的切线斜率为12，则b=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设正有理数x是√3的一个近似值，令y=1+21+x．(1)若x>√3，求证：y<√3；(2)求证：y比x更接近于√3．18.已知复数z满足：(1+i)z=i(i为虚数单位)，则|z|等于______ ．19.设f(x)=√x−alnx，a∈R(1)若a=2，求f(x)的最值；(2)若f(x)存在最小值，求其最小值g(a)的解析式．20.已知函数f(x)=2x3−3ax2+1，且x=1为函数f(x)的一个极值点．(1)求a的值；(2)证明：f(x)≤2x3−3x2−x+e x．21.(本小题满分10分)选修4−1：几何证明选讲如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若为⊙的直径，且，求的长．22.已知函数．(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率小于0，求f(x)的单调区间；(2)对任意的a∈[，]，函数在区间[1,2]上为增函数，求λ的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵z=1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i，∴复数z的实部为−12，故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：对于选项A：由折线图可知，截止到2015年12月31日，高铁运营总里程数没有超过2万公里，所以选项A错误；对于选项B：2012年高铁运营总里程数不到1万公里，2010年高铁运营总里程数为0.5万公里，2011年与2012年新增高铁运营里程数之和不超过0.5万公里，所以选项B错误；对于选项C：从折线图可以看出从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年，所以选项C正确；对于选项D：从折线图可以看出新增高铁运营里程数有增有减，所以选项D错误，故选：C．根据折线图逐个分析选项，即可判断出正误．本题主要考查了统计图的应用，考查了学生从统计图中提取信息的能力，是基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，物体的运动方程为s=1−t+t2，其导数s′=−1+2t，则s′|t=3=−1+2×3=5，则物体在3s时的瞬时速度为5，故选：A．根据题意，由物体的运动方程对其求导可得s′=−1+2t，将t=3代入计算即可得答案．本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，注意变化率与导数的关系．4.答案：A解析：试题分析：由题意所求区域为如图阴影，∴，故选A考点：本题考查了定积分的运用 点评：确定积分区间及掌握定积分的几何意义是解决此类问题的关键，属基础题5.答案：B解析：试题分析：由得，，即．考点：复数运算． 6.答案：A解析：解：函数f(x)=e x−2+x −3的零点为x =2，设函数g(x)=x 2−ax −x +4的零点为β，若函数f(x)=e x−2+x −3与g(x)=x 2−ax −x +4互为“零点密切函数”，根据零点关联函数，则|2−β|≤1，∴1≤β≤3，如图，由于g(x)=x 2−ax −x +4必经过点A(0,4)，故要使其零点在区间[1,3]上，则{g(1)=4−a ≥0g(a+12)=a ⋅a+12−a+12+4≤0 解得：3≤a ≤4．故选：A ．先求出函数f(x)=e x−2+x −3的零点为x =2，再设g(x)=x 2−ax −x +4的零点为β，则|2−β|≤1，从而得到g(x)=x 2−ax −x +4必经过点A(0,4)，最后利用数形结合法求解即可本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用．7.答案：D解析：试题分析：合情推理包括归纳推理和类比推理，那么前者是特殊到一般，后者是从特殊到特殊的推理。
2020-2021学年河南省洛阳市高二(下)期中数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数52−i 的虚部是( )A. 1B. iC. 2D. 2i2. 设函数f(x)满足△x →0limf(x 0−2△x)−f(x 0)△x=2，则f′(x 0)=( )A. −1B. 1C. −2D. 23. 现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f(x)=sin(x +π3)是正弦函数，因此f(x)=sin(x +π3)是奇函数，在这一过程中( )A. 结论正确B. 大前提不正确C. 小前提不正确D. 推理形式不正确4. 用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N +，如果ab 可被 5 整除，那么a 、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为( )A. a 、b 都能被5 整除B. a 、b 都不能被5 整除C. a 、b 不都能被5 整除D. a 不能被5 整除5. 已知函数f(x)=2xf′(e)+lnx ，则f(e)=( )A. −eB. eC. −1D. 16. 观察(x 3)′=3x 2，(x 5)′=5x 4，(sinx)′=cosx ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(−x)=( )A. f(x)B. −f(x)C. g(x)D. −g(x)7. 若函数f(x)=13x 3+ax 2+2x +1是增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−√2)∪(√2,+∞)B. (−∞,−√2]∪[√2,+∞)C. (−√2,2)D. [−√2,√2]8. 曲线y =ln(2x −1)上的点到直线2x −y +8=0的最短距离是( )A. √5B. 2√5C. 3√5D. 09. 设函数f(x)=x 2+mln(x +1)有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,12]B. (0,12]C. (−1,12)D. (0,12)10.在确定√2+√2+√2+⋯“…”代表无限次重复)的值时，可采用如下方法：令√2+√2+√2+⋯=S，则√2+S=S，于是可得S=2；类比上述方法，不难得到22+22+22+⋯(“…”代表无限次重复)的值为()A. √2−12B. √3−12C. √2−1D. √3−111.若函数f(x)对任意的x∈R都有f′(x)>2f(x)成立，则()A. 9f(ln2)>4f(ln3)B. 9f(ln2)<4f(ln3)C. 9f(ln2)=4f(ln3)D. 9f(ln2)与4f(ln3)大小关系不定12.已知函数f(x)=e x2，g(x)=ln x2+1，对任意x1∈R，存在x2∈(0,+∞)，使得f(x1)= g(x2)，则x2−x1的最小值为()A. 1B. √2C. √3D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=sin x在[0,π]上与x轴所围成的平面图形的面积为______ ．14.已知复数z与(z+2)2−8i均是纯虚数，则z=______ ．15.已知函数f(x)=ax2与g(x)=lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为______．16.设实数λ>1e，若对任意的x∈[1,+∞)，关于x的不等式e x−λln(λx)≥0恒成立，则λ的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z1=m+(1−m2)⋅i(m∈R)，z2=cosθ+(λ+2sinθ)⋅i(λ,θ∈R)．(1)当m=3时，求z1的虚部；(2)若z1=z2，求λ的取值范围．18.已知函数f(x)=lnxx．(2)比较3π与π3的大小，并说明理由．19.(1)设a，b，c>0，求证三个数ca +cb，ba+bc，ab+ac中至少有一个不小于2；(2)已知a>5，用分析法证明：√a−5−√a−3<√a−2−√a．20.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB=2x．(1)试把四棱锥的体积V表示为x的函数；(2)x多大时，四棱锥的体积最大？21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n=3．(1)计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；(2)用数学归纳法证明你对a n的猜想．x2−(a−1)x，(a∈R)22.已知函数f(x)=alnx−12(1)讨论函数f(x)的单调性；<1−a”为真命题，求实数a的取值范围．(2)若“∀x1，x2∈(0,+∞)，f(x1)−f(x2)x1−x2答案和解析1.【答案】A【解析】解：52−i =5(2+i)(2+i)(2−i)=10+5i 4+1=2+i ，则对应的虚部为1， 故选：A ．根据复数的运算法则进行化简即可．本题主要考查复数虚部的求解，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为f′(x 0)=△x →0limf(x 0−2△x)−f(x 0)−2△x=−12×△x →0limf(x 0−2△x)−f(x 0)△x=−12×2=−1， 故选：A ．利用导数的概念以及极限的运算性质即可求解．本题考查了导数的概念以及极限的运算性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，在演绎推理过程中，大前提为正弦函数是奇函数，是正确的， 小前提为：f(x)=sin(x +π3)是正弦函数，是错误的； 结论f(x)=sin(x +π3)是奇函数也是错误的， 故选：C ．根据题意，由正弦函数的性质分析，可得推理过程中的小前提是错误的，即可得答案． 本题考查演绎推理的应用，注意演绎推理的三段论模式，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查反证法，属于基础题．根据反证法即可求解．【解答】解：用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的运算，学生在求f(x)的导函数时注意f′(e)是一个常数，这是本题的易错点，属于基础题．利用求导法则求出f(x)的导函数，把x=e代入导函数中得到关于f′(e)的方程，求出方程的解即可得到f′(e)的值，f(e)得解．【解答】，解：求导得：f′(x)=2f′(e)+1x把x=e代入得：f′(e)=e−1+2f′(e)，解得：f′(e)=−e−1，∴f(e)=2ef′(e)+lne=−1．故选C．6.【答案】C【解析】解：根据(x3)′=3x2、(x5)′=5x4、(sinx)′=cosx，发现原函数都是一个奇函数，它们的导数都是偶函数由此可得规律：一个奇函数的导数是偶函数．而定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，说明函数f(x)是一个奇函数因此，它的导数应该是一个偶函数，即g(−x)=g(x)故选：C．此归纳，得一个奇函数的导数是偶函数，不难得到正确答案．本题给出几个奇函数与它们的导数，要求我们发现规律，并对满足条件的函数f(x)按此规律进行选择，着重考查了归纳推理的一般过程，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=13x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′(x)≥0对x∈R恒成立，又f′(x)=x2+2ax+2，∴x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，所以△=(2a)2−4×1×2≤0，所以a2≤2，∴−√2≤a≤√2．故选：D．由函数f(x)=13x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′(x)≥0对x∈R恒成立，进一步得x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，进而得△=(2a)2−4×1×2≤0，解之即可．本题考查函数单调性与导数的关系和一元二次不等式解集为R时所满足的条件，属中档题．8.【答案】B【解析】解：设曲线y=ln(2x−1)上的一点是P(m,n)，则过P的切线必与直线2x−y+8=0平行．由y′=22x−1，所以切线的斜率22m−1=2．解得m=1，n=ln(2−1)=0．即P(1,0)到直线的最短距离是d=√22+(−1)2=2√5．故选B．在曲线y=ln(2x−1)上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x−y+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．本题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，关键是理解与直线平行且与曲线相切的直线和曲线的切点到直线的距离，是中档题．9.【答案】D【解析】解：函数f(x)=x 2+mln(1+x)，定义域为(−1,+∞)； 若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，则不妨设−1<x 1<x 2， 即f′(x)=0在区间(−1,+∞)上有两个不相等的实数根，所以2x +m1+x =0，化为方程2x 2+2x +m =0在区间(−1,+∞)上有两个不相等的实数根；记g(x)=2x 2+2x +m ，x ∈(−1,+∞)， 则{g(−1)>0g(−12)<0， 即{2−2+m >012−1+m <0，解得0<m <12，所以实数m 的取值范围是(0,12). 故选：D ．函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，即f′(x)=0在定义域上有两个不相等的实数根，构造函数，根据二次函数的图象与性质即可求出m 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值应用问题，也考查了二次函数与对应方程实数根的应用问题，是中档题．10.【答案】D【解析】解：由题意令22+22+⋅⋅=S ，则22+S=S ，故S 2+2S −2=0，解得S =−1+√3或−1−√3， ∵S >0，∴S =√3−1，S =−√3−1(舍去)． 故选：D ．类比所给的解法，令22+22+⋅⋅=S ，则22+S=S ，解出S 的值，即可求解．本题主要考查了类比推理的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：令ℎ(x)=f(x)e2x 则ℎ′(x)=f′(x)e2x−f(x)⋅2e2x(e2x)2=f′(x)−2f(x)e2x，∵函数f(x)对任意的x∈R都有f′(x)>2f(x)成立，e2x>0，所以当x∈R时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在定义域R上单调递增，∴ℎ(ln3)>ℎ(ln2)，即f(ln3)e2ln3>f(ln2)e2ln2，∴9f(ln2)<4f(ln3)；故选：B．分析：根据选项可构造函数ℎ(x)==f(x)e2x利用导数判断函数ℎ(x)的单调性，进而可比较ℎ(ln2)与ℎ(ln3)的大小，从而得到答案．点评：本题考查了导数的运算法则，利用导数判断函数的单调性．合理构造函数是解决问题的关键．12.【答案】D【解析】解：不妨设f(x1)=g(x2)=a，(a>0)所以e x12=lnx22+1=a，所以x1=2lna，x2=2e a−1，所以x2−x1=2e a−1−2lna，令ℎ(a)=2e a−1−2lna，(a>0)ℎ′(a)=2e a−1−2a，所以ℎ′(a)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ′(1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(a)<0，ℎ(a)单调递减，在(1,+∞)上，ℎ′(a)>0，ℎ(a)单调递增，所以ℎ(a)在a=1处取得最小值，所以x2−x1的最大值为ℎ(1)=2e1−1−2ln1=2，故选：D．不妨设f(x1)=g(x2)=a，(a>0)，则x1=2lna，x2=2e a−1，x2−x1=2e a−1−2lna，令ℎ(a)=2e a−1−2lna，(a>0)，求导分析单调性，进而可得ℎ(a)的最小值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵在[0,π]，sinx ≥0，∴y =sin x 在[0,π]上与x 轴所围成的平面图形的面积S =∫s π0inxdx =(−cosx)| 0π=−cosπ+cos0=1+1=2． 故答案为：2．根据积分的应用可知所求的面积为∫s π0inxdx ，然后根据积分公式进行计算即可． 本题主要考查积分的几何意义，要求熟练掌握常见函数的积分公式．14.【答案】−2i【解析】解：设z =ai ，a ∈R ，∴(z +2)2−8i =(ai +2)2−8i =4+4ai −a 2−8i =(4−a 2)+(4a −8)i ， ∵它是纯虚数，∴a =−2 故答案为：−2i ．两个复数都是纯虚数，可设z ，化简(z +2)2−8i ，可求出z ． 本题考查复数的分类，及复数的运算，是基础题．15.【答案】12e【解析】解：设A(m,lnm)是公共点，由g′(x)=1x ，得曲线y =g(x)在A 处的切线为：y −lnm =1m (x −m)，即y =1m x +lnm −1……①， 再设A(m,am 2)，f′(x)=2ax ，故f(x)在A 处的切线为：y −am 2=2am(x −m)， 即y =2am ⋅x −am 2……②，由已知得①②重合，故{1m=2amlnm −1=−am 2am 2=lnm，解得m =√e ，a =12m 2=12e ． 故答案为：12e ．先利用导数求出g(x)在某点处的切线l 的方程，然后再利用判别式法说明l 与y =ax 2相切，由此列出a 的方程求解．本题考查导数的几何意义，公切线方程的求法，属于中档题．16.【答案】e【解析】解：令f(x)=e x−λln(λx)，e x−λln(λx)≥0恒成立，即f(x)min≥0，f′(x)=e x−λ⋅1λx ⋅λ=e x−λx，如图所示：函数y=e x与y=λx(λ>0)，在第一象限有且只有一个交点(m,n)，所以当x∈(0,m)时，e x<λx，即f′(x)<0，f(x)在(0,m)上单调递减，当x∈(m,+∞)时，e x>λx，即f′(x)>0，f(x)在(m,+∞)上单调递增，令f′(x)=0，即e x=λx ，即e m=λm，解为m=1，λ=e，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(1)=e−λlnλ，因为e−λlnλ≥0，即λlnλ≤e，令g(λ)=λlnλ，g′(λ)=lnλ+λ⋅1λ=lnλ+1，令g′(λ)=0，即lnλ+1=0，解得λ=e，若λlnλ≤e，则λ的最大值为e．故答案为：e．令f(x)=e x−λln(λx)，则问题e x−λln(λx)≥0恒成立转化为f(x)min≥0，利用导数的知识分析f(x)取得最小值时λ的值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(1)当m=3时，z1=3−8i虚部为−8；(2)∵z1=z2，∴{m=cosθ1−m2=λ+2sinθ，消去m，得λ=(sinθ−1)2−1，由于−1≤sinθ≤1，∴−1≤λ≤3，∴λ的取值范围为[−1,3]．【解析】(1)将m代入，化简复数即可；(2)利用复数相等的充要条件，消去m，得到用sinθ表示的λ的表达式，利用三角函数的有界性求范围．本题考查了复数的运算以及三角函数的化简和参数范围的求法；关键是用sinθ表示λ，借助于三角函数的有界性求范围．18.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−lnxx2，由f’(x)>0得0<x<e，由f’(x)<0得x>e，故f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减．当x=e时，f(x)有极大值，其极大值为：f(e)=1e,f(x)无极小值．(2)由(1)知f(x)在(e,+∞)上单调递减，又π>3，故ln33>lnππ，πln3>3lnπ，即ln3π>lnπ3，又y=lnx在(0,+∞)内单调递增，故3π>π3．【解析】(1)由题意首先确定导函数的解析式，然后利用导函数与原函数的关系即可确定函数的极值；(2)结合(1)的结论利用函数的单调性比较所给的数的大小即可．本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值，利用导函数证明不等式的方法等知识，属于中等题．19.【答案】证明：(1)假设ca +cb，ba+bc，ab+ac都小于2，则(ca +cb)+(ba+bc)+(ab+ac)<6，①又(ca +cb)+(ba+bc)+(ab+ac)=(ca+ac)+(ba+ab)+(cb+bc).且a，b，c>0，∴ca +ac≥2√ca⋅ac=2，ba+ab≥2√ba⋅ab=2，cb+bc≥2√cb⋅bc=2，∴(ca +cb)+(ba+bc)+(ab+ac)≥6，当且仅当a=b=c时取等号，与①矛盾．∴假设不成立，故三个数ca +cb，ba+bc，ab+ac中至少有一个不小于2；(2)要证√a−5−√a−3<√a−2−√a，需要证√a−5+√a<√a−3+√a−2，只需要证(√a−5+√a)2<(√a−3+√a−2)2，即证2a−5+2√a(a−5)<2a−5+2√(a−2)(a−3)，也就是证a(a−5)<(a−2)(a−3)，只需证a2−5a<a2−5a+6，此时显然成立，故√a−5−√a−3<√a−2−√a．【解析】(1)利用反证法结合基本不等式证明；(2)利用分析法，移向后两边平方，依次寻找使结论成立的充分条件即可．本题考查利用分析法与综合法证明不等式，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．20.【答案】解：(1)如图，连接OF，与BC交于I，因为AB=2x，则OI=x，FI=5−x，设E，F，G，H重合于点P，则PI=IF=5−x>x，则x<52，则所得正四棱锥的高为ℎ=√(5−x)2−x2=√25−10x，∴四棱锥的体积V=13⋅4x²⋅√25−10x=4 3√25x4−10x5，其中0<x<52，(2)令f(x)=25x4−10x5，0<x<52，f′(x)=100x3−50x4，令f′(x)=0，解得x=2，则当0<x<2时，f′(x)>0，y=25x4−10x5单调递增；当2<x<52时，f′(x)<0，y=25x4−10x5单调递减，∴当x=2，四棱锥体积最大．【解析】连接OF，与BC交于I，设正方形ABCD的边长为2x，则OI=x，FI=4−x，写出棱锥体积公式，再由导数求最值．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查函数与方程思想，考查利用导数研究函数的最值，是中档题．21.【答案】解(1)在a n+3S n=3中，令n=1，4a1=3，解得a1=34，令n=2，a2+3S2=3，即4a2+3a1=3，解得a2=342，令n=3，a3+3S3=3，即4a3+3(a1+a2)=3，解得a3=343，令n=4，a4+3S4=3，即4a4+3(a1+a2+a3)=3，解得a4=344，故猜想a n=34n．(2)①当n=1时，a1=34，②假设n=k时，a k=34k，那么当n=k+1时，∵a k+3S k=3，∴3−3S k=a k=34k，∵a k+1+3S k+1=3，∴a k+1=14(3−3S k)=14a k=34k+1，即n=k+1时猜想成立，根据①②，可知猜想对任何n∈N∗都成立．【解析】(1)根据已知条件，分别令n=1，n=2，n=3，n=4，依次求解a1，a2，a3，a4，即可猜想a n的值．(2)①当n=1时，a1=34，②假设n=k时，a k=34k，求证n=k+1时猜想成立，即可求证．本题考查了数列与反证法的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)，∵f′(x)=ax −x−(a−1)=−x2+(a−1)x−ax=−(x+a)(x−1)x，若a≥0，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；若a<0，则由f′(x)=0得x=−a或x=1，若a=−1，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)上单调递减；若1−(−a)>0，即−1<a<0时，f(x)在(0,−a)，(1,+∞)单调递减，在(−a,1)上单调递增；若1−(−a)<0，即a<−1时，f(x)在(0,1)，(−a,+∞)单调递减，在(1,−a)上单调递增；(Ⅱ)法1°：令0<x1<x2，则f(x1)−f(x1)>(x1−x2)(1−a)，即f(x1)−(1−a)x1> f(x2)−(1−a)x2，令ℎ(x)=f(x)−(1−a)x，则ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递减，∴ℎ′(x)=f′(x)−(1−a)≤0在区间(0,+∞)上恒成立，即a≤x2(x>0)恒成立，∴a≤0，即a的取值范围为(−∞,0]．法2°：若“∀x1，x2∈(0,+∞)，f(x1)−f(x2)x1−x2<1−a”为真命题⇔∀x∈(0,+∞)，f′(x)=ax−x−(a−1)≤1−a恒成立，整理得a≤x2(x>0)恒成立，∵x2>0，∴a≤0，故a的取值范围为(−∞,0]．【解析】(Ⅰ)求出f(x)的定义域为(0,+∞)，求其导数，分a≥0与a<0两类讨论，判断导函数的符号，可得函数的单调性；(Ⅱ)法1°：设0<x1<x2，由已知得f(x1)−(1−a)x1>f(x2)−(1−a)x2，令ℎ(x)= f(x)−(1−a)x，则ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递减，利用ℎ′(x)=f′(x)−(1−a)≤0恒成立，可求得实数a的取值范围．<1−a”为真命题⇔∀x∈(0,+∞)，f′(x)=法2°：若“∀x1，x2∈(0,+∞)，f(x1)−f(x2)x1−x2a−x−(a−1)≤1−a恒成立，分离参数a，求得其右侧的函数的最小值，即可求得实x数a的取值范围．本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与等价转化思想的应用，考查逻辑推理能力与数学运算能力，属于难题．。
河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 (理)(含答案)
#&!已知函数*!+"$!+%,#<!+"$+%53+#若*!+#"$<!+!"#则+! &+# 的最小 值为!!!!! 三解答题本大题 共 & 个 小 题共 ." 分解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明证 明 过 程 或 演 算 步骤!
河南省洛阳市2019-2020学年第二学期期中考试
高 二 数 学 试 卷 理
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注意事项
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