(完整版)正方形的判定方法.
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定二、正方形判定方法① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理1—4，都是这种方法；② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件；③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。
三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较四、例题与练习【例】如图Z-01，Rt ABC 中，∠ACB=90o ，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ， DF ⊥AC 于F ，求证：四边形CFDE 是正方形。
〖思路分析〗要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。
本例可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。
证法一：先证矩形，再证一组邻边相等 证： ∵DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∠ACB=90o ，∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o ， ∴有矩形CFDE（三个角是直角的四边形是矩形） 又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC∴DE=DF （角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有正方形CFDE （一组邻边相等的矩形是正方形）图Z-01证法二：先证菱形，再证一个内角为90o 证：∵DE ⊥BC ∴∠DEB=90o ，又∵∠ACB=90o ， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE ∥CF 同理DF ∥CE ∴有CFDE又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC∴DE=DF （角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有菱形CFDE 又∵∠DEB=90o∴有正方形CFDE （一个角是直角的菱形是正方形） 〖练习〗⒈如图Z-02，矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，交CD 于E ，EF ⊥AB 于F 求证：四边形AFED 是正方形〖提示〗用“一组邻边相等的矩形是正方形”⒉如图Z-03，在正方形ABCD 中，AE=BF ，AF 、ED 相交于G ①求证：AF=DE ②求证：AF ⊥DE〖提示〗①证ABF ≌DAE （SAS ）②证∠2+∠3=90o ：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o⒊① 如图Z-04，正方形ABCD 对角线相交于O ，E 为AC 上一点，过A 作于G ，AG 交BD 于F ，求证：OE=OF 〖提示〗证AOF ≌BOE （AAS ）② 如图Z-05，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥BE 交EB 延长线于G ，AG 交DB 延长线于F ，其它条件不变，OE=OF 还成立吗？请证明你的结论图Z-02图Z-03图Z-04图Z-05。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形判定的5个方法
正方形判定的5个方法正方形是一种非常特殊的四边形，它具有四条相等的边和四个直角。
在计算机图形学中，判定一个图形是否为正方形是一项非常基础的任务。
在本文中，我们将介绍五种判定正方形的方法。
一、基于勾股定理的方法勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
因此，如果一个四边形是正方形，那么它的对角线长度应该相等。
具体地说，我们可以通过以下步骤来判定一个四边形是否为正方形：1. 计算出四个顶点之间两两之间的距离；2. 找出其中最长和最短的两条距离；3. 如果最长距离等于最短距离，则这个四边形是正方形。
二、基于向量叉积的方法向量叉积是向量运算中的一种重要操作，它可以用来计算两个向量所组成平行四边形面积。
对于任意一个四边形来说，如果它是正方形，则它对角线所组成平行四边形面积应该相等。
因此，我们可以通过以下步骤来判定一个四边形是否为正方形：1. 计算出四个顶点之间两两之间的向量；2. 计算出对角线所组成平行四边形的面积；3. 如果两条对角线所组成平行四边形面积相等，则这个四边形是正方形。
三、基于角度的方法正方形具有四个直角，因此任意两条相邻边所夹的角度应该都是90度。
因此，我们可以通过以下步骤来判定一个四边形是否为正方形：1. 计算出四个顶点之间相邻边所夹的角度；2. 如果所有相邻边所夹的角度都等于90度，则这个四边形是正方形。
四、基于矩阵变换的方法矩阵变换是计算机图形学中非常重要的一种技术，它可以用来进行旋转、缩放和平移等操作。
对于一个正方形来说，我们可以通过将它进行旋转、缩放和平移等操作后，判断变换后的图像是否还是一个正方形。
具体地说，我们可以通过以下步骤来判定一个四边形是否为正方形：1. 将这个四边形通过矩阵变换转化为标准正方形（即所有顶点坐标都在[-1, 1]范围内）；2. 判断变换后的图像是否还是一个正方形。
五、基于Hough变换的方法Hough变换是一种常用于图像处理和计算机视觉中的技术，它可以用来检测直线、圆等几何形状。
正方形的判定
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定方法：
• 1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形是正方形
（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）
• 2、有一组邻边相等的矩形是正方形 • 3、有一个角是直角的菱形是正方形
判断四边形是正方形有哪些方法？
△CMD≌△ADF
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
证明：
如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那 么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。
１、先说明它是矩形，再说明这个矩形 （邻边相等的矩形是正方形） 有一组邻边相等．
２、先说明它是菱形，再说明这个菱形 （有一个角是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的菱形是正方形） 有一个角是直角．
３、先说明它是平行四边形，再说明有 一组邻边相等，并且一个角是直角。
（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正 方形的补充什么条件能让它成为正方形？ • • • • • • 四个角都相等的四边形是正方形； 四条边都相等的四边形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形； 对角线垂直且相等的四边形是正方形; 四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形. (×) (×) (√ ) (√ ) (×)
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90° ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的 菱形是矩形）．
正方形的性质及判定(经典讲义)
正方形的性质及判定(经典讲义)正方形的性质及判定（经典讲义）
正方形是几何学中的一种特殊四边形，具有一些独特的性质和
判定方法。
本文档将介绍正方形的性质和判定方法。
正方形的性质
正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：
1. 边长相等：正方形的四条边长度相等。
2. 角度相等：正方形的四个内角均为直角（90度）。
3. 对角线相等：正方形的对角线长度相等且相交于垂直的交点。
4. 对称性：正方形具有4个对称轴，通过中心点垂直的两条对
称轴将正方形分成4个完全相等的部分。
正方形的判定
判定一个四边形是否为正方形可以根据以下方法：
1. 边长判定：如果一个四边形的四条边长度相等，则它是一个正方形。
2. 角度判定：如果一个四边形的四个内角均为直角（90度），则它是一个正方形。
3. 对角线判定：如果一个四边形的对角线长度相等且相交于垂直的交点，则它是一个正方形。
这些方法可以单独或者组合使用来判定一个四边形是否为正方形。
结论
根据正方形的性质和判定方法，我们可以得出以下结论：
- 如果一个四边形满足正方形的性质，即边长相等、角度为直角、对角线相等，那么该四边形是一个正方形。
- 如果一个四边形不满足正方形的任何一个性质，那么该四边形不是一个正方形。
通过理解正方形的性质和判定方法，我们可以准确地识别和判断一个四边形是否为正方形。
正方形的判定
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（正方形
）
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例2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F
而∠ACB=90°
B
D
A
∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形 )
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900,
∴四边形ABCD是矩形.
A
D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
B
C
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正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.
求证:四边形ABCD是正方形.
D
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
2
1
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
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设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
的四边形一定是：（A ）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
精品课件
练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
7-平行四边形,矩形,菱形所有判定方法
正方形常用的判定方法有:
1.一组邻边相等的矩形是正方形;
2.一个内角为直角的菱形是正方形;
3.对角线互相垂直的矩形是正方形;
4.对角线相等的菱形是正方形.
正方形不常用的判定方法:
5.对角线互相垂直平分,且相等的四边形是正方形;
6.四边都相等,且有一个内角为直角的四边形是正方形;
7.四边都相等,且对角线相等的四边形是正方形;
8.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形;
9.一个内角为直角,且一组邻边相等的平行四边形是正方形;
10.对角线平分一个内角的矩形是正方形;
11.两组对边分别平行,且对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
12.两组对角分别相等,且对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
矩形的判定方法
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形
2．对角线相等的平行四边形是矩形
3．有三个角是直角的四边形是矩形
4．四个内角都相等的四边形为矩形
5．关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形
6．对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形
7．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
8．对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形
矩形面积
S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)
S=ab(注:a为长,b为宽)
菱形4个判定方法
1.四边都相等的四边形是菱形
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.一组邻边相等的平行四边形是菱形
4.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。
正方形的八个判定方法
正方形的八个判定方法一、从边的角度来看1.1 四条边都相等的四边形是正方形。
这就好比一个团队，每个成员都有着相同的实力，大家齐心协力，组成了一个完美的正方形。
就像四条长度一样的木棍，首尾相连，规规矩矩地形成一个正方形。
这是正方形最基本的边的判定方法，如果一个四边形的四条边参差不齐，那肯定不是正方形啦。
1.2 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
想象一下，一个平行四边形本来就规规矩矩的，就像一个规行矩步的人，然后它的一组邻边还相等，就像两只手臂一样长，而且还有一个角是直角，那就像是一个完美的直角拐弯，这样就成了正方形。
这就像一个人本来就品行端正，然后又有了独特的优秀品质，就变得更加完美，就像平行四边形变成正方形一样。
二、从角的角度出发2.1 四个角都是直角的四边形是正方形。
这就像一个房间的四个墙角，都方方正正的，都是直角。
要是一个四边形的角歪七扭八，那肯定不是正方形。
四个直角就像是正方形的灵魂，缺了一个都不行。
这就如同我们做人，要堂堂正正，不能有一点歪斜，正方形的四个直角就是这样的存在，端端正正地摆在那里。
2.2 有三个角是直角的四边形是矩形，而邻边相等的矩形是正方形。
这就好比一个人已经具备了大部分的优秀品质，已经是个不错的矩形了，但是还需要最后一点小提升，那就是邻边相等。
就像一个学生成绩已经很好了，再把某一门学科的成绩也提升到和其他学科一样好，那就更完美了，就像矩形变成正方形一样。
2.3 对角线互相垂直且相等的矩形是正方形。
矩形就像一个已经很规整的框架，但是要成为正方形还需要特殊的条件。
对角线互相垂直且相等就像是给这个框架加上了特殊的加固和装饰，让它成为了正方形。
这就像一件事情本来已经做得不错了，再加上一些独特的元素，就变得更加出色。
三、从对角线的角度考虑3.1 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
这就像是一个神秘的规则，对角线就像四边形的两条神秘线，当它们互相垂直平分且相等的时候，这个四边形就像被施了魔法一样，变成了正方形。