初三数学二次函数最值问题及压轴题
2023年中考数学压轴题专题11 二次函数与单线段最值问题【含答案】
专题11二次函数与单线段最值问题【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D 的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【例2】（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P 在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【例3】（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．4．（2022•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D 作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．5．（2022•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．6．（2021•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．7．（2021•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标．9．（2021•乳源县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．10．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．11．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．13．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：AF＝DE．（3）如图2，直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标．14．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C＝，5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．15．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y 轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？17．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ 的长最大时，求点P的坐标．18．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l 的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．19．（2016•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x 轴，交直线y＝2x﹣2于点C，且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．20．（2018•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D 的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐标即可得出结论；②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴抛物线的顶点为D（m，2），令x＝0，则y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，∵﹣1＜0，∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．此时P（1，1）．（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1+时，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m＝﹣3时，BC的最大值为13．【例2】（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P 在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；②利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°，∴∠APB+∠CPM＝90°，∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPM，∵∠B＝∠PCM＝90°，∴△MCP∽△PBA，∴＝，即＝，∴3n＝m（3﹣m），∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），∵﹣＜0，∴当m＝时，n的值最大，最大值是．【例3】（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可．【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+2＝2，当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，2），把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，得，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）方法一：ax2+（b﹣1）x+c＞2，即﹣x2﹣2x+2＞2，当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时，解得x＝0或x＝﹣2，由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2，∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；方法二：ax2+（b﹣1）x+c＞2，即﹣x2﹣x+2＞x+2，观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，①如图1，当P在AB上方时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x＝1，解得x＝﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣1，2），②如图2，当P点在A点左侧时，同理①可得PD＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±﹣1，由图象知此时P点在第三象限，∴x＝﹣﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣﹣1，﹣），③如图3，当P点在B点右侧时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±﹣1，由图象知此时P点在第一象限，∴x＝﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣1，），综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式，将点C坐标代入，进而求得结果；（2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为∠CAE＝90°，∠ACE＝90°及∠AEC＝90°，然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果；（3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心，为半径的圆上，进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），∴a•（﹣3）＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）；（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：设点E（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，当∠EAC＝90°时，AE2+AC2＝CE2，∴14+m2＝1+（m+3）2，∴m＝，∴E1（1，），当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，∴11+（m+3）2＝4+m2，∴m＝﹣，∴E2（1，﹣），当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，∴5+m2+（m+3）2＝10，∴m＝﹣1或﹣2，∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2），综上所述：点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；（3）设AD的中点为I，∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），∴AD＝＝2，I（0，﹣2），∴PA⊥PD，∴∠ADP＝90°，∴点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，∵BI＝＝，＝﹣．∴PB最小1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．【分析】【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x ﹣6），将点C的坐标代入上式即可求解；【尝试探索】①四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，②MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，即可求解；【拓展延伸】（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即可求解．【解答】解：【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6），解得：a＝，故抛物线的表达式为：…①；【尝试探索】①点C′（4，2），由点B、C′的坐标可得，直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②，四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，设点N的坐标为：（x，k2﹣4k+6），则点M（k，﹣k+6），即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，故k的值为：；②联立①②并解得：x＝0或6，故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，∵0，故MN有最大值，最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即x＝4+2，则t＝3+4+2＝7+2，故t的取值范围为：2≤t≤．2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式，再将点C（2）连接BC，交DH于点M，使△ABM周长最小，即AM+BM最小，先求出BC直线解析式，再令x＝﹣1，求得M（﹣1，2）；（3）由题意得出E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），据此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3），再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4，将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，解得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，则A（1，0），C（﹣3，0），当x＝0时，y＝3，则B（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，3），C（﹣3，0）代入得，解得：，∴直线BC解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，所以点M坐标为（﹣1，2）；（3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意可求得点C，B的坐标，将A，B坐标代入抛物线解析式求出a，b的值，即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点C，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得直线BC的解析式，再求DE即可；（3）根据△CDE∽△PCF，DE∥PF，可得：＝，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），建立关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴CO＝3，∵CO＝BO，∴BO＝3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴DE＝2；（3）∵PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，当＝时，△PCF∽△CDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE＝＝，DE＝4﹣2＝2，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴t＝2，当t＝2时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P坐标为（2，3）．4．（2022•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D 作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），把点（0，0）代入，即可求解；（2）根据题意得OC＝2，AC＝4，设点D（x，﹣x2﹣4x），则DE＝|﹣x2﹣4x|，OE＝﹣x，根据∠ACO＝∠DEO＝90°，可得当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE 或∠AOC＝∠DOE，分两种讨论，即可求解；（3）求出直线BD的解析式y＝x+14，直线BD与y轴交于（0，14），可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11，交y轴于（0，11），可得直线FG的的解析式为y＝x+，联立方程组，得到点F．G的坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线顶点的坐标为（﹣2，4），∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），把点（0，0）代入得：0＝a（x+2）2+4．解得：a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．令y﹣0，则﹣x2﹣4x＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝0，∴点B（﹣4，0），∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B（﹣4，0）；（2）∵AC⊥x轴，点A（﹣2，4），∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，AC＝4，∵∠ACO＝∠DEO＝90°，∴当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE，设D（x，﹣x2﹣4x），①当∠AOC＝∠ODE时，△AOC∽△ODE，如图：∵∠AOC＝∠ODE，∴tan∠AOC＝tan∠ODE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x），∴x1＝0（舍去），x2＝﹣或x3＝0（舍去），x4＝﹣，∴点D的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）；②当∠AOC＝∠DOE时，△AOC∽△DOE，如图：∵∠AOC＝∠DOE，∴tan∠AOC＝tan∠DOE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x，∴x1＝0（舍去），x2＝﹣6或x3＝0（舍去），x4＝﹣2（舍去），∴点D的坐标为（﹣6，﹣12）；点D（﹣6，﹣12）；综上所述，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，点D的坐标为（﹣6，﹣12）或（﹣，﹣）或（﹣，）；（3）∵在（2）的条件下，点D在第二象限，∴点D的坐标为（﹣，），直线BD的解析式y＝kx+m，∴，解得，∴直线BD的解析式y＝x+14，直线BD与y轴交于（0，14），∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11，交y轴于（0，11），∵点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，∴直线FG的的解析式为y＝x+，联立得，解得，，∴F（﹣，），G（﹣5，﹣5），∴FG＝＝．5．（2022•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式即可求解；（2）延长FG交y轴于点I，根据A，E，D坐标求出AE＝3，DE＝9，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝3，再根据四边形AGFE是平行四边形，得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，求出m即可．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式，得：，解得：，∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5，顶点D坐标为（2，﹣9）；（2）延长FG交y轴于点I，∵A（﹣1，0），E（2，0），D（2，﹣9），∴AE＝3，DE＝9，∴在Rt△EAD中，，∵EF∥AD，FG∥x轴，∴四边形AGFE是平行四边形，∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，∴在Rt△EHF中，EH＝3HF，设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，得，﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5，解得：或m＝（舍去），∴．6．（2021•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t，t2﹣t﹣4），则G（1﹣t，t2﹣t﹣4），利用tan∠GCH＝＝，求出CN，即可得出答案；（3）过点P作PT⊥x轴于点T，可证得△PDH≌△PBT（AAS），过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D 作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，再证得△DRF≌△QKF（ASA），过点Q作QW∥PD，可证得△DPF≌△QWF（AAS），过点Q作QZ⊥PE于点Z，再证明△EQZ≌△EPT（AAS），再利用HL证明Rt △QWZ≌Rt△PBT，设EB＝m，运用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，设P（t，t2﹣t﹣4），∵抛物线的对称轴为直线，PG∥x轴，∴点G与点P是抛物线上的一对对称点，∴G（1﹣t，t2﹣t﹣4），设PG与y轴交于点H，则H（0，t2﹣t﹣4），在抛物线中，令x＝0，得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，又CH＝t2﹣t﹣4﹣（﹣4）＝t2﹣t，GH＝t﹣1，∵tan∠GCH＝＝，∴，解得：，∴d与t之间的函数解析式为d＝；（3）如图2，过点P作PT⊥x轴于点T，∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°，∴四边形PHOT为矩形，∴∠HPT＝90°，∴∠DPH＝∠BPT，∵PD＝PB，∴△PDH≌△PBT（AAS），∴DH＝BT，PH＝PT，∴，解得：t1＝6，t2＝﹣2（舍），∴P（6，6），∴T（6，0），∴DH＝BT＝2，ON＝d＝2，过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，∵PE＝3PF，∴EF＝2PF，∵cos∠PFM＝cos∠EFK，∴，∴FK＝2FM，∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°，∴四边形PMKT为矩形，∴MK＝PT＝6，∴FM＝2，FK＝4，同理四边形DHMR为矩形，∴DH＝RM＝2，RF＝FK＝4，∠R＝∠FKQ＝90°，∵∠DFR＝∠KFQ，∴△DRF≌△QKF（ASA），∴DF＝QF，过点Q作QW∥PD，∴∠DPF＝∠QWF∵∠DFP＝∠WFQ，DF＝FQ，∴△DPF≌△QWF（AAS），∴DP＝QW＝PB，PF＝WF，∴，过点Q作QZ⊥PE于点Z，∴∠EZQ＝∠PTE＝90°，∵∠PET＝∠QEZ，EP＝EQ，∴△EQZ≌△EPT（AAS），∴PT＝QZ，EZ＝ET，∵QW＝PB，∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL），∴WZ＝BT，∴EW＝EB．设EB＝m，则EW＝WF＝FP＝m，∴EP＝3m，∵BT＝2，∴ET＝m+2，PT＝6，在Rt△EPT中，∵PE2＝ET2+PT2，∴（3m）2＝（m+2）2+62，解得：，m2＝﹣2（舍），∴，∴BQ＝2BE＝5，∵OB＝4，∴OQ＝9，∵ON＝2，∴QN＝OQ+ON＝11．7．（2021•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．【分析】（1）根据B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，得出B，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；（3）求出直线AC的解析式，过点P作PH∥y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可．【解答】解：（1）∵B点坐标为（1，0），∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），将A，B，C三点代入解析式得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，∴D点的坐标为（﹣1，﹣4），∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝，∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t，代入A，C点坐标，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，PE有最大值为，此时P点的坐标为（﹣，﹣）．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标．【分析】（1）设A（x1，0），B（x2，0），因为OB＝3OA，所以x2＝﹣3x1，又由于x1，x2是方程mx2﹣2mx+3＝0的两根，所以x1+x2＝2，从而求出x1的值，得到A点坐标，代入到解析式中，求出m，即可解决问题；（2）由题意可得，只要求得第一象限内M点，使△BCM面积最大，过M作y轴平行线交BC于G点，设M（a，﹣a2+2a+3），先求出直线BC的解析式，可以得到G（a，﹣a+3），从而得的MG＝﹣a2+3a，利用S＝S△MGC+S△MGB，得到S△MBC＝，当a＝时，△MBC面积最大，从而求得M点坐△MBC标；。
人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题(最值问题)专题训练(含解析)
人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题（最值问题）专题训练(1)求三个点，，的坐标；(2)当点运动至抛物线的顶点时，求此时(3)设点的横坐标为，的长度为范围；是否存在最值，如有写出最值．(1)求二次函数的解析式；(2)当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值；(3)在抛物线上是否存在点，若存在，请求出点A B C N N t MN L 8AOP S =△(1)求抛物线的表达式和点D 的坐标．(2)连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上的一个动点．Q 是抛物线对称轴上一个点，是否存在以B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出存在，请说明理由．(3)如图，点P 在第四象限的抛物线上，连接AP 、BE 交于点G ，设（1）求二次函数解析式；（2）设的面积为，试判断PCD ∆S S请说明理由；（3）在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请写出点的坐标若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当取得最值时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数，回答下列问题：（1）求出此抛物线的对称轴和顶点坐标；MB P PCD ∆P 2y x bx c =-++x ,A B A B y C M 1x =C (0,3)P MB P PD x ⊥D ,PD m PCD =∆S S m m S P MB P PCD ∆P 243y x x =++（2）写出抛物线与轴交点、的坐标，与轴的交点的坐标；（3）写出函数的最值和增减性；（4）取何值时，①，②．7．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B (3，0)，C (0，3)，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．若OD ＝m ，△PCD 的面积为S ，①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标；（3）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．8．已知抛物线y ＝x 2﹣2ax+m ．（1）当a ＝2，m ＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a ＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y 轴向上平移k 个单位长度后，得到新的抛物线与x 轴没有交点，请判断k 的取值情况，并说明理由；（3）当m ＝0时，平行于y 轴的直线l 分别与直线y ＝x ﹣（a ﹣1）和该抛物线交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使点P ，Q 都在x 轴的下方，求a 的取值范围．9．如图，Rt △OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA 与x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt △OAB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点O ，C ，A 三点．x A B y C x 0y <0y >(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，m ，连结，，与直线交于点E ．设别为和，设己，试求t 关于m 的函数解析式并求出OD (05)m <<MQ BQ MQ OB 1S 2S 12S t S =(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线CB上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，－2)为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点，点M 为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．参考答案：∴β=1，∴A(-1，0)，B (3，0)，∴，解得：，∴抛物线的表达式为，当x =1时，y =1-2-3=-4，∴点D 的坐标为(1，4)；（2）解：∵A (-1，0)，B (3，0)，D (1，4)，设直线AD 的表达式为y =kx +c ，∴，解得，∴直线AD 的表达式为y =-2x -2，当x =0时，y =-2，∴点E 的坐标为(0，-2)，∵P 是抛物线上的一个动点，Q 是抛物线对称轴上一个点，∴设P (m ，)，Q (1，t )，①当BE 为边时，PQ BE 且PQ =BE ，当E 对应Q ，由(0，-2)变为(1，t )，要向右平移1个单位，则当B (3，0)对应P (m ，)，也要向右平移1个单位，即m =3+1=4，∴=5，∴P (4，5)；309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩12a b =⎧⎨=-⎩2=23y x x --04k c k c -+=⎧⎨+=⎩22k c =-⎧⎨=-⎩223m m --∥223m m --223m m --∵∠OBC=45°，∵轴∴时，轴∴，即，解得：，∴此时；②时，如图②，PD x ⊥90CDP ∠=︒//CP x 3c p y y ==263m -+=32m =3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭90P CD ''∠=︒∵轴，∴，∴，又∵，∴，即，∵，，，P D x ''⊥//P D OC ''12∠=∠90P CD D OC '''∠=∠=︒P CD D OC '''∆∆∽OC CD CD P D '='''(0,3)C (,0)D m (,26)P m m -+【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．8．（1）-9；（2）当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；（3）a＞1或a＜﹣1【分析】(1)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；(3)根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．【详解】解：(1)当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以抛物线的最小值为﹣9．(2)当a＝2时，y＝x2﹣4x+m因为该抛物线与坐标轴有两个交点，①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点∴△=16-4m=0，∴m=4，∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，则k＞0；②该抛物线与x轴、y轴交于原点，即m=0，∴y＝x2﹣4x∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+k此时△＜0，即16﹣4k＜0解得k＞4;综上，当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；(3)当m＝0时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞0时，如图1所示，此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．综上：a＞1或a＜﹣1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的最值问题和根据题意进行分类讨论是解本题的关键.9．(1)、y=﹣x2+4x；(2)、10；(3)、N1（2+2，﹣4），N2（2﹣2，﹣4）【详解】试题分析：(1)、根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；(2)、四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；(3)、在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．试题解析：(1)、因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；(2)、四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，L max=10；=2+，﹣2+，﹣，，点Q 的横坐标为m ()1,16N MN ∴--=， (,Q m m ∴，()2245KQ m m m m m ∴=--=-+()121122B E S QK x x S MN =-= ，()21S 115QK m m ∴==--=-【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，最值，是解题的关键．13．（1）；（2）①m=2或4+2和．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y=a 2122y x x =-50.5-50.5+（2）∵点P在第四象限的抛物线上，设直线AP的解析式为代入，∵，∴，y=(1,0)A-2(,2P m m-03m<<10m+≠∵点C 与点关于对称轴对称∴设直线的解析式为解得：∴直线的解析式为：C '1x =()2,3C '-AC 'y kx b =+13432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩AC '3y =-设点在中，当时，在中，由勾股定理知：即：化简得：解得：（舍），233,384R k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭Rt OBC 222BC OC OB =+190BCR ∠= 1Rt BCR ()222334384k k k k ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭29+140k k =()9+14=0k k 0k =14k =-。
2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题
中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。
2023年数学《二次函数》在中考高频压轴题中的分类特训
二次函数在中考高频压轴题中的分类训练基础知识：如图，已知抛物线y=- 14x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（3）证明:△ABC为直角三角形（5）在BC上求一个点D，使得OD将△ABC的面积平分(一)最值问题:(6) 在抛物线的对称轴上求一点P,使PA+PC的值最小值？若P1是∠ABC角平分线上的一点，P2是射线BC上的一点，求CP1+P1P2最小值（7）M为BC上方抛物线上的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（8）M为BC上方抛物线上的一点，求△BCM面积的最大值；变式练习:1若点E 是抛物线顶点，点D （4，m ）在抛物线上，在X 轴和Y 轴上找两个点M,N 使四边形DEMN 的周长最小，求M 和N 点的坐标2.若点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE\\BC,交AC 于点E ，连接CQ ，当△CQE 面积最大时，求点Q 坐标3.若点Q 是抛物线上的动点，过点Q 作QE\\X 轴,交线段AC 于点E ，交线段BC 于点F,分别过E,F 两点向X 轴作垂线，垂足分别为M,N ，当矩形EMNF 面积最大时，求点Q 坐标4.若M 为BC 上方抛物线上的一点，N 为线段BC 上的一点，且MN 垂直于BC,垂足为N ，求MN 的最大值；5.若M 为BC 上方抛物线上的一点，连接OM 交BC 于点N ，求ONMN的最大值；6.若M为BC上方抛物线上的一点，N为线段BC上的一点，且MN平行于AC,交点为N，求MN的最大值；(二)面积问题:(9)在抛物线上找一个点P,使△ABC与△PBC的面积相等变式练习:1若点F是抛物线上的一个动点，是否存在点F使△BCF的面积为8，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由(三)等腰三角形问题:(10)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．变式练习：1.若点N在X轴上运动，当△BCN是等腰三角形时，求N点的坐标。
初三数学上册【二次函数】最值4种解法,压轴题常考,期中复习必看
初三数学上册【二次函数】最值4种解法，压轴题常考，期中复习必看题目如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。
(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。
解答：(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。
方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴点P坐标为（－3/2，15/4）若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。
解如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），则F(x，x＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。
中考压轴题二次函数中的最(定)值问题
二次函数中的最（定）值问题【典例1】（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 与直线y ＝kx +b 都经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点，该抛物线的顶点为C ． （1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．【点拨】（1）将A （0，﹣3）、B （3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标和E 点坐标，则CE ＝2，分两种情况讨论：①若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE ＝MN ，②若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE ＝MN ，设M （a ，a ﹣3），则N （a ，a 2﹣2a ﹣3），可分别得到方程求出点M 的坐标；（3）如图，作PG ∥y 轴交直线AB 于点G ，设P （m ，m 2﹣2m ﹣3），则G （m ，m ﹣3），可由S △PAB =12PG ⋅OB ，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点， ∴{9a −6+c =0c =−3， ∴{a =1c =−3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，∵直线y ＝kx +b 经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点， ∴{3k +b =0b =−3，解得：{k =1b =−3， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ﹣3， （2）∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点C 的坐标为（1，﹣4）， ∵CE ∥y 轴， ∴E （1，﹣2）， ∴CE ＝2，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE ＝MN ， 设M （a ，a ﹣3），则N （a ，a 2﹣2a ﹣3）， ∴MN ＝a ﹣3﹣（a 2﹣2a ﹣3）＝﹣a 2+3a ，∴﹣a 2+3a ＝2，解得：a ＝2，a ＝1（舍去）， ∴M （2，﹣1），②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE ＝MN ，设M （a ，a ﹣3），则N （a ，a 2﹣2a ﹣3）， ∴MN ＝a 2﹣2a ﹣3﹣（a ﹣3）＝a 2﹣3a ，∴a 2﹣3a ＝2， 解得：a =3+√172，a =3−√172（舍去）， ∴M （3+√172，−3+√172）， 综合可得M 点的坐标为（2，﹣1）或（3+√172，−3+√172）． （3）如图，作PG ∥y 轴交直线AB 于点G ， 设P （m ，m 2﹣2m ﹣3），则G （m ，m ﹣3），∴PG ＝m ﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+3m ，∴S △P AB ＝S △PGA +S △PGB =12PG ⋅OB =12×(−m 2+3m)×3=−32m 2+92m =−32(m −32)2+278， ∴当m =32时，△P AB 面积的最大值是278，此时P 点坐标为（32，−154）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．【典例2】（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），OA ＝1，经过点A 的一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，△ABD 的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标； （3）若点P 为x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE +35P A 的最小值．【点拨】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A （﹣1，0），可求得a 的值，由△ABD 的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A 、D 的坐标可求出一次函数解析式； （2）作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由S △ACE ＝S △AME ﹣S △CME 构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，则∠BAE ＝∠HAP ＝∠HFE ，利用锐角三角函数的定义可得出EP +35AP ＝FP +HP ，此时FH 最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y ＝ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2， ∵OA ＝1，∴点A 的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a ﹣2＝0， ∴a =12，∴抛物线的解析式为y =12(x −1)2−2，即y =12x 2−x −32． 令y ＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴B （3，0）， ∴AB ＝OA +OB ＝4， ∵△ABD 的面积为5， ∴S △ABD =12AB ⋅y D =5，∴y D =52，代入抛物线解析式得，52=12x 2−x −32，解得x 1＝﹣2，x 2＝4， ∴D （4，52），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，∴{4k +b =52−k +b =0，解得：{k =12b =12， ∴直线AD 的解析式为y =12x +12．（2）过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，设E （a ，12a 2−a −32），则M （a ，12a +12），∴EM =12a +12−12a 2+a +32=−12a 2+32a +2， ∴S △ACE ＝S △AME ﹣S △CME =12×EM ⋅1=12(−12a 2+32a +2)×1=−14(a 2−3a −4)， =−14(a −32)2+2516，∴当a =32时，△ACE 的面积有最大值，最大值是2516，此时E 点坐标为（32，−158）．（3）作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，∵E （32，−158），OA ＝1，∴AG ＝1+32=52，EG =158，∴AG EG=52158=43，∵∠AGE ＝∠AHP ＝90° ∴sin ∠EAG =PHAP =EGAE =35， ∴PH =35AP ， ∵E 、F 关于x 轴对称， ∴PE ＝PF ，∴PE +35AP ＝FP +HP ＝FH ，此时FH 最小， ∵EF =158×2=154，∠AEG ＝∠HEF ， ∴sin∠AEG =sin∠HEF =AGAE =FHEF =45， ∴FH =45×154=3． ∴PE +35P A 的最小值是3．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．【精练1】（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ，C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由．【点拨】（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3，即可求解；（2）设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，即可求解；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，即可求解．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x=32时，PD最大值为：94；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为√33，则直线CH的表达式为：y=−√3x+3，当x＝1时，y＝3−√3，当y＝0时，x=√3，故点N、M的坐标分别为：（1，3−√3）、（√3，0），CN+MN+12MB的最小值＝CH＝CM+FH=3+3√32．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性等，其中（3），本题提供对的采取的用点的对称轴确定线段和的方法，是此类题目的一般方法．【精练2】（2020•郑州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y=−12x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求PDOD的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．【点拨】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段PDOD =PFOB，则PF取最大值时，求得PDOD的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO ＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii ）点E 在y 轴上时，过点PK ⊥x 轴于K ，作PS ⊥y 轴于S ，同理可证得△EPS ≌△CPK ，可得PS ＝PK ，则P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点E 在y 轴上时，过点PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，同理可证得△PEN ≌△PCM ，可得PN ＝PM ，则P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题． 【解答】解：（1）直线y ＝x +4与坐标轴交于A 、B 两点， 当x ＝0时，y ＝4，x ＝﹣4时，y ＝0， ∴A （﹣4，0），B （0，4），把A ，B 两点的坐标代入解析式得，{−4b +c =8c =4，解得，{b =−1c =4，∴抛物线的解析式为y =−12x 2−x +4； （2）如图1，作PF ∥BO 交AB 于点F ， ∴△PFD ∽△OBD ， ∴PD OD=PF OB，∵OB 为定值， ∴当PF 取最大值时，PD OD有最大值，设P （x ，−12x 2−x +4），其中﹣4＜x ＜0，则F （x ，x +4）， ∴PF =y P −y F =−12x 2−x +4−(x +4)=−12x 2−2x ， ∵−12＜0且对称轴是直线x ＝﹣2， ∴当x ＝﹣2时，PF 有最大值， 此时PF ＝2，PD OD=PF OB=12；（3）∵点C （2，0）， ∴CO ＝2，（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，{∠HPC=∠OCF ∠PHC=∠COF PC=CF，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴−12x2−x+4=2，解得，x=−1±√5，∴P1(−1+√5，2)，P2(−1−√5，2)，（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS＝PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴−12x2−x+4=−x，解得x＝2√2（舍去），x＝﹣2√2，∴P3(−2√2，2√2)，如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN＝PM，∴P点的横纵坐标相等，∴−12x2−x+4=x，解得x=−2+2√3，x=−2−2√3（舍去），∴P4(−2+2√3，−2+2√3)，综合以上可得P点坐标为(−2+2√3，−2+2√3)，(−2√2，2√2)，(−1+√5，2)，(−1−√5，2)．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论．【精练3】（2020•武汉模拟）如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．（1）求抛物线M2的解析式；（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则EGHF的值是否为定值，证明你的结论．【点拨】（1）先将抛物线M1：y＝﹣x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；（2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；（3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出EGHF的值为1．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；（2）∵抛物线M1与M2交于点B，∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x＝3，∴B（3，3），将点B（3，3）代入y＝kx，得，k＝1，∴y OB＝x，∵抛物线M2与直线OB交于点C，∴x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝3，x2＝6，∴C（6，6），∵点P的横坐标为m，∴点P（m，﹣m2+4m），则Q（m，﹣m2+10m﹣18），∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，∴S△PQC=12（6m﹣18）（6﹣m）＝﹣3m2+27m﹣54，＝﹣3（m−92）2+274，在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），∵B（3，3），∴3≤m≤4，∴在S＝﹣3（m−92）2+274中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；（3）GEHF的值是定值1，理由如下：设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，则y EH＝x﹣k，∴令x﹣k＝﹣x2+4x，解得，x1=3+√9+4k2，x2=3−√9+4k2，∴x F=3+√9+4k2，x E=3−√9+4k2，令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1=9+√9+4k2，x2=9−√9+4k2，∴x H=9+√9+4k2，x G=9−√9+4k2，∴ME＝x G﹣x E=9−√9+4k2−3−√9+4k2=3，FN＝x H﹣x F=9+√9+4k2−3+√9+4k2=3，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，∴△GEM∽△HFN，∴GEHF =EMFN，∴GEHF =EMFN=33=1，∴GEHF的值是定值1．【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握用函数的思想求极值等．【精练4】（2019秋•南岗区期末）如图，抛物线y＝ax2﹣11ax+24a交x轴于C，D两点，交y轴于点B（0，449），过抛物线的顶点A作x轴的垂线AE，垂足为点E，作直线BE．（1）求直线BE的解析式；（2）点H为第一象限内直线AE上的一点，连接CH，取CH的中点K，作射线DK交抛物线于点P，设线段EH的长为m，点P的横坐标为n，求n与m之间的函数关系式．（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，在线段BE上有一点Q，连接QH，QC，线段QH交线段PD于点F，若∠HFD＝2∠FDO，∠HQC＝90°+12∠FDO，求n的值．【点拨】（1）根据抛物线可得对称轴，可知点E的坐标，利用待定系数法可得一次函数BE的解析式；（2）如图1，作辅助线，构建直角三角形，根据抛物线过点B （0，449），可得a 的值，计算y ＝0时，x的值可得C 和D 两点的坐标，从而知CD 的值，根据P 的横坐标可表示其纵坐标，根据tan ∠PDM =PMDM=1154(n−3)(n−8)8−n=1154(3−n)，tan ∠KDN =KN DN =m2154=2m 15，相等列方程为1154(3−n)=2m 15，可得结论；（3）如图2，延长HF 交x 轴于T ，先根据已知得∠FDO ＝∠FTO ，由等角的三角函数相等和（2）中的结论得：tan ∠FDO ＝tan ∠FTO ，则m ET=2m 15，可得ET 和CT 的长，令∠FDO ＝∠FTO ＝2α，表示角可得∠TCQ ＝∠TQC ，则TQ ＝CT ＝5， 设Q 的坐标为（t ，−89t +449），根据定理列方程可得：TS 2+QS 2＝TQ 2，（2+t ）2+（−89t +449）2＝52，解得t 1=4729，t 2＝1；根据两个t 的值分别求n 的值即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣11ax +24a ， ∴对称轴是：x =−−11a2a =112， ∴E （112，0），∵B （0，449），设直线BE 的解析式为：y ＝kx +b ，则{112k +b =0b =449，解得：{k =−89b =449， ∴直线BE 的解析式为：y =−89x +449；（2）如图1，过K 作KN ⊥x 轴于N ，过P 作PM ⊥x 轴于M ，∵抛物线y ＝ax 2﹣11ax +24a 交y 轴于点B （0，449），∴24a =449， ∴a =1154， ∴y =1154x 2−12154x +449=1154（x ﹣3）（x ﹣8）， ∴当y ＝0时，1154（x ﹣3）（x ﹣8）＝0，解得：x ＝3或8， ∴C （3，0），D （8，0）， ∴OC ＝3，OD ＝8， ∴CD ＝5，CE ＝DE =52， ∴P 点在抛物线上， ∴P [n ，1154（n ﹣3）（n ﹣8）]，∴PM =1154（n ﹣3）（n ﹣8），DM ＝8﹣n ，∴tan ∠PDM =PM DM =1154(n−3)(n−8)8−n =1154(3−n)，∵AE ⊥x 轴，∴∠KNC ＝∠HEC ＝90°， ∴KN ∥EH ， ∴CN EN=CK KH=1，∴CN ＝EN =12CE =54，∴KN =12HE =12m ，ND =154，在△KDN 中，tan ∠KDN 中，tan ∠KDN =KN DN =m2154=2m 15，∴1154(3−n)=2m 15，n =−3655m +3；（3）如图2，延长HF 交x 轴于T ，∵∠HFD ＝2∠FDO ，∠HFD ＝∠FDO +∠FTO ， ∴∠FDO ＝∠FTO ， ∴tan ∠FDO ＝tan ∠FTO ， 在Rt △HTE 中，tan ∠FTO =EHET ， ∴m ET=2m 15，∴ET =152， ∴CT ＝5，令∠FDO ＝∠FTO ＝2α，∴∠HQC ＝90°+12∠FDO =90°+α，∴∠TQC ＝180°﹣∠HQC ＝90°﹣α，∠TCQ ＝180°﹣∠HTC ﹣∠TQC ＝90°﹣α， ∴∠TCQ ＝∠TQC ， ∴TQ ＝CT ＝5，∵点Q 在直线y =−89x +449上，∴可设Q 的坐标为（t ，−89t +449）， 过Q 作QS ⊥x 轴于S ，则QS =−89t +449，TS ＝2+t ， 在Rt △TQS 中，TS 2+QS 2＝TQ 2， ∴（2+t ）2+（−89t +449）2＝52， 解得t 1=4729，t 2＝1；①当t =4729时，QS =10029，TS =10529， 在Rt △QTH 中，tan ∠QTS =1002910529=2021，∴2m 15=2021，m =507， ∴n =−3655×507+3=−12977， ②当t ＝1时，QS ＝4，TS ＝3， 在Rt △QTH 中，tan ∠QTS =QS TS =43， ∴2m 15=43，m ＝10， ∴n =−3655×10+3=−3911． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角函数、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等，其中（3），运用方程的思想，求解t 的值，难度很大．【精练5】（2019秋•大东区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，2√3），连接BC ，位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ，连接AC ，BC ，P A ，PB ，PC ． （1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似的点P 点的横坐标； （3）如图1，当直线1运动时，求△PCB 面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H 、K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH 、HK ，当△PCB 的面积最大时，请直接写出PH +HK +√32KG 的最小值．【点拨】（1）根据A和B的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2√3）代入可得：a=−√34，即可求解；（2）只有当∠P AE＝∠ACO时，△PEA△∽AOC，可得方程，解方程可得P的横坐标；（3）如图1，先确定△PCB的面积最大时，PD最大，设P（x，−√34x2+√32x+2√3），D（x，−√32x+2√3），表示PD的长，根据二次函数的最值可得PD的最大值，最后利用三角形面积公式可得结论；（4）由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2√3），则OP=√22+(2√3)2=4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+√32KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），点B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2√3）代入得：a=−√3 4，故抛物线的表达式为：y=−√34（x+2）（x﹣4）=−√34x2+√32x+2√3；（2）设P（x，−√34x2+√32x+2√3），∵动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与l的交点，∴0＜x＜4，∵点A（﹣2，0）、C（0，2√3），∴OA＝2，OC＝2√3，∵l⊥x轴，∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°， ∵∠P AE ≠∠CAO ，∴只有当∠P AE ＝∠ACO 时，△PEA ∽△AOC ，此时PEAE=AO OC，即−√34x 2+√32x+2√3x+2=2√3，3x 2﹣2x ﹣16＝0， （x +2）（3x ﹣8）＝0， x ＝﹣2（舍）或83，则点P 的横坐标为83；（3）如图1，△PCB 的面积=12⋅PD ⋅OB ，∵OB ＝4是定值，∴当PD 的值最大时，△PCB 的面积最大， ∵B （4，0），C （0，2√3）， 设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ， 则{4k +b =0b =2√3， 解得：{k =−√32b =2√3，∴直线BC 的解析式为：y =−√32x +2√3，设P （x ，−√34x 2+√32x +2√3），D （x ，−√32x +2√3），∴PD ＝（−√34x 2+√32x +2√3）﹣（−√32x +2√3）=−√34x 2+√3x =−√34（x ﹣2）2+√3，∵−√34＜0，∴当x＝2时，PD有最大值是√3，此时△PCB的面积=12⋅PD⋅OB=12×√3×4＝2√3；（4）如图2中，△AOC中，OA＝2，OC＝2√3，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4√3，由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2√3），则OP=√22+(2√3)2=4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+√32KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2√3），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4√3，MG＝2√3，∴OM＝6，可得PM＝10，∴PH+HK+√32KG的最小值为10．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【精练6】（2016秋•集宁区期末）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【点拨】（1）由对称轴确定h的值，代入点A坐标即可求解；（2）设出点P坐标并表示△POC的面积根据题意列出方程求解即可；（3）设出点Q，D坐标并表示线段QD的长度，建立二次函数，运用二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）由题意对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式：y＝a（x+1）2﹣4，把点A（﹣3，0）代入可得，a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，（2）如图1，y ＝x 2+2x ﹣3，当x ＝0时，y ＝﹣3，所以点C （0，﹣3），OC ＝3，令y ＝0，解得：x ＝﹣3，或x ＝1，∴点B （1，0），OB ＝1，设点P （m ，m 2+2m ﹣3），此时S △POC =12×OC ×|m |=32|m |， S △BOC =12×OB ×OC =32， 由S △POC ＝4S △BOC 得32|m |＝6，解得：m ＝4或m ＝﹣4，m 2+2m ﹣3＝21，或m 2+2m ﹣3＝5，所以点P 的坐标为：（4，21），或（﹣4，5）；（3）如图2，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，把A （﹣3，0），C （0，﹣3）代入得：{0=−3k +b −3=b，解得：{k =−1b =−3， 所以直线AC ：y ＝﹣x ﹣3，设点Q （n ，﹣n ﹣3），点D （n ，n 2+2n ﹣3）所以：DQ ＝﹣n ﹣3﹣（n 2+2n ﹣3）＝﹣n 2﹣3n ＝﹣（n +32）2+94，所以当n =−32时，DQ 有最大值94． 【点睛】此题主要考查二次函数综合问题，会求函数解析式，会根据面积相等建立方程并准确求解，知道运用二次函数可以解决线段最值问题，是解题的关键．【精练7】（2019秋•农安县期末）定义：对于抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b 2＝ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y ＝x 2﹣x +1是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）将黄金抛物线y ＝x 2﹣x +1沿对称轴向下平移3个单位①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②新抛物线如图所示，与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于C ，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．③当直线BC 下方的抛物线上动点P 运动到什么位置时，四边形 OBPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形OBPC 的最大面积．【点拨】（1）直接根据黄金抛物线的定义写一个解析式即可；（2）①根据平移的知识直接写出新抛物线的解析式；②设P 点坐标为（x ，x 2﹣x ﹣2），PP ′交CO 于E ，若四边形POP ′C 是菱形，则有PC ＝PO ，连结PP ′则PE ⊥CO 于E ，P 点的横坐标为﹣1，进而解方程求出x 的值；③过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2﹣x ﹣2），先求出BC 的直线解析式，进而设Q 点的坐标为（x ，x ﹣2），根据S 四边形OBPC ＝S △OBC +S △BPQ +S △CPQ 列出x 的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出满足条件的P 点坐标以及面积最大值．【解答】解：（1）不唯一，例如：y ＝x 2+x +1；（2）①：y ＝x 2﹣x ﹣2；②存在点P ，如图1，使四边形POP ′C 为菱形．设P 点坐标为（x ，x 2﹣x ﹣2），PP ′交CO 于E若四边形POP ′C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP ′则PE ⊥CO 于E ，∴OE ＝EC ＝1，∴y ＝﹣1，∴x 2﹣x ﹣2＝﹣1解得x 1=1+√52，x 2=1−√52（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（1+√52，﹣1）； ③过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2﹣x ﹣2），易得，直线BC 的解析式：y ＝x ﹣2则Q 点的坐标为（x ，x ﹣2）．S 四边形OBPC ＝S △OBC +S △BPQ +S △CPQ=12OB •OC +12QP •OF +12QP •FB =12×2×2+12(−x 2+2x)×2＝﹣（x ﹣1）2+3，当x ＝1时，四边形OBPC 的面积最大此时P 点的坐标为（1，﹣2），四边形OBPC 的面积最大值是3．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及黄金抛物线新定义、菱形的判定与性质、四边形面积的求法等知识，解答此题要掌握黄金抛物线的定义，解答（2）问需要掌握菱形的性质以及分割法求四边形的面积，此题难度不大．。
压轴题05 二次函数中三种线段问题(学生版) 2023-2024学年九年级数学上册培优题型(人教版)
压轴题05 二次函数中三种线段问题目录解题知识必备..............................................................Error! Bookmark not defined.压轴题型讲练 (2)题型一、线段的数量关系 (2)题型二、线段最值问题 (11)题型三、周长最值问题 (20)压轴能力测评（13题） (28)一、线段的数量关系此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；二、线段最值问题此类问题通常有两类：①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；三、周长最值问题此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).题型一、线段的数量关系【例1】．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图1，抛物线2144y x =-+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求 A ，B 两点的坐标和直线BC 的解析式；(2)D 是直线BC 上的点，过点D 作x 轴的平行线，交抛物线于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若3DM DN =，求点D 的横坐标．【变式1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1,0,4,0A B -两点，与y 轴交于点C ．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，交直线BC 于点M ，如果2PQ PM =，求点P 的坐标；(3)点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，如果以点,,,B C D E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B ，与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的表达式．(2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标．(3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】．（23-24九年级上·天津和平·期末）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()30A -,，()3,0B ．已知抛物线254y ax ax =-+（a 为常数，0a ¹），与y 轴相交于点C ，P 为顶点．(1)当抛物线过点A 时，求该抛物线的顶点P 的坐标；(2)若点P 在x 轴上方，当45POB Ð=°时，求a 的值；(3)在（1）的情况下，连接AC ，BC ，点E ，点F 分别是线段CO ，BC 上的动点，且CE BF =，连接AE ，AF ，求AE AF +最小值，并求此时点E 和点F 的坐标．题型二、线段最值问题【例2】．（23-24九年级下·江西吉安·期中）如图，抛物线()21y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0,−3)．(1)求抛物线的对称轴及k 的值；(2)抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点M 是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M 作PM x ^轴交线段AC 于点P ，求出线段PM 长度的最大值．【变式1】．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为4，当32x =时，y 有最大值254：(1)求二次函数的表达式；(2)点P 在对称轴上，当PA PC +的值最小时，求点P 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax 2x c =++与y 轴交于点A (0,3)，与x 轴交于点()1,0B -和点C ，抛物线的顶点为P ．(1)求此抛物线的解析式和顶点P 的坐标；(2)若点D ，E 均在此抛物线上，其横坐标分别为m ，2m （0m >）．且D ，E 两点的纵坐标的差为8．①求m 的值；②将点C 向上平移2m 个单位得到点C ¢，将抛物线沿x 轴向右平移n 个单位得到新抛物线，点D 的对应点为点D ¢，点E 的对应点为点E ¢，顶点P 的对应点为点P ¢，在抛物线平移过程中，求C D C E +¢¢¢¢的最小值，并求出新抛物线的顶点P ¢的坐标．【变式3】．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A (−2,0)和点B (4,0)，与y 轴交于点()0,4C ，作直线BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，已知直线BC 上方抛物线上有一点P ，过点P 作PE y P 轴与BC 交于点E ，过点P 作PF x ∥轴与y 轴交于点F ，求PE PF +的最大值和此时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y 轴交于点D ，已知点M 为新抛物线上的一点，且290ODB MDB Ð+Ð=°，请直接写出所有符合条件的点M 的横坐标．题型三、周长最值问题【例3】．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，抛物线过点O (0,0)，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上．设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可）【变式1】．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于()3,0A -、B (4,0)两点，且OB OC =．(1)求抛物线解析式；(2)点H 是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH 、CH 、AC ，求出当ACH V 的周长最小时点H 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求ABC V 的面积；(2)直线23y x =-与抛物线交于点C 、D ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PBD △的周长最小？如果存在，请求出点P 坐标；如不存在，请说明理由．【变式3】．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x 轴于点()()3,0,1,0A B --，交y 轴于点C (0,−3)(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为P ，求ABP V 的面积(3)点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q ，使QBC △的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()1,0A -，B (4,0)，与y 轴交于点C ，P 为BC 上方抛物线上一动点，过P 作垂直于x 轴的直线l 交线段BC 于点F ．(1)求出二次函数24y ax bx =++和BC 所在直线的表达式；(2)在动直线l 移动的过程中，试求线段PF 长度的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q ，使ABQ V 的面积等于ABC V 的面积，若存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（23-24九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点10,2A æö-ç÷èø，顶点坐标为13,24B æö--ç÷èø．(1)求b ，c 的值；(2)若C 是x 轴上一动点，求ABC V 周长的最小值；(3)m 是抛物线2y x bx c =++与x 轴的交点的横坐标，求5433610322024m m m m m ++++-的值．3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线2()30y ax bx a =++¹与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．已的点A 的坐标是(1,0)-，抛物线的对称轴是直线1x =．(1)求抛物线的解析式，及点B 的坐标；(2)在对称轴上找一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；(3)当1n x n ££+时．最大值为154，直接写出n 的值．4.（23-24九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22=++与x轴交于y ax bx()6,0B两点．交y轴于点C．1,0A-，()(1)求抛物线的表达式；P轴交BC于点E，在y轴上取一点F，使得(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE yEF EC=，求PE CF+的最大值及此时点P坐标；(3)将该抛物线沿射线BC个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点M，使得2Ð=Ð．写出所有符合条件的点M的横坐标．井写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程．BCM OBC5．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=++与直线AB交于点y x bx c()2,0B．A-，()0,2(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，求PC的最大值及此时点P的坐标；V的周长最小，求点N的坐标．(3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使AMN6．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线2y ax 2x c =++经过点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上，过点P 作PQ y ∥轴交AC 于点Q ，连接PA ，PC ，设点P 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)求线段PQ 长度的最大值．7．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过()()3,0,0,3B C -两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE CE +的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使BPC V 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ¹经过点A (−4,0)、()2,0B ，交y 轴于点80,3C æö-ç÷èø．D 为抛物线在第三象限部分上的一点，作DE x ^轴于点E ，交线段AC 于点F ，连接AD ．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；(3)若线段AF 把ADE V 分成面积比为1:2的两部分，求此时点E 的坐标．9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于()4,0A ，B 两点，交y 轴于点4(0)C ，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 过点P 作y 轴的平行线交AC 于点E ，过点P 作AC 的平行线交x轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线y 沿射线CA 方向平移1y ，点G 是新抛物线1y 的顶点，点M 为新抛物线1y 的对称轴上一点，在平面内确定一点N ，使得以点C ，G ，M ，N 为顶点的四边形是以MG 为边的菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．10．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2142y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．(1)求ABC V 的面积；(2)点P 是直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PE x ^轴于点E ，交AC 于点D ，求PD AD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移4个单位，向下平移4.5个单位，点M 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点N ，点Q 为平移后的抛物线对称轴上任意一点．写出所有使得以QM 为腰的QMN V 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．11．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为()0,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)当点M 是抛物线对称轴l 上的一个动点时，求当MB MC +最小时，点M 的坐标；(3)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求ADC △面积的最大值．12．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点A (−2,0)和()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点P ，使点P 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是OA 的中点，点N 是抛物线上一点，其横坐标为t ，试探究是否存在点N ，使45NMC Ð=°？若存在，求出t 的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由．13．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++过点(2,3)，与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD x ^轴于点D ，交BC 于点E ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PE 取得最大值时，将该抛物线沿射线AC P 的对应点为点N ，点Q 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H ，使得以点P ，N ，Q ，H 为顶点的四边形是菱形，且线段PN 是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点H 的坐标．。
二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
九年级上册二次函数最值压轴题
二次函数的最值（1）——关于代数与应用【知识点归纳总结】1．顶点式：）（）（）（04422222≠+-=-++=++=a k h x a ab ac a b x a c bx ax y 顶点坐标：（a b2-，ab ac 442-）或者（h ，k ）对称轴：abx 2-=， 最大（小）值：a b ac y 442-=（1）若x 是全体实数，则函数y 在顶点处取得最大值（或最小值）．（2）若21x x x ≤≤，且顶点在21x x x ≤≤内，则当ab x 2-=，a b ac y 442-=最值，若顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；2．利润最值问题：利润=（销售价－成本价）×销售量【典型例题】例1 求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值． （2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例3 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【针对练习】1．二次函数322-+-=x x y ，当x= 时，y 有最 值，这个值是 ．2．二次函数322-+-=x x y ，若-1≤x ≤2，则当x= 时，y 最小值为 ；x= 时，y 最大值为 ． 3．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？4．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价多少元，才能获得最大利润？5．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？6．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ． (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?7．厦门市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)与销售单价x (元)(30 x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．【课堂检测】 1．二次函数1212-+=x x y ，当x= 时，y 有最 值，这个值是 ． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个)，此类函数都有 _值(填“最大”“最小”)． 3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_ (填“有解”或“无解”) 4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 ．5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面 m ．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差 米．7．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为 ，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．8．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克）…25 24 23 22 …销售量y（千克）…2000 2500 3000 3500 …（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？9．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？10．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？。
压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国
2023年中考数学压轴题专项训练压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题例1．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，3）．①求顶点坐标；②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为；（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．例2．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．例3．（2023春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t﹣1＜x1＜t且t+1＜x2＜t+2时，存在y1＝y2，求t的取值范围．例4．（2023春•柯桥区月考）如图，已知二次函数y＝x2+ax+a+1的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值．②当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象直接写出m的值．1．（2023•深圳模拟）对于“已知x+y＝1，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的：∵x+y＝1，∴y＝1﹣x，∴xy=x(1−x)=x−x2=−(x−12)2+14；∴xy≤14，所以xy的最大值为14．请你按照这种方法计算：当2n+m＝4（m＞0，n＞0）时，2m +1n的最小值．2．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．3．（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．（1）求b、c的值；（2）当3≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．4．（2023•来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；（2）若a＝b﹣2．①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．5．（2023•北仑区一模）抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），B（m，n）．（1）求t的值；（2）若n＜5，求m的取值范围．6．（2023•秦皇岛一模）已知y ＝ax 2+bx +c 过点A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1，关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若B 点在直线x ＝1的左侧，C 点在直线x ＝1的右侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围；（3）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小．7．（2022•无为市三模）已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过点A （1，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3），连接AB 、BC ，令AB BC =λ．（1）若a ＞0，h ＝2，求λ的值；（2）若h ＝1，λ=√55，求a 的值．8．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy 中，点（﹣1，y 1）、（1，y 2）、（3，y 3）是抛物线y ＝x 2+bx +1上三个点．（1）直接写出抛物线与y 轴的交点坐标；（2）当y 1＝y 3时，求b 的值；（3）当y 3＞y 1＞1＞y 2时，求b 的取值范围．9．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．10．（2022•海淀区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C （1，y3），D（3，y4）四点．（1）求二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，请直接判断y1y4的正负性，即y1y40（填“＞”或“＜”）；（3）若y3＞y2＞y4，求t的取值范围并判断y1，y2的大小关系．11．（2021•西湖区校级二模）已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）．（1）求b的值；（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）均在该函数图象上，①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．12．（2021•安徽二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求a，b的值；（2）点P为二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上一动点，且位于第一象限，设△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，记w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．13．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM ＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为y N．（1）求顶点C的坐标．（2）①若n＝3，求MB的值．②当0＜n≤4时，求y N的取值范围．14．（2022•香洲区校级三模）直线y=−12x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．＜0）上．（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线有交点，直接写出点A'的横坐标x的取值范围．16．（2022•博望区校级一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．（1）求a的值；（2）若点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．17．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），（1）求二次函数对称轴；（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．19．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x2，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．。