24.1.1圆的概念
24.1.1圆的概念
2、下列说法中正确的是（ ） （A）四边形的四个顶点都在同一个圆上 （B）菱形的四个顶点在同一个圆上 （C）矩形的四个顶点在同一个圆上 （D）平行四边形的四个顶点在同一个圆上
3、如图，⊙O中， 点A、O、D以及点B、 B O、C分别在一条直 线上，图中弦的条 数为（ ）。 A A、2 B、3 C、4 D、5
一、认真填一填
1、填空： （1）根据圆的定义，“圆”指的是 ， 而不是 。（填“圆周”或“圆面”） （2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需 条件，圆心决定圆的 ，半径决定圆 的 ，二者缺一不可。
（3） 是
是圆中最长的弦，它 的2倍。
（4）如图，图中有 条直径， 条非直径的弦，圆中以A为一个端点 的优弧有 条，劣弧有 条。
4、已知圆外一点，到圆上的最大距离 是15cm，到圆上的最小距离是7cm， 求这个圆的半径。
5、下图所示，图中有 条直径， 条弦，以A点为一个端点的优 弧有 条，劣弧有 条。
6、⊙O的半径为2.5cm，A为圆上一 定点，P在⊙O上沿圆周运动(不与A 重合)，则弦AP的长度为整数值的有 个，这样的弦共有 条。 P
5 、 如图 , 一根 5m 长的绳 子,一端栓在 柱子上,另一 端栓着一只羊 , 请画出羊的活 动区域.
5
5m 4m
o
5m
4m
o
正确答案
结束寄语
如果用小圆代表你们学到的知识，用大
圆代表我学到的知识，那么大圆的面积 是多一点，但两圆之外的空白都是我们 的无知面，圆越大其周围接触的无知面 就越多。希望同学们努力学习，掌握更 多的知识。 祝同学们学习进步，学有所成!
AC
C
在圆中有长度不等的弦，
直径是圆中最长的弦。
⌒ BC ⌒ AB 6.如图,劣弧有:______________
24.1.1圆的有关概念(教案)
5.在总结回顾环节，学生对本节课的知识点掌握得较好，但仍有一些疑问。这说明我在教学中可能还存在一些不足，需要进一步优化教学方法，提高教学效果。
2.强化学生的逻辑思维和推理能力，通过分析圆与直线、圆与圆之间的位置关系，提升解决问题的策略和方法；
3.培养学生的数学运算能力，熟练掌握圆的周长和面积计算公式，并能应用于解决实际问题；
4.培养学生的数据分析观念，通过对圆的相关实例和练习的探讨，让学生学会从数学角度分析、提炼和解决问题；
5.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论和分享，提高学生团队协作和表达自己观点的能力。
5.圆的内接四边形、圆的内切四边形及其性质。
本节课我们将结合教材内容，通过实例和练习，使学生对圆的概念有更深入的理解，并提高他们在实际应用中解决问题的能力。
二、核心素养目标
24.1.1圆的有关概念：
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过探究圆的基本概念，使学生能够理解和运用圆的相关性质，形成对圆的准确认知；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三、教学难点与重点
人教版数学九年级上册 24.1.1 圆课件
变式 如 图 ，AB 为⊙0的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD
的延长线交于点E, 已知AB=2DE, ∠AEC=20°.
求∠AOC 的度数.
解：如图，连接OD.
∵AB=2DE,AB=2OD,
∴0D=DE.
O
∴∠DOE=∠E=20°.
○
∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°.
0C=OD,
∴∠C=∠ODC=40°. ∴∠AOC=∠C+∠E=60°.
⑩等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合 的弧叫做等弧.
想一想 ：长度相等的弧是等弧吗? 如图，如果AB和CD的拉直长度都是10 cm, 平移并调 整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合?
可见这两条弧不可能完全重合 实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
∴A、B、C、D 在以0为圆心，以OA 为半径的圆上。
二.圆的有关概念
0弦：
连接圆上任意两点的线段(如图中的 AC) 叫做弦. 经过圆心的弦(如图中的AB) 叫做直径。
注 意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长 的弦，但弦不一定是直径.
探索：圆中最长的弦是什么?为什么?
3.如图，AB 是⊙0的直径，点C 、D在⊙0上，且点C 、D 在AB 的异侧，连接AD、OD、OC. 若∠AOC=70°, 且 AD//OC, 求∠AOD 的度数.
解：∵AD//OC,
∴∠AOC=∠DAO=70°。 又∵OD=OA, ∴∠ADO=∠DAO=70°.
∴∠AOD=180-70°-70°=40°
当堂练习 1.填空： ( 1)直径 是圆中最长的弦，它是 半径 的2倍. (2)图中有 一 条直径， 二 条非直径的弦，圆 中以A为一个端点的圆弧中，优弧有 四条，
24.1.1确定圆的条件(1)三点定圆
比一比，赛一赛
分别画出锐角三角形、钝角三角形、 直角三角形的外接圆。看看它们的外 心有什么不同？
三角形与圆的位置关系
A
驶向胜利 的彼岸
• 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外 接圆,并说明与它们外心的位置情况
A
●
A
●
O C
O
●
O C
B
B
┐
四边形与圆的位置关系
驶向胜利 的彼岸
• 如果四边形的四个顶点在一个圆, A 这圆叫做四边形的外接圆.这个 四边形叫做圆的内接四边形. 我们可以证明圆内接四边的两个 O 重要性质: B 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形对的一个外角等 于它的内对角. 3.对角互补的四边形内接于圆.
.
点在圆外
d＞r
C
添图：
点与圆的位 置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内
图形
圆心到点的距离d 与半径r的关系
添图：
点与圆的位 置关系 A 点在圆外 A 点在圆上 A 点在圆内 d<r
定义（二）：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 定点叫做圆心，定长叫做半径。
以O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆 O”
圆的内部
O P
A
圆的内部可以看作到圆心的距离小于半 径的点的集合。
圆的外部
P
O
A
●
E
C D
●
三点定圆
驶向胜利 的彼岸
• 定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆. • 在上面的作图过程中. F A ∵直线DE和FG只有一个交点O,并 E 且点O到A,B,C三个点的距离相等,
24.1.1圆的定义与相关概念
24.1.1圆的定义及有关概念 一、学习目标1、探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别；2、体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系二、自学指导问题一：你接触过圆吗？生活中哪些物品是圆形的呢？你知道有关于圆的哪些知识呢?总结：（1）圆的描述性定义：在一个平面内，线段绕它的固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆.固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O”.说明：“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．（2）圆的集合性定义: 圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合.问题二：等圆和同心圆等圆：半径相等的圆叫做等圆同心圆：圆心相同半径不等的圆叫做同心圆问题三：弦、弧、直径弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A 、B 为端点的弧记作AB ,读作“圆弧AB ”或“弧AB ”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的ABC ；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如上图中的BC ．三、互动研讨：☆☆1. 如图，请用正确的方式表示出以点A 为端点的优弧及劣弧.FE DC B AO IA B C O☆☆☆2.矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，求证：A 、B 、C 、D 四个点都在以点O 为圆心的圆上.☆☆3.如下图所示，回答问题：（1）请写出图中所有的弦；（2）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；（3）若∠ABC=30°，你能求出哪些角的度数？四、课堂练习：☆☆4. 判断：（1）直径是弦. （ ）（2）弦是直径. （ ）（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆.（ ）（4）半径相等的两个半圆是等弧. （ ）☆☆5.下列说法中，结论错误的是（ ）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧☆☆☆6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C =15°,则∠BOC的度数为（ ）A ．15° B. 30° C. 45° D ．60° ☆☆☆7. 平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6 cm ，最短为2 cm ，则⊙O 的半径为 ．☆☆☆8. 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，点P 是OB 上的任一点（不与O 、B 两点重合），CD 、EF 是过点P 的两条弦，则图中的弦和以点B 为端点的劣弧分别有（ ） A.3条，4个 B.4条，4个 C.5条，5个 D.5条，6个 A B C D E F P O。
圆的概念(优秀)ppt课件
14
等弧
E
F
· O1
B A
· O2
D C
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 等弧。
15
同心圆
• 同心圆：圆心相同而半径不等的两个圆或多个圆。
超级链接：一石激起千层浪.sw1f6
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧；(
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
2
3
乐在其中 一石激起千层浪
祥子
4
超级链接： 画 圆.swf
5
动态定义
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
A
固定的端点O叫做圆心
r
O·
线段OA的长度叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”．
6
B
rr A
· 从画圆的过程可以看出什么呢？
⌒BAC
你知道优弧与劣弧的区别么？
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
20
练一练
1、 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮, 可以很清楚的看出树木生长的年龄,如果一 棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这
棵红杉树的半径每年增加多少?. 解:
23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增 加0.575cm
与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段（如图
AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
C A
11
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称
弧．以A、B为端点的弧记作 ⌒AB ，读作 “圆弧AB”或“弧AB”．
人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点总结
第二十四章 圆24.1 圆24.1.1 圆知识点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。
固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
24.1.2 垂直于弦的直径知识点一 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二 垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，AM=BM垂足为M AC=BCAD=BDD垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，CD⊥ABAM=BM AC=BCAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
24.1.1圆的概念(优秀课件)知识讲稿
O
拓展：
D
B
你还能得出哪些结论？
1.如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm.
(21)若以以点点A为A为圆圆心心，作4c⊙m为A，半使径B作、⊙C、A，D三则点中 至点少 B、有C一、点D与在⊙圆A内的，位且置至关少系有如一何点？在圆外， 则⊙A的半径r的取值范围是什么？
A
D
B
C
3.若点P到圆上一点的最小距离是4cm， 最大距离是9cm，则此圆的半径为 .
O
P
平面内到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形——圆
议一议、说一说
车轮为什么做成圆形的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中 心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车 轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离 保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶 时，坐车的人会感到非常平稳，这就是车轮 都做成圆形的数学道路。圆上的点到圆心的 距离是一个定值（半径）
（2）以点O为圆心的圆， 记作“⊙O ”，读作“圆O ”．
确定一个圆的要素:
一是圆心 圆心确定其位置， 二是半径 半径确定其大小．
O
A
问题1：圆上各点到圆心O的距离有什么关系？ (1)圆上各点到圆心O的距离都等于半径r
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
二、与圆有关的概念
6.能够重合的两个圆是等圆. 同圆或等圆的半径相等.
7.在同圆或等圆中，能够互相重合的 弧叫做等弧。
练习1.判断下列说法的正误
(1)弦是直径；( ) (2)半圆是弧；( ) (3)过圆心的线段是直径；( ) (4)过圆心的直线是直径；( ) (5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆( )
圆的定义和有关概念
24.1.1 圆的定义和有关概念一、探究新知：圆的定义和有关概念（一）做一做：（1）用棉线和铅笔画圆； (2)用圆规画圆 ；①以定长O 为圆心画圆；②以定长r 为半径画圆； ③以定长O 为圆心，以定长r 为半径画圆. 提问：①以定长O 为圆心能画几个圆？②以定长r 为半径能画几个圆？③以定长O 为圆心，以定长r 为半径能画几个圆？（二）圆的定义(1) 圆的旋转定义：在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做 ,其固定的端点O 叫做 ，线段OA 叫做 .(2) 圆的集合定义:所有到定点的距离等于定长的点的集合组成的图形叫作 ． 1. 圆上各点到 的距离都等于 ；2. 到定点的距离等于定长的点都在 ．（注意：圆指的是圆周而不是圆面）3. 确定一个圆的要素：一是 ，二是 ，因此， 确定圆的位置， 确定圆的大小.4. 圆的表示方法：以O 为圆心的圆，记作“______”，读作“______”. （三）例题分析：例题1 矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O.求证：ABCD 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.(四)圆的有关概念(1) 弦和直径：连接圆上任意 叫做弦， 叫做直径，（如OBCDA图2B图1） 是弦， 是直径.(2) 弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，（简称） ；以A 、B 为端点的弧记作 ，读作 ， 1. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 ； 2. 优弧： ，（如图1）记作 ，读作 ； 3. 劣弧： ，（如图1）记作 ，读作 ；(3) 等圆和等弧：能够重合的两个圆，叫做 ；（注意： 的两个圆是等圆，反之，同圆和等圆的半径 ）；在 中，能够相互 的弧，叫做 . (4) 圆的对称性：圆是 对称图形，是 对称图形，是 对称图形. 五． 达标练习：(1) 如图1，填空：圆可表示为 ；半径是 ，直径是 .AB=5cm ，OB= cm ；弦有 ，最长的弦是 ；圆上点B 和点C 之间的部分表示为 ；劣弧有，优弧有(2) 如图3(3) 在O (4) 判断正误：（对的打√，错的打×）①弦是直径（ ） ②半圆是弧（ ） ③半径相等的两个圆是等圆（ ）④直径是最长的弦（ ）⑤半圆是最长的弧（ ） ⑥长度相等的弧是等弧（ ） (5) 下列说法正确的是（ ）A. 平行四边形的四个顶点在同一个圆上B. 菱形的四个顶点在同一个圆上C. 梯形的四个顶点在同一个圆上D. 正方形的四个顶点在同一个圆上.6. 如图，在Rt ∆ABC 中和Rt ∆ABD 中，∠C=90°，∠D=90°，点O 是AB 的中点.求证：A 、A 图3B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.。
24.1 圆的有关性质 人教版九年级数学上册素养基础达标(含答案)
24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册圆的旋转定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示．圆的表示法以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；圆的集合定义圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )的点的集合．结论(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长（半径r ）．(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．数学语言（1）∵点A 、B 在圆上∴OA =OB （2）∵OA =OB∴点A 、B 在圆上2.圆的有关概念定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径弦注意：1.弦和直径都是线段；2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.直径是最长的弦定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。
以A 、B 为端点的弧记作读作“圆弧AB ”或“弧AB ”.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧小于半圆的弧叫做劣弧,如弧优弧大于半圆的弧叫做优弧，如等圆定义;能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧注意：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.3.垂直于弦的直径圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对轴.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理数学语言：∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，(条件)∴AP =BP ，(结论)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论数学语言：∵CD是⊙O的直径，AP=BP ，AB 不是直径(条件)∴CD ⊥AB ，(结论)弓形中的重要数量关系弦长a ，弦心距d （指圆心O 到弦的距离），弓形高h ，半径r 之间有以下关系：d +h =r ,4.圆心角、弧、弦圆是中心对称图形圆是旋转对称图形，具有旋转不变性圆心角定义顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．弧、弦与圆心角的关系定理数学语言：∵∠AOB =∠COD∴，AB =CD推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．数学语言：∵∴∠AOB =∠COD ，AB =CD 弧、弦与圆心角关系定理的推论推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．∵AB =CD∴∠AOB =∠COD ，（优弧或劣弧）注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.5.圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即：圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角定理的推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补.∠A +∠C =180°，∠B +∠D =180°一．选择题（共10小题）1．如图，是半圆的直径，是的中点，若，则的度数是 A ．B ．C ．D ．2．如图，中，为优弧上一个动点（不与，两点重合），，垂足为，是的中点，连接．若的半径为4，则线段的最大值是 A ．4B ．C ．6D ．83．如图，中，，，则的度数为A．B．C．D．4．如图，中，弦，相交于点，若，，则等于 A．B．C．D．5．如图，点，，，是上的点，是的直径，若，则的度数为 A．B．C．D．6．如图，是半圆的直径，，在半圆上．若，则的度数为 A．B．C．D．7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为 A．B．C．D．8．如图，四边形内接于，对角线于点，若的长与的半径相等，则下列等式正确的是 A．B．C．D．9．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于，两点．点，的度数是，，这样小明就能得到的度数，请你帮忙算算的度数是 A．B．C．D．10．如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是 A．或B．C．D．二．填空题（共8小题）11．如图，量角器外沿上有、两点，它们的读数分别是、，则的度数为 ．12．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．13．如图，的弦垂直平分半径，若，则的半径为 ．14．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为 ．15．如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是 ．16．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为 ．17．如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 ．18．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为 ．三．解答题（共8小题）19．如图，中，弦与相交于点，，连接，．求证：（1）；（2）．20．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）21．如图，在中，弦、相交于点，，，求的度数．22．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．23．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．24．已知线段、为的弦，且，求证：．25．如图，点、、、、都在上，平分，且，求证：．26．如图，、、、在上，，，求的周长．24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册圆的旋转定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示．圆的表示法以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；圆的集合定义圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )的点的集合．结论(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长（半径r ）．(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．数学语言（1）∵点A 、B 在圆上∴OA =OB（2）∵OA =OB ∴点A 、B 在圆上2.圆的有关概念定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
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A
4.如图,①半径有:
OA、OB、OC B ②若∠AOB=60°，则 △AOB 是 三角形. 等边 ③弦有: AB、BC、AC ④弧有 条，分别是： _
O
●
C
5.如图,矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：A，B，C，D四点在以点O为圆心是同一 个圆上
A D
B
C
1.过圆上一点可以作圆的最长弦有( A )条. A. 1 B. 2 C. 3 D.无数条 2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm, 7或 3 则这个圆的半径是______cm. 1 条直径,____ 2 条非直径的弦,圆中以A为一个 3.图中有____ 4 条,优弧有____ 4 条. 端点的劣弧有____ 4.如图, ⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线 2 。 上，图中弦的条数为_____ 5.CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B, 24° 且AB=OC,则∠A=_______.
祥子
课件说明
• 学习目标： 了解圆的定义，结合图形认识弧，优弧，劣 弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧等有关概 念； •，线段OP 绕它固定的一个端 点O 旋转一周，另一个端点P 所形成的图形叫 做圆． 固定的端点O 叫做圆心 线段OP 叫做半径 以点O为圆心的圆，记作 “⊙O ”，读作“圆 O ”． 根据圆的定义，“圆”指的是 圆周 曲线 “ ”，是一条 ，而不是“圆 面”。
能力提高
第5题
6、如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧 及劣弧.
B
I
D F A O
E C
ACD, ACF , ADE, ADC.
AC, AE, AF , AD.
练一练
8 、 如图 , 一根 5m 长的绳 子,一端栓在 柱子上,另一 端栓着一只牛 , 请画出牛的活 动区域.
5
5m 4m
o
5m
B
O
O
·
B
A
·
A
劣弧与优弧
⌒ 小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（必须用三个字母表示， 如图中的 ABC ）叫做优弧.
B O
⌒
AB与ACB都是弦AB 所对弧， 弦AB所对的弧有：
由弦及其所对 的弧组成的图 形叫弓形。
·
C
A
弧有三类，分 别是优弧、劣 弧、半圆。
等圆
能够重合的两个圆是等圆。 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；
圆上的点到圆心的距离是一个定值。
与圆有关的概念
弦
（1）连接圆上任意两点的线段（如图 线段AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B O
直径是圆中最长的弦。
·
C
A
弧
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 弧．以A、B为端点的弧记作 ⌒ AB ，读作“圆 弧AB ”或“弧AB ”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成 两条弧，每一条弧都叫做半圆．
反过来，同圆或等圆的半径相等。
等弧
E O1
F
·
B C
O2
·
D
A
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
同心圆 • 同心圆：圆心相同、半径不等的两个圆或多 个圆。
1、想一想
判断下列说法的正误：
)
)
(1)半径是弦；( (2)半圆是弧；
(
(3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径；( (5)半圆是最长的弧；(
数学九年级上册
圆是一种基本的几何图形， 圆形物体在生活中随处可见。 圆也是一种和谐、美丽的图形，无 论从哪个角度看，它都具有同一形状。 十五的满月、圆圆的月饼都象征着圆满、 团圆、和谐。 古希腊的数学家毕达 哥拉斯认为：“一切立体图 形中最美的是球，一切平面 图形中最美的是圆”。
乐在其中 一石激起千层浪
4m
o
正确答案
一是圆心， 二是半径．
圆心确定其位置， 半径确定其大小．
议一议、说一说
1、车轮为什么做成圆形的？ 如果车轮做 成三角形或正方形的，坐车的人会是什么 感觉？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中 心（圆心）的距离都等于车轮的半径，
当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平 面的距离保持不变， 因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐 车的人会感到非常平稳，这就是车轮都做成 圆形的数学道路。
( )
) )
(6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;( (8)半径相等的两个圆是等圆.( (9)长度相等的弧是等弧.( ) )
)
2、圆中最长的弦长为12cm,则该圆的半径 为 6cm 。
3、下列说法错误的有（ A ）个 ①经过P点的圆有无数个。 ②以P为圆心的圆有无数个。 ③半径为3cm且经过P点的圆有无数个。 ④以P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
量一量：圆上任意一点到圆心的距离相等吗？
B r r C O r r A
1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等 于定长（半径r）
·r
E
反过来，平面内到O的距离等于 OA的长的点都在圆上吗？ 2.线段 到定点（圆心 O）的距离都等于定 长（半径r）的点都在同一个圆上。
D
圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点的距 离等于定长r的点的集合。 确定一个圆的两个要素: