上海市虹口区2021届高三上学期一模数学试卷及答案解析2020.12
2020-2021上海虹口实验学校高三数学上期末第一次模拟试卷带答案
2020-2021上海虹口实验学校高三数学上期末第一次模拟试卷带答案一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n =C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1765．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D16．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD7．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 8．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4019．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．610．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-11．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．112．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32二、填空题13．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.14．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．15．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为__________．16．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________． 17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
2021届虹口区高三一模数学答案
的大小．…………3 分
MN 1 PA2 AC 2 2 ， BM BN 32 1 10 3
1 MN cos BMN 2
2 5 , BMN arccos 5 ……6 分
BM 2 10 10
10
所以异面直线 BM 和 PC 所成的角的大小等于 arccos 5 ．………………7 分 10
(2)n 3
1 12
，
n
log 2
3
1 12
,得
n
6.13 ,即
n
7
时，
dn 6 .………………17 分
所以 d1 d2 d2020 2 3 4 3(5 5 5) 2014 6 12108 …………18 分
高三数学解答 本解答共 4 页 第 4 页
P
北
2159 27
27
A·
（2）由条件①，得
PA PB
50 30
5 3
，可设
PA
5t,
PB
3t
，其中
2
t
8 ……8
分
居民生活区
· B
cos APB
(5t)2 (3t)2 162 25t 3t
17t2 128 15t 2
, sin APB
17t2 128 2
1
15t 2
……10
分
12则1S6PABh
公众号：择优生涯
虹口区 2020 学年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试题答案
一、填空题（1～6 题每小题 4 分，7～12 题每小题 5 分，本大题满分 54 分）
1、 (3,2) ； 2、 1 i ；
3、1；
4、6；
5、 1 ； 6、112； 6
2020年上海市虹口区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)
（第10题图）2020年上海市虹口区高三一模数学试卷（含答案）（精校Word 版）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++则5________.a =8. 设1()fx -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角 板拼在一起，则OD AB ⋅=_________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.AA参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 33AA =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因 (10)分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC == ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π......4分 （2）由于1(0,0,2)OO =是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-, (6)分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111(1,sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅ 于是，直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为arcsin…… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故1212221,.44y y y y m m +=-=-++从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以3),OQ m=-于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而23()).F R m==-由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-故2.F R l⊥……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅= (12)分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-=或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=-- 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++ 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
2020年上海市虹口区高考数学一模试卷试题及答案
2020年上海市虹口区高三高考数学一模试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设全集U R =，若21{|1}x A x x-=>，则U A =ð ． 2．设复数3(1ii i-+为虚数单位），则||z = ． 3．设x R +∈，则21x x ++最小值为 ． 4．若sin 2cos 02cos 1x xx =，则锐角x = ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = ． 6．抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为 ． 7．设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则5a = ．8．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 ． 9．已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n ⊥；②//n α；③m α⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）: ．10的直角三角板拼在一起，则OD AB = ．11．如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B =，则双曲线C 的焦距12||F F 为 ．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当(0x ∈，2]时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x …在(x ∈-∞，]a 上恒成立，则实数a 的最大值为 ． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“24x <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0，]2π上为增函数，则θ的一个值可以是( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．23π-15．已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A ．13B ．12C ．23D ．34三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．18．如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求：（1）异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OA C -的体积．19．某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1（单位：件），已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数）． （1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．20．（16分）已知两点1(F ，0)、2F ，0)，设圆22:4O x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点． （1）求轨迹Γ的方程；（2）设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =相交于点R ，求证：2F R l ⊥； （3）记ABM ∆、ABN ∆面积分别为1S 、2S ，求12||S S -的最大值及此时直线l 的方程．21．（18分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列．（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =++⋯⋯+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设全集U R =，若21{|1}x A x x-=>，则U A =ð {|01}x x 剟． 解：全集U R =，若21{|1}x A x x-=>， 所以211x x ->，整理得10x x->，解得1x >或0x <， 所以{|01}U A x x =剟ð． 故答案为：{|01}x x 剟．2．设复数3(1ii i-+为虚数单位），则||z ．解：复数3(1iz i i-=+为虚数单位），则|3||||1|i z i -===+．．3．设x R +∈，则21x x ++最小值为 1- ．解：设x R +∈，则22111)1111(1)x x x x x +=++--=-+++…，当且仅当2(1)2x +=，即1x =时，等号成立．故答案为：1． 4．若sin 2cos 02cos 1x x x =，则锐角x4． 解：由于sin 2cos 02cos 1x xx =，所以22cos sin 20x x -=，由于x 为锐角，所以sin cos x x =，解得4x π=．故答案为：4π5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = 23n - ． 解：设首项为1a ，公差为d 等差数列{}n a 的前n 项和n S ， 若2712a a +=，48S =， 则27141271234482a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，所以12(1)23n a n n =-+-=-， 故答案为：23n -6．抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为 1 ．解：抛物线26x y =的焦点为3(0,)2，所以点3(0,)2到直线3410x y +-=的距离515d ===． 故答案为：1．7．设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则5a = 36 ． 解：利用6(1)x -二项式的展开式：616(1)r r r r T C x -+=-， 令2r =时，得6(1)x -展开式中含4x 的系数，即2615C =，令1r =时，得6(1)x -展开式含5x 的系数，即16(1)6C -=-． 所以621)(1)x x --=展开式中5x 的系数为215(1(6)36⨯+-⨯-=． 故答案为：36．8．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 1 ． 解：1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数， 设1()2()y f x f x -==，函数过(,)x y ，反函数过(,)2yx ，所以()f x 同时过(,)x y ，(2y，)x ，代入2122(41)(4)x yy log x log -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得241221y x x y ⎧=-⎨=-⎩，所以1x =， 故答案为：19．已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n⊥；②//nα；③mα⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）:若②③则①．解：已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n⊥；②//nα；③mα⊥；当mα⊥时，m必垂直于平面α内的任意一条直线，由于//nα，所以m n⊥，如图所示故答案为：若②③则①．10的直角三角板拼在一起，则OD AB=1-．解：以O为原点，OA、OB分别为x、y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：(0,0)O，(1,0)A，(0,1)B，D点横坐标的求法：11Dx==，纵坐标：Dy==，∴33(1,)(1,1)1 OD AB=+-=-．故答案为：1-．11．如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B =，则双曲线C 的焦距12||F F 为解：设(A m ，)(0)mm a>，2(,0)F c ， 由中点坐标公式可得，2(2,)mB m c a-， 代入渐近线方程x y a =-，得21(2)m m c a a =--，得4c m =． 由120F B F B =，得22221(2,)(2,)(1)0m m m m c m mc a a a-=+-=， 将4c m =代入，得2221(1)0164c c a +-=，得213a =，∴212||221F F c a ==+=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当(0x ∈，2]时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x …在(x ∈-∞，]a 上恒成立，则实数a 的最大值为 4． 解：利用转点法，设015(,)2A x ，在[6x ∈，8]上，则015(2,)4x -在[4x ∈，6]上， 015(4,)8x -在[2x ∈，4]上，015(6,)16x -在[0x ∈，2]上，即()(2)f x x x =-过015(6,)16x -， 所以0015(6)(8)16x x --=，解得0274x =． 故答案为：274． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“24x <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：|1|102x x -<⇔<<， 2422x x <⇔-<<， (0，2)(2-Ü，2)，∴ “|1|1x -<”是“24x <”的充分不必要条件，故选：A ．14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0，]2π上为增函数，则θ的一个值可以是( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．23π-解：根据题意，())cos(2)f x x x ϕϕ=+++，1)cos(2)]2x x ϕϕ=+++， 2sin(2)6x πϕ=++，若()f x 为偶函数，则有162k πϕππ+=+，即13k ϕππ=+，k Z ∈， 结合选项可知，当1k =-时，23πϕ=-，1()2sin(2)2cos 22f x x x π=-=-满足偶函数且在[0，]2π上为增函数，满足题意．故选：D ．15．已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．2解：若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立， 则函数()F x 关于1x =对称，作出函数()f x 的图象， 则()f x 关于2x =-对称，由()F x 的对应值则()g x 关于x t =-对称， 即212t--=，得22t --=， 得4t =-， 即t 的值为4-， 故选：A ．16．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解：正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，根据几何体的对称性，重叠部分的体积为，大正四面体的体积减去4个尖端的小棱锥的体积(4个体积相等）， 其中每个小锥体积为18．所以公共部分的体积为11482⨯=．故选：B ．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．解：（1）在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，所以角A 为钝角，由22sin cos 1A A +=，解得sin A =利用正弦定理的应用sin sin a b A B =，解得sin B =，所以4B π=． （2）根据（1）的结论，1sin sin()sin cos cos sin ()3C A B A B A B =+=+=-=．所以11sin 861622ABC S ab C ∆==⨯⨯=-，由于1116822ah h =-=⨯⨯，解得4h =-，故BC 边上的高为4．18．如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求： （1）异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OA C -的体积．解：（1）作11//OD O C ，以O 为原点，OD 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴， 如图所示：所以求出各点的坐标为(0O ，0，0)，(0C ，1，1)，1(0A ，1-，2)，1(1C ，0，2)． 则(0,1,1)OC =，11(1,1,0)A C =．异面直线OC 和11A C 的夹角为11111cos 2||||2OC A C OC A C θ===． 所以异面直线OC 与11A C 所成角的大小为3π．（2）根据图形1(1,1,1)CC =-，底面的法向量为(0,0,1)n =． 所以线面的夹角为111sin cos ,||||31CC nCC n CC n θ=<>===⨯． 所以直线1CC 与底面的夹角为 （3）锥体的体积11113COA C OA CV Sh -=⨯⨯，在△1OA C中，OC =，1OA =1A C = 所以等腰三角形的面积为11322OA CS==．棱锥的高即为1C 到底面1OA C 的距离1h =， 所以三棱锥11C OA C -的体积为1311322⨯⨯=．19．某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1（单位：件），已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数）． （1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．解：（1）依题意：生产乙部件的人数为kx ，生产丙部件的人数为(200)x kx ---，甲部件的数量为300026000⨯=．． 所以生产时间为6000010006x x=，同理生产乙部件的数量为300026000⨯=，生产时间为600020003kx kx=-， 丙部件数量为300013000⨯=，生产时间为300015002(200)200x kx x kx=-----．（2）依题意，在（1）的基础上同时开工，求最短时间，由于2k …，所以比较甲、乙的时间得：10002000x kx…（甲部件的生产时间长）， 所以完成订单任务时间由甲和丙部件中较长的决定． ①当10001500200x x kx --…时，得到40025x k +…， 此时，完成订单时间为1000x ，当40025x k =+时，取最小值． ②当10001500200x x kx --…，得到40025x k +…．此时，完成订单时间为1500200x kx --，当40025x k =+时，取最小值．当2k =时，4009x …，当45x =时，此时的订单时间为150030023.08200459013==--．由于22073230.8<，所以①中计算结果耗时最短． 综上所述，当2k =时，44x =时完成订单时间最短． 此时，生产甲、乙、丙部件的人数为44，88，68人．20．（16分）已知两点1(F ，0)、2F ，0)，设圆22:4O x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点． （1）求轨迹Γ的方程；（2）设线段MN 的中点为Q ，直线OQ与直线x =相交于点R ，求证：2F R l ⊥； （3）记ABM ∆、ABN ∆面积分别为1S 、2S ，求12||S S -的最大值及此时直线l 的方程．解：（1）依题意：设2||PF 的中点为C ，切点为T ，由图可知OC 为△12F PF 的中位线，所以122||||2||2||224PF PF OC CF +=+=⨯=>， 所以点P 的轨迹为椭圆，所以2a =，c =，1b =．所以方程为2214x y +=．证明：（2）设直线(0)y k x k =≠，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．所以2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得2224(4x k x +-=，变形为2222(14)1240k x x k +-+-=，所以12x x +=212212414k x x k-=+．点Q 的横坐标1202x xx +==． 点Q的纵坐标00(y k x k ===． 直线OQ 为14y x k=-与直线x=R ，所以R． 由23(F R =，直线l 的方向向量(1,)k ， 所以20F R l =，即：2F R l ⊥；（3）在（2）的基础上设点M 和N 在x 轴的上下两侧， 所以11||2M S AB y =，211||||||22N N S AB y AB y ==-． 121||||||2M N SS AB y y -=+． 由1122((y k x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以1212(y y k x x +=+-，代入12x x +=所以122111||4||||||121444k S S k k k k-=⨯⨯-===++…当且仅当14k k =，即12k =±时，12||S S - 直线方程为1(2y x =±．21．（18分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列．（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =++⋯⋯+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）令1m =时，1a ，2a ，3a 构成以2为公差的等差数列，所以22a =，34a =． 令2m =时3a ，4a ，5a 构成以4为公差的等差数列，所以48a =，512a =．令3m =时5a ，6a ，7a 构成以6为公差的等差数列，所以618a =，724a =． 由2546144a a a ==，得到4a ，5a ，6a 成等比数列．解：（2）由（1）得数列{}n a 的前几项为：0，2，4，8，12，18，24． 所以22121222mm m m a a m a a m-+=+⎧⎨=+⎩，所以21214m m a a m +--=．由累加法得到211(1)4[121]42(1)2m m m a a m m m ---=⨯++⋯+-=⨯=-． 当n 为奇数时令21m n -=，所以12n m +=，所以211(1)22n n n a n --=+=． 当n 为偶数时，2m n =，所以2nm =，所以22242n n n a =⨯=．解：（3）当n 为奇数时，22222211221111n n n a n n n n ==+=+----+． 当n 为偶数时，22222n n n a n==．所以1111111lim(2)lim[2()()()2]2448112n n n S n n n n n →∞→∞-=+-+-+⋯+--=-+．。
2021-2022学年上海市虹口区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市虹口区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2，4}，B={y|y=log 2x ，x∈A}，则A∪B=___ ．2.（填空题，4分）已知x=-2是方程 |x a 1x |=0 的解，则实数a 的值为 ___ ． 3.（填空题，4分）已知α∈{-2，-1，- 12 ， 12 ，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α=___ ．4.（填空题，4分）已知无穷等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，首项a 1=3，公比为q ，且 n→∞S n =2 ，则q=___ ．5.（填空题，4分）圆x 2+y 2+4sinθ•x+4cosθ•y+1=0的半径等于 ___ ．6.（填空题，4分）在（x- 1x）10的二项展开式中，常数项等于 ___ ．（结果用数值表示） 7.（填空题，5分）已知角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若sinA ：sinB ：sinC=4：5：6，则该三角形的最大内角等于 ___ （用反三角函数值表示）．8.（填空题，5分）已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且对任意的x 满足f （x+2）=f （x ），若0＜x ＜1时，有f （x ）=4x +3，则f （3.5）=___ ．9.（填空题，5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，A ，B 为此抛物线上的异于坐标原点O 的两个不同的点，满足| FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，且 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ + FB ⃗⃗⃗⃗⃗ + FO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则p=___ ． 10.（填空题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，满足D 1P 与直线CC 1所成角的大小为 π6 ，则线段DP 扫过的面积为 ___ ． 11.（填空题，5分）已知实数x ，y 满足：x|x|+y|y|=1，则|x+y+ √2 |的取值范围是 ___ ．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cosx ，若对任意实数x 1，x 2，方程|f （x ）-f （x 1）|+|f （x ）-f （x 2）|=m （m∈R ）有解，方程|f （x ）-f （x 1）|-|f （x ）-f （x 2）|=n （n∈R ）也有解，则m+n 的值的集合为 ___ ．13.（单选题，5分）设α：实数x满足x−3x+1＜0，β：实数x满足|x-1|＜2，那么α是β的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（π4）对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是（）A.f（π2）＞（π6）B.f（x）的图像关于直线x= 3π4对称C.f（x）在[ π4，5π4]上单调递增D.过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点15.（单选题，5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，如果-a1＜a9＜-a2，则（）A.S9＞0且S10＞0B.S9＞0且S10＜0C.S9＜0且S10＞0D.S9＜0且S10＜016.（单选题，5分）已知a，b∈R，复数z=a+2bi（其中i为虚数单位）满足z• z =4，给出下列结论：① a2+b2的取值范围是[1，4]；② √(a−√3)2+b2 + √(a+√3)2+b2 =4；③ b−√5a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）；④ 1a2 + 1b2的最小值为2其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.417.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=4，AA1=3，AB=4 √2．（1）求四棱锥A-BCC1B1的体积；（2）求直线AC1与平面ABB1A1所成的角的大小．18.（问答题，14分）在平面直角坐标系xOy 中，A （ √22 ， √22 ）在以原点O 为圆心半径等1的圆上，将射线OA 绕原点O 逆时针方向旋转α后交该圆于点B ，设点B 的横坐标为f （α），纵坐标g （α）．（1）如果sinα=m ，0＜m ＜1，求f （α）+g （α）的值（用m 表示）；（2）如果 f (α)g (α)=2 ，求f （α）•g （α）的值．19.（问答题，14分）某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%．设企业纳税额为x （单位：万元），补助款为f （x ）= 14 x 2-bx+b+ 12 （单位：万元），其中b 为常数．（1）分别判断b=0，b=1时，f （x ）是否符合发放方案规定，并说明理由；（2）若函数f （x ）符合发放方案规定，求b 的取值范围．20.（问答题，16分）已知椭圆Γ： x 212 + y 28 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点P （0，t ）．（1）若F 1P⊥F 2P ，求t 的值；（2）若点A 在第一象限，满足 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7，求t 的值；（3）在平面内是否存在定点Q ，使得 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ • QB⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个确定的常数？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21.（问答题，18分）已知集合A={y|y=2x，x∈N*}，B={y|y=3x，x∈N*}．A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项的和．（1）求S10；（2）如果a m=81，a2022=t，求m和t的值；（3）如果n= 3k−12+k（k∈N*），求11S n（用k来表示）．2021-2022学年上海市虹口区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2，4}，B={y|y=log 2x ，x∈A}，则A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{0，1，2，4}【解析】：先求出集合B ，然后结合集合的并集运算即可求解．【解答】：解：因为A={1，2，4}，B={y|y=log 2x ，x∈A}={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，4}．故答案为：{0，1，2，4}．【点评】：本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．2.（填空题，4分）已知x=-2是方程 |x a 1x |=0 的解，则实数a 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：结合行列式的定义，把x=-2代入即可直接求解．【解答】：解：因为x=-2是方程 |x a 1x|=0 的解， 所以-2×（-2）-a=0，所以a=4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了行列式的运算，属于基础题．3.（填空题，4分）已知α∈{-2，-1，- 12 ， 12 ，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由已知幂函数的性质可知，α为奇数，且α＜0，结合已知集合即可求解．【解答】：解：因为α∈{-2，-1，- 12 ， 12 ，1，2，3}，由幂函数f （x ）=x α为奇函数，在（0，+∞）上单调递减，所以α为奇数，且α＜0，所以α=-1．故答案为：-1．【点评】：本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）已知无穷等比数列{a n}的前n项的和为S n，首项a1=3，公比为q，且n→∞S n=2，则q=___ ．【正确答案】：[1]- 12【解析】：由已知结合等比数列的求和公式代入即可求解．【解答】：解：因为无穷等比数列{a n}中，首项a1=3，公比为q，又n→∞S n=2，所以a11−q = 31−q=2，所以q=- 12．故答案为：- 12．【点评】：本题主要考查了等比数列的求和及数列的极限的应用，属于基础题．5.（填空题，4分）圆x2+y2+4sinθ•x+4cosθ•y+1=0的半径等于 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：把一般方程配成圆的标准方程即可求解．【解答】：解：由x2+y2+4sinθ•x+4cosθ•y+1=0得（x+2sinθ）2+（y+2cosθ）2=3，所以圆的半径为√3．故答案为：√3．【点评】：本题主要考查了由圆的一般方程求解圆的半径，属于基础题．6.（填空题，4分）在（x- 1x）10的二项展开式中，常数项等于 ___ ．（结果用数值表示）【正确答案】：[1]-252【解析】：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得含常数项．【解答】：解：因为（x- 1x ）10的二项展开式的通项T r+1= C10r x10−r•(−1x)r=（-1）r C10r x10-2r，令10-2r=0得r=5，故常数项为- C105 =-252．故答案为：-252．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．7.（填空题，5分）已知角A，B，C是△ABC的三个内角，若sinA：sinB：sinC=4：5：6，则该三角形的最大内角等于 ___ （用反三角函数值表示）．【正确答案】：[1]arccos 18【解析】：由已知结合正弦定理先求出三边之间的关系，然后结合大边对大角及余弦定理可求．【解答】：解：由正弦定理得，sinA：sinB：sinC=a；b：c=4：5：6，故可设a=4x，b=5x，c=6x，则最大角为C，由余弦定理得，cosC= a 2+b2−c22ab= 16x2+25x2−36x22•4x•5x= 18，故C=arccos 18．故答案为：arccos 18．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．8.（填空题，5分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x满足f（x+2）=f（x），若0＜x＜1时，有f（x）=4x+3，则f（3.5）=___ ．【正确答案】：[1]-5【解析】：由已知奇函数定义及周期性把所求函数值转化到已知区间上，代入即可求解．【解答】：解：由题意得f（-x）=-f（x）且f（x+2）=f（x），因为0＜x＜1时，有f（x）=4x+3，则f（3.5）=f（1.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-（2+3）=-5．故答案为：-5．【点评】：本题主要考查了函数性质在求解函数值中的应用，解题的关键是性质的灵活应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，A ，B 为此抛物线上的异于坐标原点O 的两个不同的点，满足| FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，且 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ + FB ⃗⃗⃗⃗⃗ + FO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则p=___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：先设点的坐标，然后结合抛物线定义及向量的坐标运算即可求解．【解答】：解：由题意F （ p 2 ，0），准线x= p 2 ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），在准线上的投影分别为A 1，B 1，所以 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ x 1−p 2 ，y 1）， FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ x 2−p 2 ，y 2）， FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- p 2，0）， 因为 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ + FB ⃗⃗⃗⃗⃗ + FO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ， 所以x 1+x 2- 3p 2 =0，即x 1+x 2= 3p 2 ，因为| FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA 1|+|BB 1|+| FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（ x 1+p 2 ）+（ x 2+p 2 ）+ p 2 =x 1+x 2+ 3p 2 =3p=12，所以p=4，故答案为：4．【点评】：本题主要考查了抛物线定义的应用，还考查了向量的加减的坐标运算，属于中档题，10.（填空题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，满足D 1P 与直线CC 1所成角的大小为 π6，则线段DP 扫过的面积为 ___ ．【正确答案】：[1] 112 π 【解析】：由CC 1 || DD 1，知D 1P 与直线CC 1所成角为D 1P 与直线DD 1所成角，即∠DD 1P= π6 ，而点P 在底面ABCD 内的轨迹是以DP 为半径的圆的四分之一，再求得DP 的长，即可得解．【解答】：解：因为CC1 || DD1，所以D1P与直线CC1所成角可转化为D1P与直线DD1所成角，即∠DD1P= π6，在Rt△D1DP中，DD1=1，∠DD1P= π6，所以DP= √33，所以点P在底面ABCD内的轨迹是以√33为半径的圆的四分之一，所以线段DP扫过的面积为14π• (√33)2= 112π．故答案为：112π．【点评】：本题考查异面直线所成角，动点的轨迹问题，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.（填空题，5分）已知实数x，y满足：x|x|+y|y|=1，则|x+y+ √2 |的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（√2，2 √2 ]【解析】：把等式x|x|+y|y|=1变形，画出图形，利用线性规划知识求出x+y+ √2的范围，取绝对值得答案．【解答】：解：由x|x|+y|y|=1，得{x≥0，y≥0x2+y2=1或{x＞0，y＜0x2−y2=1或{x＜0，y＞0y2−x2=1，如图，令z=x+y+ √2，得y=-x+z- √2，由图可知，当直线y=-x+z- √2与{x≥0，y≥0x2+y2=1相切时，直线在y轴上的截距最大，等于√2，即z- √2 = √2，z= 2√2；当直线y=-x+z- √2无限靠近y=-x时，z- √2趋于0，即z趋于√2．∴|x+y+ √2 |的取值范围是（√2，2 √2 ]．故答案为：（√2，2 √2 ]．【点评】：本题考查简单的线性规划，考查平面中点的距离的求法，考查数形结合思想，是中档题．12.（填空题，5分）已知函数f（x）=cosx，若对任意实数x1，x2，方程|f（x）-f（x1）|+|f （x）-f（x2）|=m（m∈R）有解，方程|f（x）-f（x1）|-|f（x）-f（x2）|=n（n∈R）也有解，则m+n的值的集合为 ___ ．【正确答案】：[1]{2}【解析】：根据题意，不妨设cosx1≤cosx2，分类讨论当cosx≥cosx2，cosx≤cosx1，cosx1＜cosx＜cosx2三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出m和n的值，即可得出m+n的值的集合．【解答】：解：由题可知f（x）=cosx，不妨设cosx1≤cosx2，对于m，对任意实数x1，x2，方程|f（x）-f（x1）|+|f（x）-f（x2）|=m（m∈R）有解，当cosx≥cosx2时，方程可化为m=2cosx-（cosx1+cosx2）有解，所以m≥cosx2-cosx1恒成立，所以m≥2；当cosx≤cosx1时，同上；当cosx1＜cosx＜cosx2时，方程可化为m=cosx2-cosx1有解，所以m∈[0，2]，综上得：m=2；对于n，对任意实数x1，x2，方程|f（x）-f（x1）|-|f（x）-f（x2）|=n（n∈R）也有解，当cosx≥cosx2时，方程可化为n=cosx2-cosx1有解，所以n∈[0，2]；当cosx≤cosx1时，同上；当cosx1＜cosx＜cosx2时，方程可化为n=2cosx-（cosx1+cosx2）有解，所以cosx1-cosx2＜n＜cosx2-cosx1恒成立，所以n=0，所以m+n的值的集合为{2}．故答案为：{2}．【点评】：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设cosx1≤cosx2，以及分类讨论cosx与cosx1，cosx2的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力．13.（单选题，5分）设α：实数x满足x−3＜0，β：实数x满足|x-1|＜2，那么α是β的x+1（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：分别解分式不等式及绝对值不等式求出α，β，然后结合充分必要条件与集合之间的包含关系进行转化可求．【解答】：解；由x−3x+1＜0得（x-3）（x+1）＜0，解得-1＜x＜3，即α：A=（-1，3），由|x-1|＜2，得-1＜x＜3，即β：B=（-1，3），因为A=B，所以α是β的充要条件．故选：C．【点评】：本题主要考查了充分必要条件的判断，还考查了分式不等式及绝对值不等式的求解，属于基础题．14.（单选题，5分）设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（π4）对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是（）A.f（π2）＞（π6）B.f（x）的图像关于直线x= 3π4对称C.f（x）在[ π4，5π4]上单调递增D.过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点【正确答案】：D【解析】：由f（x）≤f（π4）对任意的x∈R恒成立得函数在x= π4取得最大值，从而有asin π4+bcos π4= √a2+b2，整理得a=b，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【解答】：解：由f（x）≤f（π4）对任意的x∈R恒成立得函数在x= π4取得最大值，所以asin π4 +bcos π4= √a2+b2，整理得，a=b，f（x）=asinx+acosx= √2a sin（x+ π4），A：f（π2）=a，f（π6）= √2a sin（π6+π4）= 1+√32a，所以f（π2）＜f（π6），A错误；B：f（3π4）=0与函数在对称轴处取得最值矛盾，B不正确；C：令−12π+2kπ≤x+ π4≤12π+2kπ，k∈Z，解得，−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ，显然不包含区间[ π4，5π4]，C不正确；由于f（x）= √2a sin（x+ π4）的定义域R，最大值√2a，故b=a＜√2a，从而点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点，D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用，属于中档题．15.（单选题，5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，如果-a1＜a9＜-a2，则（）A.S9＞0且S10＞0B.S9＞0且S10＜0C.S9＜0且S10＞0D.S9＜0且S10＜0【正确答案】：B【解析】：由已知结合等差熟练度通项公式及求和公式即可求解．法二：结合已知得a1+a9＞0，a2+a9＜0，然后利用等差数列的求和公式即可求解．【解答】：解：等差数列{a n}中，-a1＜a9＜-a2，则-a1＜8d+a1＜-d-a1，整理得，−4d＜a1＜−9d2，S9=9a1+36d=9（a1+4d）＞0，S10=10a1+45d=5（2a1+9d）＜0．法二：由等差数列{a n}中，-a1＜a9＜-a2，所以a1+a9＞0，a2+a9＜0，所以9(a1+a9)2＞0，S10=5（a1+a10）=5（a2+a9）＜0．故选：B．【点评】：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．16.（单选题，5分）已知a ，b∈R ，复数z=a+2bi （其中i 为虚数单位）满足z• z =4，给出下列结论：① a 2+b 2的取值范围是[1，4]；② √(a −√3)2+b 2 + √(a +√3)2+b 2 =4； ③b−√5a 的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）； ④ 1a 2 + 1b 2 的最小值为2 其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】：C【解析】：由已知结合复数的运算可先求出a ，b 的方程，然后结合椭圆定义，椭圆性质分别检验各命题即可判断．【解答】：解：z• z =（a+2bi ）（a-2bi ）=a 2+4b 2=4，所以 a 24+b 2 =1，所以点（a ，b ）是以2为长半轴，以1为短半轴的椭圆，且焦点为（ ±√3 ，0），① a 2+b 2的几何意义是椭圆上的点到原点的距离的平方，故最大值4，最小值1，取值范围是[1，4]，正确；② 由椭圆定义可知 √(a −√3)2+b 2 + √(a +√3)2+b 2 =4正确； ③ 设过点（0， √5 ）的且与椭圆相切的直线方程y=kx+ √5 ， 联立 {y =kx +√5x 24+y 2=1 ，得（1+4k 2）x 2+8 √5 kx+16=0， Δ=64×5k 2-64（1+4k 2）=0， 则k=1或k=-1， 而b−√5a的几何意义是椭圆上的点与（0， √5 ）的连线的斜率，故其取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞），正确；④ 1a 2 + 1b 2 =（ 1a 2 + 1b 2 ）（ a 24+b 2 ）= 54 + b 2a 2 + a 24b 2 ≥54+2√b 2a 2•a 24b 2 = 94 ，当且仅当 b 2a 2=a 24b 2 且a 24+b 2 =1，即b 2= 23 ，a 2= 43时取等号，错误．故选：C．【点评】：本题以复数运算为载体，主要考查了椭圆的定义及性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=4，AA1=3，AB=4 √2．（1）求四棱锥A-BCC1B1的体积；（2）求直线AC1与平面ABB1A1所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，可得AC⊥面BCC1B1，即AC为四棱锥A-BCC1B1的高，由此结合棱锥体积公式计算即可；（2）根据题意，作C1M⊥A1B1，且与A1B1交于点M，连接AM，证明C1M⊥面ABB1A1，可得∠C1AM就是直线AC1与平面ABB1A1所成的角，求出∠C1AM的正弦值，即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=4，AB=4 √2，则有AC⊥BC，又由CC1⊥AC，可得AC⊥面BCC1B1，故AC为四棱锥A-BCC1B1的高，又由S▱BB1C1B=BC×CC1=12，故四棱锥A-BCC1B1的体积V= 13S▱BB1C1B×AC=16，（2）根据题意，作C1M⊥A1B1，且与A1B1交于点M，连接AM，又由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则AA1⊥面A1B1C1，则AA1⊥C1M，则C1M⊥面ABB1A1，所以∠C1AM就是直线AC1与平面ABB1A1所成的角，而C1M= 12A1B1=2 √2，AC1= √9+16 =5，所以sin∠C1AM= C1MAC1 = 2√25，所以∠C1AM=arcsin 2√25；故直线AC1与平面ABB1A1所成的角的大小为arcsin 2√25．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法，涉及直线与平行垂直的判断以及性质的应用，属于中档题．18.（问答题，14分）在平面直角坐标系xOy中，A（√22，√22）在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α后交该圆于点B，设点B的横坐标为f（α），纵坐标g（α）．（1）如果sinα=m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；（2）如果f(α)g(α)=2，求f（α）•g（α）的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合三角函数定义可求f（α），g（α），然后结合和差角公式展开后，结合同角平方关系可求；（2）由已知结合和差角公式展开化简，然后结合二倍角公式进行化简，代入可求．【解答】：解：（1）由题意得，f（α）=cos（α+π4），g（α）=sin（α+π4），若sinα=m，0＜m＜1，则f（α）+g（α）= √22（cosα-sinα）+ √22（cosα+sinα）= √2cosα=±√2√1−m2；（2）由f(α)g(α)=2得cos（α+π4）=2sin（α+π4），整理得，cosα=-3sinα，则f（α）•g（α）=cos（α+π4）•sin（α+π4）= 12sin（2 α+π2）= 12cos2α= 12×cos2α−sin2αcos2α+sin2α= 12 × 8sin2α10sin2α= 25．【点评】：本题主要考查了三角函数定义，还考查了和差角公式，二倍角公式在求解三角函数值中的应用，属于中档题．19.（问答题，14分）某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%．设企业纳税额为x（单位：万元），补助款为f（x）= 14 x2-bx+b+ 12（单位：万元），其中b为常数．（1）分别判断b=0，b=1时，f（x）是否符合发放方案规定，并说明理由；（2）若函数f（x）符合发放方案规定，求b的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）把b=0，b=1分别代入已知函数中，检验两个条件是否满足即可判断；（2）由题意得f（x）= 14 x2-bx+b+ 12在[4，8]上单调递增且f（x）≥12x在[4，8]上恒成立，结合二次函数的性质可求．【解答】：解：（1）当b=0时，f（x）= 14 x2+ 12在[4，8]上单调递增，因为4≤x≤8，4.5≤ 14 x2+ 12≤16.5，符合发放方案规定，当b=1时，f（x）= 14 x2-x+ 32，当4≤x≤8时，结合二次函数的性质可知，f（x）在[4，8]上单调递增，f（4）= 32＜2，不符合发放方案规定；（2）若函数f（x）符合发放方案规定，则f（x）= 14 x2-bx+b+ 12在[4，8]上单调递增且f（x）≥12x在[4，8]上恒成立，由f（x）≥12x在[4，8]上恒成立，整理得，x2-（2+4b）x+4b+2≥0在[4，8]上恒成立，结合二次函数的性质可知，{2b≤416−4(2+4b)+4b+2≥0 64−8(2+4b)+4b+2≥0，解得，b ≤56，所以b 的范围为{b|b ≤56 }．【点评】：本题主要考查了二次函数的性质在实际问题中的应用，解题的关键是性质的灵活应用，属于中档题．20.（问答题，16分）已知椭圆Γ： x 212 + y 28 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点P （0，t ）． （1）若F 1P⊥F 2P ，求t 的值；（2）若点A 在第一象限，满足 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7，求t 的值；（3）在平面内是否存在定点Q ，使得 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ • QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个确定的常数？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆的方程可得左、右焦点的坐标，由F 1P⊥F 2P ，则 F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，代入数量积中可得t 的值；（2）设A 的坐标，代入椭圆的方程及数量积中求出A 的坐标，进而求出直线AB 的方程，令x=0可得t 的值；（3）假设存在Q ，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况，设直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出数量积，整理后恒成立可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出Q 的坐标及数量积的值．【解答】：解：（1）由椭圆Γ： x 212 + y 28 =1的方程可知：c 2=a 2-b 2=12-8=4， 所以c=2，即左焦点F 1（-2，0），右焦点F 2（2，0）， 因为P （0，t ），若F 1P⊥F 2P ，则 F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即（2，t ）•（-2，t ）=0，整理可得：t 2=4，所以t=±2， 所以t 的值±2；（2）设A （x 1，y 1），因为 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7，由（1）可得（x 1+2，y 1）（x 1-2，y 1）=7， 所以x 12-4+y 12=7，即x 12+y 12=11，而 x1212+ y 128 =1， 所以x 12+8•（1- x1212）=11，x 1＞0，解得x 1=3，y 1= √2 ，所以直线AB 的方程为y= √23+2 （x+2），令x=0， 可得y=2√25， 即t 的值为2√25； （3）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程y=k （x+2）（k≠0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立，整理可得 {y =k (x +2)x 212+y 28=1 整理可得：（2+3k 2）x 2+12k 2x+12（k 2-2）=0，可得x 1+x 2=−12k 22+3k 2 ，x 1x 2= 12(k 2−2)2+3k 2， 所以 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ •QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-a ，y 1-b ）•（x 2-a ，y 2-b ）=（x 1-a ）（x 2-a ）+（kx 1+2k-b ）（kx 2+2k-b ）=（1+k 2）x 1x 2+（2k 2-bk-a ）（x 1+x 2）+4k 2-4kb+b 2+a 2 =（1+k 2） 12(k 2−2)2+3k 2+（2k 2-bk-a ）−12k 22+3k 2 +4k 2-4kb+b 2+a 2= (3a 2+3b 2+12a−4)k 2−8kb+2(a 2+b 2−12)2+3k 2=λ，则（3a 2+3b 2+12a-4-3λ）k 2-8kb+2（a 2+b 2-12-λ）=0恒成立， 则 {3a 2+3b 2+12a −4−3λ=08b =0a 2+b 2−12−λ=0解得a=- 83 ，b=0，λ=- 449 ，这时Q （- 83，0），即存在定点（- 83，0）满足条件 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ • QB⃗⃗⃗⃗⃗ =- 449． 当k=0时，显然点（- 83 ，0）也满足 QA⃗⃗⃗⃗⃗ • QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 449． 综上所述：存在定点Q （- 83 ，0）满足条件 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ • QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 449．【点评】：本题考查椭圆的性质的应用，直线与椭圆的综合应用，数量积的运算性质，恒成立的条件的应用，属于中档题．21.（问答题，18分）已知集合A={y|y=2x，x∈N*}，B={y|y=3x，x∈N*}．A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项的和．（1）求S10；（2）如果a m=81，a2022=t，求m和t的值；（3）如果n= 3k−12+k（k∈N*），求11S n（用k来表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据集合A、B的描述分析A∪B中的元素组成，进而写出A∪B的前10项，即可求S10；（2）由81=34结合2n＜81且n∈N*即可求m值；令t=2187判断对应{a n}中的n，进而确定{a2022}的元素组成，即可确定t值；（3）由{a n}中属于集合A、B中元素之间的个数关系，判断{a n}的中分别含集合A、B中元素个数，进而应用分组求和，结合等差、等比前n项和求1lS n即可．【解答】：解：（1）由题设，集合A中元素为b n=2n，n∈N*，集合B中元素为c n=3n，n∈N*，且A、B没有重复元素，所以A∪B的前10项为{2，3，4，6，8，9，10，12，14.16}，故S10=84；（2）由a m=81=34，故{a n}中含集合B的4个元素；由2n＜81且n∈N*，可得n≤40，故\{{a n}中含集合A的40个元素；∴m=40+4=44；由37=2187，若t=2187，则{a n}中含集合B的7个元素；此时，由2n＜2187且n∈N*，可得n≤1093，故\{a n}中含集合A的1093个元素；∴{a n}中n=1100；由38=6561，若t=6561，则\{{a n}中含集合B的8个元素；此时，由2n＜6561且n∈N*，可得n≤3280，故{a n}中含集合A的3280个元素；∴{a n}中n=3288，综上，由1100＜2022＜3288，即2187＜t＜6561，∴A∪B 中含集合B 的7个元素，含集合A 的2015个元素， ∴a 2022=t=2×2015=4030；（3）由题设，若{a n }中含m 个集合B 的元素，在第m-l 个和第m 个集合B 的元素之间存在3m-1个集合A 的元素，所以若最后一项属于集合B 且{a n }共有i 个集合B 的元素，i∈N*， 则{a n }中共有n=i+ 3i −12 个元素，由题设，n= 3k −12+k （k∈N*），故{a n }含k 个集合B 的元素，含3k −12个集合A 的元素，所以S n =3(1−3k )1−3 + 3k −12 ×2+ 12 × 3k −12 × (3k −12−1) ×2=(3k −1)(3k +7)4，所以11S n = 11(3k −1)(3k +7)4，k∈N*．【点评】：本题考查了数列的求和，属于难题．。
上海市虹口区2021届高三第一学期期末(一模)质量监控数学试题
【区级联考】上海市虹口区2019届高三第一学期期末（一模）质量监控数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算153lim 54n nn nx +→∞-=+________.2．设全集U =R ，若{}2,1,0,1,2A =--，(){}2log 1B x y x ==-，则()U A C B =______.3．设常数a R ∈，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1，则a =__________.4．已知球的表面积为4π，则该球的体积为________． 5．函数8()([2,8])f x x x x=+∈的值域为__________.6．在二项式62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项的数值为________. 7．双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为__________．8．若复数 1 sin i z cos iθθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________.9．己知7个实数1,−2,4,a,b,c,d 依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为___________.10．如图，已知半圆O 的直径4AB =，OAC ∆是等边三角形，若点P 是边AC （包含端点A C 、）上的动点，点Q 在弧BC 上，且满足⊥OQ OP ，则OP BQ ⋅的最小值为__________．11．若直线y kx =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________.二、单选题12．已知x ∈R ，则“1233x -<”是“1x <”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件13．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14．已知函数2()1f x ax x =-+，1,? 1(),? 11?1,?1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞B ．(,0)(0,1)-∞C ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞D ．(,0)(0,2)-∞15．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ） A．2BCD三、解答题16．在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小. 17．已知函数()161x f x a a+=-+(0,1)a a >≠是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33xtf x ≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.18．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界()2AB AD km ==，()3BC km =，()1CD km =.（1）求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，边界AD ，DC 不能变更，而边界AB ，BC 可以调整，为了增加棚户区的建筑用地面积，请在弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这个面积最大值.19．设椭圆22:12x y Γ+=，点F 为其右焦点，过点F 的直线与椭圆Γ相交于点P ，Q .（1）当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；（2）如图1，点R 的坐标为(2,0)，若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点Q ，S ，R 共线；（3）如图2，点T 是直线:2l x =上的任意一点，设直线PT ，FT ，QT 的斜率分别为PT k ，FT k ，QT k ，求证PT k ，FT k ，QT k 成等差数列.20．对于()*n n N ∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =⋯，记12E n S e e e =++⋯+. 已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =⋯（12,3n a a a n <<⋯<≥）满足：对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m .（1）试求1a ，2a 的值；（2）求证：“12,,,n a a a ⋯成等差数列”的充要条件是“()112A S n n =+”； （3）若2018A S =，求证：n 的最小值为11；并求n 取最小值时，n a 的最大值.参考答案1．5 【分析】分子分母同时除以5n ，利用无穷小量，求得所求的极限值. 【详解】135535lim lim 554415nn n n n n x x +→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故填5. 【点睛】本小题主要考查分式型极限的求法，其主要解决方法就是分子分母同时除以某一个数，变为趋向于0的量来求解.属于基础题. 2．{1,2} 【分析】求出集合B 中函数的定义域，再求的集合B 的补集，然后和集合A 取交集. 【详解】(),1B =-∞，(){}[){}2,1,0,1,21,1,2U A C B ⋂=--⋂+∞=,故填{}1,2.【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查集合交集和补集的混合运算，还考查了对数函数的定义域.属于基础题. 3．8 【分析】反函数经过点()2,1，则原函数经过点()1,2，将该点坐标代入函数的解析式，由此求得a 的值. 【详解】()()3log f x x a =+的图像过()1,2，即()3log 128a a +=⇒=.故填8.【点睛】本小题主要考查互为反函数的两个函数对称点的关系，考查对数方程的求解，属于基础题.4．43π 【分析】先根据球的表面积公式24S R π=求出半径，再根据体积公式343V R π=求解. 【详解】设球半径为R ，则244S R ππ==，解得1R =，所以34433V R ππ== 【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题. 5．⎡⎤⎣⎦【分析】利用导数画出函数()f x 的图像，根据图像的最高点和最低点，求得函数的最大值以及最小值，由此求得函数的值域. 【详解】由于()(2222881x x x f x x x x+-=-='-=，故函数在区间2,⎡⎣上单调递减，在区间⎡⎤+∞⎣⎦上单调递增.由此画出函数图像如下图所示，由图可知()((),8f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=⎣⎦⎣⎦.故填⎡⎤⎣⎦.【点睛】本小题主要考查对钩型函数的值域，考查了利用导数求函数的单调区间的方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于基础题. 6．60 【分析】通过二项式展开式的通项，令x 的指数等于零，求得r 的值，从而求得常数项. 【详解】363216622rrr r r r r T CC x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭当3302r -=，即2r =时，常数项为226260C ⋅=,故填60. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式.需要将二项展开式公式化简后，再来求指定项的值.属于基础题.7【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为b ，故距离为b =8．12【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值. 【详解】()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴==== =≤=【点睛】本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2xx +=，21cos2sin 2xx -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了.9．47【分析】根据前几项可知，数列的首项为1，公比为−2，由此求得a,b,c,d 的值.基本事件的总数有C 72.和为正数分成两种情况，一种是取出的两个数都是正数，另一种是一个正数一个负数，由此计算出和为正数的方法数，根据古典概型概率计算公式求得概率的值. 【详解】由题意得，这7个实数为1,−2,4−8,16,−32,64①所选2个数均为正数：C 42=6（种）； ②所选2个数一正一负：−2,4、−2,16、−2,64、−8,16、−8,64、−32,64，共6（种） ∴P =6+6C 72=47,故填47.【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，考查了等比数列的概念.在计算古典概率的过程中，首先求得分母，也即是基本事件的总数，由于抽取时没有顺序，故用组合数来计算.然后考虑分子，分子是符合题意事件的个数，要用分类加法计数原理分成两种情况来求解.中档题. 10．2 【分析】将向量BQ 转化为BO OQ +，代入OP BQ ⋅，将所求向量的数量积转化为OP OA ⋅cos 2cos OP OA OP θθ=⋅⋅=⋅,cos OP θ⋅表示OP 在OA 上的投影，由此可求得最小值. 【详解】()OP BQ OP BO OQ ⋅=⋅+ OP BO OP OA =⋅=⋅ cos 2cos OP OA OP θθ=⋅⋅=⋅，由数量积的几何意义可知，当P 与C 重合时，OP 在OA 上的投影最短， 此时，()min2OP OA ⋅=,故填2.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题. 11．(,0]{1}-∞根据函数()2log 2y x =+的图像，将曲线方程中的绝对值去掉，化为分段函数的形式，然后画出这个分段函数的图像，根据图像和直线y kx =的交点有两个，求得实数k 的取值范围. 【详解】如图，可知()()()222log 2,1log 2log 2,21x x x x x ⎧+≥-⎪+=⎨-+-<<-⎪⎩()2log 221x y x +∴=-- ()()22log 2log 221,121,21x x x x x x +-+⎧--≥-⎪=⎨---<<-⎪⎩ 3,121,1111,212x x x x x x ⎧⎪≥⎪=+-≤<⎨⎪⎪+--<<-+⎩ 由图可知，直线y kx =与曲线()2log 221x y x +=--恰有两个公共点，则0k ≤或1k =【点睛】本小题主要考查对数函数的图像，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题. 12．A 【解析】先求得绝对值不等式的解集，然后比较这个解集和1x <范围的大小，根据充要条件的知识得出正确选项. 【详解】12213333x x -<⇒-<- 21133x <⇒-<<，此为小范围，后者1x <为大范围，所以充分非必要条件.故选A. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断方法，属于基础题. 13．D 【解析】 【分析】对四个选项，利用正方体中的线和面的关系，逐一验证，由此得出是假命题的选项. 【详解】画出一个正方体ABCD EFHG -如下图所示.平面ABCD ⊥平面ADHE ，而//EH AD ，即平行于这两个垂直平面的交线，有//EH 平面ABCD ，故A 选项命题是真命题，且D 选项命题是假命题.根据面面垂直的判定定理可知，B 选项命题是真命题.由下图可知，平面ADHE 和平面ABFE 同时垂直于平面ABCD ，它们的交线AE 也垂直平面ABCD ，故选项C 命题是真命题.综上所述，本题选D.【点睛】本小题主要考查空点点线面的位置关系，考查面面垂直的判定与性质，属于基础题. 14．B 【分析】将问题转化为()f x 和()g x 函数的图像有两个交点来解决.为了便于讨论，两个函数都加上1x -后，再画出相应的图像.通过图像求得a 的取值范围.【详解】令2()()1h x f x x ax =+-=，()()1x g x x ϕ=+-2,121,11,1x x x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩转化为()h x 与()x ϕ有两个交点时，求实数a 的取值范围， 如下图，1a =时，()h x 与()x ϕ相切于(1,1)点，当0a <或01a <<时，()h x 与()x ϕ有两个交点，故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法和数形结合的数学思想方法.解法中有三次转化，一次是()()y f x g x =-的零点问题，即()()0y f x g x =-=，转化为()()f x g x =，即两个函数图像的交点；二次是为了便于作图，两个函数都加上1x -，转化新的两个函数；三次是将函数的代数问题，转化为图形的交点来解决. 15．C 【分析】利用抛物线的几何性质，求得,E F 的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为1cos PEFμ=∠的形式.根据余弦函数的单调性可以求得μ的最大值.【详解】由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PE FEP PF μ∠==∠ 11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠，cos y x =在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max 2μ∴==,故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题. 16．（1）3； （2）. 【分析】（1）依题意可求得的底面的半径，通过勾股定理求得圆锥的高.利用圆锥侧面积公式和体积公式计算出圆锥的侧面积和体积.（2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求.通过勾股定理和中位线的性质，可求得线线角的正切值，再用反三角函数将其表示出来. 【详解】（1）由题意，得2OB =，4PB =，PO =，8S rl ππ==，21133V r h ππ==⋅22⋅⋅=；（2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求， 易证DE ⊥平面EOC ，DE EC ∴⊥，112DE OA ==，CE ===于是tan CDE ∠==，即异面直线AB与CD 所成角的大小为， 【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面积公式以及体积公式，考查异面直线所称角的求法，属于基础题. 17．（1）3a =；(1,1)-； （2）15[,)2+∞. 【分析】（1）根据()00f =解得3a =，并检验3a =时，满足题意，得出函数解析式，求解值域；（2）根据函数值域，将问题转化()313331x xx t +≥-⋅-，故()max313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，利用换元法求解最值即可得解. 【详解】（1）由()00f =解得3a =，反之3a =时，()16133x f x +=-+ 23113131x x x -=-=++ ()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，符合题意，故3a =，据此()()1301xf x f x +=>-，()()1,1f x ∈-，即值域为()1,1- （2）()2131x f x =-+在[]1,2x ∈显然是单调增函数，()14,25f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为正数， 所以()313331x xx t +≥-⋅-，故()max313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，令[]31,2,8xm m -=∈，则()()3133231x xx m +-⋅=-- 24m m m m +⋅=-随m 的增大而增大， 最大值为152，∴实数t 范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值.18．（1） （2）P 为线段AC 垂直平分线与弧ABC 交点时，面积最大，.【分析】（1）根据圆的内接四边形对角互补，可得B D π+=，它们的余弦值的和为零，由此利用余弦定理列方程，可求得AC 的值并求出cos ,cos B D 的值，进而求得sin ,sin B D 的值，利用三角形的面积公式，可求得ABCD 的面积.（2）设CP x =，AP y =，利用余弦定理和基本不等式求得xy 的最大值，利用三角形面积公式求得APCD 面积的表达式，将xy 的最大值，由此求得APCD 面积的最大值. 【详解】（1）cos cos 0B D B D π+=⇒+=⇒ 22222223210223221AC AC +-+-+=⨯⨯⨯⨯解得：AC =，1cos cos 2B D =-=，于是sin sin B D ==()121232S =⨯+⨯ sin B =（2）设CP x =，AP y =，由余弦定理得227x y xy +-=， 而2272x y xy xy xy xy =+-≥-=（当且仅当x y =时，等号成立）得1212APCD S =⨯⨯+ 12x y ⨯⨯≤， 所以，当且仅当AP CP =，即P 为线段AC 垂直平分线与弧ABC 交点时，面积最大，最大值为2. 【点睛】本小题主要考查圆的内接四边形对角互补的知识，考查利用余弦定理解三角形，考查了三角形的面积公式以及基本不等式的应用.属于中档题.第一问中，给定了四边形的四条边长，求对角线的长，可利用对角互补及余弦定理建立方程，由此的到对角线的长.19．（1）22(21)412x y -+=； （2）见解析； （3）见解析.【分析】（1）设出中点M 的坐标，利用点F 的坐标得到P 点的坐标，将P 点的坐标代入椭圆方程，化简得到点M 的轨迹方程.（2）当PQ 斜率存在时，设出直线PQ 的方程，代入椭圆椭圆方程化简后写出韦达定理，计算0RQ RS k k -=，由此证得点Q ，S ，R 共线. 当PQ 斜率不存在时，由椭圆对称性,易得结论成立.（3）设出T 的坐标，利用（2）的结果化简2PT QT FT k k k +-的表达式，化简得到结果为0，由此证得PT k ，FT k ，QT k 成等差数列.【详解】（1）()1,0F ，设(),M x y ，则()21,2P x y -，P 在椭圆Γ上，所以所求轨迹方程为()2221412x y -+=.（2）当PQ 斜率存在时，设其方程为：()1y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y 将()1y k x =-代入椭圆方程并化简得()()2222214210k x k x k +-+-=其中2122421k x x k +=+，()21222121k x x k -⋅=+212122RQ RS y y k k x x --=--- ()()21211122k x k x x x --=+--()()()()()()211221121222x x x x k x x ⎡⎤--+--=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()()2122kx x =-- ()12122340x x x x ⎡⎤-++=⎣⎦所以RQ RS k k =，点Q ，S ，R 共线，而当PQ 斜率不存在时，由椭圆对称性，Q ，S 重合，结论显然成立，综上点Q ，S ，R 共线；（3）设()2,T t ，2PT QT FT k k k +- 1212222y t y tt x x --=+--- 由（2）知2121022y y x x +=--，12222PT QT FT t t k k k x x --∴+-=+-- 12112222t t x x ⎛⎫-=-++ ⎪--⎝⎭()()12124222x x t x x ⎡⎤+-=-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()222222442120214242121k k t k k k k ⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥=-+=⎢⎥-⎢⎥-⋅+++⎣⎦故PT k ，FT k ，QT k 成等差数列. 【点睛】本小题主要考查代入法求点的轨迹方程，考查利用斜率证明三点共线的方法，考查等差中项的性质.有关中点求轨迹方程的问题，往往是设出中点的坐标，利用已知条件得到另一个点的坐标，而这个点在一个已知的曲线上，故将这个点的坐标代入曲线的方程，即可求得所求点的轨迹方程.20．（1）11a =，22a =； （2）见解析； （3）见解析. 【分析】（1）取1m =，集合A 的子集为{}1a ，所有元素之和为11a =.取2m =，集合A 的子集为{}2a ，所有元素之和为22a =.（2）先证必要性.根据首项和第二项，求得等差数列的通项公式，由此求得A S 的值，证得必要性成立.再证充分性.利用集合A 的元素是正整数，且为递增的数列利用放缩法，证得()112A S n n ≥+，结合()112A S n n =+即只有取等号时符合.证得充分性成立.（3）先用反证法，证明12k k a -≤，然后在A S 的表达式中，通过放大k a ，变为等比数列来求和，由此求得n 的最小值.利用20181n n a a -≥-，求得n a 的最大值，并构造出符合题意的集合A ，验证后证得集合A 符合. 【详解】（1）取1m =，集合A 的子集为{}1a ，所有元素之和为11a =.取2m =，集合A 的子集为{}2a ，所有元素之和为22a =.故11a =，22a =；（2）先证必要性11a =，22a =，又12,,,n a a a ⋯成等差数列，n a n ∴=，()112A S n n ∴=+， 再证充分性12n a a a <<⋯<，12,,,n a a a ⋯为正整数数列，11a ∴=，22a =，33a ≥，44a ≥，...，n a n ≥， 12A n S a a a ∴=++⋯+ ()11212n n n ≥++⋯+=+， 又()112A S n n =+，()1,2,,k a k k n ∴==⋯，12,,,n a a a ∴⋯为等差数列； （3）先证明()121,2,,k k a k n -≤=⋯假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数，由题意3p ≥，则121p a a a -∴++⋯+≤ 2112221p p --++⋯+=-， 又12n a a a <<⋯<，∴当()121,p p m a -∈-时，m 不能等于集合A 的任何一个子集的所有元素之和，因此假设不成立，即()121,2,,k k a k n -≤=⋯成立，122018n a a a ∴=++⋯+ 112221n n -≤++⋯+=-，即22019n ≥，11n ∴≥， 2018A S =，12a a ∴++⋯+ 12018n n a a -=-，若20181n n a a -<-时，则当()2018,n n m a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素之和为m ，故20181n n a a -≥-，即1009n a ≤，此时可构造集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,498,1009A =， 当{}2,21m ∈+时，m 可以等于集合{}1,2中若干个不同元素之和，于是，当{}22222,21,22,23m ∈+++时，m 可以等于集合{}21,2,2中若干个不同元素之和， ……于是，当{}88882,21,22,,2255m ∈++⋯+时，m 可以等于集合{}281,2,2,,2⋯中若干个不同元素之和，于是，当{}4983,4984,,498511m ∈++⋯+时，m 可以等于集合{}281,2,2,,2,498⋯中若干个不同元素之和，于是，当{}1009,10091,10092,,10091008m ∈++⋯+时，m 可以等于集合{}281,2,2,,2,498,1009⋯中若干个不同元素之和，∴集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,498,1009A =满足题设， ∴当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009.【点睛】本小题主要考查对于新定义的理解，考查利用放缩法证明不等式，综合性很强，属于难题.。
2021年上海市虹口区高考数学一模试卷填空与解答题综合练习含答案
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．+1由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n =++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，﹣a n﹣1=3a n，∴a n+1a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，能被8整除．综上，a3n﹣1。
2021届上海市虹口区高三上学期期末教学质量诊断(一模)数学试题
2021年上海市虹口区高三上学期期末教学质量诊断（一模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数1()2x f x +=的反函数1()fx -=______2．设全集,U R =若集合{}11,A x x =->则UA =______.3．若复数z 满足201520162zi i i=++（i 为虚数单位），则z =___________． 4．81x ⎫⎪⎭二项展开式的常数项为________. 5．行列式12cos()tan 25cos cot()x x xx ππ+-的最大值为______.6．在等差数列{}n a 中，1359a a a ++=，24615a a a ++=，则数列{}n a 的前10项的和等于________7．如图，已知双曲线C 的右焦点为F ，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C 的焦距为4，OFB ∆为等边三角形（O 为坐标原点，即双曲线C 的中心），则双曲线C 的方程为_________________.8．已知数据128,,,x x x 的方差为16，则数据121,x +2821,,21x x ++的标准差为______.9．已知抛物线28x y =的弦AB 的中点的纵坐标为4，则AB 的最大值为__________. 10．如图所示，半径2R =的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.11．锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12364,a a a =且2135215()(),n n S a a a a n N *-=++++∈则______.n a =13．在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的,n N *∈都有1,n n a a +≤且对任意的,k N *∈数列{}n a 中恰有k 个k ，则2016________.a =14．若函数()()()2,1,3,1xa x f x x a x a x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.二、单选题15．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知0>ω,0ϕπ<<，直线x ＝4π和x ＝54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，则ϕ＝（ ） A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 17．已知a b 、均为单位向量，且0.a b ⋅=若435,c a c b -+-=则c a +的取值范围是（ ） A ．3,10⎡⎤⎣⎦B ．[]3,5C ．[]3,4D ．10,5⎡⎤⎣⎦18．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞ B ．(]3,3-C ．[)3,3-D ．(),3-∞三、解答题19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知它的底面边长为10，高为20.（1）求正三棱柱111ABC A B C -的表面积与体积；（2）若P Q 、分别是1BC CC 、的中点，求异面直线PQ 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.20．已知ABC ∆的面积为S ，且.AB AC S ⋅= （1）求sin cos ,tan 2A A A ,的值； （2）若,6,4B CA CB π=-=求ABC ∆的面积S .21．对于函数1(),1f x x=-定义[]11()(),()()().n n f x f x f x f f x n N *+==∈已知偶函数()g x 的定义域为(,0)(0,),(1)0g -∞⋃+∞=；当0,x >且1x ≠时，2015()().g x f x =（1）求234(),(),(),f x f x f x 并求出函数()y g x =的解析式；（2）若存在实数,()a b a b <使得函数()g x 在[],a b 上的值域为[],mb ma ，求实数m 的取值范围.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，2n n S n na +=（*n ∈N ）.（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12335(21)23nn n b b b n b a +++⋅⋅⋅+-=⋅+，求证：数列{}n b 是等比数列；（3）由数列{}n a 的项组成一个新数列{}n c ：11c a =，223c a a =+，34567c a a a a =+++，⋅⋅⋅，1112212221n n n n n c a a a a ---++-=+++⋅⋅⋅+，设n T 为数列{}n c 的前n 项和，试求lim 4n nn T →∞的值.23．已知椭圆2222C:1(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，短轴的两个端点分别为A 、B ，且2AB =，ABF 为等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点M 在椭圆C 上且位于第一象限内，它关于坐标原点O 的对称点为N ；过点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，直线NH 与椭圆C 交于另一点J ，若1HM HN 2⋅=-，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；（3）已知12l l 、是过点A 的两条互相垂直的直线，直线1l 与圆224O x y +=：相交于P Q 、两点，直线2l 与椭圆C 交于另一点R ；求PQR 面积取最大值时，直线1l 的方程.参考答案1．2log 1(0)x x -> 【解析】 【分析】 由120x y +=>可得2log 1(0)x y y =->，x 、y 互换，即可求得反函数.【详解】 因为120x y +=>，所以2log 1(0)x y y =->，交换x 、y 的位置可得函数12x y +=的反函数1()fx -=2log 1(0)x x ->，故答案为：2log 1(0)x x ->. 【点睛】本题考查指数函数的反函数的求法，属于基础题，解题时注意对数函数和指数函数的相互转化，反函数的定义域是原函数的值域. 2．[]0,2 【分析】解出绝对值不等式，求出集合A ，再求UA .【详解】{}{110A x x x x =->=<或}2x >，因此，{}U=02A x x ≤≤.故答案为：[]0,2. 【点睛】本题考查绝对值不等式，集合的补集概念，属于基础题. 3．3i - 【解析】 已知i 为虚数单位 则21i =- 又2015201612zi i i i=+=-++ 所以20152016(2)()(2)(1)3z i ii i i i =++=+-=-4．28 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项公式，求出展开式的常数项． 【详解】解：81x ⎫⎪⎭展开式的通项为()848318811rrrr r r r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，解得2r，所以常数项为()22038128T C x =-=故答案为：28 【点睛】本题解决二项展开式的特定项问题，常利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题． 5．13 【分析】根据行列式计算规则化简行列式得12cos 5sin x x -，再逆用两角和与差的正弦公式再次将式子化简为13sin()x θ+，由正弦型函数的值域可求得最小值. 【详解】12cos()tan 12cos()cot()5cos tan 225cos cot()x x x x x x xx ππππ+=+---12(sin )(cot )5sin 12cos 5sin 13sin()13x x x x xx θ=---=-=+≤行列式12cos()tan 25cos cot()x x xx ππ+-的最大值为13.故答案为：13 【点睛】本题考查行列式的计算，利用三角函数诱导公式及恒等变换化简，属于基础题. 6．80 【分析】由题意可求出等差数列的首项和公差,代入等差数列的前n 项和公式计算可得.在等差数列{}n a 中, 135339a a a a ++==,所以33a =,2464315a a a a ++==,所以45a =,所以公差43532d a a =-=-=, 所以1323221a a d =-=-⨯=-, 所以数列{}n a 的前10项的和10110(101)102S a d -=+⨯10910(1)2802⨯=⨯-+⨯=. 故答案为:80. 【点睛】本题考查了等差数列的基本量的运算以及前n 项和的公式,属于基础题.7．2213y x -=【分析】由题意知点(,0)A a ，(2,0)F ，B x a =，由点B 在渐近线上求出点B 坐标，又因为OFB ∆为等边三角形且BA OA ⊥，所以点A 为OF 的中点，求出a ，再求出b ，从而写出双曲线方程. 【详解】由题意知点(,0)A a ，(2,0)F ，B x a =，双曲线的一条渐近线为：by x a=±， 因为点B 是渐近线上的点所以B by a b a=⋅=，即点(,)B a b ， 因为OFB ∆为等边三角形且BA OA ⊥，所以点A 为OF 的中点，即1a =，所以b ==2213yx -=.故答案为：2213y x -=【点睛】本题考查双曲线的标准方程及几何性质，等边三角形的性质，属于基础题. 8．8由方差的性质先求出数据121,x +2821,,21x x ++的方差，再求其标准差.【详解】 因为数据128,,,x x x 的方差为16，由方差的性质知数据121,x +2821,,21x x ++的方差为221664⨯=，所以数据121,x +2821,,21x x ++8=.故答案为：8 【点睛】本题考查数据的标准差的求法，注意方差性质的合理应用，属于基础题. 9．12 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知128y y +=，根据三角形两边之和大于第三边可得1248412AB AF BF y y ≤+=++=+=，.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，因为AB 的中点的纵坐标为4，所以128y y +=， 由三角形性质知1248412AB AF BF y y ≤+=++=+=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查焦点弦公式，中点坐标公式，属于基础题. 10．8π 【分析】设出圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，由正弦型函数的单调性求出圆柱侧面积的最大值，求出球的表面积，即可求得两者的差值. 【详解】设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α（(0,)2πα∈），则2cos r α=，圆柱的高为4sin h α=，圆柱的侧面积为：216sin cos 8sin 2S rh ππααπα===，当22πα=，即4πα=时，sin 2α取最大值1，圆柱的侧面积取最大值为8π， 所以当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为24288πππ⨯-=. 故答案为：8π 【点睛】本题考查柱体、球体的表面积，球的内接几何体，将面积用三角函数表示使计算过程更加简洁，属于中档题. 11．5091【分析】分析出每种水饺都至少取到1个包含的三种情况，先求出从中任意舀取4个水饺包含的基本事件总数，再求出至少取到1个包含的基本事件数，由此能求出每种水饺都至少取到1个的概率. 【详解】每种水饺都至少取到1个包含三种情况：①肉馅2个，其余均1个；②三鲜馅2个，其余均1个；③菌菇馅2个，其余均1个.所以每种水饺都至少取到1个的概率为11123555415355105015141312914321C C C C P C ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故答案为：5091【点睛】本题考查概率的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 12．14n - 【分析】利用等比数列的性质求出2a ，再令1n =得21215S a a a =+=，求出1a ，即可求得q ，即可求得等比数列{}n a 的通项公式. 【详解】由等比数列的性质可得3123264a a a a ==，求得24a =，因为2135215()(),n n S a a a a n N *-=++++∈当1n =时，21215S a a a =+=，解得11a =，则4q =， 所以14n n a -=故答案为：14n - 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和，属于中档题. 13．63 【分析】由已知条件判断出数列中各项的特点，再判断出第2016项所在的组，即可求出2016a . 【详解】由题意知数列{}n a 中有1个1,2个2,3个3，，即数列是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，当63k =时，63641236320162⨯++++==， 所以第2016项属于第63组，201663a = 故答案为：63 【点睛】本题考查无穷数列的特定项，观察出数列中各项的特点是解题的关键，属于中档题. 14．()1,12,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】函数()()()2,1,3,1xa x f x x a x a x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩恰有两个零点分为两种情况讨论：函数2xy a =-在(,1]-∞上没有零点且函数()()3y x a x a =--在(1,)+∞上有两个零点；函数2xy a =-在(,1]-∞上有一个零点且函数()()3y x a x a =--在(1,)+∞上有一个零点.注意1x =处的函数值与零点情况. 【详解】①若函数2xy a =-在(,1]-∞上没有零点，即20a -<或0a -≥，解得2a >或0a ≤，若函数()f x 有两个零点，则函数()()3y x a x a =--在(1,)+∞上有两个零点， 当0a ≤时，若1x >，()()30y x a x a =-->，此时，函数()()3y x a x a =--在(1,)+∞上没有零点；若2a >，则32a a >>，所以2a >时函数()f x 有两个零点；②若函数2xy a =-在(,1]-∞上有一个零点，即200a a -≥⎧⎨-<⎩，解得02a <≤，若函数()f x 有两个零点，则函数()()3y x a x a =--在(1,)+∞上有一个零点，当02a <≤时，3a a >，需311a a >⎧⎨≤⎩，解得1(,1]3a ∈；综上所述，当()1,12,3a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦时，函数()f x 有两个零点.故答案为：()1,12,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了利用分段函数的零点个数，考查分类讨论的思想应用，属于中档题. 15．B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 16．A 【分析】 由于直线x ＝4π和x ＝54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，所以可得2T π=，从而可求出1ω=，又由直线x ＝4π为函数()sin()f x x ωϕ=+图象的对称轴，可得sin()14πϕ+=±，从而可求出ϕ的值【详解】 解：因为直线x ＝4π和x ＝54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，所以5244T πππ=-=，即2T π= 所以22ππω=，解得1ω=，所以()sin()f x x ϕ=+， 因为直线x ＝4π为函数()sin()f x x ωϕ=+图象的对称轴， 所以sin()14πϕ+=±，得,42k k Z ππϕπ+=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈，因为0ϕπ<<，所以4πϕ=故选：A 【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用，属于基础题. 17．B 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设(0,1)a b ==(1,0),，(,)c x y =，代入435,c a c b -+-=由其几何意义可得点(),x y 的轨迹，再由c a +的几何意义求得取值范围. 【详解】因为a b 、均为单位向量，且0a b ⋅=，所以设()1,0a =，(0,1)b =，(,)c x y =，代入435,c a c b -+-=5=，即点(),x y 到点(4,0),(0,3)A B 的距离和为5，所以点(),x y 的轨迹是点(4,0),(0,3)之间的线段，线段AB 的方程为1(04)43x yx +=≤≤即34120(04)x y x +-=≤≤， (c a x +=+(1,0)M -到线段AB 上点的距离，最小值为点(1,0)M -到线段34120(04)x y x +-=≤≤的距离，min31235c a--+==，最大值为5MA =. 所以c a +的取值范围为[]3,5. 故答案为：B. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，两点之间的距离公式，点到直线的距离等，利用坐标法解答是解题的关键，属于中档题. 18．B 【分析】作函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，从而可得124x x +=-，341x x =，3114x ≤<，从而解得结果. 【详解】 作出函数22,0()log ,0x x f x xx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下图所示：可得：124x x +=-，341x x =，所以()12234333114x x x x x x x ++=+-， 因为230log 2x <-≤， 所以3114x ≤<， 所以331343x x -<-≤，所以3122341()x x x x x ++的范围是(]3,3-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关求范围的问题，考查利用数形结合求有关函数的零点所满足的条件，属于中档题.19．（1）600+，（2）. 【分析】（1）由1111123ABC ABB A ABC A B C S S S ∆-=+矩形正三棱柱，能求出正三棱柱111ABC A B C -的表面积，再由底面积乘高求出正三棱柱111ABC A B C -的体积．（2）连结1BA ，1BC ，则1//BC PQ ，11//A C AC ，从而11BC A ∠等于异面直线PQ 与AC 所成角，由此能求出异面直线PQ 与AC 所成角的大小．【详解】（1）1111122321031020600ABC ABB A ABC A B C S S S ∆-=+=+⨯⨯=+矩形正三棱柱，111211020ABC ABC A B C V S AA ∆-=⋅=⨯=正三棱柱．（2）连结1BA ，1BC ，则1//BC PQ ，又11//A C AC ， 故11BC A ∠等于异面直线PQ 与AC 所成角.由已知得111110BC BA AC ===，故222111111111cos 2BC AC BA BC A BC AC +-∠==⋅⋅．于是异面直线PQ 与AC所成角的大小为.【点睛】本题考查正三棱柱的体积和表面积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（1）4sin ,cos tan 2.3A A A ===- （2）12 【分析】（1）由AB AC S ⋅=得1cos sin 2c b A c b A ⋅⋅=⋅⋅⋅，可求出tan A ，由同角三角函数的关系求得sin cos A A ,，由二倍角的正切公式可求得tan 2A ； （2）由6CA CB -=，得6BA =，即6c =，再利用正弦定理sin sin b cB C=求出b ，将相应值代入三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可得解. 【详解】（1）由AB AC S ⋅=得1cos sin 2c b A c b A ⋅⋅=⋅⋅⋅，1cos sin 2A A = tan 2A ⇒=，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由221cos sin 2cos sin 1sin 0A A A A A ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin ,cos 55A A ==，因此，22tan 4tan 2=1tan 3A A A =--； （2）由6CA CB -=，得6BA =，即6c =由正弦定理，有6sin sin sin sin()b c c Bb B C A B =⇒===+于是11sin 612.225S bc A =⋅=⋅⋅= 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理解三角形，三角形面积公式，涉及向量的加法运算与数量积，属于基础题. 21．（1）()21()10,1,f x x x x =-≠≠3()(0,1)f x x x x =≠≠，41()(0,1)1f x x x x=≠≠-，1()1g x x =-（2）1,0.4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）按[]1()()n n f x f f x +=的规律，逐步计算234(),(),(),f x f x f x 观察发现对任意的n N ∈，有3()()(2,3,4),n i i f x f x i +== 从而求出2015()f x ，由()g x 是偶函数可求得函数()y g x =的解析式；（2）由题意可知()g x 在[],a b 上递减且0ab >，分0a b <<和0a b <<两种情况讨论，在0a b <<时得出a b =推出矛盾，在0a b <<时可将问题转化为,a b 是方程11m x x+=的两个不相等的负实数根，转化为一元二次方程210m x x --=有两个不相等的负根，由根与系数的关系列出不等式组求出m 的取值范围 【详解】（1）因为()11()()1,1f x f x x x==≠- 故[]()2111()()10,1,111f x ff x x x xx===-≠≠-- [][]32431()()(0,1),11(1)1()()(0,1),1f x f f x x x x xf x f f x x x x===≠≠--==≠≠- 故对任意的n N ∈，有3()()(2,3,4),n i i f x f x i +== 于是20153671221()()()1(0,1);f x f x f x x x x⨯+===-≠≠ 故当0,1x x >≠时，20151()()1g x f x x==- 又(1)0g =，故当0x >时，1()1g x x=-由()g x 为偶函数，当0x <时，110,()()11.x g x g x x x->=-=-=+- 因此，11,0,()110.x xg x x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，，即()11g x x=-； （2）由于()y g x =的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞， 又,,a b mb ma <<可知a 与b 同号，且0m <， 函数()y g x =的图象，如图所示若0a b <<，则()g x 在[],a b 上单调递增，有1()11()1g a mb ag b ma b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，11a mabb mab -=⎧⎨-=⎩所以11a b -=-，解得a b =，不符合题意，舍去；若0a b <<，则()g x 在[],a b 上单调递减，由题意，有1()1,1()1,g a ma ag b mb b ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩故,a b 是方程11m x x+=的两个不相等的负实数根，即方程210m x x --=在(),0-∞上有 两个不相等的实根，于是140101010.4m a b mab m m ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=<⎨⎪⎪=->⎪⎩⇔-<< 综合上述，实数m 的取值范围为1,0.4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，一元二次方程根与系数的关系，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题. 22．（1）详见解析，23n a n =-；（2）12n n b -=；（3）1【分析】（1）通过计算出前几项的值，猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明；（2）通过12335(21)23nn n b b b n b a +++⋅⋅⋅+-=⋅+与123135(23)n b b b n b -+++⋅⋅⋅+-1123n n a --=⋅+作差，进而计算即得结论；（3）通过（2），利用分组法求和，进而计算可得结论． 【详解】（1）解：当1n =时，由1121S a +=，得11a =-； 由2120S a a =+=，得21a =；当3n =时，由33323233S a a +=+=，得33a =； 当4n =时，由444242104S a a +=+=，得45a =； 猜想：23()n a n n N *=-∈． 下面用数学归纳法证明：①当2n =时， 21a =，结论显然成立； ②假设当2n k =≥时，23k a k =-， 由条件知2n n S na n =-， 故11222k k k a S S ++=-＝()()111k k k a k ka k ++-+--⎡⎤⎣⎦ ＝()111k k k a ka ++--，于是()()()111(23)1121k k k a ka k k k k +-=+=-+=--， 从而12(1)3k a k +=+-，故数列{}n a 的通项公式为：23()n a n n N *=-∈；（2）证明：当1n =时，11231b a =+=，当2n ≥时，由条件得(21)n n b -＝[]12335(21)n b b b n b +++⋅⋅⋅+--[]123135(23)n b b b n b -+++⋅⋅⋅+-()()112323n n n n a a --=⋅+-⋅+()()1223225n n n n -=---()1221n n -=-从而12n nb -=，故数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列； （3）解：由题意，得1112212221n n n n n c a a a a ---++-=+++⋅⋅⋅+()()()()()111223221221227225n n n n n ---=-+-++++-+-()()111222322534224n n nn n --+⎡⎤-+-⎣⎦==- 故232313(4444)(222)4n n n T +=++++-+++234(41)2(21)44121n n --=--- 4423n n =-+，从而11lim lim 14()3()1424n n n n n n T →∞→∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（1）2214xy += （2）2215350x y ⎛⎛+= ⎝⎝ （3）1y x =-.（也可写成220y ++=.） 【分析】（1）由椭圆左焦点为F ，短轴的两个端点分别为A 、B ，且2AB =，ABF 为等边三角形，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程.（2）设00M x y （，），则由条件，知00x >，00y >，且00N xy --（，），00Hx（，）.推导出,N ,M ⎛⎭⎝⎭，进而求得直线NH的方程：40x y -=.由224014x y xy ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩求得J .再求出线段HJ 的中点坐标，由此能求出以线段NJ 为直径的圆的方程.（3）当直线1l 的斜率为0时，PQR S =.当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为10y kx k =-≠（），利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式，结合已知条件能求出结果.【详解】（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左焦点为F ，短轴的两个端点分别为A 、B 且2AB =，ABF 为等边三角形.∴由题意，得：22222b c b c a =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设00M x y （，），则由条件，知00x >，00y >，且00N x y --（，），00Hx （，）. 从而()()0000,y ,x ,y HM HN ==--.于是由()()2000010,y x ,y y 2HM HN ⋅=⋅--=-=-及00y >，得0y =再由点M 在椭圆C 上，得220014x y +=，求得0x =所以,N ,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 进而求得直线NH的方程：40x y --=.由224014x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩求得J .进||NJ == 线段NJ的中点坐标为.∴以线段NJ 为直径的圆的方程为：2215350x y ⎛⎛++= ⎝⎝. （3）当直线1l 的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意，当直线1l 的斜率为0时，由题意得PQR S =当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为10y kx k =-≠（），则点O 到直线1l 的距离为d ，从而由几何意义，得|PQ |==， 由于21l l ⊥，故直线2l 的方程为11y x k=-，由题意得它与椭圆C 的交点R 的坐标为22284,44k k k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，于是2|AR |k 4==+.故1||||2PQR S PQ AR =⋅=令u =232321613131313PQR u S u u u ∆==++，当且仅当u =>即2k =±时，上式取等号.>，故当k =()max PQR S =此时直线1l 的方程为：1y x =-.（也可写成220y ++=.） 【点睛】 本题考查了椭圆标准方程，圆的标准方程，面积的最值问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.。
上海市虹口区2021届高三一模数学试卷(含解析)
上海市虹口区2021届高三一模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．方程x2+2x+2＝0的根是．3．行列式的值等于．4．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为.（用数字作答）6．在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是．7．计算：＝．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝4，则p ＝．9．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．10．设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且满足|PF2|＝|F1F2|，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，则cos∠PF1F2＝．11．若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是．12．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，且S n＝+n（其中S n为数列{a n}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|14．在△ABC中，若•+＝0，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（）A．[0，3]B．C．[3，6]D．16．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．18．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当AP＝15km时，求∠APB的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求△P AB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？20．（14分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c＝0（其中a，b，c∈R），点P在直线l上．（1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；（2）若a、b、c是成等差数列，且P A⊥l，求|PB|的最大值；（3）若a、b、c是成等比数列，且P A⊥l，求|PB|的取值范围．21．（18分）设x是实数，n是整数，若，则称n是数轴上与x最接近的整数．（1）数列{a n}的通项为a n，且对任意的正整数n，n是数轴上与a n最接近的整数，写出一个满足条件的数列{a n}的前三项；（2）数列{a n}的通项公式为a n＝n，其前n项和为S n，求证：整数a n是数轴上与实数最接近的整数；（3）T n是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，d n是数轴上与T n最接近的正整数，求d1+d2+…+d2020．上海市虹口区2021届高三一模数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝（﹣3，2）．【分析】解关于A，B的不等式，求出A，B的交集即可．【解答】解：∵A＝{x|x+3＞0，x∈R}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}＝{x|﹣4＜x＜2}∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜2}，故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．方程x2+2x+2＝0的根是﹣1±i．【分析】先求出方程的判别式，再利用求根公式即可求解．【解答】解：因为判别式△＝4﹣8＝﹣4，所以由一元二次方程的求根公式可得方程的根为＝＝﹣1±i，故答案为：﹣1±i．【点评】本题考查了一元二次方程根的问题，涉及到复数问题，属于基础题．3．行列式的值等于1．【分析】利用行列式的计算公式即可得出．【解答】解：＝sinα（sinα+cosα）﹣cosα（sinα﹣cosα）＝sin2α+sinαcosα﹣cosαsinα+cos2α＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了行列式的计算公式，考查计算能力，属于基础题．4．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝6．【分析】由原函数的值域与其反函数的定义域的关系得对数方程，求解得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），要求f﹣1（4）的值，即可求使得log2（2x+4）＝4的x值，由log2（2x+4）＝4，得2x+4＝16，则x＝6．∴f﹣1（4）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查函数与其反函数间的关系，是基础的计算题．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为.（用数字作答）【分析】根据题意，由组合数公式计算从4人中选出2人的情况数目，而甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，有C42＝6种选法，则甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种，则甲、乙两人都没有被选到的概率P＝，故答案为：．【点评】本题考查概率的计算，涉及组函数公式的应用，属于基础题．6．在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是112．【分析】根据题意，求出（2x+1）8的展开式通项，分析可得当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即可得答案．【解答】解：根据题意，（2x+1）8的展开式通项为T r+1＝C8r（2x）8﹣r，当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即x2项的系数是112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．7．计算：＝2．【分析】当n→+∞时，去绝对值，然后分子分母同时除以n，则极限值可求．【解答】解：＝＝．故答案为：2．【点评】本题考查数列的极限及其运算，是基础题．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝4，则p ＝2．【分析】求得抛物线的焦点，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求得|AB|，解方程可得p的值．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），可得直线AB的方程为x＝，代入抛物线方程可得y2＝p2，即y＝±p，即有|AB|＝2p＝4，解得p＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．9．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可．【解答】解：由1﹣2sin2α＝cos2α，得1﹣cos2α＝2sin2α，即2sin2α＝4sinαcosα；又α∈（0，π），所以sinα≠0，所以sinα＝2cosα＞0；由sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1，解得cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．10．设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且满足|PF2|＝|F1F2|，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，则cos∠PF1F2＝．【分析】设双曲线的半焦距为c，求得双曲线的渐近线方程可得a，b，c的关系，求出△PF1F2的三条边，运用余弦定理可求cos∠PF1F2值．【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由双曲线的渐近线方程，可得＝，则c＝＝＝a，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c+2a，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是{9}．【分析】由算术平均数和几何平均数的定义求出a＝，b＝，且a≥b＞﹣2，再由a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列出方程组求出a＝4，b＝1，由此能求出p+q+pq的值形成的集合．【解答】解：∵a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，∴a＝，b＝，且a≥b＞﹣2，∵a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴，解得a＝4，b＝1，∴p+q＝8，pq＝1，∴p+q+pq＝9，∴p+q+pq的值形成的集合是{9}．故答案为：{9}．【点评】本题考查满足条件的集合的求法，考查算术平均数、几何平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，且S n＝+n（其中S n为数列{a n}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝0．【分析】由a n＝S n﹣S n﹣1，可推出a n＝﹣3n+1；由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f （x），可推出f（x）的周期性；再结合二项式定理，可证得a2021除4后余2，故f（a2021）＝f（2），从而得解．【解答】解：∵S n＝+n，∴S n﹣1＝a n﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减得，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣a n﹣1+1，化简整理得，a﹣1＝3（a﹣1），∴＝3，即数列{a n﹣1}是以﹣3为首项，3为公比的等比数列，∴a n﹣1＝﹣3•3n﹣1＝﹣3n，∴a n＝﹣3n+1．∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），∴令x＝2，则f（2）＝f（0）＝0，令x＝x﹣2，则f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x），∴f（4﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即f（x）是以4为周期的周期函数．∵a2021＝﹣32021+1＝﹣（4﹣1）2021+1＝﹣[42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020+40•（﹣1）2021]+1＝﹣[42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020]+2，其中42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020能被4整除，∴f（a2021）＝f（﹣32021+1）＝f（2）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查数列通项公式的求法、函数的周期性，以及二项式定理，考查学生灵活运用知识的能力，逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|【分析】对于选项A，D，分别给a，b取特殊值验证不成立即可，对于选项B，根据幂函数的单调性判断即可，选项C，根据指数函数的单调性判断即可求解．【解答】解：选项A：令a＝1，b＝，则a﹣b＝，而lg＝﹣lg2＜0，A错误，选项B：因为函数y＝x3在R上单调递增，又a＞b，所以有a3＞b3，则a3﹣b3＞0，B正确，选项C：因为函数y＝0.5x在R上单调递减，又a＞b，所以有0.5a＜0.5b，即0.5a﹣0.5b＜0，C错误，选项D：令a＝1，b＝﹣2，则|a|﹣|b|＝1﹣2＝﹣1＜0，D错误，故选：B．【点评】本题考查了幂函数以及指数函数的单调性，考查了特殊值法，属于基础题．14．在△ABC中，若•+＝0，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由条件求得•＝0，可得⊥，故∠A＝，由此可得△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，•+＝•（+）＝•＝0，∴⊥，∴∠A＝，则△ABC为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，属于基础题．15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（）A．[0，3]B．C．[3，6]D．【分析】三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，至少提供两个方面的信息①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；②第一个交点与第二个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从这两个方面考虑求得参数ω，φ，然后求出函数f（x）单调递增区间．【解答】解：与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，知函数的周期为T＝＝4﹣1＝3，解得ω＝，再由三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）知，1与2的中点必为函数的最大值的横坐标，由五点法知×+φ＝，解得φ＝﹣，∴f（x）＝A sin（x﹣）＝﹣A cos（x），令2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，解得3k≤x≤3k+，k∈Z，∴当k＝0时，f（x）的单调递增区间是[3，]．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式以及三角函数的图象与性质，属中档题．16．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【分析】通过直线AB与直线l的位置关系，画出图形，判断平面α的个数即可．【解答】解：①如图：当直线AB与l异面时，则只有一种情况；②当直线AB与l平行时，则由无数种情况，平面α可以绕着l转动；③如图，当直线l在AB的中垂面时，有两种情况．故选：C．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质的应用，是中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．【分析】（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，易知∠BMN或其补角即为所求，在△BMN中，由余弦定理，即可得解；（2）由V＝V P﹣ABC﹣V M﹣ABC，即可得解．【解答】解：（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，连接MN，BN，∵AP＝3，AM＝1，∴MN∥PC，∴∠BMN或其补角即为异面直线BM和PC所成的角，在△BMN中，BM＝，MN＝，BN＝，由余弦定理知，cos∠BMN＝＝＝，∴∠BMN＝arccos，∴异面直线BM和PC所成的角的大小为arccos．（2）V＝V P﹣ABC﹣V M﹣ABC＝S△ABC•（AP﹣AM）＝××3×3×2＝3，故三棱锥P﹣BMC的体积为3．【点评】本题考查棱锥的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想，找出异面直线的夹角，以及灵活运用割补法求体积是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算求解能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合奇函数的定义代入即可直接求解；（2）分a+1＝0和a+1≠0两种情况讨论，利用二次函数的图象与性质即可求解．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），则（a+1）（﹣x）2+（a﹣1）（﹣x）+（a2﹣1）＝﹣（a+1）x2﹣（a﹣1）x﹣（a2﹣1），所以，解得a＝﹣1．（2）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣2x，为减函数，不符合题意；当a≠﹣1时，函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1）的对称轴为x＝﹣，因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以，解得a．综上，实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．19．（16分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当AP＝15km时，求∠APB的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求△P AB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？【分析】（1）由题意可求得PB＝9，利用余弦定理可求cos∠APB的值，进而可求∠APB＝arccos．（2）设P A＝5x，则PB＝3x，利用余弦定理可求cos∠P AB＝+，利用同角三角函数基本关系式可得sin∠P AB＝，进而可求P到AB距离h＝，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）由题意P A＝15，，可得PB＝9，可得cos∠APB＝＝＝，所以∠APB＝arccos．（2）cos∠P AB＝，设P A＝5x，则PB＝3x，可得cos∠P AB＝+，可得sin∠P AB＝，P到AB距离h＝P A sin∠P AB，h＝5＝＝，当x2﹣34＝0，即x＝，h取得最大值为15km，因此选址方案满足P A＝5km，PB＝3km．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（14分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c＝0（其中a，b，c∈R），点P在直线l上．（1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；（2）若a、b、c是成等差数列，且P A⊥l，求|PB|的最大值；（3）若a、b、c是成等比数列，且P A⊥l，求|PB|的取值范围．【分析】（1）依题意，可得a＝b＝c≠0，则直线l的方程为x+y+1＝0，进而求得|PB|的最小值；（2）a，b，c成等差数列时，可得直线l过点M（1，﹣2），而点P在以AM为直径的圆上，由此求得|PB|的最大值；（3）联立，由此可得点P的坐标，进而利用两点间的距离公式得到|PB|2，再利用函数的性质得解．【解答】解：（1）∵a、b、c是常数列，∴a＝b＝c≠0，∴直线l的方程为x+y+1＝0，∴点B到直线l的距离为，∴|PB|的最小值为；（2）当a，b，c成等差数列时，2b＝a+c，即a﹣2b+c＝0，直线l过点M（1，﹣2），由于P A⊥l，故点P在以AM为直径的圆上，此圆的圆心为C（0，﹣1），半径为，方程为x2+（y+1）2＝2，而点B在此圆上，故|PB|的最大值为；（3）由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，a，b，c都不为0，由，得，∴＝，令，则，∴|PB|的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、点到直线的距离公式，圆的标准方程以及函数值域的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（18分）设x是实数，n是整数，若，则称n是数轴上与x最接近的整数．（1）数列{a n}的通项为a n，且对任意的正整数n，n是数轴上与a n最接近的整数，写出一个满足条件的数列{a n}的前三项；（2）数列{a n}的通项公式为a n＝n，其前n项和为S n，求证：整数a n是数轴上与实数最接近的整数；（3）T n是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，d n是数轴上与T n最接近的正整数，求d1+d2+…+d2020．【分析】（1）由题意可得|a n﹣n|＜，可得a1＝1，a2＝2，a3＝3，满足条件；（2）由题意可得＝，可证|﹣a n|＝＜，由题意可得整数a n是数轴上与实数最接近的整数．（3）由题意T n＝，T n为递增数列，可求d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，当n≥7时，|T n﹣6|＝6×（）n＜，可求d n＝6，即可求解d1+d2+…+d2020的值．【解答】解：（1）由题意可得a n＝n，可得|a n﹣n|＜，所以|a1﹣1|＜，a1＝1，满足条件；|a2﹣2|＜，a2＝2，满足条件；|a3﹣3|＜，a3＝3，满足条件；（2）因为a n＝n，所以S n＝，可得＝，所以|﹣a n|＝|﹣n|＝（﹣）＝＝＜，整数a n是数轴上与实数最接近的整数．（3）T n＝＝，T n为递增数列，T1＝2，所以d1＝2，T5＝，d5＝5；T2＝，所以d2＝3，T6＝，d6＝5；T3＝，所以d3＝4，T7＝，d7＝6；T6＝，所以d4＝5，当n≥7时，|T n﹣6|＝6×（）n＜，所以d n＝6，所以d1+d2+…+d2020＝2+3+4+5×3+6×2014＝12108．【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，考查了新定义和特值法的应用，属于中档题．。
上海市虹口区2021-2022学年高三上学期期末学生学习能力诊断测试(一模)数学试卷答案
虹口区2021学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1、{}4,2,1,0； 2、4； 3、1-； 4、12-； 5、3； 6、252-； 7、81arccos ； 8、5-； 9、4； 10、12π； 11、]22,2(； 12、{}2； 二、选择题（每小题5分，满分20分）13、C ； 14、D ； 15、B ； 16、C ； 三、解答题（本大题满分76分）17、（14分）解:（1） 4==BC AC ，24=AB ，满足222AC BC AC =+，∴BC AC ⊥. 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，∴1CC AC ⊥．又C BC CC =⋂1，∴⊥AC 平面11B BCC ．……………………5分164343131111=⨯⨯⨯=⋅⋅=-AC S V B BCC B BCC A 矩形…………7分（2）取11A B 的中点M ，连M C 1、AM ．由于111C M A B ⊥，又1111AA A B C ⊥平面，所以11AA C M ⊥，又1111A A A B A ＝，所以1111C M A B C ⊥平面，所以1C AM ∠是直线1AC 与平面11ABB A 所成的角.…………10分在直角三角形1C AM中，1C M =，15AC ==，所以111sin 5C M C AM AC ∠==，所以1arcsin 5C AM ∠=， 所以直线1AC 与平面11ABB A所成的角的大小等于arcsin5．………………14分 18、（14分）解：（1） )4cos()(απα+=f ，)4sin()(απα+=g .∴ααπαπααcos 2)4sin()4cos()()(=+++=+g f ………………4分当α为第一象限角时，由m =αsin ，得21cos m -=α,从而222cos 2)()(m g f -==+ααα.当α为第二象限角时，由m =αsin ，得21cos m --=α,∴222cos 2)()(m g f --==+ααα…………7分(2) 2)sin (cos 22)sin (cos 22)4sin()4cos()()(=+-=++=αααααπαπααg f ，解得31tan -=α…………10分 ∴52)tan 1(2tan 1)sin (cos 2sin cos )sin (cos 21)()(22222222=+-=+-=-=⋅ααααααααααg f .…14分 19、（14分）解：（1）当1=b 时，223)4(<=f ，所以当1=b 时不符合发放方案规定．3分 当0=b 时，()21142=+f x x ，显然当[]48∈，x 时，()f x 随x 的增大而增大，且()2211111(1)1024224⎡⎤-=+-=-+>⎣⎦f x x x x x 在[]48∈，x 上恒成立，即 ()f x 不低于50%x ，所以0=b 时符合发放方案规定．……………………7分（2）由题设可知，当[]48∈，x 时，()21142=-++f x x bx b 单调递增，且()2xf x ≥恒成立． 因为()f x 图像的对称轴方程为2=x b ，所以24≤b 即2≤b 时，()f x 在[]4,8单调递增．……………10分()2x f x ≥，即不等式2111(1)422-+≥-x x b x 在[]4,8上恒成立， 即2122()41-+≤-x x b x ，即11141⎡⎤≤-+⎢⎥-⎣⎦b x x 在[]4,8上恒成立，可以证明111-+-x x 在[]4,8上是单调递增函数，所以当4=x 时，111-+-x x 取最小值103，所以56≤b ． 综上，b 的取值范围是56⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．……………………14分20、（16分）解：（1）由已知12F F 、的坐标为()()2,0,2,0-，),2(1t P F =,),2(1t P F -=. 由P F P F 21⊥，得021=⋅P F P F ，∴0),2(),2(=-⋅t t ，042=-t ，∴2±=t .…………3分（2）设()()1111,0,0A x y x y >>,则()()1112112,,2,F A x y F A x y =+=-，因为721=⋅A F A F ，∴74),2(),2(21211111=+-=-⋅+y x y x y x ,112121=+y x又点A 在椭圆上，所以18122121=+y x .由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+18121121212121y x y x 得31=x ,21=y ，∴)2,3(A .…………………………6分又P F A F 11//,由)2,5(1=A F ,),2(1t P F =,∴225=t ,得522=t .………8分 （3）设存在定点(),Q a b ，使得QB QA ⋅是一个确定的常数λ.设),(11y x A ,),(22y x B ，直线)2(:+=x k y l ,将)2(+=x k y 代入181222=+y x ，整理得0)2(1212)23(2222=-+++k x k x k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+23)2(12231222212221k k x x k k x x …………………………10分∴))(())((),(),(21212211b y b y a x a x b y a x b y a x QB QA --+--=--⋅--=⋅)2)(2())((2121b k kx b k kx a x a x -+-++--=)44())(2()1(222212212a b bk k x x a bk k x x k ++-++--++=)44(2312)2(23)2(12)1(222222222a b bk k k k a bk k k k k ++-++-⋅--++-⋅+= λ=+-++--++=23)12(28)41233(222222k b a bk k a b a ………………14分 ∴0)12(28)341233(22222=--++---++λλb a bk k a b a∴⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-=--++0)12(20803412332222λλb a b a b a ,⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--++=012034123302222λλb a a b a b ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==944380λa b所以存在点)0,38(-Q ,=⋅QB QA 944-.……………………16分21、（18分）解:(1)84)33()161412108642(16141210986432210=+++++++++=+++++++++=S…………………………3分（2）由于φ=⋂B A ,在数列{}n a 中， 43=m a ,∴数列{}n a 前m 项中有3，23,33,43这四项，从而等差数列2，4，6，……，取了前4-m 项.所以有13)424-=-m （,解得44=m .……………………………………6分设数列{}n a 的前2022项中有集合B 中的项3，23,……，p3,有集合A 中的等差数列2，4，6，……，取其前p -2022项，从而有13)2022(2131-≤-≤++p pp 或)2022(213p p -=-p p p p 21340442131+-≤≤+++或404523=+p p ，解得7=p ，4030)72022(22022=-=∴a ………………………10分（3）由于φ=⋂B A 且数列{}n a 是递增数列. 若pkn k a a 3213==+-)(*∈N p ,则数列{}n a 的前k k +-213项中有集合B 中的项3，23,……，p3,有集合A 中的等差数列2，4，6，……，取其前p k k -+-213项，所以13)213(2-=-+-p k p k ,从而p k p k 2323+=+,又函数x y x23+=在R 上单调递增，所以k p =.即k kn k a a 3213==+-.若121333++-<=<p kn P k a a )(*∈N p ,由数列{}n a 是递增数列及以上的推理可得11213213213331+++-+-+-=<=<=+p p kn pPp k p a a a a ,可得12132132131++-<+-<+-+p k p p k p ,由函数x y x+-=213在R 递增,得1+<<p k p ,从而得出矛盾.……………………15分 综上数列{}n a 的前k k +-213项中有集合B 中的项3，23,……，k 3,有集合A 中的等差数列2，4，6，……，取其前213213-=-+-k k k k 项. ∴=-+++++++=)]13(42[)333(2k k n S 2213)]13(2[31)31(3-⋅-++--k kk 473632-⋅+=k k .……………………18分。