力偶与力偶系
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
力偶
不计梁和支杆的自重，求 A 和 B 端的约束力。
M
A
B
l
D
汽 车 机 械 基 础
45
3
2
1
动脑又动笔
选梁AB为研究对象 解：
M
A
B
FA = FB 列平衡方程： ∑M = 0 ，
l
D
45
A
FA
45o
M
B
M－ FA l cos45o = 0 FA = FB= √2M / l
汽 车 机 械 基 础
FB
汽 车 机 械 基 础
3
力偶与力偶系
汽 车 机 械 基 础
2
1
3
2
1
一、力偶的概念
在工程实践中常见物体受两个大小相等、
方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物
体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向 盘等。
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
一、力偶的概念
定义：
两个大小相等，方向相反，且不共 线的平行力组成的力系称为力偶。 力偶的表示法 书面表示（F，F/）
d1
F 2
d2
F
F 1
F d = F1 d 1 = F2 d 2 = M
F 2
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
力偶的作用面可任意平移
M
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
三、力偶的性质
结论： 只要保持力偶矩矢量不变，不会 改变力偶对刚体的作用效应。 力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩矢 量 M。
汽 车 机 械 基 础
正 负
汽 车 机 械 基 础
M
A
B
l
D
汽 车 机 械 基 础
45
3
2
1
动脑又动笔
选梁AB为研究对象 解：
M
A
B
FA = FB 列平衡方程： ∑M = 0 ，
l
D
45
A
FA
45o
M
B
M－ FA l cos45o = 0 FA = FB= √2M / l
汽 车 机 械 基 础
FB
汽 车 机 械 基 础
3
力偶与力偶系
汽 车 机 械 基 础
2
1
3
2
1
一、力偶的概念
在工程实践中常见物体受两个大小相等、
方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物
体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向 盘等。
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
一、力偶的概念
定义：
两个大小相等，方向相反，且不共 线的平行力组成的力系称为力偶。 力偶的表示法 书面表示（F，F/）
d1
F 2
d2
F
F 1
F d = F1 d 1 = F2 d 2 = M
F 2
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
力偶的作用面可任意平移
M
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
三、力偶的性质
结论： 只要保持力偶矩矢量不变，不会 改变力偶对刚体的作用效应。 力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩矢 量 M。
汽 车 机 械 基 础
正 负
汽 车 机 械 基 础
工程力学第2节 力偶和力偶系
合力偶矩
M2 FP2 d
FP1 FP2 2
• 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和
M M1 M 2 M n M i
i 1
n
平面力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩等于 零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。 平面力偶系平衡 的充分必要条件
Mi 0
i 1
n
例2-6 如图所示，在箱盖上要钻五个孔。现估计 各孔的切削力偶矩为 M1 = M2 = – 15Nm ，M3 = M4 = – 25Nm。 M5 = – 100Nm。当用多轴钻床同时加工这 5个孔时，问工件受到的总切削力偶矩 M 是多少？ 解 因 5 个力偶处于 同一个平面，所以它 们的合力矩等于各力 偶矩的代数和，即
注意
力偶是特殊的力系，具有它自己的特性。
力偶的合力矢为零，力偶对物体不产生移 动效应，只产生转动效应。
• 力偶矩：力偶中一个力的大小和力偶臂的乘积。
M F d
• “±”规定：以逆时针转向为正，顺时针转向为负。 力偶矩的单位：牛顿· 米（N· m）表示。 1）两个在同一平面内的力偶，如果力偶矩 结论 相等，则两个力偶彼此等效。 2）力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改 变它对物体的作用效果。 3）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以同 时改变力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物 体的作用。
一、力偶的概念及等效
• 力偶：把大小相等、方向相反并且不共线的两个平 行力称为，记作 ( F ， F ) 。
一、力偶的概念及等效 • 力偶：把大小相等、方向相 反并且不共线的两个平行力 称为，记作 ( F，F ) 。 • 力偶作用面：力偶中两个力 所决定的平面。 • 力偶臂：两个力作用线之间的垂直距离，以 d 表示。
M2 FP2 d
FP1 FP2 2
• 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和
M M1 M 2 M n M i
i 1
n
平面力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩等于 零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。 平面力偶系平衡 的充分必要条件
Mi 0
i 1
n
例2-6 如图所示，在箱盖上要钻五个孔。现估计 各孔的切削力偶矩为 M1 = M2 = – 15Nm ，M3 = M4 = – 25Nm。 M5 = – 100Nm。当用多轴钻床同时加工这 5个孔时，问工件受到的总切削力偶矩 M 是多少？ 解 因 5 个力偶处于 同一个平面，所以它 们的合力矩等于各力 偶矩的代数和，即
注意
力偶是特殊的力系，具有它自己的特性。
力偶的合力矢为零，力偶对物体不产生移 动效应，只产生转动效应。
• 力偶矩：力偶中一个力的大小和力偶臂的乘积。
M F d
• “±”规定：以逆时针转向为正，顺时针转向为负。 力偶矩的单位：牛顿· 米（N· m）表示。 1）两个在同一平面内的力偶，如果力偶矩 结论 相等，则两个力偶彼此等效。 2）力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改 变它对物体的作用效果。 3）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以同 时改变力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物 体的作用。
一、力偶的概念及等效
• 力偶：把大小相等、方向相反并且不共线的两个平 行力称为，记作 ( F ， F ) 。
一、力偶的概念及等效 • 力偶：把大小相等、方向相 反并且不共线的两个平行力 称为，记作 ( F，F ) 。 • 力偶作用面：力偶中两个力 所决定的平面。 • 力偶臂：两个力作用线之间的垂直距离，以 d 表示。
力偶与力偶系
平面力 平面力 偶 的 特 点
平面力偶矩可视为代数量，即 平面力偶矩可视为代数量，
M = ±Fd
其中正负号表示力偶的转向：一 般以逆时针转向为正，反之为负。
同平面内力偶的等效定理 定理： 在同平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
这就是同平面内力偶等效的条件。
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变， 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可 在作用面内任意移动， 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不 变。
关于力偶性质的推论
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F´
F F´
只要保持力偶矩矢量不变， 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可 在作用面内任意移动， 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不 变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 保持力偶矩矢量不变， 力偶臂大小，其作用效果不变。 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
力偶系及其合成
同平面内的力偶，由力偶性质 的推论，可同时改变其臂长，使其 臂长相等，并将它们在平面内转移， 使力的作用线重合，然后相加形成 新的力偶，这就是合力偶。
力偶与力偶系例题 例题 1
受力分析: 受力分析:
1. AB杆为二力杆; 杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B 二处分别受有一 个方向虽然未知、 个方向虽然未知、 但可以判断出的 力.
力偶与力偶系例题 例题 1 讨 论
怎样确定B、C二处的约束力
第三章 力偶系
(2)再将Q, F合成R， Q', F'合成R'， 得到新力偶(R, R'),
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点，则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2， 总能将其等效为两个共力臂的力偶：
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩：
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩： M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系，对O点 的合力矩为：
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向：
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点，则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2， 总能将其等效为两个共力臂的力偶：
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩：
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩： M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系，对O点 的合力矩为：
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向：
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR
第3章 力偶系 (1)
M ox i M oy j M oz k
静力学
第3章 力偶系
四、合力矩定理
若作用在刚体上的力系存在合力 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则有： M O ( FR ) M O (Fi )
i 1
n
z
F1
F2
z
F2
rn
Fn
y
FR
rR
O
r2 O
y
n
rR
Fn
x
r1
F1
F
M O ( F ) M O ( F ' ) F ( x d ) F 'x
F d
B A d
x
O
F'
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
静力学
第3章 力偶系
§3-3 力偶的等效条件和性质 力偶的三要素
（1）力偶矩的大小； （2）力偶的转向； （3）力偶的方位。 一、力偶等效条件
rBA
F
A
静力学
第3章 力偶系
力偶矩
F x
d O F
其转动效应——力对点之矩，即用力偶中的两个力 对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。
M ( F , F ' ) Fd 或 M Fd
+ —
静力学
第3章 力偶系
力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与 矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。
•作用于刚体上的两个力偶等效的条件是它们的力偶矩矢相等。 在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相 等，而且转向相同，则此两力偶等效。 例如：方向盘
FP
C
F'
B FP '
工程力学第三章 力 偶 系
§3-5 力偶系的合成 对于任意一个力偶系，可以将力偶矩矢移到一个汇交点， 再按照矢量合成的方法将矢量合成为一个合矢量，这个合矢 量就是力偶系的合力偶。而且有：
MR = M1+ M2+ + Mn = ∑M
对于平面力偶系，力偶只有顺时针和逆时针两种转向，所 以力偶可以看成代数量规定:逆时针为正、顺时会为负。 所以平面力偶系的合力偶
MR = M1+ M2+ …+ Mn = ∑M
§3-6 力偶系的平衡条件 对于任意一个力偶系，它的平衡条件是合力偶矩矢为零。
即：MR = ∑M = 0
M1x+ M2x+ + Mnx = ∑Mx = 0 M1y+ M2y+ + Mny = ∑My = 0 M1z+ M2z+ + MnZ = ∑Mz = 0
二、空间中力对点之矩 M0（F）= r × F
§3-2力对轴之矩 一、力对轴之矩的概念
1、定义：对力使它所作用的物体绕轴转动效果的度量。 它是一个代数量。
2、特例：力与轴平行： MZ（F）=0 力与轴相交： MZ（F）=0
力与轴在同一平面内时力对轴之矩为零。 3、合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一 轴之矩的代数和。
§3-4 力偶的等效条件和性质 一、力偶的等效条件（41页） 两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。 二、力偶的性质 1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 2、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平 面，而不改变对刚体的作用效果。
=
=
=
3、在保持力偶的转向和力偶矩的大小不变的条件下， 可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变 力偶对刚体的作用。
第三章 力偶系
M M
M（+）
M M M
（-）
注意:力偶的转向与力偶矢方向的区别与关联! M
§3-5 力偶系的合成(简化)
设作用于刚体上的两个力偶M1, M2：
M1 F1, F1'
F1
M2 F2, F2'
Q F F1 F2
F2
F ' F1' F2'
MR F, F '
F
M F1' F ' 1
MR M1 M2 ... Mn M
M1Fn
F1 o
Fn’ F2
＝ M1
F1’
F2’
§3-5 力偶系的合成(简化)
合力偶矩矢：
z
MR M1 M2 ... Mn M
将上述矢量式对坐标轴投影得：
M Rx M1x M2x ... Mnx M x M Ry M1y M2 y ... Mny M y M Rz M1z M2z ... Mnz M z
二个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。
M1
M2
B rBA
F1'
A
M1 rBA F1
F1
M1 M2
D
rDC
F2
F2'
C
M 2 rDC F2
0.4m
60N
0.4m
60N
40N 0.6m
M=24N.m
§3-4 力偶的等效条件和性质 二、力偶的性质
性质一： 力偶不能与一个力等效(即力偶无合力)，因 此也不能与一个力平衡。
MO MO (F1) MO (F2 ) 力对点之矩矢服从矢量的合成法则 对空间力系(F1, F2, …, Fn)，有：
MO MO (F1) MO (F2 ) ... MO (Fn )
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O1
=( rA - rB ) F
= rBA F
其方向亦可由 右手定则确定。
力偶的特点
特点一 :力偶无合力,即主矢FR=0. 特点二 :力偶对刚体的运动效应只
与力偶矩矢量有关.
平面力 偶 的 特 点
特点一 :力偶无合力,即主矢FR=0. 特点二 :力偶对刚体的运动效应只
与力偶矩的大小和力偶在 作用面内的转向有关.
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作 用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
力偶与力偶系
力偶的定义
F1
r1
r2
rBA
F2
力 偶 : 大小
相等,方向相反,不共 线的两个力所组成 的力系.
力偶实例
力偶实例
F1
F2
力偶矩矢量
力偶对O点之矩 等于这个力系中 的两个力对该点 之矩之和
力偶矩矢量
MO = MO(F) + MO(F´)
= rAF + rBF´
= rAF - rB F
平面力 偶 的 特 点
平面力偶矩可视为代数量，即
MFd
其中正负号表示力偶的转向：一 般以逆时针转向为正，反之为负。
同平面内力偶的等效定理 定理：
在同平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
这就是同平面内力偶等效的条件。
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作 用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
力偶与力偶系例题 例题 1
讨论
怎样确定B、C二处的约束力
平面力偶系的平衡条件为n源自Mi 0i1力偶与力偶系例题
例题 1
已知: 结构受力如图
所示,图中M, r均为 已知,且l=2r.
试: 画出AB和BDC杆
的受力图; 求A,C二处的约
束力.
力偶与力偶系例题
例题 1
受力分析:
1. AB杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B
二处分别受有一 个方向虽然未知、 但可以判断出的 力.
力偶系及其合成
同平面内的力偶，由力偶性质 的推论，可同时改变其臂长，使其 臂长相等，并将它们在平面内转移， 使力的作用线重合，然后相加形成 新的力偶，这就是合力偶。
力偶系及其合成
平面力偶系合成的结果 :
仍然是一个力偶，其力偶矩等于原力偶系中所 有力偶矩之代数和。即
n
M= M
i=1
i
力偶系的平衡