第三章平面力偶系

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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系

工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系

D
x
§3-2 关于力偶的概念

力偶:一对等值、反向而不共线的平行力,用 符号(F ,F′)表示。

力偶臂:两个力作用
线之间的垂直距离d。

F’
F
力偶的作用面:两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念

Q AABD AABC 显然, 并注意到力偶矩的转向也相同, 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然, 1, P 1) 从而有M ,( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
(1)力对点之矩,不仅取决于力的大小,还与矩心的位置有关。
(2)力对任一点之矩,不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *(3)力的大小等于零或其作用线通过矩心时,力矩等于零。 (4)互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)=±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算

合力矩定理:
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’,B’,根 据力的可传性原理,有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M(P, P') AB BC 2 AABC

第三章_力对点的矩_平面力偶系

第三章_力对点的矩_平面力偶系

4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系:作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系:作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶, 平面力偶系合成的结果是一个合力偶,合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量,它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量,它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积,它的正负可按下法确定, 正负可按下法确定 与力臂的乘积,它的正负可按下法确定,力使物体绕 矩心逆时针转向时为正,反之为负。 矩心逆时针转向时为正,反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解: 因为杆AB为二力杆,故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆, BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A,B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡,所以支座O 与力偶平衡,所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ,且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程: ∑M = 0 的平衡方程:
力对点的矩

第三章 力偶系

第三章 力偶系
(2)再将Q, F合成R, Q', F'合成R', 得到新力偶(R, R'),
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点,则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1,M2, 总能将其等效为两个共力臂的力偶:
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩:
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩: M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题:力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系?
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系,对O点 的合力矩为:
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注:力偶矩矢垂直于力偶所在的平面,其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向:
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR

力对点的矩和平面力偶系

力对点的矩和平面力偶系

第三章 力对点的矩和平面力偶系一、内容提要本章研究了力矩和力偶。

1.力矩及计算(1)力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。

力矩等于力的大小与力臂的乘积。

在平面问题中它是一个代数量。

一般规定:力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正,反之为负。

用公式表达为()Fd F M O ±=(2)合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩,等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。

用公式表达为()()F M F M O O ∑=R2.力偶的基本理论(1)力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系,称为力偶。

力偶与力是组成力系的两个基本元素。

(2)力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。

为代数量,规定:逆时针方向转动为正,反之为负。

用公式表达为:Fd M ±=(3)力偶的性质力偶不能合成为一个合力,不能用一个力代替,力偶只能与力偶平衡。

力偶在任一轴上的投影恒为零。

力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩,与矩心位置无关。

在同一平面内的两个力偶,如果它们的力偶矩大小相等,转向相同,则这两个力偶等效。

力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素:力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。

(4)平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成结果为一个合力偶,合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。

用公式表达为:M R =ΣM平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。

用公式表达为:ΣM = 0二、思考题提示或解答3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。

答:平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩,等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。

这就是平面力系的合力矩定理。

应用合力矩定理在于简化力矩的计算。

当力臂不易确定时,可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力,在求出两分力的力矩后,再代数相加即可。

3-3 二力平衡中的两个力,作用与反作用公理中的两个力,构成力偶的两个力各有什么不同?答:二力平衡中的两个力等值、反向、共线,共同作用在一个物体上;作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线,分别作用在两个物体上; 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行,也作用在一个物体上。

工程力学第三章 力 偶 系

工程力学第三章  力 偶 系

§3-5 力偶系的合成 对于任意一个力偶系,可以将力偶矩矢移到一个汇交点, 再按照矢量合成的方法将矢量合成为一个合矢量,这个合矢 量就是力偶系的合力偶。而且有:
MR = M1+ M2+ + Mn = ∑M
对于平面力偶系,力偶只有顺时针和逆时针两种转向,所 以力偶可以看成代数量规定:逆时针为正、顺时会为负。 所以平面力偶系的合力偶
MR = M1+ M2+ …+ Mn = ∑M
§3-6 力偶系的平衡条件 对于任意一个力偶系,它的平衡条件是合力偶矩矢为零。
即:MR = ∑M = 0
M1x+ M2x+ + Mnx = ∑Mx = 0 M1y+ M2y+ + Mny = ∑My = 0 M1z+ M2z+ + MnZ = ∑Mz = 0
二、空间中力对点之矩 M0(F)= r × F
§3-2力对轴之矩 一、力对轴之矩的概念
1、定义:对力使它所作用的物体绕轴转动效果的度量。 它是一个代数量。
2、特例:力与轴平行: MZ(F)=0 力与轴相交: MZ(F)=0
力与轴在同一平面内时力对轴之矩为零。 3、合力矩定理:合力对任一轴之矩等于各分力对同一 轴之矩的代数和。
§3-4 力偶的等效条件和性质 一、力偶的等效条件(41页) 两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。 二、力偶的性质 1、力偶不能与一个力等效,也不能与一个力平衡。 2、力偶可在其作用面内任意转移,或移到另一平行平 面,而不改变对刚体的作用效果。
=
=
=
3、在保持力偶的转向和力偶矩的大小不变的条件下, 可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小,而不改变 力偶对刚体的作用。

工程力学第3章(力偶系)

工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm, ,
,力偶臂d , F2 = F2' = 120N,力偶臂 2=300mm , F3 = F3' = 80 N,
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ,i ) =
cos( M R,j ) = MR

理论力学03力矩力偶与平面力偶系

理论力学03力矩力偶与平面力偶系

本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶; 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和,即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明:根据平面力偶系的平衡方程,可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m,M = 100 kN·m ;若不计梁的自重,试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩,与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论:力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶:
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系:由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 (各构件的自重不计)
解: 1)首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2)再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶,记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩,简称力偶矩。
说明: 1)平面内力偶矩为代数量,其正负号表转向,一般规定 逆时针转向为正,反之为负。

力矩和平面力偶系

力矩和平面力偶系
(力偶三要素:力偶矩旳大小;力偶旳转向和力 偶旳作用面。)
所以两个力偶等效,必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同,转向相同,作用面相同。(对刚体, 可作用面平行。)
例题:
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2.习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下,力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应,需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 (F,F‘)
该力偶对作用面内任 一点O之矩为:
O x
F
F’ d
Mo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积,而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量,该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上,作用于物体上旳力 能够对任意点取矩,即矩心可是空间中 旳任意点。
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1.何谓力偶?
由两个等值、反向、不共线的(平行)力组成的 力系称为力偶,记作 F , F 7
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面。
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。
两个要素
a.大小:力与力偶臂乘积
b.方向:转动方向 c. 力偶的作用面 力偶矩
1 M F d 2 F d 2ABC 2
又∵
5
[例] 已知:如图 F、Q、l, 求:mO ( F ) 和 mo (Q ) 解:①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
6
§3–2 力偶与力偶矩
20
解:⑴ ①首先考虑满载时,起 重机不向右翻倒的最小Q为:
mB ( F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) N A (2 2) 0
限制条件: N A 0 解得 Q 75 kN
②空载时,W=0 由 限制条件为:N B
0
mA ( F ) 0
说明:
① M O ( F ) 是代数量。(因为平面内力对
点之距,只取决于力矩的大小及旋转方向)
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时,
④ 力矩的单位:Nm或kNm,工程单位kgfm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
N A N B 300 N
15
§4-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼ 一、平面平行力系的合成 设在刚体上作用一平面平行力系 F1 、 F2 、 F3 ,现求其
合成结果。
16
根据两个平行力合成理论可知,力F1 与 F5 合成一个合力 R1
第三章
力矩 平面力偶系
§3–1 力对点之矩
§3–2 力偶与力偶矩
§3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
1
第三章 力矩 平面力偶系
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-1、力对点的矩 M O ( F ) F d
一、力对点的矩
mo ( R1 )mo ( R2 ) mo ( F1 )mo ( F5 )mo ( F2 )mo ( F3 )mo ( F4 )
mo ( Fi )
17
⑴. 当
R1 R2
时,原力系的合成结果是一个合力
R R1 R2 F i
当力系平行于y轴时: 合力作用线的位置: 由m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质, 力NA与力NB组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N B
60 300N 0.2
2
F ' d Fd
力矩的符号 M O F 力偶矩的符号 M 10
⑶.只要保持力偶矩不变,力偶可在其作用面内任
意移转,且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短,对刚体的作用效果不变。
=
=
=
11
=
=
=
=
12
⑷.力偶没有合力,力偶只能由力偶来平衡。
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2 d 2
又m1 P 1d
m2 P2d
' RA P P 1 2 ' RB P 1 P 2
合力矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2' d m1 m2
13
结论:
M m1 m2 mn mi
解得
Q(62) P2 N B (22) 0
Q 350 kN
因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系:
75 kN Q 350 kN
21
⑵求当Q=180kN,满载W=200kN时,NA ,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得:
mA ( F )0 Fi 0,
Q(62) P2W (122) N B 40
3
综上所述可知: • 力F对o点之距不仅取决于力F的大小,同时还 与矩心的位置有关 • 力F对任一点之矩,不会因该力沿其作用线移 动而改变,因为此时力和力臂的大小均未改变 • 力的作用线通过矩心时,力矩等于零 • 互成平衡的二力对同一点之矩地代数和等于零 • 作用于物体上的力可以对任意点取矩。
4
二、合力矩定理
R F i Y i
o ( R ) mo ( R1 ) mo ( R2 )
mo ( Fi )
即: R xR F1 x1 F2 x2 F5 x5 Fi xi
Fi xi Fi xi x R R Fi 当 R1 R2 时(即 Fi 0 时),原力系合成结果是一
8
§3–3. 力偶与力偶矩的性质
⑴.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
⑵.力偶对任意点取矩都等于力偶矩, 不因矩心的改变而改变。
9
M F d
M O F , F M O F M O F F d x1 F x1 Fd
1 1 1
M O F , F F d x2 F x2
+
-
作用于物体上的力F绕o点转动的效应,不 仅与力F的大小有关,而且与o点到力F作用线 的垂直距离d有关。因此,在力学上以乘积F· d 作为量度力F使物体绕o点转动效应的物理量, 这个量称为力F对o点之距,简称力矩。 记:Mo(F) o 点称为力矩中心(简称矩心) d 称为力臂 符号规定:力使物体绕矩心作逆时针方向转动时 ,力矩取正号;做顺时针方向转动时,力矩取负 2 号。
Q P W N A N B 0
解得:
N A 210 kN, N B 870 kN
22
作业:P61
• 3-1 • 3-2 • 3-6
23
24
mA ( F i ) 0 mB ( F i ) 0
其中:A、B两点的连线 必须不与各力线平行
[例] 已知:塔式起重机 P=700kN,
Hale Waihona Puke W=200kN (最大起重量),尺寸如
图。求:①保证满载和空载时不 致翻倒,平衡块Q=? ②当 Q=180kN时,求满载时轨道A、B 给起重机轮子的反力?
合力偶

mmo ( Fi )Fi xi
18
二、平面平行力系的平衡条件 由平面平行力系合成分析过程可知,平面平行力系总可以 与两个平行力 R1 和 R2 等效,由公理1,二力 R1 和R2 平衡的充要 条件是:等值、反向、共线,即
R1 R2 ( Fi 0 ) 和
同时满足。因此,
mo ( Fi ) 0 mo ( R1 )mo ( R2 )
平面平行力系平衡的充要条件为:
力系中各力的代数和等于零,同时,各力对平面内任一点 的矩的代数和也等于零。即:
Fi Yi 0 mo ( F i ) 0
平面平行力系的平衡方程
19
平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示,即
R1 F1 F5 ,
同理
所以
mo ( R1 ) mo ( F1 ) mo ( F5 )
R2 F2 F3 F4 , mo ( R2 ) mo ( F2 )mo ( F3 )mo ( F4 )
R1 R2 ( F1 F5 ) ( F2 F3 F4 ) F i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。

mi 0
i 1
14
n
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m1 m2 m3 m4 15Nm
解: 各力偶的合力偶距为
定理:平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩,等于所 有各分力对同一点的矩的代数和 n 即:
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有:
od=ob+oc
M o ( F1 )2oABoAob M o ( F2 ) 2oACoAoc M o ( R ) 2oADoAod 现mo ( R ) mo ( F1 ) mo ( F2 )证毕
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