常微分方程建模方法概要
第二章 微分方程方法
在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.
利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.
2.1 微分方程的一般理论
2.1.1微分方程简介
所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 例如
()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- （2.1.1） 2''12'50x y xy y -+=
（2.1.2） 2(')0y xy +=
（2.1.3） 2'''0y y xy +=
（2.1.4） 01)(=+n y
（2.1.5） 2t xx u a u =
（2.1.6） 其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程.
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程，（2.1.3）是一阶微分方程.一般n 阶微分方程具有形式
F (x , y , y ', ? ? ? , y (n ) )=0
或
y(n)=f(x,y,y',???,y(n-1) ) .
必须指出，)(n y是必须出现的，而)1(,
y
xΛ等变量则可以不出现，
y
y
,'
,
,-n
如方程（2.1.5）.
若F(x,y,y',???,y(n) )是关于y及其各阶导数的线性函数，则称此方程是线性的，否则，称为非线性的.例如，方程（2.1.1）、（2.1.2）是线性微分方程，方程（2.1.3）是非线性微分方程.
线性微分方程可以分为常系数和变系数两大类，常系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数均为常数，而变系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数不完全是常数.例如，方程（2.1.1）、（2.1.5）是常系数线性微分方程，而方程（2.1.2）是变系数线性微分方程.
满足微分方程的函数(也就是，把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=?(x)在区间I 上有n阶连续导数,如果在区间I上,
F[x,?(x),?'(x),???,?(n) (x)]=0,
那么函数y=?(x)就叫做微分方程F(x,y,y',???,y(n) )=0在区间I上的解.
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.若以显函数形式给出的解，称为显式解，以隐函数形式给出的解，就称为隐式解.
为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。常见的定解条件是初始条件。用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如
x=x0 时,y=y0 ,y'= y'0 .
一般写成
00y y x x ==, 0
0y y x x '='=. 求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫做微分方程的初值问题，例如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为
???=='=0
0),(y y y x f y x x . 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.
2.1.2微分方程初值问题的适定性
在实际问题中，由于自然界本身就给出了问题唯一的答案，所以一个初值问题提得是否符合实际情况，从数学角度来看，可以从三个方面加以检验：
（1）解的存在性，即初值问题是否有解？
（2）解的唯一性，即初值问题的解是否只有一个？
（3）解的稳定性，即当初值条件有微小变动时，解相应的只有微小的变动.
一个初值问题的解如果满足存在性、唯一性和稳定性，则称此初值问题是适定的.微分方程的初值问题解的适定性具有重要的实际意义.微分方程模型通常是用来描述确定性的模型的.对于一个由实际问题所建立的微分方程模型，如果其初值问题的解不存在，或解不唯一，这样的模型本身就是不合理的，是没有实际意义的.因为在一定的条件下实际问题到最后总会有确定的结果，这反映在模型上，就是定解问题有唯一解.而解的稳定性更是具有重要的实际应用背景.由于由实
际问题导出初值问题时，总要经过一些简化、近似的过程以及一些附加的假设，并且在测量初始条件的值和测量方程中各项系数（或参数）等的值时，不可避免地会出现测量误差，从而致使我们得到的微分方程模型，通常只能是近似地描述所讨论的实际问题，难免存在误差.
当测量的数据出现微小的误差时，相应模型的“解”是否也只有微小的误差？如果回答是肯定的，我们就说这个模型的解（在某种意义下）是稳定的，否则，就说这个模型的解是不稳定的.显然，只有“稳定的”解才具有可靠性，只有“稳定的”解才会有使用价值.相反，“不稳定的”解是不会有任何使用价值的.因为初值、参数等的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果.同时，稳定性也是计算机利用数值方法求解的前提和保证.
2.2 微分方程的平衡点及稳定性
一个微分方程即使存在解，也有可能解不出.事实上，我们在学习高等数学的时候就知道，能用初等的方法求出解的微分方程只是极少数.更多的情况下，是没有初等解法的，这一事实为法国数学家刘维尔(Liouville)在1841年所证明.如果一个微分方程的解不是一个初等函数，由于我们不能将方程的解函数像初等函数一样地将它表示出来，也就可能出现方程解不出的情况.既然初等积分法有着不可克服的局限性，那么是否可以不求微分方程的解，而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincaré，1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov，1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下，直接根据微分方程本身的结构和特点，来研究其解的性质.由于这种方法的有效性，近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流，并且在实际中有大量的应用.比如，在研究许多实际问题时，其变量的变化率仅与平衡状态有关而与时间并无直接的联系，或者人们最为关心的并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终（时间充分大之后）的发展趋势.例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题.要解决这类问题，就需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论.本节对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.
2.2.1一阶方程的平衡点及稳定性
函数的变化率只和函数本身有关而与自变量无关的微分方程或
微分方程组被称为自治系统，也称为动力系统. 通常，一阶微分方程可写成),(x t f dt
dx =，而自治系统则可写成)(x f dt
dx =，即右端不显含自变量t . 方程()0f x =的实根0x x =称为自治系统)(x f dt
dx =的平衡点（或奇点）.显然，根据平衡点的定义，0x x =也是自治系统的一个解（奇解），
即微分方程不变化的解，也就是常数解.
如果对任意给定的0>ε，存在0>δ（δ一般与ε和0t 有关），使得
只要初始条件0()x t 满足00()x t x δ-<时，自治系统
()dx f x dt
=的解)(t x 均满足
0()x t x ε-<(对所有的0t t ≥) 则称自治系统()dx f x dt
=的平衡点0x 是（在李雅普洛夫意义下）稳定的. 如果自治系统()dx f x dt
=的平衡点0x 稳定，且存在这样的00>δ使当000()x t x δδ-<≤时，自治系统的解()x t 都满足
0lim ()t x t x →∞
= 则称平衡点0x 是（在李雅普洛夫意义下）渐近稳定的；否则，称0x 是不稳定的.特别的，如果从所有可能的初始条件出发，都是是渐近稳定的，则称平衡点0x 是全局渐近稳定的.我们在这里讨论的稳定性都
是指渐近稳定性.
判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法：
（1）间接法：求出自治系统
)(x f dt
dx =的解()x t ，利用上述稳定性的定义判断；
（2）直接法：不求自治系统)(x f dt dx =的解()x t ，按线性近似判定稳定性，即利用()f x 在0x x =处的泰勒展开式，只取一次项，
0()'()()f x f x x x ≈-,则方程)(x f dt
dx =近似为： 00'()()dx f x x x dt
=- （2.2.1） 方程（2.2.1）称为方程)(x f dt
dx =的近似线性方程.显然，0x x =也是近似线性方程（2.2.1）的平衡点.
因为方程（2.2.1）的通解为
0'()0()f x t x t ce x =+ （2.2.2）
其中c 是由初始条件决定的常数.由稳定性的定义很容易证明：
若0'()0f x <，则0x 是方程（2.2.1）的稳定的平衡点；
若0'()0f x >，则0x 是方程（2.2.1）的不稳定的平衡点.
同样，根据李雅普洛夫理论，对于自治系统)(x f dt
dx =，若0'()0f x <，则0x 是稳定的平衡点；若0'()0f x >，则0x 是不稳定的平衡点.
例2.2.1 讨论微分方程2dy y y dt
=-的平衡点稳定性. 解 I 间接法：易知，方程2()0f y y y =-=有两个常数解
1()0y t =和2()1y t =
这也是原微分方程的两个平衡点.
当0≠y 和1y ≠时，原方程可写成
(1)
dy dt y y =- 解得
ln ||ln |1|y y t c --=-+
即原方程的通解为
11t
y ce =- 若有初始条件00(0)(0,1)y y y =≠，求得 011c y =-
， 那么所给初值问题的解是
01
111t
y e y =??-- ???
易知
01lim ()lim 0111t t t
y t e y →∞→∞==??-- ???
根据稳定性定义，0=x 是稳定的平衡点，1x =是不稳定的平衡点.
II 直接法：由于
'()21f y y =-
'(0)10f =-<,'(1)10f =>，从而，0=x 是稳定的平衡点，1x =是不稳定的平衡点.
在微分方程模型中，微分方程解的这种特性对许多实际问题的讨论是非常重要的.例如，研究对象为某温度控制系统.我们有一个理想温度x 和一个实际温度y ，x 和y 都是时间t 的函数，而x ,y 满足某个微分方程，假如我们能够设定一个控制器，使得x 和y 的关系更接近我们的需求，那么保证这个控制器稳定就是一个非常重要的前提.我们以空调为例，假设室内温度为y ，空调的设定温度为x ，x 和y 都是时间t 的函数，并且满足某个微分方程，现在我们要控制空调的制冷和加热系统，让y 在更短的时间内更快的接近x 或者空调最节能，首先就要保证这个控制系统稳定.特别是对于这种带时滞的系统，不稳定的情形往往是这样：假如室内温度是32度，设定温度是26度，模型不稳定的话有可能会过制冷一直到23度，然后又会加热到30度，接着又制冷到23度，再加热到30度，无限工作下去，这就是临界稳定，甚至在绝对不稳定的情况下，温度波动会离26度的平衡位置越来越远.
2.2.2二阶（平面）方程的平衡点和稳定性
二阶方程的一般形式可用两个一阶方程表示为
112212()(,)()(,)dx t f x x dt dx t g x x dt
?=????=?? （2.2.3） 右端不显含t ，这也是一个自治系统.
方程组
1212
(,)0(,)0f x x g x x =??=? （2.2.4） 的实根0012
(,)x x 称为自治系统（2.2.4）的平衡点.记为00012(,)P x x .
如果从所有可能的初始条件出发，自治系统（2.2.4）的解12(),()x t x t 都满足
101lim ()t x t x →∞=, 202lim ()t x t x →∞
= （2.2.5） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定的）；否则，称0P 是不稳
定的.
我们仍然用直接法讨论自治系统（2.2.4）的平衡点的稳定性，先做线性近似.考虑线性常系数方程
11111222211222()()dx t a x a x dt dx t a x a x dt
?=+????=+?? （2.2.6） 系数矩阵记为
11122122a a A a a ??=????
并假定det()0A ≠，则原点0(0,0)P 是方程组（2.2.6）的唯一平衡点，它的稳定性由特征方程
det()0I A λ-=
的根λ（A 的特征根）决定，特征方程det()0I A λ-=可以改写成下列形式：
211220()det()p q p a a q A λλ?++=?=-+??=?
则特征根
1,21
(2
p λ=- 方程组（2.2.6）的解一般形式为1212t t c e c e λλ+（12λλ≠）或1
12()t c c t e λ+
（12λλ=），其中12,c c 为任意实数.由平衡点稳定性的定义式（2.2.5）
可知，当12,λλ全为负数或有负实部时，0(0,0)P 是稳定的平衡点，反之，当12,λλ有一个为正数或有正实部时，0(0,0)P 是不稳定的平衡点.
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根12,λλ或相应的,p q 取值决定，表1简明地给出了这些结果.
由表1可以看出，根据特征方程的系数,p q 的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：
若0,0p q >>，则平衡点稳定；
若0p <0q <或，则平衡点不稳定.
以上是对线性方程组（2.2.6）的平衡点0(0,0)P 稳定性的结论，根
据李雅普洛夫理论，对于一般的非线性自治系统（2.2.4），可以用近
似线性方程来判断其平衡点00012
(,)P x x 的稳定性，即 1212000000112111222000000212111222()(,)()(,)()()(,)()(,)()x x x x dx t f x x x x f x x x x dt dx t g x x x x g x x x x dt
?=-+-????=-+-?? （2.2.7） 系数矩阵
120012012(,)
x x x x P x x f f A g g ??=?????? 特征方程系数为
0012012
(,)()x x P x x p f g =-+∣,det()q A = 显然，00012
(,)P x x 点对于方程（2.2.7）的稳定性可以由表1或特征方程的系数,p q 的正负判定，同样方法可以判定00012
(,)P x x 是否自治系统（2.2.3）的稳定点.
2.3 微分方程模型
建立微分方程模型,一般有三种方法.
一是应用已知规律直接列方程建模 在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如牛顿运动定律、曲线的切线的性质等，这些都涉及到某些函数的变化率.由于本身就是微分方程形式，我们就可以根据相应的规律直接列出方程，从而建立数学模型.
二是用微元法建模. 用微元法建立常微分方程模型，实际上是寻求微元之间的关系式.在建立这些关系式时也要用到已知的规律和定理.与第一种方法不同之处在于，这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律,从而建立相关模型.
三是用模拟近似法建模. 在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型.在这些领域中的一些现象的规律性我们还不是很清楚，即使有所了解也通常极其复杂，因此，在实际应用中，总要经过一些简化、近似的过程，并在不同的假设下建立微分方程，从数学上求解或分析解的性质，再同实际情况作对比，观察这个模型能否模拟、近似某些实际的现象.
这三种方法中，我们在学习微分方程时做的应用题就属于第一种，这种方法相对比较简单，在这里，我们主要介绍用后两种方法来建微分方程模型.
在实际的微分方程建模过程中，往往都是上述三种方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常都要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并且要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
例2.3.1 体重问题
1、问题：研究人的体重随时间的变化规律.人的体重变化的过程是一个非常复杂的过程.这里，我们进行了简化，只考虑饮食和活动这两个主要因素与体重的关系.比如，研究减肥者、运动员的体重等.
2、基本假定
（1）对于一个成年人来说体重主要由三部分组成：骨骼、水和脂肪.骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志.而人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，体重的变化就是能量的摄取和消耗的过程.已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为41868焦耳的能量.
（2）人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)，而与其他因素无关，这意味着在研究体重变化的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对体重的影响.
（3）体重的变化是一个渐变的过程，因此，可以认为w(t)随时间是连续变化的，即w(t)是连续函数且充分光滑，也就是说，我们认为能量的摄取和消耗是随时发生的.
（4）不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的.可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，我们假设研究对象会为自
己制订一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比.
（5）假设研究对象用于基本新陈代谢（即自动消耗）的能量是一定的.
（6）假设研究对象对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量（即食量）是一定的.
（7）根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差.即体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是活动时的消耗.
为此，我们采集了某运动员的相关数据，食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）.在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤?天）乘以他的体重（公斤）.试研究此人的体重随时间变化的规律.
3、建模分析与量化
问题并没有直接给出有关“导数”的概念，但是，体重是时间的连续函数，就表示我们用“变化”观察来考察问题。
量化：w0: 为第一天开始时的体重，
t ：时间以天为单位
则，每天：体重量的变化＝输入－输出
输入＝总热量－基本新陈代谢热量
＝净热量吸收
＝10467 焦－5038 焦
= 5429 焦
输出＝训练时消耗=69W 焦.
4、建立模型
0lim
t W dW t dt ?→?=? 即
00
(104675038)6941868|t W dW dt W W =--?=???=? 5、模型求解：应用分离变量法，有
12961610,000
dW dt W =- 解得
01296(129616)16exp()100001616
W t W --=- 这就是此人体重随时间的变化规律.
6、模型讨论
现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗?若能，那么，这个人的体重达到平衡时是多少公斤？事实上，从()W t 的表达式可知，当t →∞时，()W t 81→，因此，平衡时，体重为81公斤.
当然，如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值，由稳定性理论可知，就是要求微分方程的平衡点.在平衡状态下，()W t 是不发生变化的，所以(104675038)69041868dW W dt --==，直接求得81W =平衡.
常微分方程在数学建模中的应用(免费版)
常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人 口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）． 但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地
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常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
常微分方程在数学建模中的应用.
微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介
微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1)
(完整版)常微分方程的大致知识点
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建 立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对 微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有 所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能 近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性 质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t时刻病人人数() x t连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0 t=时有0x个病人。 +?病人人数增加 建模：t到t t
()()()x t t x t x t t λ+?-=? （1） 0,(0)dx x x x dt λ== （2） 解得： 0()t x t x e λ= （3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型 假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ= （4） 由于 ()()1s t i t += （5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-= （6）
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
最新31微分方程与微分方程建模法汇总
31微分方程与微分方 程建模法
第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 一、微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） ?Skip Record If...?(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） ?Skip Record If...?(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ?Skip Record If...? (2) 齐次方程：?Skip Record If...? 常数变易法：(1) 线性方程，?Skip Record If...??Skip Record If...?
(2) 伯努里方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程?Skip Record If...?有 参数法：(1) 不含x或y的方程:?Skip Record If...? (2) 可解出x或y的方程：?Skip Record If...? 对于高阶方程，有 降阶法：?Skip Record If...? 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特
常微分方程的建模训练
常微分方程的建模训练 各位同学： 欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。 建立微分方程的途径主要有： 1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。 2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d] +的微段d x中，函数的增 x x x 量的微分表达式。 本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。 本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。 好，开始吧！ 1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻 λ>。求镭的衰变规律。 的镭的质量成正比，比例系数0 又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R与时间t的函数关系。 2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。物 s t来表示。 体的运动可用它的位移量() 已知物体质量为m的物体在外力F的作用下沿外力的方向作直线运动。试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律： 1）外力为地球重力； 2）外力为与其速度的平方成反比的阻力； 3）外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力；
2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考
习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。 建模：t 到t t +?病人人数增加 ()()()x t t x t x t t λ+?-=?（1） 0,(0)dx x x x dt λ==（2） 解得： 0()t x t x e λ=（3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型
假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ=（4） 由于 ()()1s t i t +=（5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-=（6） 解得： 01()111kt i t e i -= ??+- ??? （7） 用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt 图形如下， 结论：在不考虑治愈情况下
数学建模五步法与灵敏度分析
灵敏度分析 简介： 研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。 用途： 主要用于模型检验和推广。简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。 举例（建模五步法）： 一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。 建立数学模型的五个步骤： 1.提出问题 2.选择建模方法 3.推到模型的数学表达式 4.求解模型 5.回答问题 第一步：提出问题 将问题用数学语言表达。例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P（美元）。还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。 （建议先写显而易见的部分） 猪从200磅按每天5磅增加 （w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天） 饲养每天花费45美分 （C美元）=（0.45美元/天）*（t天） 价格65美分按每天1美分下降 （p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天） 生猪收益 （R美元）=（p美元/磅）*（w磅） 净利润 （P美元）=（R美元）-（C美元） 用数学语言总结和表达如下： 参数设定： t=时间（天）
w=猪的重量（磅） p=猪的价格（美元/磅） C=饲养t天的花费（美元） R=出售猪的收益（美元） P=净收益（美元） 假设： w=200+5t C=0.45t p=0.65-0.01t R=p*w P=R-C t>=0 目标：求P的最大值 第二步：选择建模方法 本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题 第三步：推导模型的数学表达式子 P=R-C （1） R=p*w （2） C=0.45t （3） 得到R=p*w-0.45t p=0.65-0.01t （4） w=200+5t （5） 得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t 令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值： y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1） 第四步：求解模型 用第二步中确定的数学方法解出步骤三。例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。 第五步：回答问题 根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。只要第一步中的假设成立，这一结果正确。
常微分方程解题方法总结.doc
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
数学建模作业求解常微分方程和人口模型问题
实验报告 课程名称：数学建模 课题名称：求解常微分方程与人口模型 专业：信息与计算科学 姓名：胡家炜 班级： 123132 完成日期： 2016 年 6 月 10 日
一．求解微分方程的通解 (1). dsolve('2*x^2*y*Dy=y^2+1','x') ans = (exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) -(exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) i -i (2). dsolve('Dy=(y+x)/(y-x)','x') ans = x + 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) x - 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) (3). dsolve('Dy=cos(y/x)+y/x','x') ans = (pi*x)/2-x*log(-(exp(C25 + log(x)) - i) /(exp(C25 + log(x))*i - 1))*i (4). dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y))*Dy=1','x') ans = -asin(x/2 + lambertw(0, -(C30*exp(- x/2 - 1))/2) + 1) (5). dsolve('D2y+3*Dy-y=exp(x)*cos(2*x)','x') ans = C32*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2)) + C33*exp(-x*(13^(1/2)/2 + 3/2)) + (13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2-3/2))*exp((5*x)/2(13^(1/2)*x)/2)* (2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13^(1/2)/2 - 5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 - 5/2)^2 +4))-(13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2+3/2))*exp((5*x)/2 +(13^(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x)+cos(2*x)*(13^(1/2)/2+5/2))) /(13*((13^(1/2)/2 + 5/2)^2 + 4)) （6）dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x') ans = cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x))/4 - 1/4) + sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x))/4 + 1/8) + C35*cos(2*x) + C36*sin(2*x)
数学建模——微分方程的应用
第八节 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则 dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭( Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.
常微分方程在数学建模中的应用论文正稿
毕业论文 论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓名： 学科专业： 指导教师： 完成时间：
常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。 关键字常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型
第一章人口预测模型 第二章市场价格模型 第三章混合溶液的数学模型第四章震动模型
绪论 当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。 事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器有盐水100L,含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器盐水浓度始终是均匀的，求容器含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。
第一章 人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ，00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 )1961(02.09e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间
常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考
期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解