二阶常系数线性微分方程的应用举例

第七章常微分方程7.13 二阶常系数线性微分

方程的应用举例

数学与统计学院

赵小艳

解 受力分析 例1 （弹簧的机械振动）

如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力

作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律.

pt H t f sin )(1=x x

o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由t x kx pt H t x m d d d d μ--=sin 22可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位置

的位移为x (t ).

.0,000====t t x x d 还应满足初始条件：

.0,000====t t x x d 还应满足初始条件：2m t x kx pt H t x m d d d d μ--=sin 22

可得m m pt h x t x t x sin 2222=++ωδd d d d 强迫振动的微分方程

2m m m pt h x t x t x sin 2222=++ωδd d d d 强迫振动的微分方程 对应齐次方程： 02222=++x t x t

x ωδd d d d 自由振动的微分方程 其特征方程： 0222=++ωδλλ.

,222221ωδδλωδδλ---=-+-=.

0)1(22>-ωδ.)(2)(12222t

t e C e C x ωδδωδδ-+----+=齐次方程的通解为

.0)(→∞→t x t 时，当此时物体运动按指数函数规律衰减.

t x O

对应齐次方程： 02222=++x t x t

x ωδd d d d 齐次方程的特征方程： 0

222=++ωδλλ.

0)2(22=-ωδ.

)(21t e t C C x δ-+=齐次方程的通解为物体运动仍按指数规律衰减.

.0)3(22<-ωδ.

222,1δωδλ-±-=i .)sin cos (222221t C t C e x t δωδωδ-+-=-齐次方程的通解为

t x O

02222=++x t x t x ωδd d d d .

0)2(22=-ωδ.

)(21t e t C C x δ-+=齐次方程的通解为物体运动仍按指数规律衰减. .0)3(22<-ωδ.

222,1δωδλ-±-=i .)sin cos (2222

21t C t C e x t δωδωδ-+-=-齐次方程的通解为.)sin(22ϕδωδ+-=-t Ae t .arctan ,2

12221是两个任意常数其中C C C C A =+=ϕ一方面，物体运动的振幅随时间的增大而减少，

t x

O t x O

pt h x t x t

x sin 2222=++ωδd d d d 非齐次方程的特解

,0≠μ设2221ωδδλ-±-=，,不是特征值ip ,

sin cos 21pt A pt A x +=*可令特解为⎩⎨⎧=--=+-h pA A p pA A p 122221222)(02)(δωδω得⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧+--=+--=⇒222222222222214)()(4)(2p p p h A p p ph A δωωδωδpt p p ph pt p

p p h x cos 4)(2sin 4)()

(222222222222δωδδωω+--+--=*)sin(ψ-=pt B .2arctan ,⎪⎫ ⎛==p h B δψ其中

pt h x t x t

x sin 2222=++ωδd d d d pt ph pt p h x cos 2sin )

(22δω--=*)sin(ψ-=pt B 非齐次方程的通解为.),sin()sin(2

2ωδψϕδωδ<-++-=-其中pt B t Ae x t 暂态项

稳态项 ).sin(,1ψ-=≈>>*pt B x x t 时当取决于外界强迫力的作用

,很小时当阻尼μ222224)(p

p h B δω+-=振幅.22p h -≈ω.)sin(2

2ϕδωδ+-=-t Ae x t

pt h x t x t

x sin 2222=++ωδd d d d 2

221ωδδλ-±-=，非齐次方程的通解为.),sin()sin(2

2ωδψϕδωδ<-++-=-其中pt B t Ae x t 暂态项 稳态项

).sin(,1ψ-=≈>>*pt B x x t 时当取决于外界强迫力的作用

,很小时当阻尼μ222224)(p

p h B δω+-=振幅.

22p h -≈ω,相差不大时与弹簧的固有频率当外界强迫力的频率m

k p =ω