第二十二讲倒推法的妙用
第二十二讲倒推法的妙用学生版
第二十二讲倒推法的妙用在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？分析马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.例3 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？分析依题意，画图进行分析.例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？分析解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.习题二十二1.某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？3.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。
解决问题的策略——“倒推法”
目标预设：1、让学生在解决问题中学会用“倒推思维”的策略寻求解决问题的思路，并能根据问题的具体情况确定合理的解题步骤。
2、在观察、操作、讨论、交流中提高探索和解决实际问题的能力，获得解决问题成功体验。
3、让学生在对解决实际问题中不断反思，感受“倒推思维”的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和进行简单推理的能力。
4、培养学生[此文转于斐斐课件园]独立思考、善于倾听、质疑和验算的数学学习习惯。
教学重点：体会策略是解决问题的计策，学会用“倒推思维”的策略解决问题。
教学难点：能根据具体的问题确定合理的解题步骤。
教学具准备：果汁杯两个、一瓶400毫升的果汁、果汁图片、小黑板若干课程实施：课前游戏：1、做相反动作2、猜数字游戏一个数加2得8，这个数是——一个数减2得8，这个数是——一个数乘2得8，这个数是——一个数除以2得8，这个数是——师：你们的表现真的很棒。
师生问好！一、生活数学，激趣启智师：从课前游戏中我发现，咱班同学特别喜欢数学，今天就让我们随同冬冬和明明，去寻找生活中的数学，一同研究解决问题的策略。
出示课题：解决问题的策略师：上周末，他俩去海门表妹家玩，乘坐的公共汽车从余东出发，沿途经过了树勋、麒麟、汤家、三厂，到达了海门。
小黑板出示：余东树勋麒麟汤家三厂海门师：想想如果他们想原路返回，会依次经过哪些乡镇呢？生齐：海门、三厂、汤家、麒麟、树勋、余东。
师：在回答这个问题时，我们都是——倒过来，一个一个往前推。
板书：倒推。
二、引导探究，掌握方法师：车子终于到了表妹方方家了，方方正准备了400毫升的果汁来招待好朋友呢？出示图片、实物（两杯果汁不一样多）师：都是好朋友，这样公平吗？生：不公平。
师：怎样就公平了？生：两杯一样多。
师：如果从甲杯倒入乙杯40毫升后一样多，那你知道原来两杯果汁各有多少毫升吗？师：请先独立思考，然后说说你第一步是怎么想的？生：共有400毫升，现在果汁同样多，那就说明都有200毫升。
结果倒推过程_关注变化过程,巧用“倒推”策略.doc
结果倒推过程_关注变化过程,巧用“倒推”策略摘要：运用倒过来推想的策略，旨在使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定问题的价值，发展分析、综合和简单推理的能力，进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，感受数学与生活的密切联系，获得成功体验，提高学好数学的信心。
关键词：整理信息变化过程倒推策略“倒过来推想”的策略是苏教版教材五年级下册第九单元的内容，它是在学生已经学习了用画图和列表的策略解决问题的基础上，用“倒过来推想”的策略解决相关实际问题。
旨在使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定问题的价值，发展分析、综合和简单推理的能力，进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得成功体验，提高学好数学的信心。
那么，究竟哪些问题适合用“倒推”的策略，又怎样巧用“倒推”的策略快速解决问题呢？笔者从以下几个方面谈谈自己的体会和感受。
一、激活已有经验，感知哪些问题可以倒过来推想“倒过来推想”是一种适应于特定问题情境下的解题策略，通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。
例如：一辆公共汽车上现有乘客48人，中途下车人，又上车18人，这辆公共汽车出发时原有多少人？又如：老师的年龄乘2，再减去6是50，老师今年多大？这两个问题都是知道现在的结果，也知道变化的过程，需要追溯它的起始状态。
此时如果我们按照顺向思维思考，五年级学生便很难理清题中的数量变化关系了，而如果我们倒过来推想，假设汽车中途没有上车18人，也没有下车人，又假设老师的年龄没有减去6，也没有乘以2，这时解题思路反而变得更加清晰，问题也能迎刃而解了。
二、关注变化过程，巧用“倒推”策略我们知道，某种事物或数量经过一系列变化后，知道现在的结果，要求原来的数量，我们可以用倒推的策略，可我们如何从结果出发，一步一步往前倒推，求出正确答案呢？这就需要我们密切关注事物或数量的变化过程。
倒推与图解
倒推与图解一、倒推法—— 反过来考虑能用倒推法解决的数学问题常常满足下列三个条件：1．已知最后的结果；2．已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法）；3．未知的数量是最初的数据。
例1 将8个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和，如果第7个数和第8个数分别是81和131，那么第1个是几？例2 一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的51多120个，第二天加工了剩下的41少150个，第三天加工了剩下的31多80个，第四天加工了剩下的21少20个，第五天加工了最后的1800个。
这批零件总数有多少个？例3 甲、乙、丙三人各有若干本书。
甲给乙、丙两人，使两人书的本数增加1倍；然后乙也照这样送给甲、丙两人，最后丙送给甲、乙两人。
结果甲有书48本，是丙有书本数54，乙有书的本数是丙有书本数的1571。
甲、乙、丙原来各有书多少本？例4 小明和小华同时计算求甲、乙两个两位数的乘积，小明计算时把甲数的十位上的数字看错了，计算结果是425，小华计算时则把甲数个位上的数字看错了，计算结果是800。
两个数的正确的乘积是多少？例5已知三个互不相同的自然数之和为55，其中每两个数之和都是完全平方数，求这三个自然数。
二、图解法——一种直观的数学方法分析应用题时利用线段图或其它图形，使问题的内容具体化、形象化，帮助理解题意，明确数量关系，从而沟通“已知”与“所求”的联系，便于找到较简捷的解法。
例6把1572分成4份，要使第一份比第二份多48，第三份比第一份少32，第一份比第四份多92。
问分成的四份各是多少？例1例7《小学数学爱好者》P220例2例8《小学数学爱好者》P221例3例9《小学数学爱好者》P222例4例10《小学数学爱好者》P222例5例11《小学数学爱好者》P223例6例12《小学数学爱好者》P224例7例13《小学数学爱好者》P225习题一练习：《小学数学爱好者》P226。
倒推法知识点总结
3.反证法：反证法是一种通过假设结论为假，然后推导出矛盾的逻辑推理方法。反证法要求推理者要通过推导出矛盾来证明结论为真。
以上是倒推法相关的一些常见概念，它们是倒推法的重要组成部分，对于倒推法的理解和应用具有重要意义。
1.数学领域：倒推法在数学领域中有着广泛的应用。在解决数学难题时，倒推法可以帮助数学家们从已知结论出发，逆向推导出问题的根本原因，从而找到解决问题的方法。例如，在证明一个数论问题时，可以先假设结论为假，然后推导出矛盾，从而证明结论为真。
2.物理领域：倒推法在物理领域中也有着重要的应用。在解决物理问题时，科学家们常常需要通过倒推法来确定问题的原因和规律，从而建立起科学理论和模型。例如，在研究地球的内部结构时，科学家可以通过地震波的传播速度和方向来推导地球的内部结构。
倒推法知识点总结
一、倒推法的基本原理
倒推法的基本原理是以结论为出发点，逆向推导出前提或原因。它是一种以反证法为基础的逻辑推理方法，要求从已推理过程通常包括以下几个步骤：
1.首先确定问题的结论或目标；
2.然后逆向推导，分析这个结论的前提条件或原因；
3.接着继续递归分析这些前提条件的前提条件，直至找出最根本的原因；
5.经济学领域：在解决经济问题时，倒推法也发挥着重要的作用。例如，在研究市场供需关系时，经济学家可以通过倒推法来分析市场价格和供给关系的变化，从而预测市场的发展趋势。
以上是倒推法在各个领域中的典型应用案例，可以看出倒推法在各个领域都有重要的作用，它是一种非常常用的推理方法。
三、倒推法的相关概念
1.正向推导：正向推导是一种从已知原因或前提来推导结论的逻辑推理方法。正向推导要求推理者要从已知的原因或前提出发，推导出结论或结果。
二年级奥数.应用题.倒推法[精选]
![二年级奥数.应用题.倒推法[精选]](https://img.taocdn.com/s3/m/43c5c4eeba1aa8114431d9f6.png)
什么是倒推法，什么样的状况下能够 应用倒推法来处理征询 题。
在加减乘除运算中，引导先生应用倒推法来求未知的数。
学会应用倒推法来处理一些复杂的恢复征询 题的使用题。
在我们解答征询 题的时分，我们往往明白了征询 题能够发作的后果，但是却不明白什么缘故 会发作如此 的后果，那个 时分只需我们顺着答案往前一步步停顿推理，就能够 寻 到征询 题发作的缘故。
这种办法就叫做倒推法，倒推法的确是调过头交往前想，在我们处理特不 少数学征询 题的时分也要 用到这种办法，这节课就让我们一同学一学用倒推法来处理征询 题。
【例1】 按要求画图形.〔 〕＋27=98 〔 〕－32=10086－〔 〕=24 〔〕×2=182×( )=20 ( )÷3=11 81÷( )=9()×2×3=60()÷4÷5=2【例2】 你明白上面每个终点上的数字各是几吗【例3】 在小聪上面图中、、各代表一个数，算一算它们各是几？【例4】 大雄征询 小“你往年几岁？〞小【例5】 有一个数加上6，减去 6，乘以 6，除以 6，最后后果等于 6．征询 那个 数是几？【例6】 小聪明拿了妈妈给的零花钞票 去买东西．他先用这些钞票 的一半买了一把尺子，之后又买了一枝1元 5角钞票 的铅笔，最后还剩下 3 角钞票 ．你明白妈妈给小聪明多少钞票 吗? 倒推法 巧求周长知识框架例题精讲【例7】馋嘴和尚吃一堆馒头．第一次吃了一半，觉得不够；第二次又吃了剩下的一半，觉得差不多了；第三次又吃了5个，觉得饱了．他察觉还剩下5个，干脆又吃光了．这一堆馒头有多少个?【例8】小亮拿着1包糖，遇见好冤家A，分给了他一半；过一会儿又遇见好冤家B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好冤家C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他本人手里只要一块了．征询在没有分给A往常，小亮这包糖有几块?【例9】猪八戒化斋讨来了一篮果子．吃了一半，觉得不够，又吃了剩下的一半，依然觉得不够，又吃了剩下的一半，最后依然有点馋又偷偷吃了2个果子，觉得饱了．把剩下的给唐僧吃，孙悟空一看察觉篮子里只剩下4个果子了．猪八戒一共吃了多少个果子？【例10】在高家庄猪八戒干了特不多活，但同时也特不能吃．高老太太拿来一篮烧饼，八戒吃了一半又半个，又吃了剩下的一半又半个，再吃了剩下的一半又半个．最后只剩下一个，他连这一个也不放过，也吃了到外面去．高老太太的这篮烧饼有多少个?你能把猪八戒4次吃的烧饼画出来吗？课堂检测【随练1】有一桶油，甲过去买走了一半又半升；乙过去买走了剩下的一半又半升；丙买走了最后剩下的6升．那么这桶油原有多少升？【随练2】小明有几本君子书自已记不明晰了，只明白：小芳借走一半加1 本；小容又借走剩下的书的一半加2本；再剩下的书，小军借走一半加3本，最后小明还有2本书．请征询小明原有几本君子书?【随练3】 现有一堆棋子，把它分红三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分红三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分红三等份后还剩一颗．征询 原来至多有多少颗棋子?【作业1】 一个数加上 8，乘以 8．减去 8，除以8，后果依然 8，求那个 数?【作业2】 小聪征询 “你往年几岁？〞小明回“用我的年龄数减去 8，乘以 7，加上 6，除以 5，正好等于 4．请你算一算，我往年几岁？〞【作业3】 有一次明明去买玩具，他买了一架小飞机用去了他带去的钞票 的一半；之后他又用20 元钞票 买了一个小汽车，最后还剩下 5 元钞票 ．征询 明明最后带了多少钞票 ?【作业4】 小刚去银行取款，第一次取了存款的一半，第二次取了余下的一半，这时存折上还剩下100元，小刚原来存款有多少钞票 ？【作业5】 爸爸给小红买了一袋糖，小红决议把糖分给大伙儿 吃．第一个看见了妹妹，就把糖的一半分给了妹妹； 第二个看见了哥哥，又把剩下的糖的一半分给了哥哥，这时她本人还家庭作业剩5块糖．请征询，爸爸给小红的这袋糖共有多少块?【作业6】猪八戒化斋讨来一些馒头．第一次吃了一半，觉得不够，第二次又吃了剩下的一半，依然觉得不够，第三次又吃了一半，最后依然有点馋又偷偷吃了3个馒头，觉得饱了．把剩下的给徒弟们吃，孙悟空一看察觉篮子里只剩下5个馒头了．猪八戒一共讨回来多少个馒头？【作业7】文明用品店新到一批日记本，上一周售出本数比总数的一半少12 本；这一周售出的本数比所剩的一半多12 本；后果还有19 本．征询这批日记本有多少?。
详细读红楼梦读书笔记第二十二回宝玉的禅心是如何产生的
详细读红楼梦读书笔记第二十二回宝玉的禅心是如何产生的听曲文宝玉悟禅机制灯谜贾政悲谶语这一回开始透露一些和人物命运有关的提示，其实之前的章回也有，但那些需要有人分析或者看脂砚斋评点，又或者是用倒推的方法来看，才会明了。
这一回则是明确写到了两件事，一是宝玉悟禅机，一是贾政悲谶语。
关于谶语，我总是不忍细想，因此先不分析，咱们重点来看一下宝玉的“悟禅机”是怎么回事。
1987版电视剧《红楼梦》中林黛玉的扮演者陈晓旭曾说：“《红楼梦》是一部佛经，它写出了人生的苦、空、无常。
”能够悟到此一点的陈晓旭，自然是有慧根和佛缘的，但若我们回到第二十二回的情节，便会明白，晓旭的佛心，和故事中黛玉的悟禅，还是不一样的，晓旭比较像是贾宝玉此时的状态，即触及到佛教一派之禅宗的要义，但还是未能像黛玉或者慧能一般，真正参透禅机。
先说一下禅。
据武汉大学彭富春的研究，佛教自传入中国后，与儒教、道教相互渗透，相互促进，孕育了禅宗，禅宗逐渐成为中国佛教的重要学说。
禅宗中的“禅”不是禅定之禅，而是智慧之禅，其核心思想概括起来就是八个字：“直指人心，见性成佛”，所以禅宗所追求的是觉悟的心灵。
曹雪芹在对贾宝玉这个形象的塑造上，便是逐渐刻画他如何追求一种觉悟的心灵。
宝玉在少儿时期的那些奇葩言行，其实是一种不自觉的佛心之体现。
广州白云山能仁寺中有这样一副对联：“不俗即仙骨，多情乃佛心”。
宝玉的多情，在前面的章回中多有体现，在此不赘述了，这里想强调的是，他的多情，即第五回中警幻仙子所说的“惟心会而不可口传，可神通而不能语达”的“意淫”。
这样的关于“意淫”的解释，和禅宗所说的“法则以心传心，皆令自悟自解”（《六祖大师法宝坛经·行由品》）的说辞，是多么相似啊，所以说，第五回的贾宝玉，就已经被警幻仙子认定为得道之人，且是一等一的有慧根、有佛心之人。
只是因为年幼，他并不自知，曹公在人物塑造上也没有涉及到宝玉主动的自觉的参禅的意愿和行为。
随着年龄的增长，宝玉的人生中经历或者参与了四件大事：一是秦可卿的去世，让宝玉开始涉及到生与死这个话题；再是林黛玉的南归葬父，让宝玉开始明白离别与思念的滋味；还有就是秦钟的去世，让宝玉开始思考理想与现实的关系；最后就是元妃省亲一事，让宝玉感受到富贵荣华与天伦之乐的对比。
倒推法的妙用
倒推法的妙用1、小明问李老师今年多大年纪，李老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘3，恰好是30岁。
”你知道李老师今年多少岁吗？2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘2，结果得60，求这个数。
3、«小学生数学报»少年数学爱好者俱乐部成立的份数加上2后，缩小100倍，再扩大4倍，最后减去25，正好是55。
这个俱乐部成立于哪一年？4，粮库内有一批大米第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原有大米多少吨？5、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？6 、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个第二次卖掉剩下的一半多1个，第三天卖掉第二次卖后剩下的一半多1个这时只剩下1一个菠萝。
三次共卖得48元，求每个菠萝多少元？7、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张，如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。
问甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？8、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。
如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。
这三个人原有故事书多少本？9、甲、乙两个车站共停了195辆汽车，如果从甲站开往乙站36辆，又从乙站开出45辆汽车，这时乙站停的汽车辆数是甲站的2倍。
原来甲、乙两站各停放多少辆汽车？10、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张，问王亮和李强原来各有画片多少张？11、书架上分上中下三层，共放192本，现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后，从下层取出与上层剩下的同样多的数放到上层，这时三层书架所放的书本数相等，这个书架上中下各层原来各有多少本书？12、猴妈妈摘来一筐桃，将它们3等分后还剩2个桃；取出其中2份，将它们3等分后还剩2个；然后再取出其中2份，又将这2份3等分后还剩2个，猴妈妈至少摘了多少个桃？13、有一盒奶糖，把它们4等分后还剩1粒，取走3份又1粒，剩下的再4等分又剩1粒，再取走其中的3份又1粒；剩下的再4等分后剩下1粒。
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第二十二讲倒推法的妙用
在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.
例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？
分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？
把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：
｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.
解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56
［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4
答：于昆这次数学考试成绩是96分.
通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号.
例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？
分析马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.
解：111－（70—10）＋（7—1）＝57
答：正确的答案是57.
例3 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？
分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.
解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）
②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）
③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）
④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）
答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.
例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？
分析依题意，画图进行分析.
解：列综合算式：
｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.
例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？
分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.
求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.
解：①甲乙两桶油共剩多少千克？
15×2-14＝16（千克）
②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）
③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）
用倒推法画图如下：
④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克）
⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克）
答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.
例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？
分析解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.
解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）
②第二天运进200千克后的一半是多少千克？
600＋30＝630（千克）
③第二天运进200千克后有白菜多少千克？
630×2＝1260（千克）
④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）
⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）
答：菜站原来贮存大白菜2120千克.
综合算式：
［（1800÷3＋30）×2—200］×2
＝2120（千克）
答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.
习题二十二
1.某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.
2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？
3.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.
哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？
4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；
1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。
”你知道阿凡提一共带了多少钱？买鱼用了多少钱？
习题二十二解答
1.615×6÷5×4＝295
2.
2.提示：先找到4倍是多少个.
①徒弟每天生产多少个？
560÷4÷（3＋1）＝35（个）
②师傅每天生产多少个？
35×3＝105（个）
答：徒弟和师傅每天各生产35个、105个.
3.提示：先用“和差”解法求出弟弟最后挑几块砖：
（26-2）÷2＝12（块）
再用倒推法求出弟弟最初准备挑几块砖.
｛（26－〔26－（12＋5）］×2｝×2
＝16（块）
答：弟弟最初准备挑砖16块.
4.①买菜的钱：
1＋2＋3＋3＋2＋1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋7＋9＋10＋11＝100（元）
②总钱数：100×2×2＝400（元）
③买鱼的钱：400÷2÷2＝100（元）
答：阿凡提一共带了400元钱，买鱼用去100元钱.。