1-1_约束和广义坐标解析
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chap1-1
换为 变为标量方程
。
(功 ) 即
(能 )
2． 由
得
则
对
中的
作形式上的降阶
注：数学上
分别为二阶和一阶导数，而物理上分
别为加速度和速度。 又 ，则 (函数和反函数)。于是
(I) 式中的右边
因而
注：
因
则
将 (1)、(2)、(3) 代入标量方程 (I) 得到
由于 dq1、dq2、dq3 互相独立，所以
分析力学
教材：理论物理基础教程 (刘连寿主编)
——分析力学部分
讲授：吴少平 办公室：9 –email：wsp@ QQ：997682735 2014 年 2 月
参考书 1．力学
朗道 栗弗席兹
高等教育出版社
(2007年4月第5版)
2．Analytical Mechanics
3．
和
的计算：
（速度
和
的关系）
将
对
求导得到
(
只是
的函数，不是
的函数)
上两式代入 (4)，得到
4．粒子的动能：
则
5．代入 (5) 式，得到
6．保守力场： 则
由上两式得
因而
令 L = T – U，则
说明：
① 拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程。运动方程 在牛顿力学中为牛顿第二定律，在分析力学中为拉格 朗日方程。牛顿方程：矢量方程；拉格朗日方程：标 量方程。
分析力学是理论物理的第一门课程，具有以下理论
思维的一些特点：
理论物理思维方法
实验观察到的现象 例：光的折射定律
理论家问： 工程师问：
为什么？ 理论物理思维方法
唯象规律
做什么？ 从现象到本质
广义坐标和约束体系
广义坐标和约束体系在物理学和工程学中，广义坐标和约束体系是描述多体系统运动的重要工具。
广义坐标是一组描述系统状态的独立变量，而约束体系则是一组将系统中各个部分联系在一起的条件。
本文将介绍广义坐标的概念和应用，并探讨约束体系在多体系统动力学中的作用。
一、广义坐标的概念和应用在传统的牛顿力学中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述物体的位置和运动。
然而，在复杂的多体系统中，使用笛卡尔坐标系来描述每个质点的运动往往变得非常复杂。
为了简化问题，引入广义坐标的概念就显得尤为重要。
广义坐标是一组相互独立的变量，它们可以用来描述系统的状态。
与笛卡尔坐标不同的是，广义坐标可以是质点的位置坐标、质点的广义速度、质点的质心位置、刚体的欧拉角等等。
通过引入广义坐标，我们可以用更简洁的方式描述系统的状态，简化求解的过程。
广义坐标的应用十分广泛。
在理论物理中，广义坐标常常用于构建拉格朗日力学和哈密顿力学的数学框架。
在工程学中，广义坐标常常用于描述机械系统中各个零件的运动和变形。
例如，通过引入关节的旋转角度作为广义坐标，可以简化机械臂的运动学分析。
二、约束体系在多体系统动力学中的作用在多体系统中，各个质点之间通常存在一定的约束关系。
这些约束条件可以是几何约束（如刚度约束、长度约束等）或非几何约束（如速度约束、加速度约束等）。
约束体系是将约束条件用方程形式表示的系统。
约束体系在多体系统动力学中发挥着重要作用。
它可以用来限制系统的自由度，从而简化问题的求解。
通过引入拉格朗日乘子的方法，我们可以将约束条件与系统的动力学方程相结合，得到描述系统运动的广义拉格朗日方程。
在这个过程中，广义坐标发挥了重要的作用，它将系统状态映射到一个更简洁的空间中。
约束体系还可以用来分析系统的稳定性和振动特性。
通过线性化约束方程，我们可以得到系统的模态分析，从而了解系统的固有振动频率和模式形态。
这对于设计和优化振动系统非常重要。
三、结论广义坐标和约束体系在多体系统的描述和分析中起到了至关重要的作用。
广 义 坐 标
rn ,t) 0
广义坐标
例如：把小球A用长度为 l 的刚性杆连பைடு நூலகம்起来，用平面 铰链悬挂在O点。小球 A所 满足的约束方程为
x2 y2 l2 0
x
O
l A A0
y
广义坐标
运动约束－ 约束方程中含有质点的速度，则被称为运动约束， 或速度约束。通常的约束方程为：
f1
(r1,
r2
,
f
2
(r1,
到了18世纪后期，由于工业的迅速发展，需要研究和解决机器 的各种运动问题。而这些运动恰恰是质点组或者刚体组的约束运动。 由于时代的需要，力学的发展，产生了新的理论和新的方法。
广义坐标
1788年，拉格朗日出版了一本非常有名的著作-叫《分析力学》。 他采用了抽象的数学分析方法，用拉格朗日方程作为力学的基本方程， 发展了牛顿力学。它特别适用于研究约束系统的力学问题。
广义坐标
但是，当我们处理复杂的质点组问题时，实际上存在很大的困难。 因为研究一个自由质点的运动，一般需要求解3个二阶微分方程。n 个自由质点的运动，则需要求解3n个二阶微分方程。当质点组受到k 个约束的时候，方程的数目就变成了3n+k，这就使得问题更为复杂， 求解更加困难。
（2） 分析力学的特点和优势
广义坐标
例如：用刚性杆连接的小球 ，是双面约束。单摆是单面约束。
O
x
O
x
l
A A0 y
x2 y2 l2(双面约束)
l A
A0 y x2 y2 + z2 l2(单面约束)
广义坐标
（4） 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 几何约束和可以积分的运动约束，被称为完整约束。
f1(r1, r2 ,
广义坐标
例如：把小球A用长度为 l 的刚性杆连பைடு நூலகம்起来，用平面 铰链悬挂在O点。小球 A所 满足的约束方程为
x2 y2 l2 0
x
O
l A A0
y
广义坐标
运动约束－ 约束方程中含有质点的速度，则被称为运动约束， 或速度约束。通常的约束方程为：
f1
(r1,
r2
,
f
2
(r1,
到了18世纪后期，由于工业的迅速发展，需要研究和解决机器 的各种运动问题。而这些运动恰恰是质点组或者刚体组的约束运动。 由于时代的需要，力学的发展，产生了新的理论和新的方法。
广义坐标
1788年，拉格朗日出版了一本非常有名的著作-叫《分析力学》。 他采用了抽象的数学分析方法，用拉格朗日方程作为力学的基本方程， 发展了牛顿力学。它特别适用于研究约束系统的力学问题。
广义坐标
但是，当我们处理复杂的质点组问题时，实际上存在很大的困难。 因为研究一个自由质点的运动，一般需要求解3个二阶微分方程。n 个自由质点的运动，则需要求解3n个二阶微分方程。当质点组受到k 个约束的时候，方程的数目就变成了3n+k，这就使得问题更为复杂， 求解更加困难。
（2） 分析力学的特点和优势
广义坐标
例如：用刚性杆连接的小球 ，是双面约束。单摆是单面约束。
O
x
O
x
l
A A0 y
x2 y2 l2(双面约束)
l A
A0 y x2 y2 + z2 l2(单面约束)
广义坐标
（4） 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 几何约束和可以积分的运动约束，被称为完整约束。
f1(r1, r2 ,
约束的概念与分类
1. 约束的概念与分类 1)约束与约束方程质点系中限制质点运动（位置、速度）的条件称为约束，表为：f x y z xy z t (,,; , , ;)=02)稳定与不稳定约束稳定约束与时间无关：f x y z (,,)=0 不稳定约束与时间相关：f x y z t (,,,)=03)几何与运动约束几何约束亦称位置约束：f x y z t (,,,)=0运动约束又称微分约束：f x y z xy z t (,,; , , ;)=04)可解与不可解约束可解约束：f x y z t (,,,)≤0 不可解约束：f x y z t (,,,)=05)完整系与不完整系完整系：几何、不可解约束系2.广义坐标 对n 个质点组成的质点系，约束为：f x y z t i k i (,,,)(,,...,)==012则独立坐标减少为s=3n-k 个，设独立变量为q q q s 12,,...,称为Lagrange 广义坐标。
独立坐标的个数s=3n-k 为系统的自由度。
不独立变量与广义坐标的关系可表为：x x q q q t y y q q q t z z q q q t i n i i s i i s ii s ===⎧⎨⎪⎩⎪=(,,...,,)(,,...,,)(,,...,,)(,,...,)12121212，此s 个广义坐标确定系统位置。
3.虚位移受约束系在运动过程中各质点的位置既要满足运动微分方程，也要满足约束方程。
同时满足两个方程的运动为真实运动，此时在dt 时间间隔内发生的位移称为实位移，记为d r。
只满足约束方程而与时间无关（δt =0）的位移称为虚位移，记为δr ，它并未实际发生，只是想象中可能发生的位移。
显然，实位移d r 是许多虚位移δr 中的一个。
4.理想约束虚功：作用在质点上的力在任意虚位移δr 上所做的功。
理想约束：约束反力在任意虚位移δr 上所做的虚功之和为零，即，R r i i ⋅=∑δ0。
01-1 分析力学基础
1.1 分析力学基础 1.1.1 直角坐标与广义坐标
燕山大学
Yanshan University
平面直角坐标：用平面上的长度值表示平面上一点位置的坐标。 平面直角坐标系oxy。 三维直角坐标：在二维直角坐标系（oxy）的基础上,再添加一个 垂直于x轴、y轴的坐标轴，称为z轴。x轴、y轴、z轴满足右手定 则，则坐标系oxyz为三维直角坐标。 广义坐标：能决定系统几何位置的彼此独立的量。
Q2 P L sin t cos 0
(3)系统运动微分方程
d L dt q j L Qj q j j 1, 2, , n
燕山大学
Yanshan University
Q1 P sin t 0 Q2 P L sin t cos 0
两个相互啮合的光滑表面所构成的约束
燕山大学
Yanshan University
两曲面相互啮合的约束条件：两曲面不能脱
开，也不能相互嵌入；则有： δrN1=δrN2
N1与N2两者互为作用力与反作用力：
N1= -N2 由于δrT1及δrT2与约束力N1及N2相垂直，因 而约束力在该方向不做功。在虚位移下，约 束力所做的虚功为：
x1 l1 x2 l2
特点：从运动的观点来研究系统的静力平衡问题。 优点：只考虑外力，不必考虑支反力，应用方便。
虚位移
燕山大学
Yanshan University
虚位移：约束允许的微小位移。 (1)虚位移是微小的、即时发生的，即不考虑它们发生的过程。
(2)独立的虚位移数等于系统的自由度数。
对于图示杠杆系统，杠杆两端的虚位移δx1和δx2。由于杠杆是单自 由度系统，因此δx1和δx2只有一个是独立的。
四川大学物理学院理论力学第五章课件 4
x
x
l
lM
M
y
y
y
xA A xA = sint
x
l
M
x2 + y2 = l2
张纪平 制作
x2 + y2 ≤ l2
(x − sint)2 + y2 = l2
1
2、约束的分类
x 刚性杆
x
l
l
M
M
y
y
x2 + y2 = l2
x2 + y2 ≤ l2
xA A xA = sint
x
y
M
(x −sint)2 + y2 = l2
O
解： 解析法 2个自由度
α
取α、β 为广义坐标
系统所受约束符合虚功原理的适用条件
系统的主动力有 P1, P2 和 F
根据虚功原理,
P1iδ rC + P2 iδ rD + F iδ rB = 0
建立坐标系
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
张纪平 制作
A
β
F
O
B
α
y
C
l1 β
P1 A l2
F
x
D P2 B
18
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
yB = l1 cosα + l2 cos β
xC
=
1 2
l1 sin α
O
α
y
C
l1 β
xD
=
l1 sin α
+
1 2
l2
sin
β
1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标
前面所举的例子均为定常约束。
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
第五章 分析力学
一、基本形式的L方程 基本形式的 方程 1. D’Alembert-Lagrenge方程 方程 体系由n个质点组成， 体系由 个质点组成，每个质点有 个质点组成
mi ɺɺ = Fi + Ri ri
n i=1 i i i
ɺɺ or − mi ri + Fi + Ri = 0
i i i i
r ∑(−m ɺɺ ⋅δr + F ⋅δr + R ⋅δr ) = 0
或 ri = ri (q1, q2 ⋯qs ,t) i =1,2,3,⋯n s < 3n
q1, q2 ⋯qs为广义坐标，可完全描述体系的位形
例如：质点被约束在半径为R的圆周上运动 约束方程：z = 0, x2 + y2 = R2, 引进广义坐标 q =θ x = Rcosθ 则 y = Rsinθ z = 0
4 ）令δqα 前的系数 = 0，得 1 Qα = Pl1 sin α = 0, 1 2 2 1 Qβ = P l2 cos β − Fl2 sin β = 0 2 2
P + 2P P 1 2 ∴tgα = , tgβ = 2 2F 2F
§5.3 Lagrange 方程
2. 广义坐标 若体系有k个几何约束，则有 个独立坐标， 若体系有 个几何约束，则有3n-k个独立坐标，引进 个 个几何约束 个独立坐标 引进s个 独立坐标q 独立坐标 1, q2…qs
xi = xi (q1, q2,⋯qs ,t) yi = yi (q1, q2,⋯qs ,t) z = z (q , q ,⋯q ,t) i 1 2 s i
如在 稳定约束 dr为 r中的 中 δ 一个 ， 否则 不同 如： ,
dr P’ P
f(x,y,z,t+dt) δr f(x,y,z,t)
mi ɺɺ = Fi + Ri ri
n i=1 i i i
ɺɺ or − mi ri + Fi + Ri = 0
i i i i
r ∑(−m ɺɺ ⋅δr + F ⋅δr + R ⋅δr ) = 0
或 ri = ri (q1, q2 ⋯qs ,t) i =1,2,3,⋯n s < 3n
q1, q2 ⋯qs为广义坐标，可完全描述体系的位形
例如：质点被约束在半径为R的圆周上运动 约束方程：z = 0, x2 + y2 = R2, 引进广义坐标 q =θ x = Rcosθ 则 y = Rsinθ z = 0
4 ）令δqα 前的系数 = 0，得 1 Qα = Pl1 sin α = 0, 1 2 2 1 Qβ = P l2 cos β − Fl2 sin β = 0 2 2
P + 2P P 1 2 ∴tgα = , tgβ = 2 2F 2F
§5.3 Lagrange 方程
2. 广义坐标 若体系有k个几何约束，则有 个独立坐标， 若体系有 个几何约束，则有3n-k个独立坐标，引进 个 个几何约束 个独立坐标 引进s个 独立坐标q 独立坐标 1, q2…qs
xi = xi (q1, q2,⋯qs ,t) yi = yi (q1, q2,⋯qs ,t) z = z (q , q ,⋯q ,t) i 1 2 s i
如在 稳定约束 dr为 r中的 中 δ 一个 ， 否则 不同 如： ,
dr P’ P
f(x,y,z,t+dt) δr f(x,y,z,t)
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这里: n 质 1点个数
另外有约束方程:
x2 y2 l2 0 z 0
故有: k 约2束个数
故广义坐标个数为: s 3n k 3 2 1
广义坐标可取为: 或 x 或 y 等
注意：在确定广义坐标时，首先要确定广义坐标的个数s，s的确定 不一定非得使用：
s 3n k
还可以判断该质点需要几个独立坐标即可确定其位置，则广义坐标 的个数s即等于几。如下一例题。
x2 y2 l2 0 z 0
今后仅讨论完整、不可解约束力学体系的运动问题.
三、广义坐标
体系 受到（完整）约束数目
一个自由质点
0
n个自由质点
0
n个非自由质点
k
自由度 3 3n 3n-k
独立坐标数目
3
3n 3n-k
=s
因此，我们完全可以用s个独立坐标确切的描述力学体系的位 置,这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种 其他坐标会更加方便,于是,人们提出了广义坐标的概念.
第一章 拉格朗日(Lagrange)方程
§1-1 约束和广义坐标
一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念
主动力: 促使物体运动或有运动趋势的力,如:
(1)物体受力
重力、风力等
约束力: 限制物体运动或有运动趋势的力,如:
示 例 (1)
W
FRA
FRB
示 例 (2)
(2)牛顿运动方程
d 2rv v m dt 2 F合力
分析力学 优势一：
约束越多
自由度越少
独立坐标越少 （引入广义坐标） 广义坐标越少
满足的动力学方程越少
方程越好解
拉格朗日方程
问题越好解决
分析力学 优势二： 加速度、力等矢量 力学特色 牛顿主义 动能、势能等能量 分析力学
电动力学 量子力学 统计物理 相对论
牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题
v F主动力
v R约束力
其显式的得到一般很困难！ 用约束方程表示约束情况!
约束方程
约束越多,列出的方程越多!方程越不好解！
牛顿力学 局限二： 力学现象 内在联系 非力学现象（如电磁学等）
牛顿方程 表述方法不同 麦克斯韦方程组
不易找到内在联系
综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式 —— 分析力学
约束方程： f x, y, z 0或f x, y, z,t 0
常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是 该曲线或曲面的方程。
x
Example:单摆
x2 y2 l2 0
z置约束
完整约束 完整系
（2）非完整（运动）约束－对体系的位置和速度都进行限制的约束
2、给出在均匀重力场中平面双摆的广义坐标。两个绳长不变。
解：两个质点m1,m2只分别需要1个独立 坐标即可确定其位置，即整个体系只需 2个广义坐标。
对于一个给定的系统, 广义坐标的数目 是一定的, 而广义坐标的选择不是唯一的.
1,2
x1,2
1, x2
x1, x2
v
v
F主动力 R约束力
难点约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于约束
本身的性质、主动力和物体的运动状态。
牛顿力学 局限一：
m
d 2rv dt 2
v F合力
实际工程技术中迫 切需要解决的问题
必须知道作用在物体上的所有的力——合力
联立 求解
对于非自由质点，即约束运动，运动方程为：
m
d 2rv dt 2
z 0
x vt 2 y2 l2 0
若悬点以匀速v沿x轴运动
为不定常约束
z 0
3、双侧约束和单侧约束
(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可脱离的约束（等式）
Example:单摆
x2 y2 l2 0
z 0
(2)单侧(可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式)
Example:单摆中用柔绳代替刚性杆:
约束方程： f x, y, z; x&, y&, z& 0或f x, y, z; x&, y&, z&,t 0
Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动
x&c R&
运动约束 速度约束
微分约束
运动约束
经积分可以消去坐标导数 几何约束（完整约束） 不能经积分消去坐标导数 非完整约束
2、定常约束和不定常约束
广义坐标:足以描述(具有s个自由度的)系统位置的任意量
q1, q2,L称, q为s 该体系的广义坐标.常记作
qi i.1, 2,L , s
广义速度 q，i 广义加速度 .qi
说明
1. 广义坐标中的”坐标”的含义已超出几何学的范畴,它的真正含义 就是”独立参量”；
2. 广义坐标可以是线坐标,也可以是角坐标或其他物理量,如面积、 体积、电极化强度、磁化强度等；
牛顿力学
分析力学
代表人物 运动方程
计算方法 描述系统运动状
态的量 研究约束运动时
牛顿 牛顿方程
矢量计算 坐标、动量
给出约束力及约束方程
拉格朗日、哈密顿 拉格朗日方程 哈密顿方程 数学分析
广义坐标、广义动量
无需给出约束力及约束 方程
基本物理量
加速度、力
能量或功
与非力学系统的 联系
不易看出
易于推广
那么, 分析力学到底是什么样子地? 从一个个新的概念入手,慢慢接近了解它!
3. 相应的，广义速度 q既i 可以是线速度，也可以是角速度，或者其
他物理量对时间的变化；
4. 为描述同一系统，广义坐标的选择并不是唯一的，一般地，有许 多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态.如何选择最合适 的一组广义坐标——多做练习积累经验。
5. n个质点形成的力学体系的3n个非独立坐标(一般是笛卡儿坐标) 可以用s个独立的广义坐标表示出来:
（1）定常（稳定）约束：约束方程中不显含时间
f x, y, z 0 f x, y, z; x&, y&, z& 0
（2）不定常（不稳定）约束：约束方程中显含时间
f x, y, z,t 0 f x, y, z; x&, y&, z&;t 0
Example:单摆
x2
y2
为l 2定常0 约束
v 特点:注重力 和F 加速度
av运动微分方程
求解质点（质点组）的运动
规律
优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂
分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题
特点：注重具有广泛意义的“能量”，扩大坐标概念，引入“广义坐标” 便于研究受约束质点组的力学问题
优点：：（1）巧妙的消去“理想约束”，减少了方程组中未知量的个数； （2）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富 形成许多专门分支 （3）“能量”，“广义坐标” 用于场的研究 量子力学，相对论，统 计物理
二、约束及分类
对于质点组,或称为力学体系:
n个自由质点
独立坐标数目=3n
若受到约束
独立坐标数目<3n
约束：对力学体系中质点的位置和速度所施加的限制条件 约束方程：对限制条件的数学表达式
根据限制条件的性质将约束进行分类:
1、完整约束和非完整约束
与速度无关
（1）完整（几何）约束－仅限制体系在空间的几何位置的约束
xi xi q1, q2,L , qs ,t , yi yi q1, q2,L , qs ,t , i 1, 2L , n s 3n zi zi q1, q2,L , qs ,t ,
或:
rvi rvi q1, q2,L , qs ,t
例题 1、给出单摆的广义坐标。 l
解：广义坐标个数为: s 3n k