约束-自由度

第14章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。

这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。

从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。

1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。

虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。

14.1 约束·自由度·广义坐标14.1.1约束质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。

按约束方程的形式对约束进行以下分类。

1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。

例如图14-1所示的单摆，其约束方程为222l =y +x 又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为⎪⎩⎪⎨⎧--0+22222=y l =)y (y +)x (x r =y x BB A 2B A A A图14-2xy图14-3上述例子中的约束方程均表示几何约束。

如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。

例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为ωr =v c 运动约束方程为0=ωr v c -设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为0C =r φx- 2.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。

约束方程中显含时间的约束称为非定常约束，例如将单摆的绳穿在小环上，如图14-4所示，设初始摆长为0l ，以不变的速度拉动摆绳，单摆的约束方程为2022)vt l (=y +x -约束方程中有时间变量t ，属于非定常约束。

x图14-43.完整约束与非完整约束约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，称为非完整约束。

反之，约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式，称为完整约束。

上述例子中在平直轨道上作纯滚动的圆轮，其运动约束方程为完整约束。

4.双侧约束与单侧约束如果约束不仅限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为双侧约束。

例如，图14-1所示的单摆是用直杆制成的，摆杆不仅限制小球拉伸方向的位移，而且也限制小球沿压缩方向的位移，此约束为双侧约束。

若将摆杆换成绳索，绳索不能限制小球沿压缩方向的位移，这样的约束为单侧约束。

即约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为单侧约束。

本章非自由质点系的约束只限于几何、定常的双侧约束，约束方程的一般形式为0111=)z ,y ,x ,,z ,y ,x (f n n n j )s ,,,j ( 21= (14-1) 式中n 为质点系中质点的数目，s 为约束方程的数目。

14.1.2自由度确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目称为质点系的自由度数，简称自由度，用k 表示。

例如，在空间运动的质点，其独立坐标为)z ,y ,x (,自由度为3=k ；在平面运动的质点，其独立坐标为)y ,x (,自由度为2=k ；作平面运动的刚体，其独立坐标为),y ,x (A A ϕ，自由度为k=3。

一般情况，设由n 个质点组成的质点系，受有s 个几何约束，此完整系统的自由度数为空间运动的自由度数： s n k -=3； 平面运动的自由度数： s n k -=2。

14.1.3广义坐标确定质点系位置的独立参量称质点系的广义坐标，常用j q )s ,,,j ( 21=表示。

广义坐标的形式是多种的，可以是笛卡尔直角坐标x ,y ,z 、弧坐标s 、转角ϕ。

一般情况，设具有理想、双则约束的质点系，由n 个质点组成，受有s 个几何约束，系统的自由度为s n k -=3，若以k q ,,q ,q 21表示质点系的广义坐标，质点系第i 个质点的直角坐标形式的广义坐标为⎪⎩⎪⎨⎧===)t ,q ,,q ,q (z z )t ,q ,,q ,q (y y )t ,q ,,q ,q (x x k i ik i i k i i 212121 )n ,,,i ( 21= (14-2) 矢量形式为)t ,q ,,q ,q (k i i 21r r = )n ,,,i ( 21= (14-3)14.2 虚位移原理14.2.1虚位移和虚功1.虚位移在某给定瞬时，质点或质点系为约束所允许的无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。

虚位移可以是线位移，也可以是角位移。

用变分符号r δ表示，以区别真实位移r d 。

例如图14-1所示的单摆，沿圆弧的切线有虚位移r δ。

虚位移与实际位移是两个截然不同的概念。

虚位移只与约束条件有关，与时间、作用力和运动的初始条件无关。

实位移是质点或质点系在一定时间内发生的真实位移，除了与约束条件有关以外，还与作用在它们上的主动力和运动的初始条件有关。

虚位移是任意的无限小的位移，在定常约束下，虚位移可以有沿不同方向的虚位移。

2.虚功力在虚位移上作的功称为虚功，用W δ表示，即r F δδ•=W (14-4) 虚功与实际位移中的元功在本教材中的符号相同，但它们之间有着本质的区别。

因为虚位移是假想的，不是真实位移，因此其虚功就不是真实的功，是假想的，它与实际位移无关；而实际位移中的元功是真实位移的功，它与物体运动的路径有关。

这一点上学习时应当注意。

3.理想约束如果约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，这样的约束称为理想约束。

若用Ni F 表示质点系中第i 个质点所受的约束力，i δr 表示质点系中第i 个质点的虚位移，则理想约束为1=∙∑=si i NiF=W r δδ (14-5)将第12章的式（12-11）中i r d 变换为i δr 即可。

如光滑接触面、铰链、不可伸长刚杆（二力杆）等均为理想约束。

将第12章的理想约束推广到某些非定常约束，也能成为理想约束。

例如变长度摆，如图14-5所示，绳的约束力在实位移上作的功0≠•r F T d ，但虚位移上的虚功0=r F T δ•，因而也是理想约束。

图14-514.2.2虚位移原理虚位移原理：具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。

即1==W ni i F ∑=∙r F i δδ (14-6)式(14-6)的解析式为01=++∑=ni i zi i yi i xi)z F y F x F(δδδ (14-7)虚位移原理由拉格朗日于1764年提出的，又称为虚功原理，它是研究一般质点系平衡的普遍定理，也称静力学普遍定理。

虚位移原理的必要性证明：当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力i F 和约束力Ni F 而处于平衡，则有0=F F Ni i + )n ,,,i ( 21= 将上式两端同乘以i δr ，并连加得011=F F i i ∑∑==ni N ni +由于质点系受有理想约束，即1=r F i ∑=∙ni i N δ 则有 01==W ni i F ∑=∙r F i δδ虚位移原理的充分性证明：假设质点系受到力系作用时，不处于平衡状态，则作用在质点系上的某一个主动力iF和约束力Ni F 其在相应的虚位移上所作的虚功必有0≠∙+i i )(r F F Ni δ由于质点系受有理想约束，即图14-6121=r F i ∑=∙ni i N δ则对于质点系有01≠∙∑=ni i F =W r F i δδ这与式(14-6)矛盾，质点系必处于平衡。

例题14-1如图14-6所示的机构中，当曲柄OC 绕轴O 转动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直的滑槽内移动，不计各杆的自重与各处的摩擦。

试求平衡时力1F 和2F 的关系。

解：作用在该机构上的主动力为力1F 和2F ，约束是理想约束，且为1个自由度体系。

有如下的两种解法：（1）几何法如图14-6所示，A 、C 两点的虚位移为A r δ，C r δ，则由虚位移原理式(14-6)得012=-C A F F r r δδ（1） 由图中的几何关系得ϕδδcos A e r r =alcos a cos l cos a OAAA e C ϕδϕϕδδδ2r r r r ===（2）式（2）代入式（1），得212=-a lcos F F A A ϕδδr r212=-A )a lcos F F (r δϕ由于虚位移为A r δ是任意独立的，则212=-a lcos F F ϕ有关系为ϕ221cosa l F F =（2）解析法由于体系具有1个自由度，广义坐标为曲柄OC 绕轴O 转动时的转角ϕ，则滑块A 在图示坐标系中的坐标为ϕtan l y =滑块A 的虚位移为ϕδϕδδ2cos l y A ==rC点的虚位移为ϕδϕδδa )a (C ==r将点A 、C 的虚位移代入式（1）得0122=-ϕδϕδϕa F cos l F 0122=-ϕδϕ)a F coslF (由于广义虚位移ϕδ是任意独立的，则有122=-a F cosl F ϕ即ϕ221cosa lF F =例题14-2如图14-7所示的平面机构中。

已知各杆与弹簧的原长为l ，重量均略去不计。

滑块A 重为P ，弹簧刚度系数为k ，铅直滑道是光滑的。

试求平衡时重力P 与θ之间的关系。

xD图14-7解：去掉弹簧的约束，以弹力F 、F '代替，体系的约束为理想约束，在主动力重力P 和弹力F 、F '的作用下处于平衡。

此体系具有1个自由度，广义坐标为θ，则由虚位移原理式(14-6)得0='+--D B A x F x F y P δδδ （1） 主动力作用点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-===θθθcos l x cos l x sin l y DB A 2 则各作用点的虚位移为上式取变分，得⎝⎛=-==δθθδθδθδθδθδsin l x sin l x cos l y D B A 2 （2）弹簧的弹力F 、F '为)l cos l (k F F -='=θ2 （3）将式（2）和式（3）代入式（1），得0222=-+-+-δθθθθδθθθδθsin l )l cos l (k sin l )l cos l (k cos l P整理得0]2[=-+-δθθθ)tan sin (kl P由于广义虚位移θδ是任意独立的，则有2=-+-)tan sin (kl P θθ即得平衡时重力P 与θ之间的关系为)tan sin (kl P θθ-=2例题14-3一多跨静定梁受力如图14-8a 所示，试求支座B 的约束力。