1-1_约束和广义坐标解析
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管理学机械设计基础第五版杨可桢版第一章平面机构的自由度和速度分析
Ｂ.按两构件的接触情况分类：
两构件组成的运动副，不外乎通过点、线或面 的接触来实现。按照接触特性，通常把运动副分为 高副和低副。
1.低副：凡两构件以面接触构成的运动副称为低副， 平面机构中的低副有转动副和移动副两种。 （1）转动副：组成运动副的两构件只能在一个平面 内相对转动，这种运动副称为转动副，或称铰链。
讲授方法：
多媒体课件。
§1-1 运动副及其分类
1.1 自由度
y
O
x
如图，处于xoy坐标系中的一个作平面运动的自由 自由构件S具有三个独立的运动，即沿x轴、y轴方向的 移动和绕A点的转动。这种相对于参考系构件所具有的 独立运动称为构件的自由度。
一个作平面运动的自由构件有三个自由度。
1.2 运动副及其分类
下面通过具体的例子说明机构运动简图的绘 制方法。
四、绘制机构运动简图的步骤
机构运动简图必须与原机构具有完全相同的运 动特性，忽略对运动没有影响的构件的外形和运动 副具体构造。只有这样我们才可以根据运动简图对 机构进行运动分析和受力分析。为了达到这一要求， 绘制运动简图要遵循以下步骤：
⑴．根据机构的实际结构和运动情况，找出机构的原动件（即作独立运 动的构件）及工作执行构件（即输出运动的构件）； ⑵．确定机构的传动部分，即确定构件数、运动副、类型和位置； ⑶．确定机架，并选定多数机构的运动平面作为绘制简图的投影面； ⑷．选择合适的比例尺，用构件和运动副的符号正确绘制出运动简图。
教学目标：
1．了解机构的组成，搞清运动副、运动链、约束和 自由度、速度瞬心的概念； 2．能绘制常用平面机构的运动简图； 3．能计算平面机构的自由度； 4．平面机构具有确定运动的条件； 5. 应用瞬心法进行机构的速度分析。
教学重点和难点 ：
两构件组成的运动副，不外乎通过点、线或面 的接触来实现。按照接触特性，通常把运动副分为 高副和低副。
1.低副：凡两构件以面接触构成的运动副称为低副， 平面机构中的低副有转动副和移动副两种。 （1）转动副：组成运动副的两构件只能在一个平面 内相对转动，这种运动副称为转动副，或称铰链。
讲授方法：
多媒体课件。
§1-1 运动副及其分类
1.1 自由度
y
O
x
如图，处于xoy坐标系中的一个作平面运动的自由 自由构件S具有三个独立的运动，即沿x轴、y轴方向的 移动和绕A点的转动。这种相对于参考系构件所具有的 独立运动称为构件的自由度。
一个作平面运动的自由构件有三个自由度。
1.2 运动副及其分类
下面通过具体的例子说明机构运动简图的绘 制方法。
四、绘制机构运动简图的步骤
机构运动简图必须与原机构具有完全相同的运 动特性，忽略对运动没有影响的构件的外形和运动 副具体构造。只有这样我们才可以根据运动简图对 机构进行运动分析和受力分析。为了达到这一要求， 绘制运动简图要遵循以下步骤：
⑴．根据机构的实际结构和运动情况，找出机构的原动件（即作独立运 动的构件）及工作执行构件（即输出运动的构件）； ⑵．确定机构的传动部分，即确定构件数、运动副、类型和位置； ⑶．确定机架，并选定多数机构的运动平面作为绘制简图的投影面； ⑷．选择合适的比例尺，用构件和运动副的符号正确绘制出运动简图。
教学目标：
1．了解机构的组成，搞清运动副、运动链、约束和 自由度、速度瞬心的概念； 2．能绘制常用平面机构的运动简图； 3．能计算平面机构的自由度； 4．平面机构具有确定运动的条件； 5. 应用瞬心法进行机构的速度分析。
教学重点和难点 ：
广义坐标和约束体系
广义坐标和约束体系在物理学和工程学中，广义坐标和约束体系是描述多体系统运动的重要工具。
广义坐标是一组描述系统状态的独立变量，而约束体系则是一组将系统中各个部分联系在一起的条件。
本文将介绍广义坐标的概念和应用，并探讨约束体系在多体系统动力学中的作用。
一、广义坐标的概念和应用在传统的牛顿力学中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述物体的位置和运动。
然而，在复杂的多体系统中，使用笛卡尔坐标系来描述每个质点的运动往往变得非常复杂。
为了简化问题，引入广义坐标的概念就显得尤为重要。
广义坐标是一组相互独立的变量，它们可以用来描述系统的状态。
与笛卡尔坐标不同的是，广义坐标可以是质点的位置坐标、质点的广义速度、质点的质心位置、刚体的欧拉角等等。
通过引入广义坐标，我们可以用更简洁的方式描述系统的状态，简化求解的过程。
广义坐标的应用十分广泛。
在理论物理中，广义坐标常常用于构建拉格朗日力学和哈密顿力学的数学框架。
在工程学中，广义坐标常常用于描述机械系统中各个零件的运动和变形。
例如，通过引入关节的旋转角度作为广义坐标，可以简化机械臂的运动学分析。
二、约束体系在多体系统动力学中的作用在多体系统中，各个质点之间通常存在一定的约束关系。
这些约束条件可以是几何约束（如刚度约束、长度约束等）或非几何约束（如速度约束、加速度约束等）。
约束体系是将约束条件用方程形式表示的系统。
约束体系在多体系统动力学中发挥着重要作用。
它可以用来限制系统的自由度，从而简化问题的求解。
通过引入拉格朗日乘子的方法，我们可以将约束条件与系统的动力学方程相结合，得到描述系统运动的广义拉格朗日方程。
在这个过程中，广义坐标发挥了重要的作用，它将系统状态映射到一个更简洁的空间中。
约束体系还可以用来分析系统的稳定性和振动特性。
通过线性化约束方程，我们可以得到系统的模态分析，从而了解系统的固有振动频率和模式形态。
这对于设计和优化振动系统非常重要。
三、结论广义坐标和约束体系在多体系统的描述和分析中起到了至关重要的作用。
01-1 分析力学基础
1.1 分析力学基础 1.1.1 直角坐标与广义坐标
燕山大学
Yanshan University
平面直角坐标：用平面上的长度值表示平面上一点位置的坐标。 平面直角坐标系oxy。 三维直角坐标：在二维直角坐标系（oxy）的基础上,再添加一个 垂直于x轴、y轴的坐标轴，称为z轴。x轴、y轴、z轴满足右手定 则，则坐标系oxyz为三维直角坐标。 广义坐标：能决定系统几何位置的彼此独立的量。
Q2 P L sin t cos 0
(3)系统运动微分方程
d L dt q j L Qj q j j 1, 2, , n
燕山大学
Yanshan University
Q1 P sin t 0 Q2 P L sin t cos 0
两个相互啮合的光滑表面所构成的约束
燕山大学
Yanshan University
两曲面相互啮合的约束条件：两曲面不能脱
开，也不能相互嵌入；则有： δrN1=δrN2
N1与N2两者互为作用力与反作用力：
N1= -N2 由于δrT1及δrT2与约束力N1及N2相垂直，因 而约束力在该方向不做功。在虚位移下，约 束力所做的虚功为：
x1 l1 x2 l2
特点：从运动的观点来研究系统的静力平衡问题。 优点：只考虑外力，不必考虑支反力，应用方便。
虚位移
燕山大学
Yanshan University
虚位移：约束允许的微小位移。 (1)虚位移是微小的、即时发生的，即不考虑它们发生的过程。
(2)独立的虚位移数等于系统的自由度数。
对于图示杠杆系统，杠杆两端的虚位移δx1和δx2。由于杠杆是单自 由度系统，因此δx1和δx2只有一个是独立的。
机构学和机器人学1空间机构的基础知识
§1-2 空间机构的结构综合
1、单自由度平面机构的结构综合
研究一定数量的构件和运动副可以组成多少机构型 式的综合过程。实质是排列与组合的数学问题。可利用 图论和矩阵工具研究。
单自由度的低副机构是由具有4个自由度的运动链 所组成，自由度为4的运动链应满足下列关系：
(1) n2=4, n3=4 (2) n2=5, n3=2, n4=1 (3) n2=6, n4=2
而成的系统。 闭式链——组成一个或多个封闭形的运动链。 开链——不可组成封闭形的运动链。
简单运动链——运动链中可出现与其它三 个构件相连的构件时。如图a、b、c，否则 称为复杂运动链，如图d。
运动链的自由度——独立相对运动的个数 或各构件相互位置变化所需自由参数（广 义坐标）的个数。例如上图a四个运动参数 θ1、θ2、θ3、θ4中只有一个自由参数（如 θ1）F=1，上图b三个运动参数θ1、θ2、θ3 均为自由参数，F=3。
3、空间单封闭形单自由 度机构的结构综合
1）当λ=6，如表综合可 得12种类型433种机构。
2）综合四杆单封闭形机 构，可得3种类型138 种机构。其中9种具有 特殊实用价值。
3）构成闭合约束数小于 6的机构时，组成条件 需要严格遵守，否则 可能出现不能运动的 刚架。
还有特殊的三类： R-R-R-R R-S-S-R R-C-C-R
Ⅴ级副——约束度为（5－m）
Ⅳ级副——约束度为（4－m）
……
当m=0（零族机构）即可加任何公共约束， 机构自由度计算公式用（1－1）。
m=1（一族机构）不可能 P2 （1－4）
m=2（二族机构）不可能存在Ⅰ、Ⅱ级副
F 4n 3P5 2P4 P3 （1－5）
F 6n 5P5 4P4 3P3 2P2 P1 （1－1）
四川大学物理学院理论力学第五章课件 4
x
x
l
lM
M
y
y
y
xA A xA = sint
x
l
M
x2 + y2 = l2
张纪平 制作
x2 + y2 ≤ l2
(x − sint)2 + y2 = l2
1
2、约束的分类
x 刚性杆
x
l
l
M
M
y
y
x2 + y2 = l2
x2 + y2 ≤ l2
xA A xA = sint
x
y
M
(x −sint)2 + y2 = l2
O
解： 解析法 2个自由度
α
取α、β 为广义坐标
系统所受约束符合虚功原理的适用条件
系统的主动力有 P1, P2 和 F
根据虚功原理,
P1iδ rC + P2 iδ rD + F iδ rB = 0
建立坐标系
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
张纪平 制作
A
β
F
O
B
α
y
C
l1 β
P1 A l2
F
x
D P2 B
18
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
yB = l1 cosα + l2 cos β
xC
=
1 2
l1 sin α
O
α
y
C
l1 β
xD
=
l1 sin α
+
1 2
l2
sin
β
1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标
前面所举的例子均为定常约束。
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
第五章 分析力学
一、基本形式的L方程 基本形式的 方程 1. D’Alembert-Lagrenge方程 方程 体系由n个质点组成， 体系由 个质点组成，每个质点有 个质点组成
mi ɺɺ = Fi + Ri ri
n i=1 i i i
ɺɺ or − mi ri + Fi + Ri = 0
i i i i
r ∑(−m ɺɺ ⋅δr + F ⋅δr + R ⋅δr ) = 0
或 ri = ri (q1, q2 ⋯qs ,t) i =1,2,3,⋯n s < 3n
q1, q2 ⋯qs为广义坐标，可完全描述体系的位形
例如：质点被约束在半径为R的圆周上运动 约束方程：z = 0, x2 + y2 = R2, 引进广义坐标 q =θ x = Rcosθ 则 y = Rsinθ z = 0
4 ）令δqα 前的系数 = 0，得 1 Qα = Pl1 sin α = 0, 1 2 2 1 Qβ = P l2 cos β − Fl2 sin β = 0 2 2
P + 2P P 1 2 ∴tgα = , tgβ = 2 2F 2F
§5.3 Lagrange 方程
2. 广义坐标 若体系有k个几何约束，则有 个独立坐标， 若体系有 个几何约束，则有3n-k个独立坐标，引进 个 个几何约束 个独立坐标 引进s个 独立坐标q 独立坐标 1, q2…qs
xi = xi (q1, q2,⋯qs ,t) yi = yi (q1, q2,⋯qs ,t) z = z (q , q ,⋯q ,t) i 1 2 s i
如在 稳定约束 dr为 r中的 中 δ 一个 ， 否则 不同 如： ,
dr P’ P
f(x,y,z,t+dt) δr f(x,y,z,t)
mi ɺɺ = Fi + Ri ri
n i=1 i i i
ɺɺ or − mi ri + Fi + Ri = 0
i i i i
r ∑(−m ɺɺ ⋅δr + F ⋅δr + R ⋅δr ) = 0
或 ri = ri (q1, q2 ⋯qs ,t) i =1,2,3,⋯n s < 3n
q1, q2 ⋯qs为广义坐标，可完全描述体系的位形
例如：质点被约束在半径为R的圆周上运动 约束方程：z = 0, x2 + y2 = R2, 引进广义坐标 q =θ x = Rcosθ 则 y = Rsinθ z = 0
4 ）令δqα 前的系数 = 0，得 1 Qα = Pl1 sin α = 0, 1 2 2 1 Qβ = P l2 cos β − Fl2 sin β = 0 2 2
P + 2P P 1 2 ∴tgα = , tgβ = 2 2F 2F
§5.3 Lagrange 方程
2. 广义坐标 若体系有k个几何约束，则有 个独立坐标， 若体系有 个几何约束，则有3n-k个独立坐标，引进 个 个几何约束 个独立坐标 引进s个 独立坐标q 独立坐标 1, q2…qs
xi = xi (q1, q2,⋯qs ,t) yi = yi (q1, q2,⋯qs ,t) z = z (q , q ,⋯q ,t) i 1 2 s i
如在 稳定约束 dr为 r中的 中 δ 一个 ， 否则 不同 如： ,
dr P’ P
f(x,y,z,t+dt) δr f(x,y,z,t)
第一章下册哈工大理论力学
N=?
按刚片自由度计算 N=3n-s=3×5-(2×4)-2× (3-1)-2=1
按质点自由度计算 N=2n-s=2×5-2-2-4-1=1
B
30 o
O
M
C
30 o
r
O1
D
30 o
A
F
N=?
按刚片自由度计算 N=3n-s=3×5-(2×6)-2=1 按质点自由度计算 N=2n-s=2×6-8-1=3？ N=2n-s=2×6-8-1-2=1
代入广义力表达式，系统平衡的时候有：
Q1 P 1 a sin P 2 2a sin F 2a cos 0 Q2 P2 b sin F 2b cos 0
由此解得：
2F tg P1 2 P2
,
2F tg P2
第二种方法： 先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的 一组虚位移，如图所示。 yC 0
由于广义坐标是相互独立的，qk 可以任意取值，因 此要使虚功方程满足，必须有：
Q1 Q2 QN 0
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡方程。 求广义力的方法一：
xi yi zi Qk Fix q Fiy q Fiz q i 1 k k k ( k 1,2, , N )
第 一 章
分析力学基础
物体运动与相互作用之间的关系
牛顿第二定律 （矢量形式表示出来）
矢量力学 质点系动力学普遍定理： 动量定理、动量矩定理和动能定理
求解具有复杂约束系统和变形体的动力学 问题采用分析数学的方法 能量与功
通过虚位移原理和达朗贝尔原理建立普遍形式 下的动力学方程 分析力学
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几何约束 位置约束 完整约束 完整系
l
y
（2）非完整（运动）约束－对体系的位置和速度都进行限制的约束
约束方程：f x, y, z; x , y , z , y , z 0或f x, y, z; x , t 0
Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动
c R x
3、双侧约束和单侧约束
(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可脱离的约束（等式）
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 z 0
(2)单侧(可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式)
Example:单摆中用柔绳代替刚性杆:
x2 y 2 l 2 0 z 0
分析力学 优势一： 约束越多 自由度越少
独立坐标越少
广义坐标越少
（引入广义坐标）
满足的动力学方程越少 拉格朗日方程 方程越好解
问题越好解决
分析力学 优势二： 加速度、力等矢量 动能、势能等能量 力学特色 牛顿主义 分析力学
电动力学
量子力学
统计物理
相对论
牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题
f x, y, z, t 0 , y , z ; t 0 f x, y, z; x
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 为定常约束 z 0 2 x vt y2 l 2 0 若悬点以匀速v沿x轴运动 为不定常约束 z 0
xi xi q1 , q2 , , qs , t , yi yi q1 , q2 , , qs , t , zi zi q1 , q2 , , qs , t ,
或:
i 1, 2 , n
s 3n
ri ri q1 , q2 ,, qs , t
d r m 2 F合力 F主动力 R约束力 dt
2
难点
约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于
约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。
d 2r 牛顿力学 局限一： m 2 F合力 dt
实际工程技术中迫 切需要解决的问题
必须知道作用在物体上的所有的力 ——合力 对于非自由质点，即约束运动，运动方程为：
第一章 拉格朗日(Lagrange)方程
§1-1 约束和广义坐标
一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念 主动力: 促使物体运动或有运动趋势的力,如: (1)物体受力 重力、风力等 约束力: 限制物体运动或有运动趋势的力,如:
示 例 (1)
W FRA FRB
示 例 (2)
(2)牛顿运动方程
运动约束 速度约束 微分约束 几何约束（完整约束） 非完整约束
经积分可以消去坐标导数 运动约束 不能经积分消去坐标导数
2、定常约束和不定常约束
（1）定常（稳定）约束：约束方程中不显含时间
f x, y, z 0 , y , z 0 f x, y, z; x
（2）不定常（不稳定）约束：约束方程中显含时间
不易看出
易于推广
那么, 分析力学到底是什么样子地? 从一个个新的概念入手,慢慢接近了解它!
二、约束及分类 对于质点组,或称为力学体系: n个自由质点 若受到约束 独立坐标数目=3度所施加的限制条件 约束方程：对限制条件的数学表达式 根据限制条件的性质将约束进行分类:
广义坐标:足以描述(具有s个自由度的)系统位置的任意量
q1 , q2 ,, qs 称为该体系的广义坐标.常记作 qi i 1, 2,, s .
广义速度
i . i ，广义加速度 q q
说明
1. 广义坐标中的”坐标”的含义已超出几何学的范畴,它的真正含
义就是”独立参量”；
2. 广义坐标可以是线坐标,也可以是角坐标或其他物理量,如面积、 体积、电极化强度、磁化强度等； 3. 相应的，广义速度
联立 求解
d r m 2 F主动力 R约束力 dt
2
其显式的得到一般很困难！ 用约束方程表示约束情况!
约束方程
约束越多,列出的方程越多!方程越不好解！
牛顿力学 局限二： 力学现象
内在联系
非力学现象（如电磁学等）
牛顿方程
表述方法不同
麦克斯韦方程组
不易找到内在联系
综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式 —— 分析力学
牛顿力学 代表人物 运动方程 计算方法 描述系统运动状 态的量 研究约束运动时 基本物理量 牛顿 牛顿方程 矢量计算 坐标、动量 给出约束力及约束方程 加速度、力
分析力学 拉格朗日、哈密顿 拉格朗日方程 哈密顿方程 数学分析 广义坐标、广义动量 无需给出约束力及约束 方程 能量或功
与非力学系统的 联系
1 , 2
x1 , 2
1 , x2
x1 , x2
F 特点:注重力 和加速度 a 的运动规律
运动微分方程
求解质点（质点组）
优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂
分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题
特点：注重具有广泛意义的“能量”，扩大坐标概念，引入“广义坐标” 便于研究受约束质点组的力学问题 优点：：（1）巧妙的消去“理想约束”，减少了方程组中未知量的个数； （2）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富 形成许多专门分支 （3）“能量”，“广义坐标” 用于场的研究 量子力学，相对论， 统计物理
今后仅讨论完整、不可解约束力学体系的运动问题.
三、广义坐标
体系 受到（完整）约束数目 0 0 k 自由度 独立坐标数目 3 3n 3n-k
一个自由质点
n个自由质点 n个非自由质点
3
3n 3n-k
=s
因此，我们完全可以用s个独立坐标确切的描述力学体系的位 置,这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种 其他坐标会更加方便,于是,人们提出了广义坐标的概念.
i 既可以是线速度，也可以是角速度，或者 q
其他物理量对时间的变化；
4. 为描述同一系统，广义坐标的选择并不是唯一的，一般地，有许 多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态 .如何选择最合适 的一组广义坐标——多做练习积累经验。
5. n个质点形成的力学体系的3n个非独立坐标(一般是笛卡儿坐标) 可以用s个独立的广义坐标表示出来:
s 3n k
还可以判断该质点需要几个独立坐标即可确定其位置，则广义坐标 的个数s即等于几。如下一例题。
2、给出在均匀重力场中平面双摆的广义坐标。两个绳长不变。
解：两个质点m1,m2只分别需要1个独立 坐标即可确定其位置，即整个体系只需 2个广义坐标。 对于一个给定的系统, 广义坐标的数目
是一定的, 而广义坐标的选择不是唯一的.
例题
1、给出单摆的广义坐标。
解：广义坐标个数为: 这里:
l
s 3n k
n 1 质点个数
x2 y 2 l 2 0 z 0
约束个数
另外有约束方程: 故有:
k 2
故广义坐标个数为: s 3n k 3 2 1 广义坐标可取为:
或
x
或
y
等
注意：在确定广义坐标时，首先要确定广义坐标的个数 s，s的确定 不一定非得使用：
1、完整约束和非完整约束
与速度无关
（1）完整（几何）约束－仅限制体系在空间的几何位置的约束 约束方程： f x, y, z 0或f x, y, z, t 0
常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是 该曲线或曲面的方程。
x
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 z 0
l
y
（2）非完整（运动）约束－对体系的位置和速度都进行限制的约束
约束方程：f x, y, z; x , y , z , y , z 0或f x, y, z; x , t 0
Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动
c R x
3、双侧约束和单侧约束
(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可脱离的约束（等式）
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 z 0
(2)单侧(可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式)
Example:单摆中用柔绳代替刚性杆:
x2 y 2 l 2 0 z 0
分析力学 优势一： 约束越多 自由度越少
独立坐标越少
广义坐标越少
（引入广义坐标）
满足的动力学方程越少 拉格朗日方程 方程越好解
问题越好解决
分析力学 优势二： 加速度、力等矢量 动能、势能等能量 力学特色 牛顿主义 分析力学
电动力学
量子力学
统计物理
相对论
牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题
f x, y, z, t 0 , y , z ; t 0 f x, y, z; x
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 为定常约束 z 0 2 x vt y2 l 2 0 若悬点以匀速v沿x轴运动 为不定常约束 z 0
xi xi q1 , q2 , , qs , t , yi yi q1 , q2 , , qs , t , zi zi q1 , q2 , , qs , t ,
或:
i 1, 2 , n
s 3n
ri ri q1 , q2 ,, qs , t
d r m 2 F合力 F主动力 R约束力 dt
2
难点
约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于
约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。
d 2r 牛顿力学 局限一： m 2 F合力 dt
实际工程技术中迫 切需要解决的问题
必须知道作用在物体上的所有的力 ——合力 对于非自由质点，即约束运动，运动方程为：
第一章 拉格朗日(Lagrange)方程
§1-1 约束和广义坐标
一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念 主动力: 促使物体运动或有运动趋势的力,如: (1)物体受力 重力、风力等 约束力: 限制物体运动或有运动趋势的力,如:
示 例 (1)
W FRA FRB
示 例 (2)
(2)牛顿运动方程
运动约束 速度约束 微分约束 几何约束（完整约束） 非完整约束
经积分可以消去坐标导数 运动约束 不能经积分消去坐标导数
2、定常约束和不定常约束
（1）定常（稳定）约束：约束方程中不显含时间
f x, y, z 0 , y , z 0 f x, y, z; x
（2）不定常（不稳定）约束：约束方程中显含时间
不易看出
易于推广
那么, 分析力学到底是什么样子地? 从一个个新的概念入手,慢慢接近了解它!
二、约束及分类 对于质点组,或称为力学体系: n个自由质点 若受到约束 独立坐标数目=3度所施加的限制条件 约束方程：对限制条件的数学表达式 根据限制条件的性质将约束进行分类:
广义坐标:足以描述(具有s个自由度的)系统位置的任意量
q1 , q2 ,, qs 称为该体系的广义坐标.常记作 qi i 1, 2,, s .
广义速度
i . i ，广义加速度 q q
说明
1. 广义坐标中的”坐标”的含义已超出几何学的范畴,它的真正含
义就是”独立参量”；
2. 广义坐标可以是线坐标,也可以是角坐标或其他物理量,如面积、 体积、电极化强度、磁化强度等； 3. 相应的，广义速度
联立 求解
d r m 2 F主动力 R约束力 dt
2
其显式的得到一般很困难！ 用约束方程表示约束情况!
约束方程
约束越多,列出的方程越多!方程越不好解！
牛顿力学 局限二： 力学现象
内在联系
非力学现象（如电磁学等）
牛顿方程
表述方法不同
麦克斯韦方程组
不易找到内在联系
综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式 —— 分析力学
牛顿力学 代表人物 运动方程 计算方法 描述系统运动状 态的量 研究约束运动时 基本物理量 牛顿 牛顿方程 矢量计算 坐标、动量 给出约束力及约束方程 加速度、力
分析力学 拉格朗日、哈密顿 拉格朗日方程 哈密顿方程 数学分析 广义坐标、广义动量 无需给出约束力及约束 方程 能量或功
与非力学系统的 联系
1 , 2
x1 , 2
1 , x2
x1 , x2
F 特点:注重力 和加速度 a 的运动规律
运动微分方程
求解质点（质点组）
优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂
分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题
特点：注重具有广泛意义的“能量”，扩大坐标概念，引入“广义坐标” 便于研究受约束质点组的力学问题 优点：：（1）巧妙的消去“理想约束”，减少了方程组中未知量的个数； （2）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富 形成许多专门分支 （3）“能量”，“广义坐标” 用于场的研究 量子力学，相对论， 统计物理
今后仅讨论完整、不可解约束力学体系的运动问题.
三、广义坐标
体系 受到（完整）约束数目 0 0 k 自由度 独立坐标数目 3 3n 3n-k
一个自由质点
n个自由质点 n个非自由质点
3
3n 3n-k
=s
因此，我们完全可以用s个独立坐标确切的描述力学体系的位 置,这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种 其他坐标会更加方便,于是,人们提出了广义坐标的概念.
i 既可以是线速度，也可以是角速度，或者 q
其他物理量对时间的变化；
4. 为描述同一系统，广义坐标的选择并不是唯一的，一般地，有许 多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态 .如何选择最合适 的一组广义坐标——多做练习积累经验。
5. n个质点形成的力学体系的3n个非独立坐标(一般是笛卡儿坐标) 可以用s个独立的广义坐标表示出来:
s 3n k
还可以判断该质点需要几个独立坐标即可确定其位置，则广义坐标 的个数s即等于几。如下一例题。
2、给出在均匀重力场中平面双摆的广义坐标。两个绳长不变。
解：两个质点m1,m2只分别需要1个独立 坐标即可确定其位置，即整个体系只需 2个广义坐标。 对于一个给定的系统, 广义坐标的数目
是一定的, 而广义坐标的选择不是唯一的.
例题
1、给出单摆的广义坐标。
解：广义坐标个数为: 这里:
l
s 3n k
n 1 质点个数
x2 y 2 l 2 0 z 0
约束个数
另外有约束方程: 故有:
k 2
故广义坐标个数为: s 3n k 3 2 1 广义坐标可取为:
或
x
或
y
等
注意：在确定广义坐标时，首先要确定广义坐标的个数 s，s的确定 不一定非得使用：
1、完整约束和非完整约束
与速度无关
（1）完整（几何）约束－仅限制体系在空间的几何位置的约束 约束方程： f x, y, z 0或f x, y, z, t 0
常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是 该曲线或曲面的方程。
x
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 z 0