理论力学概念整理-约束、自由度与广义坐标
理论力学基本概念地总结大全
想学好理论力学局必须总结好好总结，学习静力学基础静力学是研究物体平衡一般规律的科学。
这里所研究的平衡是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。
物体的静止状态是物体运动的特殊形式。
根据牛顿定律可知，物体运动状态的变化取决于作用在物体上的力。
那么在什么条件下物体可以保持平衡，是一个值得研究并有广泛应用背景的课题，这也是静力学的主要研究内容。
本章包括物体的受力分析、力系的简化、刚体平衡的基本概念和基本理论。
这些内容不仅是研究物体平衡条件的重要基础，也是研究动力学问题的基础知识。
一、力学模型在实际问题中，力学的研究对象（物体）往往是十分复杂的，因此在研究问题时，需要抓住那些带有本质性的主要因素，而略去影响不大的次要因素，引入一些理想化的模型来代替实际的物体，这个理想化的模型就是力学模型。
理论力学中的力学模型有质点、质点系、刚体和刚体系。
质点：具有质量而其几何尺寸可忽略不计的物体。
质点系：由若干个质点组成的系统。
刚体：是一种特殊的质点系，该质点系中任意两点间的距离保持不变。
刚体系：由若干个刚体组成的系统。
对于同一个研究对象，由于研究问题的侧重点不同，其力学模型也会有所不同。
例如：在研究太空飞行器的力学问题的过程中，当分析飞行器的运行轨道问题时，可以把飞行器用质点模型来代替；当研分析飞行器在空间轨道上的对接问题时，就必须考虑飞行器的几何尺寸和方位等因素，可以把飞行器用刚体模型来代替。
当研究飞行器的姿态控制时，由于飞行器由多个部件组成，不仅要考虑它们的几何尺寸，还要考虑各部件间的相对运动，因此飞行器的力学模型就是质点系、刚体系或质点系与刚体系的组合体。
二、 基本定义力是物体间相互的机械作用，从物体的运动状态和物体的形状上看，力对物体的作用效应可分为下面两种。
外效应：力使物体的运动状态发生改变。
内效应：力使物体的形状发生变化（变形）。
对于刚体来说，力的作用效应不涉及内效应。
刚体上某个力的作用，可能使刚体的运动状态发生变化，也可能引起刚体上其它力的变化。
约束-自由度
第14章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。
这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。
从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。
1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。
虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。
14.1 约束·自由度·广义坐标质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。
按约束方程的形式对约束进行以下分类。
1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
例如图14-1所示的单摆，其约束方程为222l =y +x又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为⎪⎩⎪⎨⎧--0+22222=y l =)y (y +)x (x r =y x BB A 2B A A A图14-2xy图14-3上述例子中的约束方程均表示几何约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。
例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为ωr =v c运动约束方程为0=ωr v c -设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为0C =r φx- 2.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。
理论力学第5章分析力学
式中 q1 , q2 ,qs 叫拉格朗日广义坐标。
▪ 广义坐标不一定是长度，可以是其它物理
量。如角度、面积、体积、电磁场强度等。
▪ 在几何约束的情况下，广义坐标的数目和
自由度的数目相等。 s 个广义坐标就足以确
§5.1 约束与广义坐标
1 约束的概念和分类
▪在一个力学体系中，常存在着一些限制各质
点自由运动的条件，这些条件就叫约束。这
样有着 3n 个坐标的力学体系，只要有约束，
这些坐标之间就不互相独立。
▪ 约束对各质点位臵限制的条件通常可以表 为力学体系中质点的坐标、速度和时间的 方程。 ▪ 如果 n 个质点所形成的力学体系中受有 k 个 限制其位臵的约束，那就有 那么 面 个坐标中就只有 3n 个约束方程， k 个是独立的。 3n k
▪ 当一质点被一柔软绳连在一个定点 O 上而 作任意运动时，所受的约束是可解约束。 若取定点 O 为原点，则约束方程为
x y z l
2 2 2
2
▪ 但如果质点是用刚性杆和定点 O 相连，则 质点所受的约束是不可解约束，约束方程 将是
x y z l
2 2 2
2
几何约束和运动约束
▪ 几何约束或称完整约束，只限制质点在空
2 2 2
2
可解约束和不可解约束
▪ 质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约
束。如质点被约束在
f ( x, y, z ) 0
曲面上。
▪ 如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在
某一方向可以脱离，这种就叫可解约束。
如 f ( x, y, z) c 质点可以在曲面上，也可以
理论力学第六章-
• （二）理想约束和虚功原理
作用在质点上的力F与质点任一虚位移 δ的r
标积，称为此力在虚位移中的虚功
δ W F F ' δ r
虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能 量转化过程与之联系。对于处于平衡状态 的体系，作用在各质点上的力（主动力和 约束力）所做的虚功之和为0
若体系中各个约束力所做的虚功之和等 于零，则这种约束称为理想约束
n
F'
δri
0
i1
◆光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约 束，受这些约束的质点，约束力恒与相应 的虚位移垂直! ◆如两个质点（研究对象）被不可伸长的 轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表 面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束， 固定点约束等。
虚功原理：受理想约束的力学系统，保持 平衡的必要条件是作用于该系统的全部主 动力在任意虚位移中的虚功之和为零
s1pqLs1qLqL
称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐 标和广义动量的函数。
• （三）虚功原理的广义坐标表述和广义 力
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位 移之间的存在关系
δxi s1qxi δqxti δt
(i1,2, ,3n)
δt 0
代入虚功原理的表达式可得
δW
3n i 1
Fi
s 1
r i r iq ,t 1 ,2 , ,s
ri
dri dt
s
ri
1q
q
ri t
ri q
ri q
d dt q r i s1q 2 riqq t 2q ri
理论力学chapt
仍有显含时间的可能，此时，一般 T1 0 T0 0
因而
H T V
广义能量守恒并非一般意义下的机械能守恒。部分 原因是由于约束不稳定，约束力作为非保守力要作功。 此时的广义能量积分将与某非惯性系“机械能守恒”相对应 只有当变换方程不显含时间时，
这时
T1 T0 0
T T2
H T2 V T V E
Q 0 ( 1,2,, s)
通过求解 s 个由广义坐标表达的体系的平衡方程，得
到体系的平衡位形
注：1、广义力属于整个主动力系，但与某广义坐标相关 2、Qq 具有功的量纲
3、由于约束的作用已经在虚功原理中消除，只能求得 平衡位形，而不能求得约束力。这既是优点也是缺点。 约束力可以通过用解除约束的方法求得，但操作也因此 繁琐。
第五章 分析力学(analytical mechanics )
5.1 约束(constraint)与广义坐标(generalized coordinate )
（1）约束的概念和分类 1、力学体系
有相互作用，运动彼此关联的物体系统。 2、约束
约束是指对一个力学系统运动空间和运动方式的限制。 约束往往可以用约束方程来表示。 3、约束的种类
T
1 2
n
mi vi2
i 1
1 2
n i 1
mi
s 1
ri q
q
ri t
s 1
ri q
ri t
T2
T1 T0
上式中
T2
1 2
s ,
a
1
q
q
s
T1 a q 1
a
n
mi
i1
ri q
ri q
a
n
理论力学概念整理-约束、自由度与广义坐标
xB OAcos AB cos; yB OAsin ABsin; x&C r&; yC H r; H OA ABsin 2r; 结论:8个约束方程
4.广义坐标 广义坐标数为 :3n-s=1, 即: 刚体数n=3
约束方程数 s 8;
5.自由度计算
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数
空间质点: k 3n s,
平面质点: k 2n s,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标 一般地：n个质点，自由度为k， 取广义坐标： q1 ,q2 qk
xi xi (q1, q2 qk ,t) yi yi (q1, q2...... qk , t) zi zi (q1, q2 qk , t)
O z
x
y
l
A
z M
y x
y
C
vC
x
定常几何约束
单摆: x2 y2 z2 l 2
非定常几何约束
x2 y2 z2 l0 vt 2
O z
x
y
l
A
v
双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。
OA为刚性杆： x2 y2 z2 l2
单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。
ri ri (q1, q2 qk , t)
i=1,2,······ n
2.自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
广义坐标自由度自由度
非定常几何约束 若约束方程中明显包含时间t， 这种约束就称为非定常几何约束。
v
x2 y 2 z 2 l0 vt
2
1, y 1, z n , y n , z 1,x n , t ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
( j 1, 2, s )
（2）定常约束与非定常约束 定常约束 当约束方程中都不包含时间t时， 这种约束称为定常约束。 定常几何约束 z
O
l
y A
约束方程的一般形式：
x
1, y 1, z n , y n , z 1, x n ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
它们被用于描述刚体的位形。
4.受约束刚体的自由度
设刚体数为n，则 k = 6n -S
4、约束刚体的自由度与广义坐标
约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动 形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运 动形式时的广义坐标数。
刚体约束情况 刚体上一轴被固定 （定轴转动） 刚体上一点被固定 （定点运动） 刚体被限制作平面平行运 动（平面运动） 刚体被限制作平行移动 （平移） 自由度 1
三、广义坐标、自由度
1、基本概念 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数. 空间质点: k 3n s,
平面质点:
k 2n s ,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标.
自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 qk 一般地： n个质点，