等差数列前n项和(第2课时)
∵a1>0， ， 最大. ∴当n=10时，Sn最大 时
6. 已知Sn是数列{an}的前n项和，若满足Sn=nan（n≥1）， 求证：{an}是常数数列. 证明： 证明：∵an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1=n（an-an-1）+an-1， （ ） （ ）（a 恒成立， 即（n-1）（ n-an-1）=0恒成立， ）（ 恒成立 ∴ an-an-1 =0（ n≥2 ）， （ 是常数列. ∴ {an}是常数列 是常数列
若数列{a 的前 项和为S 求证： 的前n项和为 若数列 n}的前 项和为 n，求证：an=
{ S -S
n
S1
（n=1）， ）， ） n-1（n≥2）.
证明：根据数列的前 项和的定义 项和的定义： 证明：根据数列的前n项和的定义： Sn=a1+a2+a3+…+an， 当n=1时，S1=an； 时 当n ≥2时， 时 Sn-Sn-1=（a1+a2+a3+…+an）-（a1+a2+a3+…+an-1）=an. （ （ ）
典型问题
1. 在等差数列{an}中，若S9=9，则a4+a6=_____. 2 2. 已知{an}为等差数列，且a20+a19+a2+a1=20，则 S20=_____. 100 3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a6+a1<0，a7>0， 则使Sn最小的n是_____. 6
4. 在等差数列{an}中，a4=9，a9=-6，且Sn=54，求n.
7. 在等差数列{an}中，a10+a11=5，则a1+a2+…+a20等于 （ C ） A．10 B．20 C．50 D．100
8. {an}是等差数列，公差 d = 1 ，S100=145，则 2 （ D ） a1+a3+a5…+a99的值为 A．57 B．58 C．59 D．60
小结
1.对等差数列前n项的最值问题有两种求法 (1)利用an 当a1 > 0, d < 0时，前n项和有最大值，可由an ≥ 0， 且an +1 ≤ 0，求得n的值； 当a1 < 0, d > 0时，前n项和有最小值，可由an ≤ 0， 且an +1 ≥ 0，求得n的值； (2)利用S n d 2 d S n = n + (a1 − )n，可用二次函数配方法求得n的值. 2 2
项和的最大值. （2）求此数列的前 项和的最大值 ）求此数列的前n项和的最大值
n(n－1) 解：Sn = na1 + d = 0.3n2 + 50.3n, 2
503 5032 = −0.3 n − . + 6 120
2
取得最大值为21084. ∴当n=84时，Sn取得最大值为 时
{6n-6
3
（n=1）， ）， （n≥2）. ）
对等差数列前n项的最值问题有两种求法 (1)利用an 当a1 > 0, d < 0时，前n项和有最大值，可由an ≥ 0， 且an +1 ≤ 0，求得n的值； 当a1 < 0, d > 0时，前n项和有最小值，可由an ≤ 0， 且an +1 ≥ 0，求得n的值； (2)利用S n d 2 d S n = n + (a1 − )n，可用二次函数配方法求得n的值. 2 2
2 2
= 2 pn − ( p + q ) 则d = an − an −1 = [2 pn − ( p + q )] − [2 p ( n − 1) − ( p + q )] = 2 p.
ห้องสมุดไป่ตู้
n(n − 1)d 由此S n = na1 + 可以化为 2 d 2 d S n = n + (a1 − )n， 2 2 当d ≠ 0时，是一个常数项为0的二次式.
解：∵a9-a4=5d=-6-9=-15， ， ∴ d=-3，且a1=18, ， 由Sn=54得n2-13n+36=0. 得 解得n=4或n=9. 或 解得
5. 在等差数列{an}中，已知a1>0，S7=S13，问n为何值 时，Sn最大？
2 解：由S7= S13得d= - a1 , 19 n(n－1) a1 100a1 2 Sn = na1 + d =－ (n－10) + 2 19 19
等差数列的前n项和 等差数列的前 项和
第2课时
复习回顾
等差数列前n项和公式1：
n(a1 + an ) Sn = 2
等差数列前n项和公式2：
n(n − 1)d S n = na1 + 2
课前小练习
1. 在等差数列 n}中，a1=100，d=-2， 在等差数列{a 中 ， ， . 则S101= 0 2．已知{an}为等差数列，且S10=120， ．已知 为等差数列， 为等差数列 ， 24 . 则a1+a10=
综上， 综上，an=
{
S1
（n=1）， ），
Sn-Sn-1（n≥2）. ）
例1
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-3n+3，求an.
解：当n=1时，a1=S1=3; 时 当 n≥2时， 时 an=Sn-Sn-1=(3n2-3n+3)-[3(n-1)2-3(n-1)+3]=6n-6， ，
所以 an=
−5n + 75n 5 15 1125 = = − n− + 14 14 2 56
2 2
所以当 又因为 n ∈ N+ , 所以当n=7或8时Sn最大 或 时 最大.
课堂练习
1.已知｛an｝是等差数列，a1=50，d=-0.6， 已知｛ 是等差数列， 已知 ， ， （1）从第几项开始有 n＜0？ ）从第几项开始有a ？ 解：an=a1+（n-1）d=-0.6n+50.6， （ ） ， 由an<0得-0.6n+50.6<0， 得 ， 项开始a ∴n>84.3，∴从第 项开始 n<0. ， 从第85项开始
一般地，如果一个数列{an }的前n项和为 S n = pn 2 + qn + r， 其中p，q，r为常数，且p ≠ 0，那么这个数列 一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公 差分别是什么？
a1 = p + q + r , 当n ≥ 2时，an = S n − S n −1 = ( pn + qn + r ) − [ p (n − 1) + q (n − 1) + r ]
数列{an} 为等差数列，则Sm，S2m − Sm， S3m − S2m也成等差数列. 证明提示：可用等差数列前n项和公式 代入证明.
例3 等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm=30，S2m=100， 求S3m. 是等差数列， 解：{an}是等差数列， 是等差数列
∴Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也是等差数列， 也是等差数列， ∴2（100-30）=30+（S3m-100)， （ ） ∴S3m=210.
2.数列{an} 为等差数列，则Sm，S2m − Sm， S3m − S2m也成等差数列.
再见
2 4 3 已知等差数列5， 的前n和 例2 已知等差数列 ，4 ， ，…的前 和 的前 7 7
求使得S 最大的序号n的值 的值. 为Sn，求使得 n最大的序号 的值
5 解：因为 a1 = 5，d = − 7 n 5 Sn = 10 + (n −1) • − 2 7
6. 已知Sn是数列{an}的前n项和，若满足Sn=nan（n≥1）， 求证：{an}是常数数列. 证明： 证明：∵an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1=n（an-an-1）+an-1， （ ） （ ）（a 恒成立， 即（n-1）（ n-an-1）=0恒成立， ）（ 恒成立 ∴ an-an-1 =0（ n≥2 ）， （ 是常数列. ∴ {an}是常数列 是常数列
若数列{a 的前 项和为S 求证： 的前n项和为 若数列 n}的前 项和为 n，求证：an=
{ S -S
n
S1
（n=1）， ）， ） n-1（n≥2）.
证明：根据数列的前 项和的定义 项和的定义： 证明：根据数列的前n项和的定义： Sn=a1+a2+a3+…+an， 当n=1时，S1=an； 时 当n ≥2时， 时 Sn-Sn-1=（a1+a2+a3+…+an）-（a1+a2+a3+…+an-1）=an. （ （ ）
典型问题
1. 在等差数列{an}中，若S9=9，则a4+a6=_____. 2 2. 已知{an}为等差数列，且a20+a19+a2+a1=20，则 S20=_____. 100 3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a6+a1<0，a7>0， 则使Sn最小的n是_____. 6
4. 在等差数列{an}中，a4=9，a9=-6，且Sn=54，求n.
7. 在等差数列{an}中，a10+a11=5，则a1+a2+…+a20等于 （ C ） A．10 B．20 C．50 D．100
8. {an}是等差数列，公差 d = 1 ，S100=145，则 2 （ D ） a1+a3+a5…+a99的值为 A．57 B．58 C．59 D．60
小结
1.对等差数列前n项的最值问题有两种求法 (1)利用an 当a1 > 0, d < 0时，前n项和有最大值，可由an ≥ 0， 且an +1 ≤ 0，求得n的值； 当a1 < 0, d > 0时，前n项和有最小值，可由an ≤ 0， 且an +1 ≥ 0，求得n的值； (2)利用S n d 2 d S n = n + (a1 − )n，可用二次函数配方法求得n的值. 2 2
项和的最大值. （2）求此数列的前 项和的最大值 ）求此数列的前n项和的最大值
n(n－1) 解：Sn = na1 + d = 0.3n2 + 50.3n, 2
503 5032 = −0.3 n − . + 6 120
2
取得最大值为21084. ∴当n=84时，Sn取得最大值为 时
{6n-6
3
（n=1）， ）， （n≥2）. ）
对等差数列前n项的最值问题有两种求法 (1)利用an 当a1 > 0, d < 0时，前n项和有最大值，可由an ≥ 0， 且an +1 ≤ 0，求得n的值； 当a1 < 0, d > 0时，前n项和有最小值，可由an ≤ 0， 且an +1 ≥ 0，求得n的值； (2)利用S n d 2 d S n = n + (a1 − )n，可用二次函数配方法求得n的值. 2 2
2 2
= 2 pn − ( p + q ) 则d = an − an −1 = [2 pn − ( p + q )] − [2 p ( n − 1) − ( p + q )] = 2 p.
ห้องสมุดไป่ตู้
n(n − 1)d 由此S n = na1 + 可以化为 2 d 2 d S n = n + (a1 − )n， 2 2 当d ≠ 0时，是一个常数项为0的二次式.
解：∵a9-a4=5d=-6-9=-15， ， ∴ d=-3，且a1=18, ， 由Sn=54得n2-13n+36=0. 得 解得n=4或n=9. 或 解得
5. 在等差数列{an}中，已知a1>0，S7=S13，问n为何值 时，Sn最大？
2 解：由S7= S13得d= - a1 , 19 n(n－1) a1 100a1 2 Sn = na1 + d =－ (n－10) + 2 19 19
等差数列的前n项和 等差数列的前 项和
第2课时
复习回顾
等差数列前n项和公式1：
n(a1 + an ) Sn = 2
等差数列前n项和公式2：
n(n − 1)d S n = na1 + 2
课前小练习
1. 在等差数列 n}中，a1=100，d=-2， 在等差数列{a 中 ， ， . 则S101= 0 2．已知{an}为等差数列，且S10=120， ．已知 为等差数列， 为等差数列 ， 24 . 则a1+a10=
综上， 综上，an=
{
S1
（n=1）， ），
Sn-Sn-1（n≥2）. ）
例1
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-3n+3，求an.
解：当n=1时，a1=S1=3; 时 当 n≥2时， 时 an=Sn-Sn-1=(3n2-3n+3)-[3(n-1)2-3(n-1)+3]=6n-6， ，
所以 an=
−5n + 75n 5 15 1125 = = − n− + 14 14 2 56
2 2
所以当 又因为 n ∈ N+ , 所以当n=7或8时Sn最大 或 时 最大.
课堂练习
1.已知｛an｝是等差数列，a1=50，d=-0.6， 已知｛ 是等差数列， 已知 ， ， （1）从第几项开始有 n＜0？ ）从第几项开始有a ？ 解：an=a1+（n-1）d=-0.6n+50.6， （ ） ， 由an<0得-0.6n+50.6<0， 得 ， 项开始a ∴n>84.3，∴从第 项开始 n<0. ， 从第85项开始
一般地，如果一个数列{an }的前n项和为 S n = pn 2 + qn + r， 其中p，q，r为常数，且p ≠ 0，那么这个数列 一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公 差分别是什么？
a1 = p + q + r , 当n ≥ 2时，an = S n − S n −1 = ( pn + qn + r ) − [ p (n − 1) + q (n − 1) + r ]
数列{an} 为等差数列，则Sm，S2m − Sm， S3m − S2m也成等差数列. 证明提示：可用等差数列前n项和公式 代入证明.
例3 等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm=30，S2m=100， 求S3m. 是等差数列， 解：{an}是等差数列， 是等差数列
∴Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也是等差数列， 也是等差数列， ∴2（100-30）=30+（S3m-100)， （ ） ∴S3m=210.
2.数列{an} 为等差数列，则Sm，S2m − Sm， S3m − S2m也成等差数列.
再见
2 4 3 已知等差数列5， 的前n和 例2 已知等差数列 ，4 ， ，…的前 和 的前 7 7
求使得S 最大的序号n的值 的值. 为Sn，求使得 n最大的序号 的值
5 解：因为 a1 = 5，d = − 7 n 5 Sn = 10 + (n −1) • − 2 7
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等差数列前n项和的性质 课件(第2课时)
寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转 化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152． 法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d， 则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2， 且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2． 代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也 就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题 【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．
2-3第2课时等差数列前n项和的性质
的通项公式 an 时，要分两步进行；先求当 n≥2 时，an＝Sn
－Sn－1，此时令 n＝1，求 a1.
若 a1＝S1，则 an 即为所求，若 a1≠S1，
则
an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n≥2，
即表示为分段函数形式．
工具
第二章 数列
2．等差数列前 n 项和公式的性质 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋a1－d2n. 可以写成自变量 n∈N*的函数式，其图象是分布在抛物线上
的一系列点，d2 为二次项系数，a1－d2 为一次项系数，常数项 为 0 .所以当 d≠0 时，其 Sn 是关于 n 的无常数项的 二次 函数．
工具
第二章 数列
1 ． 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn ＝ 2n2 ＋ n(n∈N*) ， 则 数 列 {an} 为 ()
A．首项为1，公差为2的等差数列 B．首项为3，公差为2的等差数列 C．首项为3，公差为4的等差数列 D．首项为5，公差为3的等差数列
由已知得11000a1a＋1＋101× 2009× 2d＝991d0＝010
②
①
①×10－②，整理得 d＝－5110. 代入①，得 a1＝1100909，
工具
第二章 数列
∴S110＝110a1＋110×2 109d
＝110×1100909＋110×2 109×－5110
＝110×1
工具
第二章 数列
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1. ∵a1＝1 不符合 an＝2·3n－1，
∴an＝12·3n－1
n＝1 n≥2 .
工具
第二章 数列
[题后感悟] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 或 Sn 与 an 的关
新教材数学人教A选择性必修2课件：4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质
第四章 数列
4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 第2课时 等差数列前n项和的性质
学习目标
核心素养
1.掌握 an 与 Sn 的关系并会应用
1.通过等差数列前 n 项和 Sn 的函数 特征的学习，体现了数学建模素
(难点).
质
及应用(重点).
2.借助等差数列前 n 项和 Sn 性质的
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，… 成等差数列，
∴设公差为 d，数列前 100 项和为 10×100＋102×9d＝10，解得 d＝－22.
∴前 110 项和 S110＝11×100＋10×2 11d＝11×100＋10×121×(－ 22)＝－110.
3．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“abnn＝3n2＋n 2”，求TS77的
值．
7a1＋a7 [解] TS77＝7b12＋b7＝ab11＋ ＋ab77＝22ab44＝ab44＝3×2×4＋4 2＝74.
2
等差数列前 n 项和计算的两种思维方法 1整体思路：利用公式 Sn＝na12＋an，设法求出整体 a1＋an，再 代入求解. 2待定系数法：利用 Sn 是关于 n 的二次函数，设 Sn＝An2＋ BnA≠0，列出方程组求出 A，B 即可，或利用Snn是关于 n 的一次函 数，设Snn＝an＋ba≠0进行计算.
[解] ∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11， ∴原式＝ab1100＋＋ab1111＝ab11＋ ＋ab2200＝TS2200＝3×2×202＋0 2＝3210.
2．(变结论)在本例(1)条件不变时，求ab79的值．
[解] 由条件，令 Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2. ∴an＝(6n－1)k，bn＝(4n－2)k ∴ab79＝kk64× ×79－ －12＝4314.
4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 第2课时 等差数列前n项和的性质
学习目标
核心素养
1.掌握 an 与 Sn 的关系并会应用
1.通过等差数列前 n 项和 Sn 的函数 特征的学习，体现了数学建模素
(难点).
质
及应用(重点).
2.借助等差数列前 n 项和 Sn 性质的
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，… 成等差数列，
∴设公差为 d，数列前 100 项和为 10×100＋102×9d＝10，解得 d＝－22.
∴前 110 项和 S110＝11×100＋10×2 11d＝11×100＋10×121×(－ 22)＝－110.
3．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“abnn＝3n2＋n 2”，求TS77的
值．
7a1＋a7 [解] TS77＝7b12＋b7＝ab11＋ ＋ab77＝22ab44＝ab44＝3×2×4＋4 2＝74.
2
等差数列前 n 项和计算的两种思维方法 1整体思路：利用公式 Sn＝na12＋an，设法求出整体 a1＋an，再 代入求解. 2待定系数法：利用 Sn 是关于 n 的二次函数，设 Sn＝An2＋ BnA≠0，列出方程组求出 A，B 即可，或利用Snn是关于 n 的一次函 数，设Snn＝an＋ba≠0进行计算.
[解] ∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11， ∴原式＝ab1100＋＋ab1111＝ab11＋ ＋ab2200＝TS2200＝3×2×202＋0 2＝3210.
2．(变结论)在本例(1)条件不变时，求ab79的值．
[解] 由条件，令 Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2. ∴an＝(6n－1)k，bn＝(4n－2)k ∴ab79＝kk64× ×79－ －12＝4314.
4.2.2等差数列的前n项和公式(2)课件
(3)由(2)知，当 n≤17 时，an≥0； 当 n≥18 时，an<0. 所以当 n≤17 时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当 n≥18 时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故 Sn′＝3n32－n－33nn2＋n≤54147n，≥18.
第四章 数 列
4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
学习目标
1.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点). 2.会求等差数列前n项和的最值(重点).
课前小测
1．思考辨析
(1)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列Snn也是等差数列．(
)
(2)若 a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．( )
归纳总结
1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法： (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的
各项和为最大(小)． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法： (1)寻找正、负项的分界点来寻找． (2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴
跟踪训练
跟踪训练1. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全， 指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除 现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工 作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑 成第二道防线？
新教材2023版高中数学第一章数列2等差数列2
题型三 利用an与Sn的关系求解数列问题 例3 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且8Sn＝(an＋2)2. (1)求证：{an}为等差数列； (2)求{an}的通项公式.
方法归纳 在给出数列的an与Sn的关系式时，可根据an＝Sn－Sn－1(n≥2)将关系 式中的Sn(或an)消去，从而求得an与an－1(或Sn与Sn－1)的关系，然后借 助等差数列或其他特殊数列中的方法求解.
＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去)，所以相遇是在开始运动后7分钟．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an＋n2－1(n∈N＋)．求 {an}的通项公式．
解析：当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a2＋22－1，即a1＝3，当n≥2时，Sn＝an＋n2－1， Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，
多少路程？
方法归纳
(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合 适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立 数列模型，具体解决要注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． ②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求 项数n.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋2SnSn －1＝0(n≥2)．
(1)求证：数列 1 是等差数列；
Sn
(2)求{an}的通项公式．
[课堂十分钟]
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15
B．16
C．49
D．64
答案：A
解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15. 故选A.
(1)求a1时不能使用an＝Sn－Sn－1，因为S0在数列前n项和中无意义，
等差数列的前n项和公式课件(第二课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
若 a1＞0，d＜0，则 Sn 必有最_大___值，其 n 可用不等式组aann≥＋1≤0，0 来确定； 若 a1＜0，d＞0，则 Sn 必有最_小___值，其 n 可用不等式组aann≤＋1≥0，0 来确定．
(2) 二次函数法
在等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n(n2－1) d＝d2 n2＋a1－d2 n，则可用求二次 函数最值的方法来求前 n 项和 Sn 的最值，其中，n 的值可由 n∈N*及二次函数图
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n
(n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示
Sn
3 7 11 n
∴图象的对称轴为 n 3 11 7 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法3: 由S3=S11, 得d=－2<0
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an an1
0
0
,
得
n n
15 2 13 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法4: 由S3=S11, 得
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∵n N*,∴1 n 30. ∴集合M的元素是由1至59共30个奇数组成.
∴这些元素的和为30(1 59) 900. 2
课本P24
*5.已知数列{an }的通项公式为an
(2) 二次函数法
在等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n(n2－1) d＝d2 n2＋a1－d2 n，则可用求二次 函数最值的方法来求前 n 项和 Sn 的最值，其中，n 的值可由 n∈N*及二次函数图
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n
(n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示
Sn
3 7 11 n
∴图象的对称轴为 n 3 11 7 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法3: 由S3=S11, 得d=－2<0
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an an1
0
0
,
得
n n
15 2 13 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法4: 由S3=S11, 得
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∵n N*,∴1 n 30. ∴集合M的元素是由1至59共30个奇数组成.
∴这些元素的和为30(1 59) 900. 2
课本P24
*5.已知数列{an }的通项公式为an
高中数学选择性必修一(人教版)《4.2.2 等差数列前n项和的性质及应用》课件
＝n2－n2. 当 n 为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋7＋15＋…＋(4n－5) ＝1＋n－2 1×7＋42n－5 ＝n2－n－2 1.
n2－n2，n为偶数， 故 Sn＝n2－n－2 1，n为奇数.
谢 谢观看
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＞0，S11＝S18，则当 n 为
何值时 Sn 最大？ 解：法一：由 S11＝S18，得 11a1＋11×2 10d＝18a1＋18×2 17d， 即 a1＝－14d＞0，所以 d＜0. 构建不等式组aann＝ ＋1＝a1＋ a1＋nn－d≤1d0≥，0，
解：设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列 {an}，则 an－an－1＝－13， ∴数列{an}构成首项为 24，公差为－13的等差数列． 设还需组织(n－1)辆车， 则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋nn2－1·－13≥20×25， ∴n2－145n＋3 000≤0，即(n－25)(n－120)≤0， ∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24. 故至少还需组织 24 辆车陆续工作，才能保证在 24 h 内完成第二道 防线．
所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列， 所以前 10 项和为 3×10＋10× 2 9×1＝75. 答案：75
题型二 等差数列前 n 项和的最值问题 [学透用活]
[典例 2] 在等差数列{an}中，公差为 d，若 a1＝25，且 S9＝S17，求 Sn 的最大值．
[解] 法一：由 S9＝S17 得 9a1＋9×2 8d＝17a1＋17×2 16d，又 a1＝25， ∴d＝－2.
第二课时 等差数列前 n 项和的性质及应用
高中数学选择性必修二 第4章 4 2 2 第2课时等差数列前n项和的性质及应用
∴Sn＝－32n322－n21＋2031n20＋3n，884n，≤n1≥7，18n，∈nN∈*，N*.
核心素养之数学建模
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO
等差数列前n项和公式的实际应用 典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元， 购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并 加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算 分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清 后，买这40套住房实际花了多少钱？
解 令an＝101－2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*).
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an， ∴数列{bn}的前n项和Sn′＝100n－n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an， 由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn， 得数列{bn}的前n项和Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn ＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2.
跟踪训练3 在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？
解 由aa11＋＋92d4＝d＝23－，22， 得ad1＝＝－503，， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令 an>0，得 n<533， ∴当n≤17，n∈N*时，an>0； 当n≥18，n∈N*时，an<0， ∴数列{an}的前17项和最大.
解析 设等差数列{an}的项数为2m， ∵末项与首项的差为－28，
∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，
4.2.2等差数列的前n项和公式(第二课时)课件(人教版)
n n1
290 ,解得n 261
10，∴an
29.
∴该数列的项数为210 1 19，数列中间一项是29.
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2 排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
解：由题意可知,该报告厅各排的座位数构成一个等差数列{an }.
和之比为 32∶27，则该数列的公差为________．
解 1：设该等差数列的首项为 a1，公差为 d，由题意可得 12a1＋12×2 11d＝354， 6(a61a＋1＋d)6＋×265×2×52×d2d＝3227， 解得 d＝5.
解 2： 由已知条件，得SS奇 偶＋ ∶SS偶 奇＝ ＝3325∶4，27， 解得SS偶 奇＝ ＝119622，. 又 S 偶－S 奇＝6d，∴ d＝192－6 162 ＝5.
练习：项数是偶数的等差数列{an}的公差为2, 所有奇数项之和是15, 所有
偶数项之和为25,则这个数列的项数是__1_0__.
析 : 设项数为2n项, S偶 S奇 nd,25 15 2n, n 5.
练习：等差数列{an }的前12项和是354, 其中偶数项之和与奇数项之和
的比是32 : 27,则该数列的通项公式an __5_n__－__3______.
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第二课时)
等差数列的判定方法 ①定义法：an1 an d (n N * ) {an}为等差数列
②等差中项法：an1 an1 2an (n 2) {an}为等差数列
③通项法：an pn q( p, q为常数) {an}为等差数列
④前n项和公式法：Sn An2 Bn( A, B为常数) {an}为等差数列
2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》(第2课时)教案
2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》（第2课时）教案一、教学目标：1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究。
2、通过等差数列前n项和的公式应用，体会数学的逻辑性3、通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的性质.教学难点：等差数列前n项和公式的性质及函数与方程的思路.三. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）前，那么这个数列一探究点1. 已知数列{a n }的前n 项 和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为 S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它 的首项与公差分别是什么？解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)， 可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n－[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，公差为2的等差数列． 探究点二 等差数列前n 项和的最值 思考1 将等差数列前n 项和 S n ＝na 1＋n n －2d 变形为S n 关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答 由于S n ＝na 1＋nn －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0. 思考2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？答 由二次函数的性质可以得出：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．另外，数列作为特殊的函数，则有(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值；特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．解 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以S n ＝5n ＋n n －2(－57)＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．另解：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57＝－57n ＋407.a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，即a 8＝0，a 9<0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟：在－1)2＋12(n －1)+1]＝2n －12.当n ＝1时代入a n ＝2n －12得a 1＝23≠25. ∴a n ＝{)2(212)1(25≥-=n n n .2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．解 方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时， S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12. ∴S n ＝na 1＋a n 2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.列，该数列的。