复数集内一元二次方程的解法
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复数集内一元二次方程的
解法
Prepared on 22 November 2020
复数集内一元二次方程的解法
一、实系数一元二次方程
只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭,
1.判定下列方程根的情况,并解方程
(1)022=++x x ,0722=++x x ,0452=+-x x
(2)0122=+-x x 答:471i x ±=,05322=+-x x ,09222=+-x x 2.若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1,x 2满足|x 1-x 2|=3,求实数m 的值.
|x 1-x 2|=3,|(x 1-x 2)2|=9;则|(x 1+x 2)2-4x 1x 2|=9,即|25-4m|=9.
3.已知实系数一元二次方程2x 2+rx +s=0的一个根为2i-3,求r ,s 的值.
二、复系数一元二次方程
虚根不一定成对,成对也不一定共轭。
1.求方程x 2-2ix-5=0的解.(当b 2-4ac ≥0时,方程的解都是实数吗) 求方程x 2-2ix-7=0的解
解方程:x 2-4ix+5=0;
解方程:0)2(25222=--++-i x x x x 答:i x x 5351,221-=
=(应用求根公式,不能用复数相等)
06)32(2=+++i x i x 答:i x x 3,221-=-=(b 2-4ac 为虚数,)
2.解方程:x 2+(1+i )x +5i=0.
2511
22=+++x x x x 答:4151,13,21i x x ±== 2311
22=+-+x x x x 答:4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题
1.方程x 2+(m+2i )x+2+mi=0至少有一实根,求实数m 的值和这方程的解.
2.已知方程x 2+mx+1+2i=0(m ∈C )有实根,求|m|的最小值.
解方程
关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解,则实数m 满足的条件是( C )
A .41-≥m
B .41-≤m
C .121=m
D .12
1-=m R k ∈,方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是( D )
A .4≥k
B . 522-≤k 或522+≥k
C .23±=k
D .4-=k 一元二次方程缺少常数项,必有零根(一个特殊的实根)
设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根,且3=-βα,求m 。答:2
5=m 利用∆-=∆-=
-i βα 已知i 2321+-是方程022=++kx x (C k ∈)的一个根,求k 的值。答:i 2323+(不能用求根公式、虚根成对定理求解,可利用根适合方程解答)
关于x 的方程02=++a x x 有两个虚根,而且2=-βα,则实数a 的值是( A )
A .45
B .21
C .5
2 D .2 若方程035)(2)1(2=-++-+i x i a x i (R a ∈)有实根,求合适的a 。答:37=a 或-3
关于x 的方程22210123ix ix i x a x --=--有实数根,求实数x 的值。答:5
71-=a 或11。 7.设关于x 的方程0)3(22=+++i tx t t x 有纯虚数根,求实数t 的值。答:3-=a 8.