理论力学课件第八章

第八章 点的合成运动教学要求1、掌握运动合成与分解的基本概念和方法；2、能应用点的速度合成定理和加速度合成定理求解平面问题。

前两章分析的点或刚体相对一个定参考系的运动，可称为简单运动。

物体相对不同参考系的运动是不相同的。

研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为复杂运动或合成运动。

§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动例沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点M 的运相对地面其轨迹是旋轮线。

通过观察可以发现，物体对一个参考系的运动可以由几个运动组合而成。

一、运动的合成与分解 点M 相对地面的旋轮线运动(分解)→ ←(合成)点M 相对车厢的圆周运动+车厢相对地面的平移 二、基本概念 两个参考系：定参考系oxy —一般固连于地面动参考系o’x’y’—固连在相对地球运动的参考体上三种运动：绝对运动—动点相对定系的运动相对运动—动点相对动系的运动牵连运动—动系相对定系的运动三种速度、加速度：绝对：速度v a ；加速度a a ，相对：速度v r ；加速度a r ，牵连：速度 v e ；加速度a e 牵连速度和牵连加速度是指动系上与动点重合的那一点的速度和加速度。

例8.1 已知AB 杆的ω、α，试分析点M 的三种运动、速度、加速度。

解：1、动点—小圆环M 定系—固连于地面 动系—固连于AB 杆 2、运动分析 绝对运动—M 沿大圆环的圆周运动相对运动—M 沿AB 杆的直线运动牵连运动—杆AB 绕A 点的转动3、速度：v a 、v r 、v e 如图4、加速度a a =a a τ+a a n ；a r ；a e =a e τ+a e n 如图三、运动方程和轨迹动点—M ，定系—oxy ，动系—o ’x’y’绝对运动方程：x =x (t)，y =y (t )，消去t 得绝对运动轨迹 相对运动方程： x’=x’(t)，y’=y’(t )，消去t 得相对运动轨迹 牵连运动方程(动系相对定系)： x o'= x o'(t )，y o'= y o'(t )，ϕ=ϕ (t ) 三者间的关系： x = x o'+x’cos ϕ- y’sin ϕ τo' yy = y o'+ x’sin ϕ+ y’cos ϕ例8.2车削工件端面，oxy 为定系，工件以等角速度ω转动，刀尖M 沿x 轴往复运动，运动方程为x =b sin ωt 。

求车刀在工件端面上切出的痕迹。

解：动点—M ，动系o’x’y’—固定在工件上 由图：x’=x cos ωt ，y’= -x sin ωt ∵x =b sin ωt ∴x’= b sin ωt cos ωt=(b /2) sin2ωt y’= - b sin ωt sin ωt= -(b /2)(1-cos2ωt) 上式中消去时间t 得刀尖的相对轨迹方程：(x’)2+(y’+b /2)2=b 2/4——车刀在工件端面上切出的痕迹是一个半径为b /2，圆心在Oy ’轴上，圆周过工件中心O 。

§8-2 点的速度合成定理一、定理动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。

即：v a =v e +v r 在金属丝AB 上套一小圆环M 动点—M ，动系—AB ，定系—地面 瞬时t ：动系在AB 处 经过极短的时间间隔△t 后： 动系运动到A 1B 1，动点M 运动到M 1动系上与动点重合的牵连点M’运动到M’1弧MM 1、MM 1’、M’1M 1分别为绝对轨迹、牵连轨迹、相对轨迹。

矢量MM 1、MM 1’、M ’1M 1分别为绝对位移、牵连位移和相对位移。

由图：MM 1=MM ’1+M ’1M 1 ∴t MM t ∆→---→∆10lim =t MM t ∆→---→∆'10lim +t M M t ∆→---→∆1'10lim ∴v a =v e +v r 证毕。

绝对速度是牵连速度和相对速度构成的平行四边形的对角线。

二、点的速度分析步骤：1、确定动点、定系、动系。

动点相对动系、定系都要有运动，相对运动轨迹要易于确定，以利问题的求解。

常见情况的动点动系的选择：(1)两运动的物体，甲物体上始终有一点与乙物体接触且在乙物体上运动。

动点：甲物体上的接触点；动系：固连于乙物体。

(2)一个单独的点(动点)在另一个运动的物体(动系)上运动。

见例8.1。

(3)两个互不相关的点，求二者的相对速度，选其中一点为动点，另一点固连平移的动参考系。

2、三种运动分析3、根据速度合成定理：v a =v e +v r ，作速度矢量图，求解未知量。

绝对速度是牵连速度和相对速度构成的平行四边形的对角线。

例8.3 已知OA 以匀角速度ω绕轴O 转动，OA =r ，OO 1=l 。

求当OA 在水平位置时摇杆O 1B 的角速度ω1。

刨床急回机构，曲柄OA 的一端A 与滑块用铰链连接。

解：1、动点—OA 上的A 点，动系—固定于O 1B12、运动分析 绝对运动是以O 为圆心，以OA 为半径的圆周运动 相对运动是沿O 1B 的直线运动牵连运动是O 1B 绕O 1的摆动 3、速度分析，画速度矢量图，求解。

v a = v e + v r大小：ωr ？ ？ 方向：⊥OA 向上 ⊥O 1A 沿O 1Bv a 为由v e 和v r 为边构成平行四边形的对角线。

由图：v e = v a sin ϕ=ωr (r /O 1A )= ωr 2/O 1A∵v e =ω1O 1A ，∴ω1=ωr 2/O 1A 2=ωr 2/(r 2+ l 2) 转向：逆例8.4 已知凸轮半径R ，偏心距为e ，以匀角速度ω绕O 轴转动，杆AB 能在滑槽中上下平移，杆的端点A 始终与凸轮接触，且OAB 成一直线。

求图示位置杆AB 的速度。

解：因AB 杆作平移，各点速度相同。

1、动点—AB 的端点A ，动系—固定于凸轮 2、运动分析 绝对运动是沿AB 的直线运动 相对运动是沿凸轮圆周的曲线运动 牵连运动是凸轮绕O 的转动 3、速度分析，画速度矢量图，求解。

v a = v e + v r大小： ？ ωOA ？方向：沿AB ⊥OA 向右 沿凸轮圆周切线由图：v e /v a =tg θ=OA /e ，∴v a = v e e/OA =ωOAe /OA =ωe 向上。

例8.5 A 、B 两船，在静水中沿夹角为θ的两直线航行，已知A 船速度v A ，船B 在船A 的右侧，AB ⊥v A 。

求：B 船速度及B 船相对于A 船的速度。

解：1、动点—B ，动系—固定于A 上的平移参考系2、运动分析 绝对运动是B 沿斜直线运动 相对运动是B 水平向右运动 牵连运动是o’x’y’的平移3、速度分析，画速度矢量图，求解。

v a = v e + v r 大小： ？ v A ？方向：沿OB ∥OA 向右 由图：v a cos θ= v e =v A ，∴v a = v A /cos θ，方向如图v r /v e =tg θ，∴v r =v e tg θ=v A tg θ，方向向右§8-3 点的加速度合成定理一、定理动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。

即：a a =a e +a r +a c ，a c =2ωe ×v rer v a v r当牵连运动为任意运动形式时，上式都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式。

证明见书P117。

ωe —将动系的转动角速度按右手螺旋法则以矢量表示。

a c 的大小：2ωe v r sin θ方向⊥ωe 和v r ，指向按右手法则确定。

当ωe ∥v r 时(θ=0°或180°)，a c =0当ωe ⊥v r 时(θ=90°)，a c =2ωe v r当牵连运动为平移时，ωe =0，因此a c =0，∴a a =a e +a r牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。

二、特例说明半径为r 的圆盘绕中心O 以匀角速度ω逆时针转动。

圆盘边缘有一动点M ，以相对速度v r =ωr 沿边缘作圆周运动。

试分析点M 的速度与加速度。

1、动点—M ，动系—固定于圆盘2、运动分析：绝对运动—匀速圆周运动；相对运动—匀速圆周运动； 牵连运动—匀速转动3、速度分析，画速度矢量图，求解速度 v a = v e + v r 大小： ？ ωr ωr 方向： ？ 向左 向左 ∴v a =v e +v r =2ωr ，向左，匀速圆周运动4、加速度分析a a 大小：a a =v a 2/r=4ω2r ，方向指向圆心Oa e 大小：a e =r ω2，方向指向圆心Oa r 大小：a r = v r 2/r=r ω2，方向指向圆心Oa c 大小：a c =2ωe v r sin θ=2ω2r ，方向指向圆心O ，(ωe ⊥圆盘向外。

)可见：a a =a e +a r +a c例8.6 曲柄OA 绕固定轴O 转动，丁字形杆BC 沿水平方向往复平移。

铰接在曲柄端A 的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE 内滑动。

设曲柄以角速度ω作匀速转动，OA =r ，试求杆BC 的加速度。

解：因BC 杆作平移，其上各点加速度相同。

如将动系固定于BC ，则牵连加速度即为BC 杆的加速度。

1、动点—曲柄端点A ，动系—固定于BC 杆2、运动分析 绝对运动：以O 为圆心的圆周运动 相对运动：沿DE 滑槽的运动 牵连运动：BC 沿水平方向的平移 因牵连运动为平移，a c =0故a a =a e +a r3、加速度分析，画加速度矢量图，求解 a a = a e + a r大小： r ω2 ？ ？方向： 沿AO 指向O 水平 沿DE由图：a e =a a cos φ=r ω2cos φa BC = a e = r ω2cos φ，方向：水平向左。

注：因曲柄作匀速转动，所以A 点的绝对加速度只有法向分量。

例8.7 凸块水平向右加速运动，已知：R 、v 、a ，求θ=60°时，从动杆AB 的速度与加速度。

解：因AB 作平移，所以AB 杆的速度与加速度等于A 点的速度与加速度。

1、动点—杆AB 的端点A ，动系—固定与凸块 2、运动分析：绝对运动：沿AB 的直线运动相对运动：沿凸块边缘的曲线运动牵连运动：凸块向右的平移 (因牵连运动为平移，a c =0故a a =a e +a r )3、速度分析，画速度矢量图，求解速度v a = v e + v r大小： ？ v ？方向：沿AB 向右 与凸块圆周相切由图：v e /v a =tg θ，∴v AB = v A = v a = v e ctg θ= v ctg60°=(3/3)v ，向上v r =2 v a =(23/3)v ，与凸块边缘相切，斜向上4、加速度分析，画加速度矢量图，求解加速度因牵连运动为平移，故由加速度的合成定理：a a = a e + a r τ + a r n大小： ？ a ？ v r 2/R方向： 沿AB 水平向右 与凸块边缘相切 指向O将以上矢量方程向n 方向投影得：矢量方程左边各项在某轴上的投影等于右边各项在同一轴上的投影。