人教中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)及详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O

于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.

(1)求证：△PAC∽△PDF；

(2)若AB＝5，，求PD的长；

(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.

（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得

，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，

由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.

（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得

，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.

试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，

又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.

∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.

又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.

（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，

∴.∴.

∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.

∵AB⊥CD，∴.

如图，连接BP，

∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.

∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得，即.

∴PD的长为.

（3）如图，连接BP，BD，AD，

∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.

∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.

∵，∴.

∵△AGP∽△DGB，∴.

∵△AGD∽△PGB，∴.

∴，即.

∵，∴.

∴与之间的函数关系式为.

考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直

角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.

2．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．

(1)求证：PA是☉O的切线；

(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.

【解析】

试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．

试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，

在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，

∴AE=2OA=4，OB=OA=2，

在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.

易证，所以,解得，

则，在中，.

考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．3．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，

AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=2

．动点P

在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线

A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．

（2）在点P、Q运动的过程中：

①当0＜t≤1时，如图1，

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ?cos∠CBF=5t?3

5

=3t．

∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

S=1

2

PM?PE=

1

2

×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．

②当1＜t≤2时，如图2，

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．

S=1

2

PM?PE=

1

2

×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．

③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，

即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=16

7

．

当2＜t＜16

7

时，如图3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

S=1

2

PM?MQ=

1

2

×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．

综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为

()

()

2

2

5t14t0

S{7t16t1

16

14t322

7

-+≤

=-+≤

??

-+ ?

??

．

（3）①当0＜t≤1时，

2

2

749

S5t14t5t

55

??

=-+=--+

?

??

，

∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=7

5

，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．

∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．

②当1＜t≤2时，

2

2

864

S7t16t7t

77

??

=-+=--+

?

??

，

∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=8

7

，

∴当t=8

7时，S有最大值，最大值为

64

7

．

③当2＜t＜16

7

时，S=﹣14t+32

∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．

又∵当t=2时，S=4；当t=16

7

时，S=0，∴0＜S＜4．

综上所述，当t=8

7

时，S有最大值，最大值为

64

7

．

（4）t=20

9

或t=

12

5

时，△QMN为等腰三角形．

【解析】

（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠

DAB=

2

，利用特殊三角函数值，得到

△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：

∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．

∵sin∠

DAB=

2

，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．

设直线l的解析式为：y=kx+b，则有

4k b0

{

b4

-+=

=

，解得：

k1

{

b4

=

=

．∴y=x+4．

∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．

（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；

③当2＜t＜16

7

时，如图3．

（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：

①如图4，点M在线段CD上，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，

由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=20

9

．

②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，

此时△QMN为等腰三角形，t=12

5

．

∴当t=20

9或t=

12

5

时，△QMN为等腰三角形．

考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．

4．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）

参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142≈．

【答案】塔高AB 约为32.99米. 【解析】 【分析】

过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论． 【详解】

解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．

由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°， ∠ADH = 32°．

设AB = x ，则 AH = x – 3．

在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451AB

AEB EB

∠=?==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15． 在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AH

ADH HD

∠=． 即得 3

tan3215

x x -?=+． 解得 15tan323

32.991tan32x ??+=

≈-?

．

∴ 塔高AB 约为32.99米． 【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

5．在正方形ABCD 中，AC 是一条对角线，点E 是边BC 上的一点（不与点C 重合），连接AE ，将△ABE 沿BC 方向平移，使点B 与点C 重合，得到△DCF ，过点E 作EG ⊥AC 于点

G，连接DG，FG．

（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；

（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．

【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3

BE=

【解析】

【分析】

（1）①补全图形即可，

②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3

得出结果．

【详解】

解：（1）①补全图形如图1所示，

②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，

连接BG，如图2所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵EG⊥AC，

∴∠EGC＝90°，

∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC，

∴∠GEC＝∠GCE＝45°，

∴∠BEG＝∠GCF＝135°，

由平移的性质得：BE＝CF，

在△BEG和△GCF中，

BE CF

BEG GCF EG CG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BEG≌△GCF（SAS），

∴BG＝GF，

∵G在正方形ABCD对角线上，∴BG＝DG，

∴FG＝DG，

∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.

（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝32，

在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH ＝

3

＝

323

＝6，

∴DG ＝2GH ＝26， ∴DF ＝2DG ＝43， 在Rt △DCF 中，CF ＝()

2

2436-＝23，

∴BE ＝CF ＝23．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点

C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝

3

5

，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ． （1）求点D 坐标；

（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值； （3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝3

20

ABCD S 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝

24(04)

220

(410)3

3t t t t t ??

?-+

（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，2220

1233t t -+= 【详解】

解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝

35

， 10cos OB

BC B

∴=

= 228OC BC OB ∴=-=∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，

∴点D 的坐标为（10，8）．

（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0）， ∴点A 的坐标为（4，0）． 分两种情况考虑，如图1所示． ①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，

∴S ＝

1

2PQ ?OQ ＝4t ， ∵4＞0，

∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；

②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：

4k b 010k b 8+=??

+=?，解得：4k 3

16b 3?=????=-??

， ∴直线AD 的解析式为416

33

y x =-． 当x ＝t 时，416

33

y t =

-， 4164

8(10)3

33PQ t t ??∴=--=- ???

21220

233

S PQ OP t t ∴=

?=-+ 22202502

(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为

503

． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)

220(410)3

3t t t t t ??

?-+

（3）S 菱形ABCD ＝AB ?OC ＝80． 当0≤t ≤4时，4t ＝12， 解得：t ＝3； 当4＜

t ≤10时，2220

33

t

t -

+＝12， 解得：t 1＝5（舍去），t 2＝

． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝

3

20

ABCD S 菱形，t 的值为3或．

【点睛】

考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键. 7．

如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3

5

，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），

以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．

（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．

（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.

【答案】（1）

40

9

R=;（2）2

5

880

320

x

y x x

x

=-+

+

（3）505

-

【解析】【分析】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3

5

，则

sinC＝4

5

，sinC＝

HP

CP

＝

10

R

R

-

＝

4

5

，即可求解；

（2）首先证明PD∥BE，则EB BF

PD PF

=，即：20

2

4

588

x y

x

x

x

y

-+

--

=，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．

【详解】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3

5

，则sinC＝

4

5

，

sinC＝HP

CP

＝

10

R

R

-

＝

4

5

，解得：R＝

40

9

；

（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3

5

，

设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，

则BH＝ACsinC＝8，

同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝5tan∠CAB＝2，BP22

8+(4)

x-2880

x x

-+

DA 25

x，则BD＝525x，

如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，

tanβ＝2，则cosβ＝5，sinβ＝5

，

EB ＝BDcosβ＝（45﹣25

x ）×5＝4﹣25

x ，

∴PD ∥BE ，

∴EB BF

PD PF

=，即：202

4588x y x x

x -+--=，

整理得：y ＝

25x

x 8x 803x 20

-++；

（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，

两个圆交于点G ，则PG ＝PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ， GD 为相交所得的公共弦， ∵点Q 是弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ， ∵AG 是圆P 的直径， ∴∠GDA ＝90°， ∴EP ∥BD ，

由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形， ∴AG ＝EP ＝BD ，

∴AB ＝DB+AD ＝AG+AD ＝5 设圆的半径为r ，在△ADG 中，

AD ＝2rcosβ＝

5，DG ＝5

，AG ＝2r ， 5+2r ＝45，解得：2r ＝51

+， 则：DG ＝

5

＝50﹣105， 相交所得的公共弦的长为50﹣105． 【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣

14x 2+bx +c 与直线y ＝1

2

x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．

（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；

（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．

【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）1

3

；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝

1

2

x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣

14

x 2

+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB?sin ∠OBC 5CE ＝2，则CH 5

解；

（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝

1

2

x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，

则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，

将点B坐标代入抛物线y＝﹣1

4

x2+bx﹣3得：0＝﹣

1

4

×36+6b﹣3，解得：b＝2，

故抛物线的表达式为：y＝﹣1

4

x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2，

即点A（2，0），则点D（4，1）；

（2）过点E作EH⊥BC交于点H，

C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），

直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），

tan∠OBC＝

31

62

OC

OB

==，则sin∠OBC

5

，

则EH＝EB?sin∠OBC

5

CE＝2CH

5

则tan∠DCB＝

1

3 EH

CH

=；

（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），

则BC＝5

∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，

tan∠DBE＝

1

64

-

＝

1

2

，

故：∠DBE＝∠OBC，

则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，

过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，

则∠GFC＝∠OBC＝α，

设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，

∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，

即：5＝2m，解得：m＝5

CF22

5＝15，

GF CG

故点F（0，﹣18）；

②当点F在y轴正半轴时，

同理可得：点F（0，1）；

故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，是本题的突破口．

9．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝3A，D两点作⊙O，交AB于点E，

（1）求弦AD的长；

（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？

（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）23

（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形

（3）不变，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；

（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后

根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1

2

3

3

；

当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，

∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，

又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到

∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到33；

（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得

∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，3DP-DQ的值．

【详解】

解：（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC中点，BC＝3

∴AD＝1

2

BC＝3

（2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，

当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，

∴OE⊥DM，

又∵AD＝AC，

∴△ADC为等边三角形，

∴∠CAD＝60°，

∴∠DAO＝30°，

∴∠DON＝60°，

在Rt△ADN中，DN＝1

2

AD3，

在Rt△ODN中，ON＝

3

3

DN＝1，

∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；

当MD＝ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE，

∵AD＝23，∠DAE＝30°，

∴DH＝3，∠DEA＝60°，DE＝2，

∴△ODE为等边三角形，

∴OE＝DE＝2，OH＝1，

∵∠M＝∠DAE＝30°，

而MD＝ME，

∴∠MDE＝75°，

∴∠ADM＝90°﹣75°＝15°，

∴∠DNO＝45°，

∴△NDH为等腰直角三角形，

∴NH＝DH＝3，

∴ON＝3﹣1；

综上所述，当ON等于1或3﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：

连AP、AQ，如图2，

∵∠C＝∠CAD＝60°，

而DP⊥AB，

∴AC∥DP，

∴∠PDB＝∠C＝60°，

又∵∠PAQ＝∠PDB，

∴∠PAQ＝60°，

∴∠CAQ＝∠PAD，

∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，

∴△AQC≌△APD，

∴DP＝CQ，

∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．

【点睛】

本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相