信号与系统3.10抽样信号的傅立叶变换
信号与系统课后习题参考答案
1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2 试写出题1-1 图中信号的函数表达式。
1-3 已知信号x1(t)与x2(t)波形如题图1-3 中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-3⑴x1(t2)⑵ x1(1 t)⑶ x1(2t 2)⑷ x2(t 3)⑸ x2(t 2) ⑹x2(1 2t)2⑺x1(t) x2( t)⑻x1(1 t)x2(t 1)⑼x1(2 t) x2(t 4)21- 4 已知信号x1(n)与x2 (n)波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-4⑴x1(2n 1) ⑵ x1(4 n)⑶ x1(n)2⑷ x2 (2 n)⑸ x2(n 2) ⑹ x2(n 2) x2( n 1)⑺x1(n 2) x2(1 2n)⑻x1(1 n) x2(n 4)⑼ x1(n 1) x2(n 3)1- 5 已知信号x(5 2t )的波形如题图1-5 所示，试作出信号x(t)的波形图，并加以标注。
题图1-51- 6 试画出下列信号的波形图：1⑴ x(t) sin( t) sin(8 t)⑵ x(t) [1 sin( t )] sin(8 t)21⑶x(t) [1 sin( t)] sin(8 t)⑷ x(t) sin( 2t )1-7 试画出下列信号的波形图：⑴ x(t)1 e t u(t) ⑵ x(t) e t cos10 t[u(t 1) u(t 2)]⑶ x(t)(2 e t)u(t)⑷ x(t) e (t 1)u(t)⑸ x(t)u(t22 9) ⑹ x(t)(t2 4)1-8 试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图1j2 ⑴ X (j ) (1 e j2)⑵ X( j1 e j4⑶ X (j ) 11 ee j ⑷ X( j )试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。
题图 1-10形图。
题图 1-141-15 已知系统的信号流图如下，试写出各自系统的输入输出方程。
信号与系统第三章
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
信号与系统3.11抽样定理
（其中m＝2
fm），或者说，最低抽样频率为2f
。
m
第3章 傅里叶变换
从上一节可以
看出，假定信号f(t)
的频谱F( )限制在
-m～ m范围内，
若以间隔T（s 或重复
频率s＝
2
Ts
）对f(t)
进行抽样，抽样后
信号fs (t)的频谱
Fs ()是F ()以s为
周期重复。
只有满足抽样定理，才不会产生“频谱混叠”的现象。这样，抽样信号 保留了原来连续信号的全部信息，完全可以用fs(t)恢复出f(t)。
由前面的例题已知它是抽样函数（Sa函数）。
第3章 傅里叶变换
h t
c
Sa(c t)
因为 fs t பைடு நூலகம் nTs t nTs n
所以
f t fs tht
n
f
nTs
t
nTs
c
Sa(c t)
= c
n
f
nTs Sa[c t nTs ]
这说明ft 可以展开成正交抽样函数Sa函数的无穷级数，级数的系数等于
2tm
则抽样后的频谱F1()可以唯一地表示原信号。
从物理概念上不难理解，因为在频域中对F 进行抽样， 等效于f t 在时域中重复。只要抽样间隔不大于 1 ，则在时
2tm 域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真 地恢复出原信号f(t)。
（Nyquist）频率”，把最大允许的抽样间隔
Ts＝
m
＝1 2fm
称为“奈奎斯特间隔”。
(二第3)章由傅抽里叶样变换信号恢复原连续信号
从前图可以看出，在满足抽样定理的条件下，
为了从频谱Fs ()在无失真地选出F()，可以用如 下的矩形函数H()与Fs ()相乘，即
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
信号与系统傅里叶变换
n次谐波系数：
2
an T
T
2 T
2
f
(t) cos(n1t)dt
2 T
2 2
A cos(n1t )dt
4A
n1T
sin n1
2
An
其有效值为：
A~n
2 2
An
36
将 n 1 代入上式，得基波有效值为：
A1
2 4A sin 1 10 2 sin18 2 1T 2
45 °
图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱
30 ° 30 °
20 °
54
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
3
VxVyT VxiVyi 0
i 1
矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
如三维空间中，Vx (1, 0, 0) Vy (0,1, 0) Vz (0, 0,1) 所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A (1, 2.5, 4) 表示为 A Vx 2.5Vy 4Vz
电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当
f(t)满足狄里赫利条件时，an, bn, cn 才存在。
21
结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
一般而言 An cos(n1t n ) n 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
信号与系统王明泉科学出版社第三章习题解答
左右对t求导，得:
显然， 的指数傅里叶级数为 （式中 ）
3.9求题图3.9所示各信号的傅里叶变换。
题图3.9
解：根据定义
3.10计算下列每个信号的傅里叶变换。
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
（5） ；（6）
解: (1)
(2)
(3)由于
根据卷积乘积性质，得
(4)由于
所以
（5） ,设
第3章傅里叶变换与连续系统的频域分析
3.6本章习题全解
3.1证明函数集 在区间 内是正交函数集。
证明:对任意的自然数n,m (n m),有
=0
证毕
3.2一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：
（1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。
图3-19-3
3.21用傅里叶变换法求题图3.21所示周期信号 的傅里叶级数。
题图3.21
解:对x(t)一个周期信号x0(t)的傅里叶变换为
X0(j )=
=
傅里叶级数
3.22求题图3.22所示周期性冲激信号的频谱函数。
题图321-1
3.23已知 的幅频与相频特性如题图3.23所示，求其傅里叶逆变换 。
（a）（b）
题图3.12
解：令傅里叶变换对 ，
（1）根据已知图形可知：
，
已知有
所以
根据傅里叶变换的微积分性质
所以
即
（2） ，
根据（1）的结论得
根据傅里叶变换的微积分性质
所以
即
3.13利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。
(1) ；(2) ；
信号与系统习题答案第三章
第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。
它是否是完备集? 解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。
又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m和n 。
由完备正交函数定义所以此函数集不完备。
3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。
3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。
如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。
解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。
和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得 2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。
信号与系统教案
2、如果某系统对某些输入信号其输出滞后输入，可否断定该系统为因果系统？
f (t t0 ) (t)dt ?
3、
(t
t0
)u(t
t0 2
)dt
?
e
jt [
(t)
(t
t0
)]dt
?
4、有 一线 性时 不变 系统， 当激 励 e1(t) u(t) 时，响 应 r1 (t) eatu(t) 当激 励为
3、周期信号频谱的物理意义
4、周期信号频谱的特性
5、有效带宽
作业、讨论题、思考题： 1、周期信号频谱的物理意义是什么？ 2、信号的时域特性与频域特性有何对应关系？ 3、付里叶级数的条件是什么？如何理解该条件？
课后小结： 很多学生对物理意义总觉得不太好理解。
信号与系统 课程教案
课次
第八次
授课方式 （请打√）
课后小结：
本章主要是求解微分方程，其中方程的时域解法和卷积是重点。
信号与系统 课程教案
课次
第七次
授课方式 （请打√）
理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
课时 安排
授课题目（教学章、节或主题）：
3.1---3.3 傅立叶系统的分析
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
掌握： 三角函数形式的付里叶级数和指数形式的付里叶级数，欧拉公式
复习第二章所教内容，巩固第二章重点及难点
课时 安排
2 学时
教学重点及难点： 复习所学知识
教学基本内容
方法及手段
1、微分方程的建立与求解 2、初始条件的确定
板书教学， 举例题
3、零输入响应与零状态响应
4、冲激响应与阶跃响应
5、卷积积分及其性质
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•抽样 •理想抽样 •矩形脉冲抽样
第
一．抽样
2 页
从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行 数字处理的第一个环节。
抽样原理图：
f (t)
fs (t ) A/D
f (n)
量化编码
g(n) 数字 滤波器
D/A
g(t)
p(t )
周期 信号
需
解
决的问
题:
fs(t) Fs 与F 由fs t 能否恢复f t
因为
Fs
Ts
Sa n
ns
2
F
ns
设: 1,
Ts 2
s
2π Ts
π
,s π
所以
2π
2
即二次
s
谐波为
0
n0
Fs 0
n0
1 2
F
n1
Fs
n
1
1 2
Sa π 2
F
s
1 π
F
s
n 1
Fs n 1
1 2
2 π
F
s
1 π
F
s
第 12
页
n 2 , Fs n 2 0
n 3
的
关系
二．理想抽样（周期单位冲激抽样）第3 页 1．冲激抽样信号的频谱
连续信号 f t
抽样信号
fs t
f t F (m m )
pt P ,
抽样脉冲
T t
fs t Fs
p(t) T(t) (t nTs ) s ( ns )
n
fs (t) f (t) T(t) f (nTs ) (t nTs )
o
t
p(t)
抽样脉冲
pt
o TS
t
连续信号: f t
抽样脉冲序列: pt
fS(t)
抽样信号: fs t f t pt o TS
t
关系
第 7
页
连续信号: f t;
f t F (m m )
抽样脉冲序列 ：pt pt P ,
限带
信号
抽样信号: fs t
fs t Fs
fst f t pt
n
Fs
F
f
t T t
1 2π
F
T
1 Ts
F
n
ns
第 4
页
f(t)
1 F
o
t
p(t)
(1) E
o TS fS(t)
t 相 乘
o TS
t
mom
P
s
卷 积
s
s
o s
F s
1 Ts
om s
2．几点认识
1
n
0时, Fs
1 Ts
F ,包
含原信号的全部信息, 幅度
差Ts倍。
Fs
n
3
1 2
2 3π
F
3 s
1 3π
F
3 s
Fs ( )
1 3π
F (
3s )
1 π
F (
s )
1 2
F ( )
1 π
F (
s )
1 3π
F (
3s )
3．讨论 的影响
第 13
页
因为
s
2π Ts
,
Ts不变,
不变
s
脉冲宽度
，第一个零点2π
2π Ts
Ts
s
Ts
，离原点越远。
理想抽样 0,矩形脉冲 t
P() 2 Pn ( ns ) n
Ts
Pn
1
Ts
2 Ts
p(t)e jnst dt
2
Fs
1 2π
F
P
Pn F
n
(
ns
)
第 8
页
Ts
Ts
Pn
1 Ts
2 Ts
p(t)e jnst dt
1 Ts
2 Ts
Ee jnst dt
2
2
E Sa( ns )
Ts
2
Fs ()
E
Ts
n
2
Fs
以
为
s
周
期
的
连
续谱,
有
新的频率成分,即 F 的周期
性延拓。
s
3若接一个理想低通滤波器，其增益
为Ts 截止频率m c s m
滤除高频成分，即可重现原信号。
第 5 页
F s
1 Ts
om s
s m
s m m
三．矩形脉冲抽样
第 6
页
1．抽样信号
f(t)
连续信号 f t
抽样信号
fs t
频谱结构的数学表示
第 10
页
Fs
F
f
t
pt
1 2π
F
P
pt P 2π Pn ns n
pt 的谱系数 Pn
Ts
Sa
ns
2
P
2π
T n s
Sa
ns
2
ns
Fs
Ts
Sa n
n s
2
F
n s
Ts
Sa n
n s
2
F
n s
2．举例说明抽样信号与原信号频谱的关系
第 11
页
Sa( ns
2
)F (
ns )
• 越小，越能反映离散时刻之值，从信号传输角度看,
更关心fs t 中有无 f t 的全部信息，必须考虑fs t 的频
谱结构。
频谱结构
f(t)
第 9 页
1 F
o
t
p(t)
E
o Ts
fs t t 相 乘 NhomakorabeaoTt
mom
P
Es
2π
so s
卷 积
E F s
Ts
om