信号与系统常用变换对及性质梳理

√ √ √ √
时域周期冲激序列 δ T1 (t ) =
t − ( )2
n =−∞
∑ δ (t − nT1 ) ↔ ω1 ∑ δ (ω − nω1 ) = δω (ω ) 频域周期冲激序列
n =−∞
1
+∞
+∞
√
钟形脉冲 e
τ
钟形脉冲 πτ e
τ ⎡
2⎢ ⎣ Sa
−(
ωτ
2
)2
矩形调幅 cos ω0t ⎡u(t +τ ) −u(t −τ )⎤ ⎢ ⎥
√ √ √ √
F (t ) ↔ 2πf (−ω ) f (t )e jω0 t (− jt ) f (t ) πf (0)δ (t ) + f (t ) p(t ) f (t ) − jt F (ω − ω 0 ) F '(ω )
f (t − t 0 ) f '(t )
F (ω )e− jωt0 jω F (ω ) πF (0)δ (ω ) + F (ω ) jω
jω0 t
√ √ √ √ √
⎧ 1, t > 0 ⎪ 符号 sgn(t ) = ⎨ 0, t = 0 ⎪−1, t < 0 ⎩
冲激延时 δ (t − t 0 ) 余弦 cos(ω0 t ) 正弦 sin(ω0 t )
⎧− j, ω > 0 ⎪ F (ω ) = ⎨ 0, ω = 0 ⎪ ⎩ j, ω < 0
(n + 1)a n u (n) (n + 1)! a n u ( n) (n + k − 1)!k !
z , z > a z−a
z , z > a ( z − a) 2 z2 , z > a ( z − a) 2 z k +1 , z > a ( z − a ) k +1
√
√
√
te u (t )
− at
直流 1
连续时间函数 f (t )
冲激 δ (t ) 冲激偶 δ '(t )
傅里叶变换 F (ω ) 1 jω
( jω ) n
πδ (ω ) + jπδ '(ω ) − 2 jω e− jωt0 π[δ (ω + ω0 ) + δ (ω − ω0 )] jπ[δ (ω + ω0 ) − δ (ω − ω0 )]
√
希尔伯 特变换
F (ω ) = R(ω ) + jI (ω ) f (t ) = f (t )u (t ) f (t ) ∑ δ (t − nTs )
n =−∞ +∞
R (ω ) = I (ω ) * 1 Ts
+∞
1 πω
频域 抽样
√ √
时域 抽样 帕塞瓦 尔定理源自n =−∞∑ F (ω − nω )
√
√
t n e − at u (t ), n ∈
+
√
−e − at u (−t )
−te − at u (−t )
1 , σ < −a s+a
1 , σ < −a ( s + a)2
+
−a n u (−n − 1)
−(n + 1)a n u (−n − 1) −
z , z < a z−a
z2 , z < a ( z − a) 2 z k +1 , z < a ( z − a ) k +1 z ( z − cos ω0 ) , z >1 z − 2 z cos ω0 + 1
√ √ √ √ √ √ √
αf 1 (t ) + βf 2 (t )
f (at ), a ≠ 0
αF1 (ω ) + βF2 (ω )
1 ω F( ) a a f (t ) ↔ F (ω )
尺度 + 时移 互易性 频移 频域 微分 频域 积分 频域 卷积
f (at − b), a ≠ 0
1 ω − jω b F( ) e a a a
f (−1) (t) = ∫ f (τ )dτ
−∞
t
∫
ω
−∞
F (σ )dσ
f (t ) * h(t )
F (ω ) H (ω )
1 F (ω ) * P (ω ) 2π F (ω) = R(ω) + jX (ω)
实部 R(ω ) 为偶函数 虚部 X (ω ) 为奇函数
√
反褶
f (−t ) 时域反褶 f * (t ) 共轭 f * (−t ) 共轭取反
2
−t n e − at u (−t ), n ∈
√
n! , σ < −a ( s + a ) n+1 s ,σ > 0 s + ω02
2
(n + 1)! a n u (− n − 1) (n + k − 1)!k ! cos(ω0 n)u (n) sin(ω0 n)u (n)
cos(ω0 t )u (t ) sin(ω0 t )u (t )
k 阶后向差分 ∇ k δ (n)
u ( n)
s n , 有限 s 平面
( z − 1) k , z >0 zk
z , z >1 z −1
√
√
u (t )
1 ,σ > 0 s 1 ,σ > 0 s2
+
√
tu (t ) t n u (t ), n ∈ −u (−t ) −tu (−t ) −t n u (−t ), n ∈
2πδ (ω − ω0 ) 2 cos(t0ω ) j2sin(t0ω )
低通 G2ω (ω ) = ⎨ c
√
δ (t + t0 ) + δ (t − t0 ) δ (t + t 0 ) − δ (t − t0 )
抽样脉冲
⎧1, t < τ / 2 ⎪ 门脉冲 Gτ (t) = ⎨ ⎪0, t ≥ τ / 2 ⎩
T1
T T ⎤ ⎡ f 0 (t ) = f ( t ) ⎢ u (t + 1 ) − u ( t − 1 ) ⎥ ↔ F0 (ω ) 2 2 ⎦ ⎣
连续傅里叶变换性质及其对偶关系
f (t ) =
1 +∞ F (ω )e jωt dω 2π ∫−∞
F (ω ) = ∫
+∞
−∞
f (t )e − jωt dt
⎣ 2 2 ⎦
(ω + ω 0 )τ (ω − ω 0 )τ ⎤ + Sa ⎥ 2 2 ⎦
+∞
f (t ) =
n =−∞
∑ F (nω )e
1
+∞
jnω1t
F (ω ) = 2π ∑ F ( nω1 )δ (ω − nω1 ) , F ( nω 1 ) = 1 F0 (ω )
n = −∞
,
ω = nω1
n =−∞
∑ x ( n) z
+∞
−n
双边拉普拉斯变换对
重要 √ 连续时间函数 f (t ) 象函数 F (s ) 和收敛域 1, 整个 s 平面 离散时间序列 x( n)
双边 z 变换对 象函数 X ( z ) 和收敛域
1, 整个 z 平面
重要 √
δ (t )
n 阶导数 δ ( n ) (t )
δ ( n)
抽样函数 τ Sa(
傅里叶变换 F (ω )
2πδ (ω ) 2πjδ '(ω )
重 要
√ √
√
t
tn
δ ( n ) (t )
√
阶跃 u (t ) 单位斜变 tu (t )
2πjnδ ( n ) (ω )
u (ω )
1 jω 1
1 1 δ (t ) − 2 2πjt
ω2
1 ,t ≠ 0 πt
复指数信号 e
√
1 ,σ < 0 s 1 ,σ < 0 s2
n! ,σ < 0 s n+1
n! u (−n − 1) (n − k )!k !
√
e − at u (t )
1 , σ > −a s+a
1 , σ > −a ( s + a)2 n! , σ > −a ( s + a ) n+1
a n u ( n) na n−1u (n)
√
√
ω0 ,σ > 0 s + ω02
2
z sin ω0 , z >1 z − 2 z cos ω0 + 1
2
√
√
e − at cos(ω0 t )u (t ) e − at sin(ω0 t )u (t )
e− a t , a > 0
e − a t sgn(t ) , a > 0
s+a , σ > −a ( s + a ) 2 + ω0 2
+
nu (n)
z , z >1 ( z − 1) 2
√
√
n! ,σ > 0 s n+1
n! u ( n) (n − k )!k !
−u (−n − 1) −nu (− n − 1) −
z , z >1 ( z − 1) k +1 z , z <1 z −1 z , z <1 ( z − 1) 2 z , z <1 ( z − 1) k +1
a n cos(ω0 n)u (n) a n sin(ω0 n)u (n)
an , a <1 a n sgn(n) , a < 1