线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划目标函数
线性规划目标函数
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最大化或最小化问题。
线性规划的目标函数是一个线性方程，它表示了需要优化的目标的数学模型。
目标函数的形式如下：
max/min Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
其中，Z表示需要最大化或最小化的目标函数值，x1, x2, ...,
xn表示决策变量，c1, c2, ..., cn表示这些变量的系数。
线性规划目标函数的含义取决于具体问题的需求。
有时，我们希望最大化某个指标，比如产量、利润、销售额等；有时，我们希望最小化某个指标，比如成本、风险、距离等。
例如，如果我们想要最大化一个公司的利润，目标函数可以表示为：
maximize Z = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn
其中，pi表示第i个产品的售价，xi表示第i个产品的数量。
另外，线性规划目标函数还可以包含一些约束条件，如不等式约束、等式约束等。
在确定目标函数时，我们需要考虑这些约束条件，并根据具体情况进行调整。
线性规划目标函数的确定是线性规划问题的关键步骤之一。
在确定目标函数时，我们需要考虑如何平衡不同决策变量之间的权重关系，以及如何根据约束条件的要求进行调整。
通过合理
选择目标函数，我们可以在满足约束条件的前提下，以最有效的方式实现我们的目标。
线性规划的常见题型
线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。
线性规划中目标函数的几种类型及解法
线性规划中目标函数的几种类型及解法作者：陈雄飞来源：《新课程学习·中》2013年第04期教学目标：1.知识目标：进一步掌握线性规划的基本概念和图解方法.2.能力目标：提高学生灵活运用线性规划的知识分析和解决相关问题；进一步培养学生的数形结合、化归与转化思想.3.情感目标：通过相同约束条件一题多变，激发学生的学习热情，增强创新意识，培养他们的探究精神，进一步提高知识迁移能力.教学重点：用图解法解决线性规划中目标函数的几种典型问题.教学难点：分析辨别线性规划中目标函数的几种类型.教学手段：多媒体辅助教学.教学方法：启发探究式.教学过程：一、知识复习，引入课题线性规划是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题.解决问题的基本思想是数形结合思想，即在约束条件所对应的可行域内根据目标函数的几何意义找出目标函数的最优解.下面我们回顾一下线性规划问题的一些基本概念：（1）线性约束条件：由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组.（2）目标函数：关于x，y的解析式，如z=x-y，z=x2+y2等.（3）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.（4）可行域：所有可行解组成的集合叫做可行域.（5）最优解：使目标函数达到最大值或最小值的可行解.（6）用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；②设z=0，画出直线l0；③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；④求得目标函数的最大值或最小值.今天我们复习的课题是线性规划中目标函数的几种类型及解法.二、例题讲授，合作探究下面我们结合一些例题，谈谈线性规划中目标函数的几种类型及解法.三、迁移训练，巩固提高四、课堂小结本节课我们复习了线性规划问题的基本概念，并利用图解法解决了线性规划中目标函数的四种典型问题——截距型、斜率型、距离型、面积型.再次体验了数形结合思想、化归与转化思想在解决一些复杂数学问题中的运用.五、课后作业，深入思考（作者单位湖北省孝感市第一高级中学）。
线性规划中目标函数的几种类型及解法
典型解法是代数几何并用 ， 确定范围， 伺机求 解 ． 面笔者将结合一些例题 ， 下 谈谈 目标 函
数 的几 种类 型及解 法 ． 类型 １ 形 如 ｚ＝ ａ ＋ ｂ 的 目标 函数 ｘ ｙ型
例 １ 已 知 点 Ｐ ｘ， ）在 不 等 式 组 （ Ｙ
詈将 看 直 在 轴 的 距 问 就 ，詈 作 线 上 截 ，题 化
中学 数学 杂志（ 中） ２０ 年第 ３ 高 ０６ 期
３ ５
类型 ２ 形如 ： 垒
甜 十
型 的 目标 函
ｆ ＋Ｙ 一２≥ ０ ２ 此 ３ ｏ 求 ｚ＝ ， ｚ一２ ＋４ ≥
【ｘ —Ｙ 一３≤ ０ ３
、
＋Ｙ 的最大值
数
ｚ
ｎ
例 ２
设 实 数 ．， 满 足 ２Ｙ ７
即 在 ，上 的投影 的 ｌ
绝对值 ． 中在求两条异面直线的距离时， 其 ， ｌ 为与两异面直线的方向向量都垂直的一个向 量， Ｂ分别 为两异 面直线上 的任 意两 点； Ａ， 在求直线 ａ 到平面ａ 的距离时， 为平面ａ的 ， ｌ
一
０， ）所以商 ＝（， ２０ ， ＝（，， ） ２ 一 ，） ２４ 一２ ，
维普资讯
中学数学杂志 （ 高中 ） ２ ０ ０６年第 ３ 期
例 ５ 已知 ＡＢ Ｄ 是 边 长 为 ４的正 方 Ｃ
注 在求解空 间距离 时， 若用 向量方 法， 由数量积的几何意义可得求距离 的统一
．
形Ｇ作 Ｇ 面 Ａ Ｃ ＣＪ ＿ Ｂ Ｄ于Ｃ， Ｇ ＝２ 且 Ｃ ，
解 如 图 ４ 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， ， 则
公 式 ｄ＝ Ｌ
—■妻
ｆ ｒ ｆ Ｉ
．
线性规划中目标函数的几种类型及解法
图 １
盈圆
６ １
课 例 交流
２ ０ １ ３年 ４月 １ ８日
囊 秘 万 富 凡 乌
文 例 、 兵
摘 要： 杜甫咏马之作为大家展 示 了大唐 帝国的兴衰成败 ， 犹如一座 挖不完的宝藏 ， 以其独特 的风格在诗歌史上保持 了恒 久不变 的 魅力 。 关键词 ： 杜甫； 人民性 ； 特色； 形象
祧 小 戳
： ｆ ＋ ｙ一 ２≥ ０
ｕ ｜ Ｊ ‘
能力．
教 学 重 点：
： 例２ ． 已 知｛ ｘ － ２ ｙ ＋ ４ ＞ Ｉ ０ ， 求ｚ ＝ ． ＿的 最 大 值． ．
教 学手段 ： 多 辅 助教学・
：化为
， 问题化归为求 可行域 内的点 Ｐ （ ， ｙ ） 与点 （ 一 １ ， ０ ） 连
（ ６ ） 用 图解法 解决简单 的线性规 划问题 的基本 步骤 ： ①根 据 ：
： 曼
＝
， ｙ ） 与点（ 一 ， 一 ） 连线 内 的点 （ 娴 挥 的 形 式 将 问 题 化 归 为 求 可 行 域 “， ’ ～ ” ” …… ｃ’ｏ… 一
譬 ② 设 约 束 篷 ， 芝 苎 妻 示 竺 曼 ： 斜 率 的 倍 的 范 围 、 最 值 等 问 题 ． ０ ， 画 出直 线 ｌ ｏ ； ③观察 、 分析 、 平移 直线 ｌ ｏ ， 从 而找 到最 优 ： … ～～ｃ ” 一… ’ 一… 。 。。
的形式 ， 将问题化归为求 直线 ｌ 在Ｙ 轴上 的截距 － ｚ・
ｘ ＋ ｙ － ２ － － ￣ ２ ， ３ ） ／ Ｉ ｌ － （
ｌ
圈 ３
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的范围．
鬯± 坐 兰 三
线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划问题中目标函数常见类型梳理必须做并保管好——王永富一、直线的斜率型例1.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域. 注意：当目标函数形如y a z x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y x 的取值X 围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]解析 y x是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x取得最大值6. 答案A二、平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则22448w x y x y =+--+的最值为___________.同步训练：已知实数x ，y 满足,则的最大值是分析，目标函数的几何意义是表示可行域内的点到点（1，1）的距离的平方，画出可行域可求得三、 点到直线的距离型例4.已知实数x 、y 满足2221,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。
同步训练：已知实数x 、y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数22z x y =+的最大值是____。
四、变换问题研究目标函数例5.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）A ．31或3B ．31 C ．52或2 D ．52 五、求可行域的面积例6、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大六、求可行域中整点个数例7、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个七、求线性目标函数中参数的取值X 围例8、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）A 、－3B 、3C 、－1D 、1八、求非线性目标函数的最值例9、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、例9：已知实数满足，求的最大值．分析：这个目标函数就显得有点“隐蔽”了，注意到目标函数有个绝对值符号，联想到点到直线的距离公式的结构特点，那么就可顺利解决了．，也是说表示为可行域内的点到直线距离的倍．。
线性规划知识点归纳总结
线性规划知识点归纳总结一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0 注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
线性规划中的目标函数
线性规划中的目标函数。
线性规划是一种在组合优化中广泛应用的解决方案。
它是使用数学技术来解决这类问题时的首要工具，通过判断和解决系统问题，使系统能够获得最优化的效果。
简单来说，线性规划问题涉及将目标函数最大化或最小化，而且必须满足所有的约束条件。
线性规划的目标函数是求解优化问题的重要组成部分。
它用来表示被优化的总体行为，即任务的目的或受限环境的要求，多数线性规划问题的目标是要最大化或最小化函数值。
典型的目标函数可以定义为最小化求解变量在约束条件下的加权和，即最小化某一函数的结果，以实现最优效果。
最小化目标函数的目的是求出一个最优解。
实际上，它定义了优化问题的目标，其中包括最小或最大某种效果的实现。
它的设计可以非常复杂，因为它往往都有许多限制条件和变量。
不同的线性规划问题可以有不同的目标函数，其中可以明确表达出问题的要求和限制条件。
这些不同的目标函数都是为了获得最优解，即实现最小化或最大化某种特定效果而设计。
无论问题复杂与否，目标函数都是最优解的核心，所以通常会加以仔细考虑，以便最终获得较为满意的结果。
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（A） （B） （C） （D）
变式练习二：
四点到直线的距离型
例4.已知实数x、y满足 的最小值。
解析：目标函数 ，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：
点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得 ，故
二直线的斜率型
例2.已知实数x、y满足不等式组 ,求函数 的值域.
变式练习一：若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为.
变式练习二：11.若实数 满足 ，则 的取值范围为（）
三平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
例3.已知实数x、y满足 ，则 的最值为___________.
解析：目标函数 ，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值， ；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值， 。
4、点到直线的距离型
5、变换问题研究目标函数
二、上节课数列检测
授课主要内容：
一基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
例1.已知实数x、y满足约束条件 ，则 的最小值为（）
A．5 B．-6 C．10 D．-10
变式练习一：若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为．
变式练习二：设x，y满足约束条件 则z＝2x－y的最大值为______．
变式练习一：如果实数 满足条件： ，则 的最大值是▲．
2、数列
练习1：18已知）求数列 的通项公式；
（2）令 （ ），求数列 的前 项和 ．
2.数列 满足： .
（1）求 的值；
（2）求数列 的前 项和 ；
三、解三角形
3.如图，在△ 中，点 在边 上， ，
一对一授课教案
学员姓名：年级：所授科目：
上课时间：年月日时分至时分共小时
老师签名
学生签名
教学主题
线性规划问题中目标函数常见类型梳理
上次作业检查
本次上课表现
本次作业
授课提纲
一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理
1、基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
2、直线的斜率型
3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
同步训练：已知实数x、y满足 ,则目标函数 的最大值是____。
五变换问题研究目标函数
例5.已知 ，且 的最大值是最小值的3倍，则a等于（）
A． 或3 B． C． 或2 D．
解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，
准确画图找到可行域是关键.如图所示，
点和B点分别取得最小值和最大值.由
，由 得
B(1，1).∴ .由题意B
， , .
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求△ 的面积．