高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版必修4
问题：向量共线是否也可用坐标表示？ 若是，怎么表示？若不是，说明理由！
rr r r r r 若a， b共线，其中b ≠ 0, 则a =λ b.
r r 若a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) 则可得：x1 , y1 ) =λ ( x2 , y2 ) 成立. (
C B A
书P-100 练习4
书P-101 A组 5、6
设P点是线段P1P2上的一点，P1 ,P2的坐标分别是
( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) .
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
总结：
本节重点是？ 你掌握了几成？
x1y2-x2y1=0
即：a//b(b≠0)的等价坐标表示是 的等价坐标表示是
x1y2-x2y1=0
1.下列向量能作基底的是（ ur uu r A.e1 = ( −1, 2 ) , e2 = ( 5, 7 ) ; ur uu r B.e1 = ( 3,5 ) , e2 = ( 6,10 ) ; ur uu 1 3 r C.e1 = ( 2, −3) , e2 = , − ; 2 4
x1 =λ x2 可得： 成立 y1 =λ y2 . 即：
x1是x2的λ 倍，相应y1也必须是y2的λ倍!
rr r r r r 若a， b共线，其中b ≠ 0, 则a =λ b.
x1 =λ 系要一致！
若消去λ， 若消去 ，则可得
）
r r r r 例6.已知a= ( 4, 2 ) , ( 6, y )，且a∥b，求y. b=
已知A（ ， ）， ），B（ ， ）， ），C（ ， 例7.已知 （-1，-1）， （1，3）， （2， 已知 5），试判断 、B、C三点的位置关系。 ），试判断 三点的位置关系。 ），试判断A、 、 三点的位置关系
高一数学人教A版必修4课件：2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1
3
预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
知识精要
迁移应用
二、三点共线问题 三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反, 两个向量共线与两个向量平行是一致的.利用向量平行证明三点共线需分两步完 成: (1)证明向量平行; (2)证明两个向量有公共点.
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导学探究
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导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
知识精要
迁移应用
2.三点共线的坐标表示 若 A(x1,y 1),B(x2,y 2),C(x 3,y 3)三点共线,则有 ������������=λ������������ ,即 (x2-x1,y 2-y1)=λ(x3-x2,y 3-y2),所以(x2-x1)(y3-y 2)=(x3-x2)(y2-y1),或由 ������������ =μ������������ 得到(x2-x1)(y3-y 1)=(x3-x1)(y2-y1),或由 ������������ =γ������������ 得到 (x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y 1).当这些条件中有一个成立时,A,B,C 三点 共线.
2.3.4
平面向量共线的坐标表示
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目标导航 预习导引
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学习目标 重点难点
1.记住两个向量共线的坐标表示; 2.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题. 重点:向量共线的坐标表示; 难点:向量共线的坐标表示的应用 .
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两个向量共线的坐标表示 (x2≠0,y2≠0).
预习新知
2.3.4平面向量共线的坐标表示(1)-人教A版高中数学必修四课件(共20张PPT)
O
(x2 x1, y2 y1)
x
1 则.若点MP(3的,坐3)标,N(为5_（,__1-_)1且_，__M-P2） 12 MN
思路：设P（x, y),则MP (x 3, y 3)
且 MN (5 3,1 3) (8,2)
那2.已么知a非 b零与向向量量ec1、e26不e1 共2线e2是，否已共知线a ？e1说－明2 e理2,b由 。 2 e1＋e2
r b
方向相同
∴x= 5 2
2．已知向量 a＝(3，1)，b＝(x，－1)，若 a－b 与 b 共
线，则 x 的值等于( )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
解析：因为 a＝(3，1)，b＝(x，－1)， 所以 a－b＝(3－x，2)． 又因为 a－b 与 b 共线，所以 2x＝x－3，所以 x＝－3. 答案：A
D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4)
思考：这4组向量中
把不共线的向量 e1、e2
有一组不能作为基
叫做这一平面内所有向量的一组基底！ 底，你认为是___ !
类型一：已知平面向量共线求参数
例1：已知a=(3，5)， b=(2， y)，且 a∥ b ，求y.
rr
解: Q a//b
3y - 5 2 = 0 y = 10
堂 r ur uur r
ur uur r r
a = e1 + λe2 ,b = -2λe1 + e2 , 且 a, b
检
共线，则λ=r
2 2
。r
3、已知向量 a = (3, 4),b = (sinα,cosα), 且
测
rr a// b
，则
tanα
=
高中数学必修4课件2-3-4
第18页
第二章 2.3 2.3.4
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
思考题 3 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
第19页
第二章 2.3 2.3.4
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 由已知可得 ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10， －4)，当 ka＋b 与 a－3b 平行时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
第二章 平面向量
第1页
第二章 平面向量
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
第2页
第二章 平面向量
高考调研
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2.3.4 平面向量共线的坐标表示
第3页
第二章 平面向量
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
高考调研
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答：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，要证明三点共线只 需证A→B＝λB→C.
∵A→B＝(x2－x1，y2－y2)，B→C＝(x3－x2，y3－y2)， ∴只需证(x2－x1)(y3－y2)－(x3－x2)(y2－y1)＝0 即可．
第7页
第37页
第二章 2.3 2.3.4
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
解析 λa＋b＝(3λ＋2,2λ－1)，a＋b＝(3＋2λ，2－λ)． ∵λa＋b 与 a＋λb(λ∈R)平行， ∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得 λ ＝±1.
第38页
人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案
2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点 共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线． 又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )， 则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)， 且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)． 又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)， 由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。
人教A版高中数学必修四课件第二章2.3.4平面向量共线的坐标表示(共30张)
(D )
前置学习
2．已知 a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若 a∥b，则 y 的值是 ( D )
A．1
B．－1
C．4
D．－4
解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
前置学习
3．若点 A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使A→B＝λB→C
成立的实数 λ 的值为
即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ)．
∴2λmλ＝－12，λ＝2.
⇒λ＝12， m＝6.
即 m＝6 时，A，B，C 三点共线．
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
解 设 P 点坐标为(x，y)． ∵|A→P|＝2|P→B|，∴A→P＝2P→B或A→P＝－2P→B. 当A→P＝2P→B时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴D 为 BC 的中点， ∴A→G＝23A→D＝2312A→B＋12A→C ＝13A→B＋13A→C， ∴ ＝OO→→GA＋＝13O→(AO→＋B－A→GO→＝A)O＋→A13＋(O→13CA→－B＋O→A13A)→＝C 13(O→A＋O→B＋O→C) ＝x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3.
探究点三 共线向量与线段分点坐标
＝1 时，P 为线段 P1P2 的中点；
当 λ∈ (－∞，－1)
时，P 位于线段 P1P2 的延长线上；
当 λ∈ (－1,0)
时，P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.
探究点一 平面向量共线的坐标表示 a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？
数学(人教A版)必修4课件：2-3-4 平面向量共线的坐标表示
贝贝与晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次 经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问 从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是： 贝贝：502＋502＋502＋502＝1004＋502＋502＝1506＋ 502＝2008(km)．
第二章
2.3
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人教A版 · 必 修4 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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平面向量
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→ → 2．(2012全国高考广东卷)若向量 AB ＝(1,2)， BC ＝(3,4)； → 则AC＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
[答案]
[解析]
A
→ → → AC＝AB＋BC＝(4,6)
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→ 4．已知点A(－1,2)，若向量 AB ＝3a，a＝(1,3)，则点B的 坐标为________．
[答案] (2,11)
→ [解析] AB＝3a＝(3,9)．
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2.3.4平面向量共线的坐标表示(2)-人教A版高中数学必修四课件(共22张PPT)
命题方向2：向量共线的综合应用
例 3、如图 2-3-17 所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求 AC 与 OB 的 交点 P 的坐标．
图 2-3-17
例 4、已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且|A→P|＝2|P→B|， 求点 P 的坐标．
【精彩点拨】 点 P 在直线 AB 上，包括点 P 在线段 AB 内和在线段 AB 的
延长线上，因此应分类讨论．
P
A
B
P
方法与规律 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题 后解方程组求解，同时应注意分类讨论.
四、课堂检测
【解析】 A 中，∵x1y2－x2y1＝1×(－2 016)－504×(－4)＝0，∴a∥b；B
∵A、B、C 三点共线，∴A→B与B→C共线，
∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得 k＝11，或 k＝－2.
【精彩点拨】 (1)利用向量的平行条件 x1y2－x2y1＝0，可证明有公共点的两 个平行向量共线，从而可证明三点共线．
(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线．
中，∵x1y2－x2y1＝2×(－6)－4×3＝－24≠0，∴a 与 b 不平行；C 中，∵x1y2－ x2y1＝1×2 016－(－1 008)×2＝4 032≠0，∴a 与 b 不平行；D 中，∵x1y2－x2y1 ＝－1×12－3×4＝－24≠0，∴a 与 b 不平行．
2．（2019 年雨花区月考）设 k∈R，下列向量中，与向量 a＝(1，－1)一定
探究题 已知点O(0,0),OA (2,3),OB (6,3),
点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案 新人教A版必修4(2021年整
内蒙古开鲁县高中数学第二章平面向量2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第二章平面向量2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目标知识目标（学习目标）（1)理解平面向量的坐标的概念;（2）掌握平面向量的坐标运算；(3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
能力目标通过学习向量共线的坐标表示,使学生认识事物之间的相互联系,培养学生辨证思维能力；情感态度价值观在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点，增强应用意识.高考链接（高考考点）教学重点向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；教学重点定比分点的理解和应用。
教学方法与教学准备多媒体、实物投影仪，三角板教学设计教学内容教学策略学生活动和效果预测（一）、复习回顾1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标运算：(1）.已知 a=(x1，y1),b=(x2，y2） a+b=（x1+x2，y1+y2).以提问的方式完成对旧知识的复习巩固，从而起到引入新课的作用。
学生回答a-b=（x1-x2，y1—y2）。
λa=λ（x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j 。
∴λa=(λx1,λy1）。
（2)。
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.教学内容 教学策略学生活动和效果预测二、讲解新课： a ∥b （b 0）的充要条件是x 1y 2—x 2y 1=0 设a =(x 1， y 1） ,b =（x 2， y 2) 其中b a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2—x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b 0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0 （2）充要条件不能写成设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，同时引导学生为学生理解 新知清除了障碍，有意识地培养学生分析理解问题的能力。
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
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