位移与向量的表示1
高等数学教材向量
高等数学教材向量高等数学教材——向量一、向量的概念及基本性质在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。
它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。
1. 向量的定义向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。
向量既有大小也有方向，是一个有序数对。
2. 向量的基本性质（1）向量的模长向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。
若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。
（2）向量的方向角向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。
方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。
（3）向量的相等对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构成一个新的向量。
向量的加法满足平行四边形法则，即⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。
2. 向量的减法向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。
3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。
即k⃗AB=(|k|)⃗AB。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个标量。
向量的数量积的计算公式为：⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。
2. 向量的向量积向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是一个向量。
向量的向量积的计算公式为：⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和⃗CD所在平面的单位法向量。
位移表示方法
位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的距离。
在物理学中，位移可以用不同的表示方法来描述。
1. 矢量表示：位移可以用矢量来表示，即具有大小和方向的量。
矢量位移通常用箭头来表示，箭头的长度表示位移的大小，箭头的方向表示位移的方向。
2. 坐标表示：位移也可以用坐标来表示。
在一维情况下，可以用一个数值来表示位移，正数表示向右移动，负数表示向左移动。
在二维或三维情况下，可以用一个向量来表示位移，向量的每个分量表示在各个坐标轴上的位移。
3. 路径表示：位移还可以用路径来表示，即物体从起点到终点所经过的路径。
路径可以是直线、曲线或其他形状，可以用数学方程或图形来表示。
4. 相对位移表示：相对位移是指物体相对于某个参考点或参考物体的位移。
相对位移可以用相对坐标或相对路径来表示。
这些表示方法可以根据具体情况选择使用，以便更好地描述和分析物体的位移。
1 6.1.1 向量的概念新教材教师用书(含2019新题)
第六章 平面向量初步
2．向量的相等与平行
一般地，把大小__相__等___、方向__相__同___的向量称为相等的向量． 如果两个 非零向量 的方向 __相__同__或__相__反____，则称这 两个向量 平
行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平 行．两个向量 a 和 b 平行，记作 __a_∥__b__．两个向量平行也称为两
向量的表示及应用 (1)如图，B，C 是线段 AD 的三等分点，分别以图中各 点为起点和终点，可以写出________个向量．
栏目 导引
第六章 平面向量初步
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规 画出下列向量：
①O→A，使|O→A|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°处； ②A→B，使|A→B|＝4，点 B 在点 A 正东处； ③B→C，使|B→C|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°处．
栏目 导引
第六章 平面向量初步
给出下列命题： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同一直 线上． 其中正确命题的序号是________．
栏目 导引
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第六章 平面向量初步
②由于点 B 在点 A 正东处，且|A→B|＝4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位 置可以确定，画出向量A→B如图所示． ③由于点 C 在点 B 北偏东 30°处，且|B→C|＝6，依据勾股定理 可得，在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小方 格数为 3 3≈5.2，于是点 C 位置可以确定，画出向量B→C如图 所示．
位移计算的一般公式(力学
曲线运动的位移公式
总结词
曲线运动中，物体的位移是运动轨迹上各点的位置坐标之和。
详细描述
在曲线运动中，物体的位移需要通过对运动轨迹上各点的位置坐标进行积分来计算。具体公式取决于曲线的形状 和运动方式。对于简单的曲线运动，如圆周运动，位移可以通过弧长和角度的函数来描述。对于更复杂的曲线运 动，可能需要使用数值积分方法来计算位移。
位移与速度的关系
总结词
位移与速度的关系是位移计算中的基础关系 ，描述了物体在一段时间内位置的变化与其 平均速度之间的关系。
详细描述
位移（S）是物体运动过程中位置的变化量 ，可以用距离和方向来表示。速度（V）是 描述物体运动快慢的物理量，等于位移与时 间的比值。在匀速直线运动中，速度保持不 变，位移与速度成正比，即S=V*t，其中t
位移是描述物体位置变化的物理 量，是运动学的基本概念之一。
位移的大小表示物体在空间中移 动的距离，方向表示物体的移动
方向。
位移的物理意义在于描述物体在 空间中的位置变化，是描述物体
运动状态的重要参数之一。
02
CATALOGUE
位移的一般公式
匀速直线运动的位移公式
总结词
匀速直线运动的速度保持不变，因此位移等于速度乘以时间 。
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度保持恒定，因此位移（即物 体移动的距离）可以通过速度与时间的乘积来计算。数学公 式为：$s = v times t$，其中 $s$ 表示位移，$v$ 表示速度 ，$t$ 表示时间。
匀加速直线运动的位移公式
总结词
匀加速直线运动中，物体速度逐渐增加 ，位移等于初速度、末速度、加速度和 时间的函数。
位移计算的一般公 式
目 录
直线运动中的位移
直线运动中的位移直线运动是指物体在一条直线上做匀速或变速运动的情况。
位移是描述物体在运动过程中发生位置变化的物理量。
在直线运动中，位移可以用来描述物体从起始位置到终止位置的距离和方向。
1. 位移的定义位移是指物体位置发生变化的总距离和方向。
在直线运动中，位移可以分为正位移和负位移。
- 正位移表示物体从起始位置向终止位置运动的位移。
例如，一个小车从A点运动到B点，位移为B点坐标减去A点坐标。
- 负位移表示物体从终止位置向起始位置运动的位移。
例如，一个小车从B点运动到A点，位移为A点坐标减去B点坐标。
2. 位移的计算方法在直线运动中，位移的计算方法根据运动过程中的速度和时间来确定。
- 如果物体做匀速直线运动，位移可以表示为位移等于速度乘以时间的公式：位移 = 速度 ×时间。
其中，速度可以是一个常数。
- 如果物体做变速直线运动，位移需要使用积分计算得出。
在变速直线运动中，速度随时间的变化不是一个常数，需要使用微积分的方法求解位移。
3. 位移与路径长度的区别位移和路径长度是描述物体在直线运动中位置变化的两个不同概念。
- 位移是指物体位置发生变化的总距离和方向，它是用一个向量表示。
- 路径长度是指物体运动过程中走过的实际距离，它是一个标量表示。
例如，一个物体从A点出发沿直线运动到B点后又返回到A点，那么它的位移是0，因为它始终停留在起始位置；但路径长度是2倍的实际距离，在这个例子中，路径长度为AB+BA。
4. 位移与时间图像的关系位移与时间图像是一种可以描绘物体在直线运动中位置变化的图示方法。
在位移与时间图像中，横轴表示时间，纵轴表示位移。
根据图像的形状可以判断物体的运动状态：- 如果位移与时间图像是一条直线，表示物体做匀速直线运动。
- 如果位移与时间图像是一条曲线，表示物体做变速直线运动。
曲线的斜率表示物体的速度变化率。
5. 应用举例直线运动中的位移在现实生活和工程领域中有广泛的应用。
- 在交通运输中，我们可以根据车辆的位移来计算行驶距离和行驶时间，从而估计到达目的地所需的时间。
空间位移的概念
空间位移的概念空间位移的概念空间位移是物体在三维空间中的运动，它是指物体从一个位置到另一个位置的距离和方向的变化。
在物理学和工程学中，空间位移通常用于描述物体在三维空间中的运动轨迹。
一、基本概念1.1 空间位移的定义空间位移是指物体从一个位置到另一个位置的距离和方向的变化。
它可以用矢量来表示，即由起点和终点两个点组成的有向线段。
1.2 空间位移与平面位移的区别平面位移是指物体在平面内从一个位置到另一个位置的距离和方向的变化。
与之相比，空间位移是指物体在三维空间中从一个位置到另一个位置的距离和方向的变化。
1.3 空间位移与向量的关系由于空间位移可以用矢量来表示，因此它与向量密切相关。
事实上，矢量就是描述物体在三维空间中运动时所发生的空间位移。
二、计算方法2.1 二维平面上任意两点之间距离公式设两点坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则它们之间的距离为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]2.2 三维空间中任意两点之间距离公式设两点坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，则它们之间的距离为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]2.3 空间位移的计算方法设起点坐标为(x1,y1,z1)，终点坐标为(x2,y2,z2)，则空间位移可以表示为：D = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]三、应用领域3.1 物理学中的应用在物理学中，空间位移是描述物体运动轨迹的重要概念。
例如，在牛顿力学中，物体的运动可以用空间位移来描述。
3.2 工程学中的应用在工程学中，空间位移常常用于描述结构体在三维空间中的变形情况。
例如，在建筑工程学中，工程师需要计算结构体在受力作用下发生的变形情况，从而确定结构体是否安全。
3.3 计算机图形学中的应用在计算机图形学中，空间位移是描述三维模型变换的重要概念。
空间向量的表示与运算技巧
空间向量的表示与运算技巧在数学和物理学中，空间向量是描述三维空间中大小和方向的量。
它是由一组按照特定规则排列的数值组成，可以用于计算物体的位移、速度、加速度等各种物理量。
本文将介绍空间向量的表示和运算技巧。
一、空间向量的表示方法1. 直角坐标表示法直角坐标表示法是最常用的一种表示方法。
在三维直角坐标系中，一个空间向量可以用三个实数(x,y,z)表示，分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
例如，向量A可以表示为A = (x,y,z)。
2. 分量表示法分量表示法将向量的分量按照一定顺序排列，形成一个有序数组。
例如，向量A可以表示为A = [x,y,z]。
3. 基向量表示法基向量表示法利用基向量来表示一个向量。
在三维空间中，通常使用标准单位向量i、j、k作为基向量。
例如，向量A可以表示为A =x*i + y*j + z*k。
二、空间向量的运算技巧1. 向量的加法向量的加法是将对应分量相加得到新的向量。
例如，向量A =(x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的和可以表示为A + B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
2. 向量的减法向量的减法是将对应分量相减得到新的向量。
例如，向量A =(x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的差可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
3. 向量的数量积向量的数量积，又称为点积或内积，是将对应分量相乘后求和得到一个标量。
例如，向量A = (x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的数量积可以表示为A·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
4. 向量的向量积向量的向量积，又称为叉积或外积，是通过对应分量的乘积得到一个新的向量。
向量A = (x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)的向量积可以表示为A×B = (y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2)。
位移与向量的表示
例 如图所示，设 O 是正六边形 ABCDEF 旳中心，分 别写出与向量OA，OB，OC相等旳向量．
解： OA CB EF DO
OB FA DC EO
OC AB ED FO
向量
向量 向 量
7.1.1 位移与向量旳表达
1.阅读教材P31前三自然段，谈谈数量与向量旳不同． 2. 你能举出向量旳其他例子吗？
1. 向量：具有大小和方向旳量．
2．向量旳表达措施 问题1 怎样描ຫໍສະໝຸດ 平面上一点旳位移？B 终点
A 始点
（1）用有向线段来表达向量．
（2）用 AB
或
a,b,c
...表达向量．
教材 P34，练习 B 组第 1 题．
100km 北京 O 50
A 天津
练习2 在平面上任意拟定一点O，点P在点O“东偏北 60，3cm”处，Q在点O“南偏西30，3cm”处，画出
点P和Q相对于点O旳位置向量．
1cm
P
60 O
东
30
Q
南
1. 向量旳概念和向量旳长度． 2．向量旳两要素． 3．向量旳表达措施． 4．相等向量与共线向量． 5．零向量． 6．位置向量．
1. 向量：具有大小和方向旳量．
2．向量旳表达措施
（（12））用记有作向AB线或段来a,表b,达c 向.量..．．
3．自由向量： 只有大小和方向，而无特定旳位置．
北
A
B
C
45
A
B
C
1. 向量：具有大小和方向旳量．
2．向量旳表达措施 （1）用有向线段来表达向量．
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r a uuu r AB
B
r 手写： a
记作
(必须加上箭头)
3.用两个大写字母表示：
用向量的起点和终点字母表示（起点在左，终点在右）
uuu r AB
三. 向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量AB 的大小(长度)
uu u r 记作：| AB |
注意：向量是不能比较大小的,但向量的 模是可以进行大小比较的.
练习册 P24—P25， 训练题7.1.1
例： 如图，一人从点A出发，经过点B，再经 过点C，请用向量表示这个人的位移。
A
uuu r 如图， AC即为这个人的位移。
B
C
一人从点A出发，向东走500m到达点B，接着向 东偏北300走300m到达点C，然后再向东北走 100m达到点D。选择适当的比例尺，用向量表 示这个人的位移。
B
A
D
C
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同。（ × ）
（2）不相等的向量一定不平行。（ × ）
（3）平行向量一定是相等向量。（ ×）反之成立吗？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定 平行向量（共线向量） 是什么向量？ （6）平行向量一定是相等向量或相反向量。( × ) 反之成立否？
速度是既有大小又有方向的量
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 注意：向量是不能比较大小的。 问：下列哪些量是向量?
路程、身高、力、速度、面积、温度.
×
×
× ×
其他为数量
二、向量的表示
1.用有向线段表示(图示法)
有向线段的长度表示向 量的大小，箭头所指的 方向表示向量的方向。
2. 用1个小字母表示：
（7）共线向量一定在同一直线上．（ × ）
1、下列说法是否正确? u r u r u r u r A.若|a|>|b|, 则a > b × u r u r B.若|a|= 0, 则a = 0 × u r u r u r u r u r u r C.若|a|=|b|, 则a = b或a = -b × u r u r u r u r D.若a//b, 则a = b × u r u r u r u r E.若a = b, 则|a|=|b| u r u r u r u r F.若a ≠ b, 则a与b不是共线向量 × u r u r u r u r G.若a = 0, 则 - a = 0
a
b
r r a b 没有意义 r r | a || b | 有意义
2.零向量: 长度为零的向量(方向任意).
r 注意:1、大小： 0 0
2、零向量的方向是不确定的. 3.单位向量: 长度（模）为1的向量. 注意: 仅对单位向量的大小明确规定，而 没有对单位向量的方向明确规定。
r 记作： 0
√
B
C
向量平行移动仍相等，叫自由向量。 任一组平行向量都可平移到同一直 线上. 故平行向量也叫做共线向量.
r r 6.负向量: 0 0
r r 与a长度相等， 方向 相反的向量叫a 的负向量。
r 记作： a
uuu r uur 图中 AD与CB 就是互 为负向量的向量
uuu r uur 记作： AD=－CB
向 量 7.1.1 位移与向量的表示
向量 向量
1.数量、向量的概念与区别: 2.向量的表示: 3.向量的模： 4.零向量: 5.单位向量: 6.平行向量: 7.相等向量: 8.负向量:
猫能捉住老鼠吗?
• 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜, 而猫由A向东南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
小结：
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量 1.有向线段 2.小字母 2.向量的表示: 3.有向线段起点和终点字母 3.零向量: 长度为零的向量 4.单位向量: 长度为1个单位的向量 1.方向相同或相反的向量 5.平行（共线）向量:2.零向量与任一向量平行 6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量 7.负向量: 长度相等但方向相反的向量
4.平行向量: 方向相同或相反的向量.
表示为：
r r a // b
A
D
规定:零向量与任一 r r 向量平行. 0 // a
B C
uuu r uur uu r uuu r AD // CB, BA // CD
5.相等向量: 长度相等且方向相同的向量(两相当).
判断题：
A
D
uuu r uur AD CB ×(方向不同) uur uuu r BA CD
100m
C
A
D
东
东
uu r 如图所示： AD即为所求。
B
东
ห้องสมุดไป่ตู้