向量的几何表示(1)
向量的概念及表示
a ，书写
用 a 。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
学生活动
在质量、重力、速度、加速度、 身高、面积、体积这些量中，哪些 是数量，哪些是向量？
数量：质量、身高、面积、体积
向量：重力、速度、加速度
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代 数运算、能比较大小 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
E D O C F
如图，以1×3方格纸中的格点为起点和 终点的所有非零向量中，有多少种大小 不同的模？有多少种不同的方向？
模长依次为1，3，2，5，10，共计6种 2，
方向共有16种
小结
1．向量的概念: 2．向量的表示： 代数表示、几何表示； 3．研究向量： 大小：向量的模、零向量、单位向量 方向：共线向量、平行向量 大小与方向： 相等向量、相反向量 4．数学思想方法： 数形结合、分类讨论（注意对 0 的讨论）.
勇
敢
问题情境1
猫以7米每秒的速度去追以5米每 秒跑的老鼠，猫能追上老鼠吗?
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
A B
问题情境2
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
观察上述三个物理量有什么区别？ (1)是只有大小的量 （2）与（3）是有大小和方向的量
只有大小没有方向 既有大小又有方向
D
A
F
C
2.两个特殊向量：
(1). 零向量：长度为 0 的向量。记作 0 (2). 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量。 零向量大小为0，方向不确定的, 可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 1
向量的知识点总结和解三角形
平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。
三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
向量的四种写法
向量的四种写法
向量是数学中一个非常重要的概念，它可以用来描述很多物理和几何问题。
在数学中，向量有四种常见的写法，它们分别是：
1.坐标表示法
在坐标表示法中，向量被表示成一组有序数对，也就是 n 元有序组。
这些数对表示了向量在每个坐标轴上的分量。
例如，向量 a = (4, 3) 表示这个向量在 x 轴上有 4 的分量，在 y 轴上有 3 的分量。
2.分量表示法
在分量表示法中，向量被写成一个有序数组，这个数组的每个元素都表示向量在相应坐标轴上的分量。
例如，向量 b = [5, 2] 表示这个向量在 x 轴上有 5 的分量，在 y 轴上有 2 的分量。
3.矩阵表示法
在矩阵表示法中，向量被认为是一个矩阵的一行或一列。
如果我们把一个向量 a = (4, 3) 写成一个行向量，那么它可以表示为 a = [4, 3]。
如果我们把它写成一个列向量，那么它可以表示为 a = [[4], [3]]
4.几何向量表示法
在几何向量表示法中，向量被认为是一个带有箭头的对象。
这个箭头表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
例如，向量 c 可以表示成一条从原点出发的箭头，其长度为 5，方向为 30 度。
以上就是向量的四种常见表示法。
每种表示法都有其独特的优点和用处，在不同的数学问题中，我们可能会用到不同的表示法。
各种表示
法之间可以进行转换，这些转换的公式可以在数学中找到。
对于学习
和掌握向量概念非常重要的同学们，希望这篇文章能起到帮助的作用。
高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练
专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
向量的坐标表示与几何法表示
向量的平行和垂直表示的应用：在物理、 工程等领域中，向量的平行和垂直算的坐标 与几何法表示
向量加法、减法的坐标与几何法表示
向量加法的坐标表 示：将两个向量的 对应坐标相加，得
到新的向量坐标
添加标题
向量加法的几何法 表示：将两个向量 首尾相接，由第一 个向量的起点指向 第二个向量的终点 的向量即为两向量
向量的坐标表示与几何 法表示
汇报人：XX
目录
向量的坐标表示
01
向量的几何法表示
02
向量运算的坐标与几 何法表示
03
向量的坐标表示
直角坐标系中的向量表示
向量坐标：由起点和终点的坐标值确定 向量的模：表示向量的长度 向量的方向：由起点指向终点的方向 向量的加减法：通过坐标相加或相减实现
极坐标系中的向量表示
向量的长度等于起 点到终点的距离， 方向由起点指向终
点。
向量的坐标表示可 以通过起点和终点 的坐标计算得出。
向量的几何法表示 可以通过起点和终 点的位置关系得出。
添加标题
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向量的模长和方向表示
模长表示：向量的 大小，用实数表示， 计算方式为勾股定 理或欧几里得范数。
方向表示：向量在二 维或三维空间中的角 度，可以通过单位向 量或极坐标表示。
球坐标系中向量的方向余弦：方向余弦是描 述向量方向的一种方式，表示为cosθ = y/r，
cosφ = z/√(x² + y²)，sinθ = x/r，sinφ = √(x² + y²)/r。
向量的几何法表 示
向量的起点和终点表示
向量可以用起点和 终点的坐标表示， 表示为从起点到终
点的有向线段。
数学课本_平面向量的表示法
向量源自物理中“力”的概念，是同时具有大小与方向的量。
本章介绍向量这个重要的数学工具，利用向量或其坐标表示，可以将任意向量分解成线性组合。
引进向量的内积后，可以处理角度，将直线看成沿着某向量的运动，可得直线的参数式。
最后我们介绍行列式，并讨论其代数与几何的意义。
3平面向量3-1平面向量的表示法●向量的几何表示法●向量的坐标表示法●向量的线性组合●分点公式3-2平面向量的内积●向量的夹角与内积●内积的性质●柯西不等式●正射影●内积在几何上的应用3-3平面上的直线●直线的参数式●两直线的交角●点到直线的距离3-4面积与二阶行列式●面积公式与二阶行列式●行列式的性质●两直线几何关系的代数判定、克拉玛公式3-1平面向量的表示法日常生活中，有一些量需要用大小和方向才能完整描述其特性，例如：力、位移、速度等，这种同时具有大小与方向的量称为向量。
在本节里，我们将探讨平面向量的表示方法及简单的运算。
1向量的几何表示法向量的几何表示如图1 所示，撞球选手将球台上位于A点的母球沿直线方向撞击位于B点的子球。
我们要如何描述这两颗球的位置关系呢？我们用线段将A，B两点连接起来，并在B点画上箭号，就形成一个带有方向的线段，我们称它是从A点到B点的有向线段，以AB表示，其中A点称为有向线段AB的始点，B点称为有向线段AB的终点。
线段AB的长度则称为有向线段AB的长度，以∣AB∣表示。
图1在数学上，我们把同时具有大小与方向的量称为 向量。
通常我们用有向线段来表示向量，有向线段的 方向与长度分别表示向量的方向与大小。
而且只要两个有向线段的大小（长度）相等，方向相同，就表示 这两个有向线段是相同的向量。
例如：图 2 中的 AB 与 CD 就是两个相同的向量，记为 AB CD 。
向量只考虑大小与方向，不计较其所在位置，所以，也可以不标示出始点与终点，只以简单的文字表示向量，例如：a ，b ，u ，v 等。
当一个向量的始点与终点重合时，这个向量称为零向量，记为 0 ，例如：AA ，PP 均为零向量，其大小为 0，而方向可视为任意方向。
几何中的向量方法
向量的表示方法有坐标表示和用有向线段表示,和用复数表示.
向量的坐标表示：起点在坐标原点,那么如果终点是A,可以用终点A来表示.
向量的复数表示：向量的起点在原点,而如果它的终点坐标是(a,b),那么它的复数表示方法是Z=a+bi,a是实部,bi是虚部.
向量的有向线段表示: 有向线段的长度就是向量的模长,有向线段的方向是向量的方向.如果向量的起点是A,终点是B,那么可以用AB个向量,A前B后,表示方向是从A到B,AB的长度就是这个向量的模.
向量的表示方法有三种：1、几何表示：用有向线段表示，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小；2、符号表示：用带箭头的小写字母或有向线段的起点和终点的大写字母表示；3、用坐标表示。
在数学中我们把具有大小和方向的量称之为向量。
同时向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳一、平面向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
物理学中又叫做矢量。
2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a、b、c 等来表示向量，手写时可写成带箭头的小写字母。
3、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作或。
4、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作。
零向量的方向是任意的。
5、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
6、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定：零向量与任意向量平行。
7、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
8、相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
二、平面向量的线性运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 A，作，，则向量叫做与的和，记作，即。
（2）平行四边形法则：已知两个不共线的向量、，作，，以、为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线上的向量就是与的和。
（3）运算性质：交换律；结合律。
2、向量的减法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 O，作，，则向量叫做与的差，记作，即。
（2）几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。
3、向量的数乘（1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。
（2）运算律：结合律；分配律，。
三、平面向量的基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。
2、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得，则有序数对叫做向量的坐标，记作，其中 x 叫做在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。
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问题6：相等向量 因为向量完全由它的方向和模确定.对于 两个非零向量a、b，就其模等与不等，方向 同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等, 模相等, 方向相同; 方向不相同;
模不相等, 方向相同;
模不相等, 方向不相同;
【相等向量】
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
a b
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
2.1平面向量的基本概念
阅读教材P74-P76，并思考以下问题：
（1）向量定义是什么？数量与向量的区别与联系？ （2）向量如何表示？ （3）有向线段与向量有何区别与联系 ？ （4）零向量、单位向量是如何定义的？ （5）单位向量起点都平移到点O，其终点有什么 关系？ （6）什么叫相等向量？单位向量是相等向量吗？ (7)有一组向量方向相同或相反，这些向量有什 么关系？ （8）把一组平行向量的起点平移到一点O，这些 向量是不是平行向量？此时这些向量终点有什么 关系？ （9）平行向量与共线向量间有什么关系？
记作 AB , 如图所示：
用表示向量的有向线段的长度表示.
AB
A(起 点)
B(终 点)
问题5：零向量、单位向量是如何定义的？向量的 模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？ 向量的模可以为0,也可以为1,不可以为负数. 为了研究的需要，我们引入以下概念. 【零向量】长度为0的向量叫零向量; 记作0. (书写体用0) 规定：零向量0的方向是任意的. 注意：零向量0与实数0的含义、书写区别. 【单位向量】长度为1个单位长度的向量，叫单 位向量. 〖说明〗零向量、单位向量的定义都只是 限制了大小.
2.由于有向线段具有长度和方向双 重特征，所以向量可以用有向线段表 示，但向量不是有向线段，二者只是一 种对应关系. 3.零向量是一个特殊向量，其模为 0，方向是不确定的.引入零向量将为以 后的研究带来许多方便.
A B C D
AB和CD
C
A
D
B
问题6 平行向量 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量 向量a、b平行，记作 a ∥b 即对于任意向量a，都有 0∥a （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，如左图
如图:用有向线段表示的两个平行向量a、b
a b
②规定：零向量与任一向量平行.
〖说明〗（1）综合①、②才是平行向量的完整定义 记作ａ∥ｂ∥ｃ.
※注意：
AB BA .
向量的定义
向量的表示
字母表示 几何表示
向量
向量的模与零向量、单位向量
相等向量
三种向量关系
注意：(1)向量无大小， 但其模有大小；
平行向量(共线向量）
相反向量
(2)零向量是一个非常特殊的 向量，与任何向量平行。
知识迁移
例1 已知飞机从A地按北偏东30°方 向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏 东30°方向飞行2000km到达C地，再从C 地按西南方向飞行1000 km 2 到达 D 地. （1）画图表示向量 AB, BC, CD； （2）求飞机从A地到达D地的位移所对应 北 B 的向量的模和方向.
A D C
东
例2 如图，四边形ABCD为正方形， △BCE为等腰直角三角形.以图中各点为 起点和终点，写出与向量 AB 平行的所 有向量.
D
C
A
B
E
BA, BE, EB, AE, EA, DC, CD
例3 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分 别写出与 OA 、 OB、 OC 相等的向量.
问题1：向量定义？数量与向量的区 别与联系？
数量----把只有大小，没有方向的量称为数量 向量----数学中，把既有大小，又有方向的量叫 . 向量与数量的联系和区别： 思考：年龄、身高、长度、面积、体积、温 联系：向量与数量都是有大小的量； 时间、路程、质量等是向量吗？ 区别：向量有方向且不能比较大小， 数量无方向且能比较大小.
（2）零向量与零向量相等； A B （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一 条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关 . （4）在平面上，两个长度相等且指向一致的 有向线段表示同一个向量；因为向量完全由它 的方向和模确定. (5)向量或有向线段平移,不会改变其长度和 方向
思考：用有向线段表示非零向量 如果 AB CD ，那么A、B、C、D四点的位置 关系有哪几种可能情形？
B A O F E
OA CB DO EF
C D
OB DC EO FA
OC AB ED FO
例4 判断下列命题是否正确：
①若两个单位向量共线,则这两个向量相等（ ） ②不相等的两个向量一定不共线 （
③ａ与ｂ共线,ｂ与ｃ共线,则ａ与c也共线（ ）
④任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行
四边形的与ｂ都是非零向量（ √） ⑥有相同起点的两个非零向量不平行（ ）
）
归纳与整理
1.向量是为了表示、刻画既有大小， 又有方向的量而产生的，物理中有许多 相关背景材料，数学中的向量是物理中 矢量的提升和拓展，它有一系列的理论 和方法，是沟通代数、几何、三角的一 种工具，有着广泛的实际应用.
问题3：向量与有向线段的区别？
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无 关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同 的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起 点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向 线段.
问题4：由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示呢？ 向量的大小也就是向量的长度
探究：平行向量与共线向量 思考：如果两个非零向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？ 方向相同或相反 思考：我们知道方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那 么平行向量所在的直线一定互相平行吗？ 思考：零向量0与向量a平行吗？
零向量与任一向量平行.
思考：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图， 设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在 直线平行的直线 l，在l上任取一点O，分别作 OA a, OB b , OC c,那么点A、B、C的位置关系如何？ a 平行向量也叫做共线向量
b c O
B C A
l
点A、B、C在同一条直线上 上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到 同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量
思考：如果非零向量 AB与CD 是共线向量，那 么点A、B、C、D是否一定共线？
补充知识 定义：
向量的相反向量
★如果向量 AB 和 CD 的模相等 且方向相反，那么把向量 叫做向 AB 量 CD 的相反向量(或把向量 CD 叫做 向量 AB 的负向量)，记作 AB CD (或 CD AB ) .
问题2：向量如何表示？
向量用带有箭头的线段来表示，线段按一定 的比例(标度)画出，它的长短表示向量的 大小，箭头的指向表示向量的方向.
①用有向线段表示；
AB
A(起 点)
B(起点 )
②用字母ａ、ｂ、 c…等表示.（印刷 用黑体，手写用 a ） ③用表示向量的有向线段的起点与终点 字母表示，例如 CD . AB，