第五章等参数单元
第5章等参数单元
B1
B2
B3
1 e e e B4 2 e B 3 e 4
第5步：单元应力—应变—节点位移的关系 由平面问题的物理方程，有 第6步：节点力—节点位移间的关系 由虚功原理，可得节点力于节点位移间的关系式 e T (e) F B D B dV V ( e ) 对于平面问题有 e T e (e) (e) F B D B tdxdy K S ( e )
u1 v 1 1 e u 2 e 2 v 2 e 3 u 3 e v3 4 u 4 v 4
A
e
其中
1
N 3 N 1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N 3 N 1 N 2 N 4 v1 v2 v3 v4 y y y y N 1 u N 2 u N 3 u N 4 u N 1 v N 2 v N 3 v N 4 v 3 4 1 2 3 4 y 1 y 2 y y x x x x u1 v N 1 1 N 3 N 2 N 4 0 0 0 0 u 2 x x x x v N N N N 3 1 2 4 2 0 0 0 0 y y y y u 3 N N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 v 1 3 x y x y x y x y u 4 v 4
N 1 x 0 N 1 y
0 N 1 y N 1 x
N 2 x 0 N 2 y
第五讲 等参数单元
假设局 部坐标 系与总 体坐 标 系之 间的关 系 为：
ｆ ， 【 ）（ ， ，） ） ，７ ， ＝ ＝
标应 该 一一对 应 ， 即 ｆ ＝ ，） （ ， ７
｛ 【 ， 、 ． ） ＝） ，／） ， ， ７ （ ｉ
（ ５ ）
增加 ， 整体 刚度矩 阵 扩 大 ， 增 加 了舍 人 误 差 。 因 又
此， 提高单元 精度最有效 的办 法是提 高单元的计 算精度 ， 增加 单元的节点数是其 中一种有效 的办
法。但是 对某 些 曲边 和 曲 面结 构 或 者 结 构 周 边 的
曲率变化 比较明显的构件 ， 采用如 同三角形 、 矩形
点的位移 ｕ 和 ｖ（ ＝ ，， Ｉ 。这里，Ｉ ｉ ｉｉ ｌ２ …，Ｉ Ｔ ） Ｉ为单元 Ｔ
节点 总数 。
将（ ） １ 式简记为 ：
ｆ ， ）＝ （ ｒ ／
．
（ 叼 ， ）
｛
【（ ｒ ＝∑ （ ｒ ，） ／ ， ） ／
‘ ： ‘
（ ２ ）
１ 形 状 函数 的 性 质
１ 即 。
（ ，）＝１ ， ７ ２ ２ 要求 ． ２２ １ 收敛性 要求 ．． ．
（） ４
图 ２
元 载荷 ， 必须 进行 两种 坐标 系 的转换 。
①完备性要求
正如上一讲提到的 ， 要得到精度高 的单元变 形分析 ， 单元位移必 须包含刚性位移 和常应变情
况， 这就要求位移模式 中必须包含常 数项 和坐标
有： ‘
Ｉ Ｉ
７ ７ ： ｔ ／ ７ ７ ７ ７ ７ ７ ７。 ７ ７ ７ ｔ ／ ７ ７
’
【 ￡ ，＝ （ ，， ￣ ３ ， 。 ＿ ＾ ；ｉ 一 （ ０ 『 ） ， ）（ ｍ ） ｊ
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
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（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
第五章.等参数单元
母单元 首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，我们称之为母单元。
1. 一维母单元 采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下： 1） 线性单元（2结点）
1 2 1 2
1 -1 0 (a) 线 性 单 元
2 1
N1
N2
2） 二次单元（3结点）
(8-14)
其中， N是用局部坐标表示的形函数，(x,y)是结点i 的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。
返回
图5-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单 元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是 因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。
y
3 1 2
1 -1
(8-19)
返回
其中，[J]-1是[J]的逆阵
y 1 J x
3. 三维母单元 三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体
1 1 1 1 1 1
如图5-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。 单元结点在角点及各边的等分点上。 1) 线性单元（8结点） 5 8
13
5
16
15 14
8
6
1
这正方形单元的位移模式是：
而其中形函数为：
由图（b）可知
• 假如图 (a)中的任意四边形单元能用上式的位移 模式及形函数进行计算，则前面所提的位移连续 性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何 将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正 方形单元的局部坐标( , )。
根据形函数的两条性质：
2
图5-2 以上形函数也可以合并表示为 1 1
第五章 其他常用单元的刚度矩阵
第五章其他常用单元的刚度矩阵除了前面讲的一维、二维杆单元及三角形单元之外，有限元法中还根据分析对象的不同采用许多其他单元，如三棱圆环单元、等参数单元、平面四边形单元、四面体单元、六面体单元等等。
鉴于学时所限，只介绍三棱圆环单元和等参数单元的刚度矩阵的求法，对其他单元同学们可查阅有关书籍。
第一节三棱圆环单元的刚度矩阵机器中许多零件如飞轮、缸体等在几何形状上具有共同点，即它们都是某一平面图形绕平面内某一轴线旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。
当回转体承受的载荷和支撑条件相对于该轴线也对称时，分析求解这类零件的应力、应变问题，称为轴对称问题。
轴对称问题中，回转体内各点只有轴向和径向两个方向的位移，一个三维问题就简化为二维问题。
对这类零件的离散化可以在子午面内进行，最常用的是三角形截面的轴对称单元，简称为三棱圆环单元。
如图4-1所示。
1.位移模式及形状函数由于轴对称的特点，不再用直角坐标系（x,y,z）,而用柱面坐标系（r,θ,z）描述物体。
物体内任意一点只有沿r和z 方向的位移u和w，而无θ方向的位移。
当纵剖面上三角形单元(e)的三个节点总码分别为I、j、k时，如图4-1所示，相应的节点位移向量为{}{}Tk kjjiie w u w u w u =)(ϕ与弹性力学平面问题中的三角形单元一样，采用线性位移模式，则zr z r w z r z r u 654321),(),(αααααα++=++=与平面问题的推导步骤完全相同，可以得到与平面问题相似的结果：{}[]{})()()()(),(),(),(),(e e e e z r N z r w z r u z r ϕϕ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=其中形状函数为：[]zr r z z r z rz r N kj jk j k k j++-∆=)(21),(1 []z r r z z r z r z r N ik ki k i i k ++-∆=)(21),(2[]zr r z z r zr z r N ji ij i j ji++-∆=)(21),(32.应变与位移的关系（几何矩阵）轴对称问题中表示应变与位移关系的几何方程与弹性力学平面问题相似，所不同的是：单元内一点在径向产生的位移u ，会在圆周方向引起相应的应变θε。
有限元分析第五章(第一部分)
第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。
这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。
本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。
这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。
等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。
变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。
仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。
这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 ＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →： (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。
有限元等参数单元
有限元等参数单元有限元分析是一种工程数值分析方法，广泛用于结构力学、固体力学等领域。
在有限元分析中，将结构或物体离散为许多小单元，每个小单元称为参数单元。
本文将介绍有限元等参数单元的概念和应用。
在有限元分析中，参数单元是对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是通过数学建模技术将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元可以是一维、二维或三维的。
在一维情况下，常见的参数单元有杆单元和梁单元等。
在二维情况下，常见的参数单元有三角形单元和四边形单元等。
在三维情况下，常见的参数单元有四面体单元和六面体单元等。
在有限元分析中，参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定。
一般来说，参数单元的几何形状应能较好地适应结构或物体的形状。
对于复杂结构或物体，可以使用不同形状的参数单元进行组合，以更好地描述结构的几何特征。
在参数单元中，需要定义材料性质、几何性质和加载条件等参数。
材料性质包括弹性模量、泊松比、密度等。
几何性质包括长度、面积、体积等。
加载条件包括外力、边界条件等。
这些参数可以通过实验测量或根据经验来确定。
在有限元分析中，参数单元的刚度、质量和荷载等可以通过这些参数来计算。
有限元分析的基本思想是，将结构或物体分解为多个参数单元，并将其转化为一个或多个代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到结构或物体的应力、应变、位移等信息。
有限元方法可以有效地分析复杂结构的性能和行为，并为工程设计和优化提供依据。
总之，有限元等参数单元是在有限元分析中对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定，并通过定义材料性质、几何性质和加载条件等参数来描述结构的特征。
有限元分析是一种用于求解结构或物体应力、应变、位移等信息的数值分析方法，可以为工程设计和优化提供依据。
等参数单元
(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。 在上述分析的基础上，利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成 结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件，进而进 行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念 等参数单元（Isoparametric elements）简称等参元，是根据特 定方法设定的一大类单元，不一定具有相同的几何形状。因为等参 元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限 元理论中占有重要的地位。采用等参元，一方面能够很好地适应曲 线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，等参元一般 具有高阶位移模式，能够较好地反映结构的复杂应力分布情况，即 使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。 等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系（Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系）的规整形状的单 元（母单元）的高阶位移模式，然后利用形函数多项式进行坐标变 换，得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元 （子单元），其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换 的节点数相等，位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的 形函数与节点参数，这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程，将会 得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x
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第五章平面等参（数）单元有限元法求解过程中产生计算误差的地方主要有：1. 单元计算误差主要是由于单元内假定的位移场与受载真实位移场不一致所造成。
2. 求解总体刚度方程时，在运算过程中引起舍入误差。
解决方法：将网格剖分加密，使单元假定位移场更加逼近真实位移场，可以提高有限元法计算精度。
但是，增加单元数将使总刚的阶数提高，这不仅增加贮存容量和求解机时，而且将增加舍入误差。
另一种方法是提高每个单元的计算精度，采用高精度位移模式的单元。
高精度的单元位移模式需要满足：1. 单元形状能较好的适应复杂弹性体的边界几何形状，故应采用曲边/面单元；2. 单元内的假定位移场采用高阶插值多项式，以更好地逼近真实位移场。
构造同时满足上面两个要求的单元模式的方法：先在局部坐标系中简单几何形状（正方形、三角形、立方体）的单元按高阶插值多项式来构造形状函数，形成局部坐标的单元位移函数。
然后通过坐标变换，将简单几何形状的母单元在总体坐标系中映射成实际网格剖分的曲边/面单元。
虽然变换成的总体坐标单元位移函数比较复杂，但可以采用数值积分法计算单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵。
如果在位移模式和坐标变换式中采用相同的插值函数，这种单元称为等参（数）单元。
如果坐标变换节点数多于位移模式差值函数的节点数，则称为超参单元。
反之，称为次参单元。
4节点四边形单元离散化例题140B=［(36-1)+1］×2=72单元16的最大节点差值是36-1。
4节点四边形单元与3节点三边形单元混用例题利用结构对称性，取其14研究平面问题每个节点有2个自由度。
3节点三边形单元的 自由度是6，4节点四边形单元的自由度是8。
总刚的维数是224242n n ⨯=⨯。
最大半带宽B=［(8-1)+1］×2=16。
y第一节平面四节点等参单元一、坐标变换与等参单元1．局部坐标系与总体坐标系边长为2的正方形单元［母单元（基本）］：ξη在其形心处设置局部坐标系oη轴// 12边和43边ξ轴// 14边和23边4个节点的局部坐标（ξ，η）分别是1±。
y1=1η=ξ=-实际单元（子单元） 设在总体坐标系xy 中有任意四边形单元，其四个节点的局部码编号为1，2，3，4。
以对边中点连线作为局部坐标的ξ和η轴，其交点为原点，以对边相应的等分点连线作为const ξ=和const η=的坐标线。
并使四边的方程分别为1ξ=±，1η=±。
2. 单元位移模式单元位移模式：1234u ααξαηαξη=+++5678v ααξαηαξη=+++其中待定系数α1，α2 ，α3，α4可由4个节点位移()()111111,,,u u v v ξηξη==，()()222222,,,u u v v ξηξη==，()()333333,,,u u v v ξηξη==和()()444444,,,u u v v ξηξη==来确定。
则上式可写成()()()()11223344411122334441,,,,i i i ii i i i ii u N u N u N u N u N u v N v N v N v N v N v ξηξηξηξη===+++==+++=∑∑ (5-1)式中形函数3411(1)(1),(1)(1)124411(1)(1),(1)(1)44N N N N ξηξηξηξη=--=+-=++=-- (5-2)上式(5-2)的形函数用通式表示为1(1)(1),(1,2,3,4)4i i i N i ξξηη=++= (5-3)式中i ξ 和i η是节点i 的局部坐标值。
注：形函数的性质(1)1,(1,2,3,4,) (,)0,(,1,2,3,4,)i j ji i j Ni j i jξη==⎧=⎨=≠⎩(2)41(,)1 i i iiNξη==∑(3) 平面4节点四边形单元的四个形函数都是坐标,ξη双线性函数。
在单元内部，位移是坐标,ξη的二次函数；在单元的边界上位移是坐标,ξη的线性函数。
(4) 可以根据形函数的性质来直接构造形函数因为形函数1(,)Nξη在节点2，3，4处的值等于零，故当选择过节点2、3的直线方程：1-ξ=0过节点3、4的直线方程：1-η=0则能够满足形函数1(,)Nξη在节点2，3，4处的值等于零，所以设()()1(,)11N A ξηξη=--式中A 是待定系数。
再由1(,)N ξη在节点1处等于1，即()()11111A =----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ∴ 14A =带回原式，得()()11(,)114N ξηξη=--同理可以确定形函数2(,)N ξη、3(,)N ξη和4(,)N ξη。
例1：构造如图所示3节点一维单元的形函数。
31ξ=-1ξ=0ξ=解：(1) N 1=？在节点2有 N 1=0 过节点2的方程为 ξ=0在节点3有 N 1=0 过节点2的方程为 ξ=1，即1-ξ=0所以令 1(1)N A ξξ=-将节点1：N 1=1，ξ= -1代入上式，得12A =-所以 11(1)2N ξξ=--同理，有 31(1)2N ξξ=+(2) N 2=？在节点1有 N 2=0，过节点1的方程为ξ=-1，即1+ξ=0 在2点ξ=0 N 2=1在节点3有 N 2=0，过节点3的方程为点ξ=1，即1+ξ=0故令 2(1)(1)N A ξξ=+-将节点2：N 2=1，ξ= 0 代入上式，得 1A = 所以 221N ξ=-例2：构造如图所示8节点平面四边形单元的形函数。
110ξ-= 10η-=1ξ+=解：(1) N1=？令1(1)(1)(1)N Aξηξη=--++在节点1有：N1=1 ，111ξη==-1(11)(11)(111) A=++--14A=-∴11(1)(1)(1) 4Nξηξη=-----(2) N5 =？令5(1)(1)(1)N Aξηξ=--+在节点5有：N5=1 ，50ξ=，51η=-14A=∴ 251(1)(1)2N ηξ=--构造变阶数单元的形函数目的：同一单元的不同边界有不同数目的节点，可实现不同阶次单元之间的过渡，从而可在求解的不同区域采用不同精度的单元。
例例3：构造图示5节点四边形单元形函数。
解：设节点四边形单元形函数为1(1)(1),(1,2,3,4)4i i i N i ξξηη=++=5节点四边形单元形函数251(1)(1)2N ηξ=-- 11512N N N =-22512N N N =-33N N =44N N =对于图示8节点四 边形单元，其形函数可表示为11581122N N N N =--22561122N N N N =--33671122N N N N =--44781122N N N N =--251(1)(1)2N ξη=--261(1)(1)2N ηξ=-+271(1)(1)2N ξη=-+281(1)(1)2N ηξ=--如5、6、7、8节点中任一个不存在，则对应的形函数为零。
例4：构造图示7节点四边形单元形函数。
解：（1）N 5=? 23边方程 10ξ-= 12边方程 10η+= 41边方程 10ξ+=设 ()()()()5111N a b ηξξξ=++-+ （a ）节点5：555551,1,(,)13N ξηξη===代入（a ）式，得()1111111333b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （b ）节点6：665661,1,(,)03N ξηξη=-==代入（a ）式，得()1111110333b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （c ）联立（b ）和（c ）求解，得927,3232a b ==4222∴ ()()()59271113232N ηξξξ⎛⎫=++-+⎪⎝⎭同理 ()()()69271113232N ηξξξ⎛⎫=++--⎪⎝⎭（2） ()()271112N ηξ=-+则11(1)(1)4N ξη=--2711(1)(1)42N N ξη=+--35671211(1)(1)4332N N N N ξη=++---456112(1)(1)433N N N ξη=-+--2468(1,-1,-1)(-1,-1,1)(-1,1,1)解：N 1=?5678面的方程 10ζ-= 3487面的方程 10η-= 2376面的方程 10ξ-=故设 ()()()1111N A ξηζ=--- 节点1：N 1=1，1ξηζ===-∴ 18A =则 ()()()111118N ξηζ=---246810161820解：（1）N 1=?5678面的方程 10ζ-= 3487面的方程 10η-= 2376面的方程 10ξ-=9-12-17面的方程 20ξηζ+++= 故设()()()()11112N A ξηζξηζ=---+++节点1：N 1=1，1ξηζ===-∴ 18A =-则()()()()1111128N ξηζξηζ=-------（2）N 9=?5678面的方程 10ζ-= 3487面的方程 10η-= 2376面的方程 10ξ-= 1485面的方程 10ξ+=故设 ()()()()91111N A ξηζξ=---+ 节点9：N 9=1，0,1ξηζ===-∴ 14A =则 ()()()2911114N ξηζ=---3．坐标变换为了用局部坐标系构造的母单元位移函数和形函数来计算总体坐标系单元刚度矩阵和单元载荷矢量，就必须知道变量在这种坐标系之间的变换关系。
整体坐标系局部坐标系,ξη与总体坐标系,x y 的对应关系()(),,x x y y ξηξη=⎧⎪⎨=⎪⎩ 它们必须保证母单元节点的局部坐标与单元节点的总体坐标一一对应，即()(),(1,2,3,4),i i i i i i x x i y y ξηξη⎧=⎪=⎨=⎪⎩ ,i i x y 为节点i 的整体坐标，,i i ξη为节点i 的局部坐标。
这种对应关系可利用母单元的形函数N i (ξ,η)来满足，即()()()()()()()()()()11223344411122334441,,,,,,,,,,i ii i i i x N x N x N x N x N xy N y N y N y N y N y ξηξηξηξηξηξηξηξηξηξη===+++⎧⎪⎪=⎪⎨=+++⎪⎪⎪=⎩∑∑ （5-4）式中,x y 为任意四边形单元（实际单元）中任意一点的整体坐标。
因为在母单元（基本单元）位移模式和坐标变换式中采用相同的插值函数，所以这种4节点四边形单元为等参数单元。
1(0,0)例题：（1）写出图示4节点等参单元的坐标变换式；（2）计算母（基本）单元上的局部坐标原点O （0ξη==），在实际单元上的总体坐标（,x y ）。