2021版高一上学期数学期中考试试卷
2021版高一上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·全国Ⅰ卷理) 已知集合，则∁RA=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高一上·锡林浩特月考) 已知，则的值等于（）
A .
B . 4
C . 2
D .
3. （2分）已知P={0,1}，Q={-1,0,1}，f是从P到Q的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有（）个
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
4. （2分）下列各式正确的是（）
A . =﹣5
B . =a
C . =7
D . =π
5. （2分） (2015高三上·贵阳期末) 已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）
A . f（x）=
B . f（x）=
C . f（x）= ﹣1
D . f（x）=ln（x2﹣1）
6. （2分）设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）
A .
B .
C . lg＞lg
D . ＞
7. （2分）若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：（）
(1)——-2（1.5）—— 0.625
（1.25）—— -0.984（1.375）—— -0.260
（1.438）—— 0.165（1.4065）—— -0.052
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）
A . 1.2
B . 1.3
C . 1.4
D . 1.5
8. （2分）(2017·南阳模拟) 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；
②函数可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．
其中正确的命题是（）
A . ①③
B . ①③④
C . ②③
D . ①④
9. （2分）设定义在上的函数对任意实数满足，且，则
的值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）当时，则下列大小关系正确的是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2017·福州模拟) 已知函数f（x）= 若对于任意两个不等实数x1 ， x2 ，都有＞1成立，则实数a的取值范围是（）
A . [1，3）
B . [ ，3）
C . [0，4）
D . [ ，4）
12. （2分）设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：,取函数f(x)=2-x-e-x ，若对任意的x∈(-∞,+ ∞)，恒有fk(x)＝f(x)，则（）
A . k的最大值为2
B . k的最小值为2
C . k的最大值为1
D . k的最小值为1
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2017高一上·泰安期中) 设a，b∈R，且3a=6b=4，则 =________．
14. （1分） (2016高一上·宝安期中) 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（﹣2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围________．
15. （1分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0，f（x）=ex﹣ax，若函数在R上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是________．
16. （1分） (2016高一上·叶县期中) 已知f（x）= ，若f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=________.
三、解答题 (共6题；共57分)
17. （10分）已知集合A={x∈R|0≤log2x≤2}．
（Ⅰ）若集合B={a2+4a+8，a+3，3log2|﹣a|}，且满足B⊆A，求实数a的值；
（Ⅱ）若集合C={y|y=xm ，x∈A，m∈R}，且满足A∪C=A，求实数m的取值范围．
18. （2分） (2017高二下·芮城期末) 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有
.当时， .
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算 .
19. （5分） (2019高三上·汉中月考) 已知二次函数的图象经过点，方程的解集是 .
（1）求的解析式；
（2）若，求在上的最值.
20. （10分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于两点．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求的最大值．
21. （15分） (2017高一上·佛山月考) 已知函数
（1）求函数的最小值g（m）；
（2）若g（m）=10，求m的值.
22. （15分）(2017·石景山模拟) 已知集合Rn={X|X=（x1 ， x2 ，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1 ， a2 ，…，an）∈Rn ， B=（b1 ， b2 ，…，bn）∈Rn ，定义A与B之间的距离
为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|= ．
（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3 ，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ）设集合P⊆Rn ， P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明
．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共57分)
17-1、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、。
2021年高一上学期期中数学试卷 含解析
2021年高一上学期期中数学试卷含解析一、选择题每小题5分，共60分，请将所选答案填在答卷对应题号的空格内. 1．若A=，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．D．{x|0＜x＜2}2．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．，那么函数f（x2﹣1）的定义域是（）A． B． C． D．5．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y=2|x|的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为．三、解答题共70分，解题要有推理过程或演算步骤17．已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．18．已知f（x）=1+log3x，（1≤x≤9），求函数g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．19．已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f（x）在区间上单调递增，试确定a的取值范围．20．某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如表：运输工具途中速度（km/h）途中费用（元/km）装卸时间（h）装卸费用（元）汽车50 8 2 1000火车100 4 4 xx若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中损耗为300元/h，设A、B两地距离为xkm（1）设采用汽车与火车运输的总费用分别为f（x）与g（x），求f（x）与g（x）；（2）试根据A、B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好（即运输总费用最小）．（注：总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用）21．已知函数．（Ⅰ）当时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈，那么函数f（x2﹣1）的定义域是（）A． B． C． D．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）的定义域为，可得﹣1≤x2﹣1≤1，解出即可得出．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为，由﹣1≤x2﹣1≤1，解得．∴函数f（x2﹣1）的定义域是．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y=2|x|的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 1 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象和性质，结合函数的值域求出a，b的取值情况即可得到结论．【解答】解：若2|x|=1，则x=0．若2|x|=2，则x=1或x=﹣1，∵函数y=2|x|的定义域为，值域为，∴若a=﹣1，则0≤b≤1，若b=1，则﹣1≤a≤0，即当a=﹣1，b=0或a=0，b=1时，b﹣a最小为1，当a=﹣1，b=1时，b﹣a的值最大为1﹣（﹣1）=2，故区间的长度的最大值与最小值的差为2﹣1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据指数函数的图象和性质，结合函数的值域求出a，b的取值情况是解决本题的关键．三、解答题共70分，解题要有推理过程或演算步骤17．已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】解一元二次方程求得集合A，由B是A的非空子集，分类讨论，分别求出实数a的取值．【解答】解：由已知，A={﹣2，4}．∵B是A的非空子集，∴B={﹣2}或{4}或{﹣2，4}．若B={﹣2}，则有，解得：a=4；若B={4}，则有，解得a∈∅；若B={﹣2，4}，由韦达定理可得，解得a=﹣2综上，所求实数a的值为﹣2或4．【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，一元二次方程的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．已知f（x）=1+log3x，（1≤x≤9），求函数g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据对数的运算法则，化简g（x）=f2（x）+f（x2）=（log3x+2）2﹣2，其中1≤x≤3，看作关于log3x的二次函数，再利用二次函数性质求解．【解答】解：g（x）的定义域由确定，解得：1≤x≤3，g（x）=f2（x）+f（x2）=（1+log3x）2+（1+log3x2）=（log3x+2）2﹣2，1≤x≤3，令t=log3x，0≤t≤1，有：y=g（x）=（t+2）2﹣2，在上为增函数，∴当t=0即x=1时，g（x）min=2；当t=1即x=3时，g（x）max=7．【点评】本题考查对数的运算性质、二次函数的性质，换元法．正确的求出g（x）的定义域是关键，也是本题极易出错的地方．19．已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f（x）在区间上单调递增，试确定a的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数的图象．【专题】计算题；数形结合；转化思想；待定系数法．【分析】（1）由奇函数的定义，对应相等求出m的值；画出图象．（2）根据函数的图象知函数的单调递增区间，从而得到|a|﹣2的一个不等式，解不等式就求得a 的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x又f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2y=f（x）的图象如右所示（2）由（1）知f（x）=，由图象可知，f（x）在上单调递增，要使f（x）在上单调递增，只需解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤3【点评】考查奇函数的定义，应用转化的思想求值；作函数的图象，求a的取值范围，体现了作图和用图的能力，属中档题．20．某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如表：运输工具途中速度（km/h）途中费用（元/km）装卸时间（h）装卸费用（元）汽车50 8 2 1000火车100 4 4 xx若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中损耗为300元/h，设A、B两地距离为xkm（1）设采用汽车与火车运输的总费用分别为f（x）与g（x），求f（x）与g（x）；（2）试根据A、B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好（即运输总费用最小）．（注：总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用）【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）根据表格，利用总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用，分别求出运输的总费用；（2）分类讨论，比较它们的大小，由此确定采用哪种运输工具较好【解答】解：（1）∵总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用∴用汽车运输的总费用为：用火车运输的总费用为：（2）由f（x）＜g（x）得由f（x）=g（x）得由f（x）＞g（x）得故当A、B两地距离小于时，采用汽车运输好；当A、B两地距离等于时，采用汽车或火车都一样；当A、B两地距离大于时，采用火车运输好【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查解不等式，解题的关键是正确运用表格中的数据21．已知函数．（Ⅰ）当时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈．又，令，则k≥g（t）max．∵在（﹣∞，1]上是增函数，故．所以．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，值域，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数、二次函数的图象和性质，是解答的关键．34798 87EE 蟮36415 8E3F 踿D 27485 6B5D 歝 ?$}22743 58D7 壗&k24975 618F 憏。
2021学年合肥市十中高一数学上学期期中考试卷附答案解析
C. 若 a＞0 则 g(x)的单调减区间[-c，-2]，[2.c]
D. 若 a≠0，则方程 g(x)=0 有 3 个互异实根
【答案】ABD 【解析】当 a＜0 时，由 g(x) af (x) 可知 g(x)为奇函数，a≠0,a＞0 时,可由图象可判断 ABD 正确，该题考 查利用导数研究函数的单调性、极值，考查数形结合思想
（1）函数 f(x)在区间[1,3]有单调性，求实数 a 的取值范围； （2）求函数 f(x)在区间[1,3]上的最小值 h(a).
19、（10 分）经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量 y(单位：千辆/h)与汽车
的平均速度
v(单位：km/h)之间的函数解析式为：
y
v2
910v 11v 1600
x2 1
C. 若 x∈R，则 x(10 x) 的最大值是 5
D. 若 a＞0，则 (1 a)(1 1 ) 4 a
12.我们把定义域为[0，+∞)，且同时满足以下两个条件的的函数 f(x)称为“Ω函数”:
(1)对任意的 x∈[0.+∞)，总有 f(x)≥0
(2)若 x≥0，y≥0，则有 f(x+y)≥f(x)+f(y)成立，下列判断正确的是(
D.函数 g(x) x2 x 在[0.+∞)上是“Ω函数”
【答案】AD
三、填空題(共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分) 19、命题“∀x∈R,x2⩾2x−1”的否定为_____________.
8
【答案】由全称命题的否定为特称命题， 可得命题“∀x∈R,x2⩾2x−1”的否定为∃x0∈R,x02<2x0−1. 故答案为：∃x0∈R,x02<2x0−1.
潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)
关于 的不等式 解集包含 ，令 ，
，解得 ，
故选： ．
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9.下列命题中是假命题的是（）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
举反例即可判断选项A、C，解方程 即可判断选项B、D.
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；
（2）分集合C为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得所求的范围.
【详解】解：（ 时，满足 ，即 ，解得 ．
【详解】对于A选项，函数 为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A选项中的函数不合乎要求；
对于B选项，函数 为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B选项中的函数合乎要求；
对于C选项，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
又 ，所以，函数 为奇函数，
当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递减.
由于函数 在 上连续，所以，函数 在 上为减函数，C选项中的函数合乎要求；
画出函数的图象，如图所示：
对于 ：根据函数的图象， 的定义域为 ，值域为 ，故 错误；
2021-2022学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝07．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4 10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为011．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为.（注：写出一个满足条件的即可）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A【分析】解出集合A再做判断．解：因为A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，所以ACD选项均错误，故选：B．2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴a+b＞b+b，即a+b＞2b，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴，即，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＜0，即，故D正确．故选：D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．解：对于A，函数y＝x2，定义域为R，y＝x＝x|x|，定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数y＝＝|x|，定义域为R，y＝＝x，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y＝＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y＝x+1，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y＝＝x，定义域为R，y＝x，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，故选：C．5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．解：把四个图象分别叫做A，B，C，D．若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴有可能，所以此时a＝﹣1成立．若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1，此时对称轴，矛盾，所以不成立．故图象为第三个，此时a＝﹣1．故选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）是减函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），故选：C．7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r【分析】利用公式P2＝U2I和，表示出滑动变阻器消耗的电功率，然后利用基本不等式求解即可．解：根据公式P2＝U2I和可得，滑动变阻器消耗的电功率，因为，当且仅当U2＝E﹣U2，即时，此时时，R2消耗的电功率P 最大．故选：B．8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数【分析】根据f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，分别对各个选项进行判断即可．解：由题意函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则f（x+a）﹣b＝﹣f（﹣x+a）+b，则f（x+a）+f（﹣x+a）＝2b，对于A：f（x）＝2x+1，a＝，b＝0，则f（x+）+f（﹣x+）＝2（x+）+1+2（﹣x+）+1＝4≠2b＝0，故A错误；对于B：f（x）＝x3﹣3x2＝x2（x﹣3），a＝1，b＝2，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝（x+1）2（x+1﹣3）+（﹣x+1）2（﹣x+1﹣3）＝﹣4≠2b＝4，故B错误；对于C：若f（x）关于x＝a对称，则f（x）＝f（2a﹣x），令x＝t+a，则f（t+a）＝f（a﹣t），用x替换t，则f（x+a）＝f（a﹣x），故f（x+a）是偶函数，若f（x+a）是偶函数，则f（x+a）＝f（﹣x+a），令h＝x+a，则f（h）＝f（2a﹣h），故f（h）关于h＝a对称，用x替换h，则f（x）关于x＝a对称，故C正确；对于D：f（x﹣1）＝x2﹣4x+8，f（﹣x﹣1）＝x2+4x+8，f（x﹣1）≠f（﹣x﹣1），故f （x﹣1）不是偶函数，故D错误，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，A：由，得．即a2+b2，当且仅当a＝b时取等号，A正确；B：由ab≤（）2＝，得，≥4，当且仅当a＝b时取等号，B错误，C 正确；D：＝＝2+＝4，当且仅当a＝b时取等号，D正确；故选：ACD．10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0【分析】利用根与系数关系与判别式计算判断即可．解：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0中△＝（m﹣3）2﹣4m＝m2﹣10m+9、两根和为3﹣m、两根积为m．若方程有一个正根一个负根，则，解得m＜0，∴A对；若方程有两个正根，则，解得0＜m≤1，∴B对；若方程无实根，则△＝m2﹣10m+9＜0，解得m＜1或m＞9，∴C错；当m＝3时，关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0为x2+3＝0无解，∴D错．故选：AB．11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值【分析】根据函数奇偶性判断A；化简f（x）解析式，根据f（x）的单调性判断B；根据f（x）≠0判断C；根据奇偶性和单调性判断D．解：对于A，函数f（x）＝的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，且f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故A正确；对于B，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）时，f（x）＝＝﹣，当x∈[0，2）∪（2，+∞）时，f（x）＝＝，所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，+∞），故B错误；对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误；对于D，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝﹣为增函数，f（x）＜f（0）＝﹣，当x∈[0，2）时，f（x）＝为减函数，f（x）≤f（0）＝﹣，所以当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝﹣，故D正确．故选：AD．12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．【分析】由条件可知C（A）＝2，根据A*B＝1，可得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，然后分析方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0根的情况，即可得出a的可能取值．解：根据题意，已知A＝{1，2}，则C（A）＝2，又A*B＝1，则C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，若（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0，若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0或﹣，所以①需要x2+ax+2＝0有两根且根不为0或﹣，当△＝0时，a＝±2，当a＝2，此时B＝{0，﹣2，﹣}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣2，此时B＝{0，2，}，C（B）＝3，符合题意，②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3，当a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题题意，综上所述，a可取的值为0，±3，±，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝1．【分析】由{2，m}＝{2m﹣1，2}得m＝2m﹣1．解：∵{2，m}＝{2m﹣1，2}，∴m＝2m﹣1，解得，m＝1，故答案为：1．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为2．【分析】由题意得f（3）＝f（5）＝f（7），故f（7）为所求．解：∵f（x）＝，则f（3）＝f（5）＝f（7）＝7﹣5＝2，故答案为2．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3.（注：写出一个满足条件的即可）【分析】根据题意，将f（x）≤g（x）变形可得b≤x++1，由基本不等式的性质求出b的取值范围，即可得“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件，由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），即﹣x2+bx≤x+，变形可得b≤x++1，又由x∈（0，+∞），则x++1＝+++1≥3+1＝+1，当且仅当x＝时等号成立，若“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），必有b≤+1，即“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件为b≤+1，故满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3，故答案为：b≤3，（答案不唯一）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为[2，4]．【分析】根据题意，分析y＝|x2﹣x﹣2|的单调区间，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，y＝|x2﹣x﹣2|＝，在区间（﹣1，）、[2，+∞）上为增函数，若函数是定义在R上的增函数，则有，解可得2≤a≤4，即a的取值范围为[2，4]；故答案为：[2，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）由x+x＝3结合完全平方公式可求出x+x﹣1的值，进而求出x﹣x﹣1的值，代入所求式子即可求出结果．（2）解方程组，用x表达出y，z的值，代入所求式子化简，即可求出结果．解：（1）∵x+x＝3，∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，∴x2+x﹣2＝47，又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，∴x﹣x﹣1＝，∴＝＝＝＝．（2）由，得，∴＝＝．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交并补运算即可求解；（2）根据所选条件，进行转化，然后结合集合包含关系可求．解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；若选②B∩∁R A＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁R A＝{x|x＜1或x＞7}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）【分析】（1）由矩形的长为xm，求出矩形的宽，中间区域的长，宽，得到定义域，表示出总造价y即可；（2）利用基本不等式求解最值，比较即可得到答案．解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，所以定义域为x∈（4，50），故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；（2）因为x+＝20，当且仅当，即x＝时取等号，所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．【分析】（1）利用奇函数的定义以及奇函数的性质，得到f（0）＝0，结合f（1）＝，求出a，b的值，验证即可；（2）将问题转化为证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，又f（1）＝，所以，解得b＝0，a＝9，所以，经检验，f（x）为奇函数，所以；（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，用定义证明如下：设﹣3≤x1＜x2≤3，则＝＝，因为﹣3≤x1＜x2≤3，所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．【分析】（1）求得二次函数的对称轴，考虑单调性，可得最值；（2）求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，可得最大值，解方程可得a．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝，所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5；（2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]，对称轴为x＝，当≤，即a≤时，f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣；当x＝＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．综上可得a＝﹣．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0以及函数f（x）的最小值为0，列出关于a，b的方程组，求解即可；（2）求出g（x）的解析式，然后确定函数的对称轴，由二次函数的单调性，列出不等式，求解即可；（3）利用函数为偶函数，求出f（x）和F（x）的解析式，由题意得到|m|＞|﹣n|，表示出F（m）+F（n），即可得到答案．解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①，又f（x）的最小值为0，则a≠0，且b2﹣4a＝0②，由①②解得，a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+2x+1，则；（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝，当或，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则，因为mn＜0，由于m，n的对称性，不妨设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，则m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0，所以F（m）+F（n）能大于零．。
2021-2022学年河南省郑州一中高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年河南省郑州一中高一（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|-3＜x＜2}，B={x|x＜-4或x＞1}，则A∩B=（）A.{x|-4＜x＜-3}B.{x|-3＜x＜1}C.{x|1＜x＜2}D.{x|x＜-3或x＞1}2.（单选题，5分）不等式（x-1）（x-2）＜0的解集是（）A.（1，2）B.（-∞，1）∪（2，+∞）C.（-2，-1）D.（-∞，-2）∪（-1，+∞）3.（单选题，5分）函数y=√−x2+2x+3x+1的定义域为（）A.（-1，3]B.（-1，0）∪（0，3]C.[-1，3]D.[-1，0）∪（0，3]4.（单选题，5分）“x＞0”是“x≥2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）下列函数中，表示同一个函数的是（）A.y=x2与y=(√x)4B.y=x-3与y=√(x−3)2C. y=|x|x 与y={1(x≥0)−1(x＜0)D.y=x2与S=a26.（单选题，5分）已知a、b、c都是实数，则下列命题中真命题是（）A.若a＞b，则ac ＞bcB.若ac ＞bc，则a＞bC.若a＞b，则ac2＞bc2D.若ac2＞bc2，则a＞b7.（单选题，5分）函数y=√−x2−6x−5的值域为（）A.[0，+∞）B.[0，2]C.[2，+∞）D.（2，+∞）8.（单选题，5分）直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（）A.16B.18C.20D.不能确定9.（单选题，5分）已知集合A={x|x2-6x+8＜0}，B={x|（x-a）（x-a-1）＜0}，若x∈A是x∈B的必要条件，则a的取值范围是（）A.（2，3）B.[2，3]C.（-∞，2）∪（3，+∞）D.（-∞，2]∪[3，+∞）10.（单选题，5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g （x）=x3+x2+x，则f（1）+g（1）=（）A.1B.3C.-3D.-111.（单选题，5分）一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为准确的说法是（）A.顾客所得黄金大于10g，商店亏了B.顾客所得黄金大于10g，顾客亏了C.顾客所得黄金小于10g，商店亏了D.顾客所得黄金小于10g，顾客亏了12.（单选题，5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2＞0成立，且f（2）=4，则不等式f（x）＞2x的解集为（）A.（4，+∞）B.（0，4）C.（0，2）D.（2，+∞）13.（填空题，5分）已知函数f(x)={2x2−1，x＞0−x+1，x≤0，则f（-1）=___ ；若f（x）=3，则实数x的取值为 ___ ．14.（填空题，5分）命题“∃x∈R，x＜1或x≥2”的否定是 ___ ．15.（填空题，5分）关于x的不等式（a-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R，则实数a的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）若f(x)=x23−x−13，则满足f（x）＞0的x的取值范围___17.（问答题，10分）（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x-1，求f（x）的解析式；（2）已知函数f（x+2）=2x2-7，求函数f（x）的解析式．18.（问答题，12分）已知区间M=[a，a+1]．（1）“∀x∈M，x+1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；（2）“∃x∈M，x+1＞0”成立，求实数a的取值范围．19.（问答题，12分）已知二次函数f（x）是R上的偶函数，且f（0）=4，f（1）=5．（1）设g(x)=f(x)x，根据函数单调性的定义证明g（x）在区间[2，+∞）上单调递增；（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＞（1-a）x2+2（a+1）x．20.（问答题，12分）（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b=1，求ab的最大值；（2）若正数x，y满足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值．21.（问答题，12分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+（a-1）=0}，C={x|x2-mx+2=0}．（1）命题p：“∀x∈B，都有x∈A”，若命题p为真命题，求a的值；（2）若“x∈A”是“x∈C”的必要条件，求m的取值范围．22.（问答题，12分）设m为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=4x+ m2+3．x（1）当x＞0时，求函数f（x）的解析式；（2）若x≥0时，都有f（x）-2m+1≥0，求m的取值范围．2021-2022学年河南省郑州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|-3＜x＜2}，B={x|x＜-4或x＞1}，则A∩B=（）A.{x|-4＜x＜-3}B.{x|-3＜x＜1}C.{x|1＜x＜2}D.{x|x＜-3或x＞1}【正确答案】：C【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|-3＜x＜2}，B={x|x＜-4或x＞1}；∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．【点评】：考查描述法的定义，以及交集的运算．2.（单选题，5分）不等式（x-1）（x-2）＜0的解集是（）A.（1，2）B.（-∞，1）∪（2，+∞）C.（-2，-1）D.（-∞，-2）∪（-1，+∞）【正确答案】：A【解析】：先求出相应方程的根，由二次函数的图象可得不等式的解集．【解答】：解：方程（x-1）（x-2）=0的根为1、2，又函数y=（x-1）（x-2）的图象开口向上，∴（x-1）（x-2）＜0的解集是（1，2），故选：A．【点评】：该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．3.（单选题，5分）函数 y =√−x 2+2x+3x+1 的定义域为（ ）A.（-1，3]B.（-1，0）∪（0，3]C.[-1，3]D.[-1，0）∪（0，3]【正确答案】：A【解析】：根据使函数 y =√−x 2+2x+3x+1 的表达式有意义可解决此题．【解答】：解：要使函数 y =√−x 2+2x+3x+1 的表达式有意义， 则 {−x 2+2x +3≥0x +1≠0，解得x∈（-1，3]． 故选：A ．【点评】：本题考查函数定义域求法，考查数学运算能力，属于基础题．4.（单选题，5分）“x ＞0”是“x≥2”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：“x≥2”⇒x ＞0，反之不成立．【解答】：解：“x≥2”⇒x ＞0，反之不成立．∴“x ＞0”是“x≥2”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】：本题考查了不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.（单选题，5分）下列函数中，表示同一个函数的是（ ）A.y=x 2与 y =(√x)4B.y=x-3与 y =√(x −3)2C. y =|x|x 与 y ={1(x ≥0)−1(x ＜0)D.y=x 2与S=a 2【正确答案】：D【解析】：根据两个函数的定义域相等，对应法则也一致，即可判断它们是同一函数．【解答】：解：对于A ，y=x 2的定义域为R ，y= (√x)4=x 2的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．对于B ，y=x-3的定义域为R ，y= √(x −3)2 =|x-3|的定义域为R ，两函数的对应关系不同，不是同一函数．对于C ，y= |x|x = {1，x ＞0−1，x ＜0 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），y= {1，x ≥0−1，x ＜0的定义域为R ，两函数的定义域不同，不是同一函数．对于D ，y=x 2的定义域为R ，s=a 2的定义域为R ，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D ．【点评】：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．6.（单选题，5分）已知a 、b 、c 都是实数，则下列命题中真命题是（ ）A.若a ＞b ，则 a c ＞b cB.若 a c ＞b c ，则a ＞bC.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D.若ac 2＞bc 2，则a ＞b【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】：解：对于A ，若a ＞b ，当c ＜0时， a c ＜b c ，故A 错误，对于B ，若 a c ＞b c ，当c ＜0时，a ＜b ，故B 错误，对于C ，当c=0时，ac 2=bc 2，故C 错误，对于D ，∵ac 2＞bc 2，∴c 2＞0，∴a＞b，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值是解本题的关键，属于基础题．7.（单选题，5分）函数y=√−x2−6x−5的值域为（）A.[0，+∞）B.[0，2]C.[2，+∞）D.（2，+∞）【正确答案】：B【解析】：将函数进行配方，求解即可．【解答】：解：函数y=√−x2−6x−5 = √−(x+3)2+4∈[0，2]，所以函数的值域为[0，2]．故选：B．【点评】：本题考查了函数值域的求解，主要考查了配方法的应用，要掌握常见的函数值域的求解方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．8.（单选题，5分）直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（）A.16B.18C.20D.不能确定【正确答案】：B【解析】：设直角三角形的三边为：a．b．c，因为a+b=12，运用均值不等式即可求解ab的最大值，从而得出直角三角形面积的最大值．【解答】：解：直角三角形的两直角边为a、b，面积为S，则a+b=12，∴12 ≥2√ab∴ab≤36∴直角三角形面积S= 1ab≤18．2故选：B ．【点评】：利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．9.（单选题，5分）已知集合A={x|x 2-6x+8＜0}，B={x|（x-a ）（x-a-1）＜0}，若x∈A 是x∈B 的必要条件，则a 的取值范围是（ ）A.（2，3）B.[2，3]C.（-∞，2）∪（3，+∞）D.（-∞，2]∪[3，+∞）【正确答案】：B【解析】：由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B 是A 的子集，由此列关于a 的不等式组求解．【解答】：解：A={x|x 2-6x+8＜0}={x|2＜x ＜4}，B={x|（x-a ）（x-a-1）＜0}={x|a ＜x ＜a+1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B 是A 的子集，即 {a ≥2a +1≤4，得2≤a≤3， ∴实数a 的取值范围是[2，3]，故选：B ．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题．10.（单选题，5分）已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）=x 3+x 2+x ，则f （1）+g （1）=（ ）A.1B.3C.-3D.-1【正确答案】：D【解析】：根据题意，求出f（-x）-g（-x）的表达式，结合函数的奇偶性可得f（x）+g（x）=-x3+x2+x，将x=1代入计算可得答案．【解答】：解：根据题意，由f（x）-g（x）=x3+x2+x，则有f（-x）-g（-x）=-x3+x2-x，又由f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，即f（x）=f（-x），g（-x）=-g （x），则有f（x）+g（x）=-x3+x2-x，令x=1，得f（1）+g（1）=-1+1-1=-1．故选：D．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．11.（单选题，5分）一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为准确的说法是（）A.顾客所得黄金大于10g，商店亏了B.顾客所得黄金大于10g，顾客亏了C.顾客所得黄金小于10g，商店亏了D.顾客所得黄金小于10g，顾客亏了【正确答案】：A【解析】：设天平的左臂长为a，右臂长为b（不妨设a＞b），先称的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2，利用杠杆的平衡原理，由bm1=a×5，am2=b×5b，求得m1，m2，再利用作差法比较，即可得出答案．【解答】：解：因为天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设a＞b），先称得的黄金质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2，由杠杆的平衡原理：bm1=a×5，am2=b×5，解得m1= 5ab ，m2= 5ba，所以m1+m2= 5ab + 5ba，则m1+m2-10= 5ab + 5ba-10= 5(b−a)2ab，因为a＞b＞0，所以 5(b−a )2ab＞0， 所以m 1+m 2＞10，故选：A ．【点评】：本题考查不等式的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．12.（单选题，5分）定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：对∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有 x 2f (x 1)−x 1f (x 2)x 1−x 2 ＞0成立，且f （2）=4，则不等式f （x ）＞2x 的解集为（ ）A.（4，+∞）B.（0，4）C.（0，2）D.（2，+∞）【正确答案】：D【解析】：根据题意，设g （x ）= f (x )x ，利用作差法分析可得g （x ）在区间（0，+∞）上为增函数，由f （2）的值求出g （2）的值，则原不等式变形可得g （x ）＞g （2），结合g （x ）的单调性分析可得答案．【解答】：解：根据题意，设g （x ）= f (x )x， 对于任意x 1＞x 2＞0，g （x 1）-g （x 2）= f (x 1)x 1 - f (x 2)x 2 = x 2f (x 1)−x 1f (x 2)x 1x 2， 对∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有x 2f (x 1)−x 1f (x 2)x 1−x 2 ＞0成立，此时x 1＞x 2＞0，即x 1-x 2＞0，则有x 2f （x 1）-x 1f （x 2）＞0，又由x 1x 2＞0，则g （x 1）-g （x 2）= x 2f (x 1)−x 1f (x 2)x 1x 2＞0， 即函数g （x ）在区间（0，+∞）上为增函数，f （2）=4，则g （2）=f (2)2 =2， f （x ）＞2x 即f (x )x ＞2⇒g （x ）＞g （2），必有x ＞2，即不等式f （x ）＞2x 的解集为（2，+∞），故选：D ．【点评】：本题考查抽象函数的单调性判断以及应用，注意构造新函数g （x ）=f (x )x ，并分析g （x ）的单调性，属于基础题．13.（填空题，5分）已知函数f(x)={2x2−1，x＞0−x+1，x≤0，则f（-1）=___ ；若f（x）=3，则实数x的取值为 ___ ．【正确答案】：[1]2; [2]-2或√2【解析】：根据分段函数的解析式，把变量直接代入求出空一的答案，结合f（x）=3分x＞0和x≤0两种情况解方程，求出空二的答案．【解答】：解：∵函数f(x)={2x2−1，x＞0−x+1，x≤0，∴f（-1）=-（-1）+1=2；当x＞0时，由2x2-1=3，得x= √2（负值舍），当x≤0时，由-x+1=3，得x=-2，∴若f（x）=3，则实数x的取值为-2或√2．故答案为：2，-2或√2．【点评】：本题主要考查分段函数的应用，属于基础题．14.（填空题，5分）命题“∃x∈R，x＜1或x≥2”的否定是 ___ ．【正确答案】：[1]∀x∈R，1≤x＜2【解析】：利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】：解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题“∃x∈R，x＜1或x≥2”的否定是：∀x∈R，1≤x＜2．故答案为：∀x∈R，1≤x＜2．【点评】：本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．15.（填空题，5分）关于x的不等式（a-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-3，1]【解析】：讨论a-1=0和a-1≠0时，分别求出不等式（a-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R时a的取值范围即可．【解答】：解：当a-1=0、即a=1时，不等式（a-1）x2-（a-1）x-1＜0为-1＜0，满足题意；当a-1≠0、即a≠1时，不等式（a-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R，应满足{a−1＜0△=(a−1)2+4(a−1)＜0，解得-3＜a＜1；综上知，实数a的取值范围是（-3，1]．故答案为：（-3，1]．【点评】：本题考查了利用分类讨论法求不等式恒成立的问题，是基础题．16.（填空题，5分）若f(x)=x23−x−13，则满足f（x）＞0的x的取值范围___【正确答案】：[1]（-∞，0）∪（1，+∞）【解析】：把不等式化为x2＞x-1，再讨论x＞0和x＜0时，求出不等式对应的解集即可．【解答】：解：令f(x)=x 23−x−13＞0，得x 23＞x−13，且x≠0；∴x2＞x-1；当x＞0时，不等式化为x3＞1，解得x＞1；当x＜0时，不等式化为x3＜1，解得x＜0；∴满足f（x）＞0的x的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．17.（问答题，10分）（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x-1，求f（x）的解析式；（2）已知函数f（x+2）=2x2-7，求函数f（x）的解析式．【正确答案】：【解析】：（1）根据给定条件设出函数f（x）的解析式，利用待定系数法求解即得；（2）令x+2=t，借助换元法即可得解．【解答】：解：（1）因为f （x ）是一次函数，所以设f （x ）=kx+b （k≠0），因为f[f （x ）]=4x-1，所以f[f （x ）]=kf （x ）+b=k （kx+b ）+b=k 2x+kb+b=4x-1，因此 {k 2=4kb +b =−1 ，解得 {k =2b =−13或 {k =−2b =1 ， 所以函数f （x ）的解析式为 f (x )=2x −13 或f （x ）=-2x+1；（2）令x+2=t ，则x=t-2，所以f （t ）=2（t-2）2-7=2t 2-8t+1，所以f （x ）=2x 2-8x+1，所以函数f （x ）的解析式为f （x ）=2x 2-8x+1．【点评】：本题考查函数解析式的求法，熟练掌握待定系数法和换元法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知区间M=[a ，a+1]．（1）“∀x∈M ，x+1＞0”是真命题，求实数a 的取值范围；（2）“∃x∈M ，x+1＞0”成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，求出x+1的取值范围，由全称命题真假的判断方法分析a+1＞0，解可得答案；（2）根据题意，求出x+1的取值范围，由特称命题真假的判断方法分析a+2＞0，解可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，x∈M ，即a≤x≤a+1，必有a+1≤x+1≤a+2，若∀x∈M ，x+1＞0是真命题，必有a+1＞0，解可得a ＞-1，即a 的取值范围为（-1，+∞）；（2）a+1≤x+1≤a+2，若∃x∈M ，x+1＞0成立，必有a+2＞0，解可得a ＞-2，即a 的取值范围为（-2，+∞）．【点评】：本题考查命题真假的判断，注意全称命题和特称命题的定义，属于基础题．19.（问答题，12分）已知二次函数f （x ）是R 上的偶函数，且f （0）=4，f （1）=5．（1）设 g (x )=f (x )x ，根据函数单调性的定义证明g （x ）在区间[2，+∞）上单调递增；（2）当a ＞0时，解关于x 的不等式f （x ）＞（1-a ）x 2+2（a+1）x ．【正确答案】：【解析】：（1）求出f （x ）的解析式，再利用函数的单调性的定义证明即可；（2）把式子化简变成一元二次不等式，对a 进行讨论求出不等式的解集即可．【解答】：证明：（1）由题设f （x ）=ax²+b ，因为f （0）=4，f （1）=5，所以 {0+b =4a +b =5，解得a=1，b=4，所以f （x ）=x²+4， 则g （x ）=x+ 4x，任取x 1，x 2∈[2，+∞），x 1＜x 2，则g （x 1）-g （x 2）=x 1-x 2+ 4x 1 - 4x 2 =x 1-x 2+ 4(x 2−x 1)x 1x 2 = (x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2 ＜0， 所以g （x ）在区间[2，+∞）上单调递增；解：（2）不等式f （x ）＞（1-a ）x 2+2（a+1）x ，化简得不等式ax 2-2（a+1）x+4＞0， 因为a ＞0，故上式化简得（x- 2a ）（x-2）＞0，当 2a =2，即a=1时，得x≠2；当a ＞1时， 2a ＜2，得x∈（-∞， 2a ）∪（2，+∞）；当0＜a ＜1时， 2a ＞2，得x∈（ 2a ，+∞）∪（-∞，2）；综上，a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；当a ＞1时，不等式的解集为（-∞， 2a ）∪（2，+∞）；当0＜a ＜1时，不等式的解集为（ 2a ，+∞）∪（-∞，2）．【点评】：本题考查函数的单调性的证明，求不等式的解集等，考查运算能力和逻辑推理能力，中档题．20.（问答题，12分）（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a+b=1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，求3x+4y 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由题设条件利用基本不等式求得结果即可；（2）先将x+3y=5xy变形为15y + 35x=1，进而有3x+4y= 135+ 3x5y+ 12y5x，再利用基本不等式求得其最小值即可．【解答】：解：（1）∵1=4a+b≥2 √4ab =4 √ab，∴ √ab≤ 14，∴ab≤ 116，当且仅当a= 18，b= 12时取等号，故ab的最大值为116；（2）∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0，∴ 15y + 35x=1．∴3x+4y=（3x+4y）（15y + 35x）= 135+ 3x5y+ 12y5x≥ 135+2 √3x5y•12y5x=5，当且仅当3x5y = 12y5x，即x=2y=1时取等号，故3x+4y的最小值为5．【点评】：本题主要考查式子的变形及基本不等式在处理最值问题中的应用，属于中档题．21.（问答题，12分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+（a-1）=0}，C={x|x2-mx+2=0}．（1）命题p：“∀x∈B，都有x∈A”，若命题p为真命题，求a的值；（2）若“x∈A”是“x∈C”的必要条件，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）分别化简集合A，B，根据命题p为真命题，可得B⊆A．命题p：“∀x∈B，都有x∈A”，若命题p为真命题，则B⊆A．通过对B分类讨论即可得出a．（2）若“x∈A是“x∈C”的必要条件，可得C⊆A．通过对C分类讨论，进而得出m的取值范围．【解答】：解：（1）由x2-3x+2=0，解得x=1，2，∴集合A={1，2}，B={x|[x-（a-1）]（x-1）=0}，命题p：“∀x∈B，都有x∈A”，若命题p为真命题，则B⊆A．① 若B={1}，则a-1=1，解得a=2．② 若B={1，2}，则a-1=2，解得a=3．∴a的值为2或3．（2）若“x∈A是“x∈C”的必要条件，∴C⊆A．① C=A时，此时，{Δ=m2−8＞0，解得m=3．m=1+2，此时方程组无解，m的值不存在．② C={1}时，此时，{Δ=m2−8=0m=3，此时方程组无解，m的值不存在．③ C={2}时，此时，{Δ=m2−8=0m=4④ C=∅，此时Δ=m2-8＜0，解得-2 √2＜m＜2 √2．综上可知：m的取值范围是{m|m=3，或-2 √2＜m ＜2√2 }．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系、集合之间的关系、分类讨论、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.（问答题，12分）设m为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+3．=4x+ m2x（1）当x＞0时，求函数f（x）的解析式；（2）若x≥0时，都有f（x）-2m+1≥0，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用函数为奇函数和函数的关系式的应用求出函数在x＞0时，函数f （x）的解析式；（2）直接利用（1）的结论和函数的恒成立问题的应用和基本不等式的应用求出参数m的取值范围．【解答】：解：（1）y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=4x+ m 2x+3．当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=4（-x）+ m 2−x +3，整理得f（x）= 4x+m2x−3，即x＞0时，函数f（x）= 4x+m 2x−3．（2）由于函数为奇函数，且x≠0，所以当x＞0时，f（x）= 4x+m 2x−3．所以4x+m 2x−3−2m+1≥0恒成立，即(4x+m 2x )min≥2m+2，由于4x+m 2x≥2√4m2=|4m|，即|4m|≥2m+2，① 当m≥0时，4m≥2m+2，解得m≥1，故m≥1，② 当m＜0时，-4m≥2m+2，解得m≤−13，故m的取值范围为：m≥1或m≤−13．【点评】：本题考查的知识要点：函数的关系式的确定，函数的奇偶性的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．。
2021年高一数学上学期期中试题(含解析)
2021年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1．设全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由补集定义得，所以考点：集合的运算.2．下列四个图形中，不是．．以为自变量的函数的图象是（ ）【答案】C【解析】试题分析：根据函数定义，对自变量x 的任意一个值，有且只有唯一一个实数（函数值）与它对应。
显然A,B,D 满足，C 不满足.考点：函数的概念．3．下列四组中的函数与，是同一函数的是（ ）A ．2()ln(1)ln(1),()ln(1)f x x x g x x =-++=-B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：定义域相同，对应法则相同的函数是同一函数.A 满足，定义域均为，B 中的定义域为，的定义域为，C 中的定义域为，的定义域为，D 中的定义域为，的定义域为.考点：同一函数的概念.4．函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====的图像如图所示，则的大小顺序（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：作直线分别与log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====的交点为，，，.结合图像知.考点：对数函数的图象与性质.5．下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：A 是奇函数，C ，D 是偶函数且在上单调递减.考点：函数的奇偶性与单调性.6．已知函数为幂函数，则（ ）A ． 或 2B ． 或 1C ．D ．1【答案】C【解析】试题分析：因为幂函数，所以，所以，又，所以.考点：幂函数的定义.7．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因，所以，又，所以.考点：不等式性质及对数、指数函数的单调性.8．函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，，所以考点：函数的值域.9．函数的反函数的图像为（ ）【答案】D【解析】试题分析：因为与互为反函数，所以选D.考点：反函数的定义及图象.10．已知函数在上是增函数，，若 ，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ． D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，又在单调递增，所以，解得.考点：函数的单调性及不等式.11．已知函数，则的值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：因为12log )2()1()4()7()10(2===-=-=-=-f f f f f .考点：分段函数.12．已知是函数的一个零点．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：据增函数+增函数=增函数，所以为增函数，又，为的一个零点，所以.考点：函数的零点，单调性.二、填空题13．{}{}25,,A x x B x x a A B =-≤≤=>⊆，则取值范围是 ．【答案】【解析】试题分析：画出数轴图，可以得到.考点：集合的运算.14．函数的定义域是．【答案】【解析】试题分析由得.考点：函数的定义域.15．满足的的取值集合是．【答案】【解析】试题分析：由得考点：指数函数的性质及不等式解法.16．设函数，则．【答案】1【解析】试题分析：令得①，令得②，由①②得.考点：抽象函数，特值法.三、解答题17．（10分）设集合至多有个一元素，求实数的取值范围.【答案】或.【解析】试题分析：集合M至多一个元素，则M只有一个元素或为空集，当M为空集时，方程没有实数根，注意字母a的讨论；当M只有一个元素时，方程的根有且只有一个，此题容易漏掉的情况.试题解析：若集合至多有个一元素则只有一个元素或为空集那么或所以或．考点：集合、元素的概念.18．（12分）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】（1）；（2）f（x）为奇函数.【解析】试题分析：（1）函数的定义域是使得自变量有意义的取值范围，由对数函数真数大于0即可求得定义域为，此时注意分式不等式的解法；（2）只需按照奇函数与偶函数定义证明即可.即根据定义第一步，任取值；第二步，作差；第三步，判断符号；第四步，下结论；注意步骤. 试题解析：解：（1）由，得，故函数f（x）的定义域为；（2）函数f（x）是偶函数，理由如下：由（1）知，函数f （x ）的定义域关于原点对称， 且故函数f （x ）为奇函数．考点： 函数的定义域与单调性.19．（12分） 化简或求值（1） ；（2）2lg5+【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）（2）用指数、对数式运算性质即可.指数幂运算的一般思路（1）有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．（3）若底数是负数，则先确定符号；若底数是小数，则先化成分数；若底数为带分数，则先化成假分数．对数的运算一般有两种解题方法：一是把对数先转化成底数相同的形式，再把对数运算转化成对数真数的运算；二是把对数式化成最简单的对数的和、差、积、商、幂，合并同类项以后再运算． 试题解析：（1）1111022333224181321221(2)2(2)()=1[()][()]=1+54274234332---+⨯-+⨯-⨯-= ；（2）2lg5+2l 12(g 2)lg 2(1lg 2)22=+⋅-+考点：对数、指数式的运算.20．（12分）已知．（1）画出的图像；（2）若，求实数的值。
2021年高一上学期期中数学考试试卷 含答案
2021年高一上学期期中数学考试试卷含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间为120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上.1．设全集是实数集，，则（）A．B．C．D．2．已知是集合A到集合B的映射，若，则（）A．{0} B．{1} C．D．3．将函数向左平移一个单位，再向上平移3个单位后可以得到（）A．B．C．D．4．若,则的值为（）A．2 B．8 C．D．5．已知，则的解析式为（）A． B．C．D．6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．7．函数的值域是（）A．B．C．D．8．函数的零点个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．10．已知函数,若，则（）A．B．C．D．11．若函数在区间上为减函数，则的取值范围为（）A．（0，1）B．C．D．12．若奇函数在上是增函数，那么的大致图像是（）第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上.13．已知集合，若，则实数 .14．设集合}0|{},054|{2<-=<--=a x x Q x x x P ，若，则实数的范围是.15．函数的定义域为 .16．已知实数满足等式，下列五个关系式：（1），（2），（3），（4），（5）其中不可能成立的关系式有 .三、解答题：本题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分，每小题5分）（1）（1）；（2）.18．（本题满分10分）已知集合}03|{},023|{22=+++==+-=a ax x x B x x x A ，若，求实数的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数 （1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）解不等式.20．（本题满分12分）已知函数在区间[0，1]上有最小值－2，求的值.21．（本题满分12分）已知函数.（1）求函数的值域；（2）当时，的最小值为，求的值并求函数在此范围内的最大值.22．（本题满分14分）已知函数恒过定点（3，2），（1）求实数；（2）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移1个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式；（3）对于定义在[1，9]的函数，若在其定义域内，不等式恒成立，求m 的取值范围.期中考试参考答案一、选择题1—6ADACBD 7—12 CADBCC二、填空题13．1 14． 15． 16．（3）（4）三、解答题17．（1）0 （2）318．解：因为A=，且所以（1）当B=时，610124)3(422<<-∴<--=+-=∆a a a a a（2）当B=时，此时符合。
2021-2022学年上海中学高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a 2+1）x ＜3的解为 ___ ．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．3.（填空题，3分）设正实数x ，y 满足xy=20，则x+4y 的最小值为 ___ ．4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ． 5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ．11.（填空题，3分）已知a 、b 、c 均为正实数，则 ab+bca 2+b 2+c 2 的最大值为___ ．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1． 13.（单选题，4分）设a ，b ，c ，d 为实数，下列说法正确的是（ ） A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则 ac ＞ bd C.若 √a ＞b ，则a ＞b 2 D.若a ＞b ＞0，则a 2＞ab ＞b 214.（单选题，4分）已知实数a ，b ，则“ a+ba−b ＞0”是“|a|＞|b|”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log1549=（）45A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.2717.（问答题，6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y 的值．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（k为常（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x=3- km+1数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a2+1）x＜3的解为 ___ ．）【正确答案】：[1]（-∞，3a2+1【解析】：根据a²+1＞0，结合不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a²+1＞0，，所以该不等式解为x＜3a2+1）．故答案为：（-∞，3a2+1【点评】：本题考查不等式的求解，属于基础题．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x=10n-1，（n∈N*）}【解析】：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法写入集合即可．【解答】：解：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法表示为{x|x=10n-1，（n∈N*）}，故答案为：{x|x=10n-1，（n∈N*）}．【点评】：本题考查了进位制以及集合的表示方法，属于基础题．3.（填空题，3分）设正实数x，y满足xy=20，则x+4y的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]8 √5【解析】：由基本不等式，即可得解．【解答】：解：因为x＞0，y＞0，所以x+4y≥2 √x•4y =2 √4×20 =8 √5，当且仅当x=4y，即x=4 √5，y= √5时，等号成立，所以x+4y的最小值为8 √5．故答案为：8 √5 ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ．【正确答案】：[1] √ab【解析】：由 √1a 3= a −13 ， (ab )56 = a 56 • b 56 ， √b 3 ）-1= b −13 代入化简即可．【解答】：解： √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1= a −13 • a 56 • b 56b −13= √a • √b = √ab ， 故答案为： √ab ．【点评】：本题考查了有理数指数幂的化简，属于基础题．5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：先把已知的对数式化为指数式，求出a ，b 的值，再利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2a=log 5b= √2 ， ∴a=2 √2 ，b= 5√2 ，∴（ab ） √2 =（2 √2 •5√2 ） √2 =102， ∴lg （ (ab )√2 ）=lg102=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：推导出A⊆B ，列出方程组，能求出m 的取值范围．【解答】：解：集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}，A∩B=A ， ∴A⊆B ，∴ {2−m ≤2m −12−m ≤−22m −1≥5 ， 解得m≥4．∴m 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：采用列举法，列举出A 中的元素，再计算真子集个数．【解答】：解：∵A={（x ，y ）|x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}． ∴A={（1，7），（5，5），（7，1）}共3个元素． ∴A 的真子集有23-1=7个． 故答案为：7．【点评】：用列举法写出A 的所有元素是解答本题的关键．属于易做题． 8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2，3}【解析】：先解一元二次不等式求出集合B ，再根据集合的基本运算即可求解．【解答】：解：∵B={x| x+2x−3＞0，x∈R}={x|（x+2）（x-3）＞0}={x|x ＞3或x ＜-2}，∴∁R B={x|-2≤x≤3}， ∵A=N ，∴A∩（∁R B ）={0，1，2，3}， 故答案为：{0，1，2，3}．【点评】：本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（ 17， 12）【解析】：设y=ax 2+bx-7，ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x 轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a 与b 的关系，化简不等式-7x 2+bx+a ＞0即可求得答案．【解答】：解：因为不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞）， 所以 { a ＜0−ba =2+7−7a=2×7 ，解得 {a =−12b =92 ，则不等式-7x 2+bx+a ＞0即为14x²-9x+1＜0， 解得 17＜x ＜12 ，故-7x 2+bx+a ＞0的解集为（ 17 ， 12 ）． 故答案为：（ 17 ， 12 ）．【点评】：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ． 【正确答案】：[1]- 14【解析】：利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0， ∴ log 2(12log 2x) + 12log 2(14log 2x) + 14 log 2（log 2x ）=0，∴ log 2[12log 2x•(14log 2x)12•(log 2x )14] =0，∴ 12log 2x • 12(log 2x )12 • (log 2x )14 =1，∴ log 2x •(log 2x )12•(log 2x )14 =4，∵log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）= log 2[14log 2x•(12log 2x)14•(log 2x )12] =log2(12)14 = log22−14 =- 14，故答案为：- 14．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．11.（填空题，3分）已知a、b、c均为正实数，则ab+bca2+b2+c2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：根据基本不等式的性质，利用a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，即可求出ab+bca2+b2+c2的最大值．【解答】：解：a、b、c均为正实数，则a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，∴ ab+bc a2+b2+c2 = ab+bc(a2+12b2)+(12b2+c2)≤√2(ab+bc)= √22，当且仅当a=c= √22b 时，等号成立，∴ ab+bc a2+b2+c2的最大值为√22．故答案为：√22【点评】：本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1．【正确答案】：[1]1859【解析】：由2m的最高位为1，得到2m x（210）n的最高位也为1，构成以指数幂为10的周期性，得到前三个数最高位数字为l的数为20，24，27，结合周期性，即可求解．【解答】：解：若2m的最高位为1，由210=1024，其中210的最高位为1，可得2m×（210）n 的最高位也为1，所以构成以指数幂为10的周期性，其中前三个数最高位数字为1的数为20，24，27，即每个周期内有3个最高位为1的数字，又由26190=20×210×619，26194=24×210×619的最高位为1，所以在集合A={1，2，4…，26194}中最高位为1的共有619×3+2=1859个．故答案为：1859．【点评】：本题考查了进位制，周期性，属于中档题．13.（单选题，4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（）A.若a＞b，则a2＞b2B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac ＞bdC.若√a＞b，则a＞b2D.若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解．【解答】：解：对于A，令a=1，b=-1，满足a＞b，但a2=b2，故A错误，对于B，令a=2，b=1，c=2，d=1，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但ac =bd，故B错误，对于C，令a=1，b=-1，满足√a＞b，但a=b2，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a2＞b2，∴a2-ab=a（a-b）＞0，ab-b2=b（a-b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了作差法，以及特殊值法，属于基础题．14.（单选题，4分）已知实数a，b，则“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：C【解析】：由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：已知实数a，b，不等式a+ba−b＞0等价为（a+b）（a-b）＞0，即为a2-b2＞0，即a2＞b2，即为|a|＞|b|，所以“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log154945=（）A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a【正确答案】：D【解析】：利用对数的运算性质和换底公式求解．【解答】：解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log37，∴ log154945=log1549-log1545=2log157-log155-2log153= 2log715 - 1log515- 2log315= 2log73+log75 - 11+log53- 21+log35= 21ab +1b- 11+1a- 21+a= 2ab1+a - a1+a- 21+a= 2ab−a−21+a，故选：D．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质和换底公式的应用，是基础题．16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.27【正确答案】：C【解析】：利用绝对值的性质可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a ，b ，c=±3，不合题意，再取a=3，b=-3，c=0，符合题意，即可得解．【解答】：解：∵6=|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c ）-a-b+c|=2|c|，∴|c|≤3，同理可得|a|≤3，|b|≤3，若a ，b ，c=±3，显然不可能；若a=3，b=-3，c=0，此时符合题意，则a 2+b 2+c 2=18．故选：C ．【点评】：本题考查代数式最值的求解，考查绝对值的性质及意义，考查运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，6分）若实数x ，y 满足集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等，求x ，y 的值．【正确答案】：【解析】：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}，由此能够求出x ，y 的值．【解答】：解：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg （xy ）=0，即xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}．所以 {x =|x |xy =1y =1或 {x =y xy =1|x |=1 ， 解得x=y=1或x=y=-1．当x=y=1时，A=B={0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；当x=y=-1时，A=B={-1，0，1}，故x=y=-1．【点评】：本题考查集合相等的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意集合中元素互异性的合理运用．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．【正确答案】：【解析】：（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．时，不等式即：x2-5x+7＜2x-5，【解答】：解：（1）当x≥52整理可得x2-7x+12＜0，解得3＜x＜4，令f（x）=x2-5x+7，g（x）=2x-5对称，注意到函数f（x），g（x）均关于直线x=52时不等式的解集为1＜x＜2，由函数的对称性可得当x＜52综上可得，不等式的解集为（1，2）⋃（3，4）．（2）不等式即√x−1＜−2x+5，不等式有解时，x≥1，注意到函数f(x)=√x−1单调递增，函数g（x）=-2x+5单调递减，且f（2）=g（2）=1，结合函数的定义域可得不等式√x−1＜−2x+5的解集为{x|1≤x＜2}．【点评】：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，对称性的应用，函数单调性的应用等知识，属于中等题．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得4-xy=2x+y ，然后结合基本不等式即可求解；（2）由已知先用y 表示x ，然后代入后结合基本不等式可求．【解答】：解：（1）因为xy+2x+y=4，所以4-xy=2x+y ≥2√2xy ，当且仅当2x=y 时取等号，解得 √xy ≤√6−√2 ，故xy 的最大值8-4 √3 ，此时x= √3−1 ，y=2 √3 -2；（2）因为xy+2x+y=4，所以x= 4−y y+2 =-1+ 6y+2 ，所以x+y=-1+ 6y+2 +y=-3+ 6y+2+y+2 ≥−3+2√(y +2)•6y+2 =-3+2 √6 ， 当且仅当y+2= 6y+2 ，即y= √6 -2，x= √6 -1时取等号，x+y 的最小值-3+2 √6 ．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的配凑基本不等式的应用条件．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m≥0）满足关系式x=3- k m+1 （k 为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k 的值，并将该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时，x=1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格元，列出y的函数关系式即可；为1.5× 8+16xx（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，则1=3-k，解得k=2，，所以x=3- 2m+1元，因为每件产品的销售价格为1.5× 8+16xx]-（8+16x+m）∴利润函数y=x[1.5× 8+16xx）-m=4+8x-m=4+8（3- 2m+1+（m+1）]+29（m≥0）．=-[ 16m+1+（m+1）]+29（m≥0），（2）因为利润函数y=-[ 16m+1+（m+1）≥2 √16 =8，所以，当m≥0时，16m+1=m+1，即m=3（万元）时，y max=21（万元）．∴y≤-8+29=21，当且仅当16m+1所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义检验即可；（2）利用新定义计算求解可得d的值；（3）设t=−cm x2+cx，由新定义得关于t的方程t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，由二次函数性质求得t的范围，由h（t）min＞0可得c的范围．【解答】：解：（1）若f（x），g（x）是否为一对“太极函救”，由f（x）=x+1=0，得x=-1，所以g（f（-1））=g（0）=1，x=-1不是g（f（x））的零点，所以f（x），g（x）不是一对太极函救；（2）设r为方程的一个根，即f（r）=0，由题设g（f（r））=0，所以g（0）=g（f（r））=d=0；（3）因为d=0，由a=1，f（m）=0得b=−cm，所以f(x)=bx2+cx=−cm x2+cx，g(f(x))=f(x)[f2(x)−cmf(x)+c]，由f（x）=0得x=0或m，易得g（f（x））=0，据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，故f2(x)−cmf(x)+c=0无实数根，设t=−cm x2+cx，则t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，c＞0时，t=−cm (x−m2)2+mc4≤mc4，ℎ(t)=t2−cmt+c=(t−c2m)2+c−c24m2，mc 4≤c2m，即0＜m≤√2时，ℎ(t)min=ℎ(mc4)=m2c216−c24+c＞0，解得0＜c＜164−m2，mc 4＞c2m，即m＞√2时，ℎ(t)min=ℎ(c2m)=c−c24m2＞0，0＜c＜4m2，综上，m∈(0，√2]时，c∈(0，164−m2)，m∈(√2，+∞)时，c∈（0，4m2）．【点评】：本题主要考查新定义的理解与应用，函数的最值的求解，分类讨论的数学思想，二次函数的最值等知识，属于中等题．。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
A．{x|﹣4≤x＜﹣2 或 3＜x≤7}
B．{x|﹣4＜x≤﹣2 或 3≤x＜7}
C．{x|x≤﹣2 或 x＞3}
D．{x|x＜﹣2 或 x≥3}
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
故选：A．
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣2x2﹣x＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0．
பைடு நூலகம்
∴M≥N．
故选：A．
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
对于 B，0＜x＜1⇒x2＜1，故 B 正确；
对于 C，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故 C 正确；
对于 D，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故 D 错误．
故选：BC．
11．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 M＝{2，3，4}，则 M 的子集个数是 8
B．函数 y
与 y＝（ ）2 是同一函数
t C．不等式
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）不等式 x2＞8 的解集是（ ）
A．（﹣2 ，2 ）
B．（﹣∞，﹣2 ）∪（2 ，+∞）
C．（﹣4 ，4 ） 6．（5 分）下列函数中，最小值为 2 的是（
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ） A ．{0，1} B ．{0，1，2} C ．{-1，0，1} D ．{-1，0，1，2}【答案】C【解析】先解绝对值不等式得{}22A x x =-<<，再求集合交集即可得答案. 【详解】解：由2x <得22x -<<，故{}22A x x =-<<， 所以{}1,0,1A B =-. 故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，绝对值不等式，是基础题. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()f x ()g xB ．()||f x x =与()g xC ．()f x =()2g x x =D ．()x f x x=与0()g x x =【答案】D【分析】逐一分析选项，判断是否满足函数的三个要素.【详解】A.()f x 的定义域是{}2x x ≥，()g x 的定义域是(][),22,-∞-+∞，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.()f x x =，()g x x ==，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；C.()2f x x ,()2g x x =，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；D.两个函数的定义域是{}0x x ≠，对应关系()()1f x g x ==，所以是同一函数. 故选D.【点睛】本题考查了函数的三个要素，属于简单题型,意在考查对函数概念的理解. 3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ） A ．{ x |是小于18的正奇数} B ．{}|41,5x x k k Z k =+∈<且C ．{}|43,,5x x s s N s =-∈≤且D ．{}|43,,5x x s s N s *=-∈≤且【答案】D【分析】对照四个选项一一验证：对于A ：{ x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，即可判断； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且即可判断； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且即可判断；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且即可判断.【详解】对于A ：{ x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，，故A 错误； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且，故B 错误； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且，故C 错误；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且，故D 正确.故选：D4．24x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．23x > B ．2x C ．2x ≥ D ．3x >【答案】D【解析】先解不等式24x >,，再利用充分不必要条件的定义判断. 【详解】不等式24x >,解得2x >或2x <-, 所以24x >成立的一个充分不必要条件是3x > 故选：D5．已知()f x 为一次函数，且[()]43,f f x x =-则(1)f 的值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】设()f x kx b =+，代入[()]43,f f x x =-得到()21f x x =-或()23f x x =-+，计算得到答案.【详解】设()f x kx b =+则2[()]()()43f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=- 24,3k kb b =+=-2,1,()21,(1)1k b f x x f ==-=-=或2,3,()23,(1)1k b f x x f =-==-+= 综上：(1)1f = 故答案选B【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用.6．函数()11,021,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a =，则实数a 的值为（ ）A ．±1B ．-2或±1C ．-1D ．-2或-1【答案】C【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.【详解】当0a ≥时，令11,22a a a -==- ，与0a ≥矛盾，不合题意；当0a <时，令1,1a a a==± ，取1a =- ，符合题意， 故选：C7．若函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】易得0a =满足；当0a ≠时，满足014a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩可求解.【详解】当a 0=时，()23f x x =-在(),4-∞上单调递增，满足题意；当0a ≠时，要使()f x 在(),4-∞上单调递增，则满足014a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得104a -≤<，综上，实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.8．若对满足条件(0,0)xy x y x y =+>>的任意x y ，，不等式20x y k +->恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A．(,3-∞+ B．(,3-∞+ C．(,-∞ D．(,-∞【答案】B【解析】由基本不等式求出2x y +的最小值，可得k 的范围． 【详解】∵xy x y =+，0,0x y >>，∴111x y+=，∴1122(2)33x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2x y y x =，即1,2x y ==∴2x y +的最小值是3+20x y k +->恒成立，即2k x y <+恒成立，∴3k <+故选：B ．【点睛】不等式恒成立求参数范围问题的通常解法是用参数分离法转化为求函数的最值，函数的最值可以是一元函数的最值，利用函数的单调性求得最值，也可以是用基本不等式求得最值． 二、多选题9．下列函数中，在()0,2上是减函数的是（ ） A ．1y x= B ．21y x =- C ．12y x =-D ．()221y x =-【答案】AC【分析】根据反比例函数的性质，可判断A ；根据一次函数的性质可判断B,C;根据二次函数的性质可判断D.【详解】1y x =为反比例函数，在0+∞（，）时是减函数，故在()0,2上是减函数，故A 正确； 21y x =-为一次函数，在R 上是增函数，故在()0,2上是增函数，故B 错误；12y x =-为一次函数，在R 上是减函数，故在()0,2上是减函数，故C 正确；()221y x =-在1+2∞（，）时是增函数，故在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，故D 错误， 故选：AC10．已知110b a<<，则下列选项正确的是（ ）A ．a b ab +<B ．a b <C ．a b <D ．2ab b >【答案】ABD【解析】由不等式的性质结合作差法逐项判断即可得解.【详解】对于A ，因为110b a<<，所以0,0a b <<，所以0a b ab +<<，故A 正确；对于B ，因为110a bb a ab--=<，所以0a b -<即a b <，故B 正确； 对于C ，由0,0a b <<且a b <可得a b >，故C 错误；对于D ，由()20ab b b a b -=->可得2ab b >，故D 正确.故选：ABD.11．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【答案】AB【解析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B, 对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值；对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =+++++=,,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝ ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误. 对D, ()()2222222121a b a ab b a a b b +=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题. 12．下列说法错误的是（ ）A ．已知,,a b c R +∈，则a b c ++≥B 2的最小值为2．C ．()1f x x=-在定义域上是增函数．D ．(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，()20M N ⋂=,． 【答案】BCD【分析】利用基本不等式可判断A 、B 的正误，由()()1>1f f -可得C 的正误，由集合的运算可得D 的正误.【详解】解：对于A ，因为,,a b c R +∈，所以222a b a c b ca b c +++++=++≥当且仅当a b c ==时等号成立，故A 正确；对于B 22=≥=，当且仅当=，即21x =-时等号成立，而21x =-无解，所以等号不成立，所以22>，故B 错误；对于C ，1()f x x=-的定义域为{}0x x ≠，因为()()11,11,11f f -<-==-，所以()()1>1f f -，所以()f x 在定义域上不是增函数，故C 错误； 对于D ，由(){}(){},2,,2M x y x y N x y x y =+==-=，得(){}2,0MN =，故D 错误，故选：BCD. 三、填空题13．函数()f x =的定义域为_____________. 【答案】[)()1,22,-+∞【分析】根据偶次根式和分式有意义的要求可得不等式组，解不等式组可求得结果.【详解】由题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x ≥-且2x ≠，即()f x 的定义域为[)()1,22,-+∞.故答案为：[)()1,22,-+∞.14．已知:02p x ≤≤，2:230q x x --≥，则q ⌝是p 的______．（用“既不充分也不必要条件、必要不充分条件、充分不必要条件、充分必要条件”填空） 【答案】必要不充分条件【分析】求出q ⌝所对不等关系，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】解不等式2230x x --≥得：1x ≤-或3x ≥，则有q ⌝：13x ，显然有{|02}x x ≤≤ {|13}x x -<<， 所以q ⌝是p 的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件15．函数2122y x x =-+的值域是_______【答案】(]0,1【分析】根据二次函数的性质先求222x x -+的值域，取倒数即可求出2122y x x =-+的取值范围．【详解】由2222(1)1t x x x =-+=-+，即1t ≥，所以101t<≤所以211202x x ≤-+<．故函数的值域为(]0,1 故答案为(]0,1【点睛】本题考查函数的值域求法，属于基础题． 四、双空题16．已知函数22()62f x tx x t =-+，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[],1a ，则=a _______；若函数()22g x x a =-，(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()h x 的最大值为____________. 【答案】 4- 8【解析】由题意知()()10f a f ==且0t <，列出方程组求解t 、a ，求出函数()h x 的解析式，并作出函数()h x 的图像，数形结合可求得最大值.【详解】由题意知()()10f a f ==，且0t <，即222()620(1)620f a ta a t f t t ⎧=-+=⎨=-+=⎩①②， 由②式可求得2t =-或32（舍去）， 将2t =-代入①式可得22680a a --+=，解得4a =-；4a =-，2t =-时，2()268f x x x =--+，()28g x x =+，令()()f x g x ≤解得4x ≤-或0x ≥，所以2268,40()28,40x x x x h x x x ⎧--+≤-≥=⎨+-<<⎩或，二次函数()f x 的对称轴为32x =-，()()40,08f f -==，()()40,08g g -==，作出函数()h x 的图像如图所示，所以函数()h x 的最大值为8. 故答案为：4-；8【点睛】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系、分段函数的图像与性质，属于中档题. 五、解答题17．已知函数2()45().f x ax ax a R =++∈ （1）若1,a =-求()y f x =的定义域；（2）若函数()y f x =定义域为R ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[5,1]-(2)5[0,]4【分析】（1）当1,a =-2()45f x x x --+2450x x --+≥得到答案. （2）讨论0a =和0a ≠两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）当1,a =-2()45f x x x --+2450x x --+≥即51x -≤≤ 故定义域为[5,1]-（2）函数()y f x =定义域为R 当0a =时，()5f x =当0a ≠时，2()45f x ax ax =++R ，即2450ax ax ++≥恒成立2050(4)2004a a a a >⎧∴<≤⎨∆=-≤⎩综上所述：5[0,]4a ∈【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0a =的情况是容易犯的错误.18．()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值； ()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．【答案】()1当5x =时，y 的最小值为7．()2 2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【分析】()1直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．()2直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．【详解】()1已知3x >， 则：30x ->，故：44333733y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当：433x x -=-， 解得：5x =，即：当5x =时，y 的最小值为7．()2已知0x >，0y >，223x y +=，则：23x y +≥解得：6xy ≤， 即：123x y==， 解得：2x =，3y =时，xy 的最大值为6．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.19．已知二次函数()2f x ax bx =+的最小值为()11f =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式：()()23222f x m m x m <+--.【答案】（1）()22f x x x =-；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】（1）由题意可得出()()211f x a x =--，且0a >，再由()2f x ax bx =+可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，进而可得出函数()y f x =的解析式；（2）将所求不等式变形为()()220x mx m --<，对2m和2m 的大小进行分类讨论，由此可得出原不等式的解集.【详解】（1）由于二次函数()2f x ax bx =+的最小值为()11f =-，则()()211f x a x =--，且0a >，所以，2221ax ax a ax bx -+-=+，则102a b a -=⎧⎨=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以，()22f x x x =-；（2）由()()23222f x m m x m <+--，可得()2232222x x m m x m -<+--，即()223220x m m x m -++<，即()()220x mx m --<.①当22m m =时，即当0m =或2时，则有()220x m -<，原不等式的解集为∅； ②当22m m >时，即当0m <或2m >时，解原不等式可得22m x m <<，原不等式的解集为()22,m m ；③当22m m <时，即当02m <<时，解原不等式可得22m x m <<，原不等式的解集为()2,2m m .综上所述，当0m =或2时，原不等式的解集为∅； 当0m <或2m >时，原不等式的解集为()22,m m ；当02m <<时，原不等式的解集为()2,2m m .【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.20．已知函数()22x x af x x-+=．(1)若对任意的()0,x ∈+∞，()0f x >恒成立．试求实数a 的取值范围； (2)若0a >时，求函数()f x 在[)2,+∞上的最小值． 【答案】(1)1a >(2)()()()min04224aa f x a ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩【分析】（1）由已知将不等式等价于22a x x >-+在()0,x ∈+∞上恒成立，再运用二次函数的性质可求得实数a 的取值范围；第 11 页 共 11 页 （2）先运用单调性的定义证得函数()f x 的单调性，再分当04a <≤时，当4a >时，讨论可求得函数函数()f x 在[)2,+∞上的最小值．【详解】(1)解：根据题意得220x x a -+>在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于22a x x >-+在()0,x ∈+∞上恒成立，因为()22g x x x =-+在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==，所以1a >；(2)解：()2a f x x x=+-，设120x x << ()()()12121212121a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭()()121212x x x x a x x --=，∵120x x <<∴12<x x a ，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴()f x在(单调递减，同理可证()f x在)+∞单调递增，当04a <≤时，02<，函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，()()min 22a f x f ==； 当4a >2>，函数()f x在⎡⎣上单调递减，在)+∞上单调递增， ()min 2f x f ==．所以()()()min 04224a a f x a ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩．。