固体物理习题3(5-7)章
固体物理习题3PPT课件
x n 1 x n 1 2 x n
(1)
式中，xnn1 ,2 ,3 ,为原子位移； 为恢复力常数。
依题设，原子的振动位移可表示为
xn1xn AAcocosstt nna1qaq
(2)
xn1 Acost n1aq
将(2)式代入(1)式，得
m 2 x n A co t n s 1 a q
N4
2
又因为一维单原子链的色散关系为
ω2 4 β sin2aq 或者 ω2 2β1cosaq
m 2
m
所以 1mω2 β1cosaq
2
得平均总能量 ε 1 mω2A2 2
3.2 证明：在由两种不同质量M、m(M>m)的原子所组成的一维
复式格子中，如果波矢q取边界值 q 2a(a为相邻原子间
距)，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学 支上，质量为M的重原子保持不动。
uAe Ae iqn 2aωt
i1qn ω at
2
n
u B e Be n1
i q n 2 aq b ω t
i 1qn ω a t
2
代入运动方程，得
m ω 2 A β 2 B A β 1 A B iqe a m ω 2 B β 1 A iq B a e β 2 B A
证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3，... 各点；设质量为M的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，…各点。
a
mM
2n-3 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3
令 表示原子间的恢复力系数，运动方程写为
m x 2 n x 2 n 1 x 2 nx 2 n x 2 n 1
固体物理第三章习题答案
1
4 u n
( ij u )
i j
右边
1
1
4 u n
i(n)
( in u
i(n)
2
2 in
j(n)
nj
u )
2
2 nj
4 u n
( in ( u n u i )
j(n)
nj
nj
(u j u n ) )
T 成正比，说明德拜模型 温的情况下。
3－ 5 设想在一维单原子晶格
中，只激发出一个动量
为
q ( q 0 )的声子，试证明晶体并
不因此而获得物理动量
。
证明：先证下面的式子 1 N
'
： l l l l
' '
e
n
ina ( q l q ' )
l
ll '
1, 0,
略去 项，（因为低温，
1）
d
C
T
m
l
M M
0
a
e
k BT
1
l
M
a
T
0
d
似为无穷大 )
e
k BT
1
(因为低温，频率低的占
主要，所以上限可以近
l
M k T
2 B
a
(e
0
x e
x
2
x 2
1)
2
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
固体物理第5章_能带理论_习题参考答案
第六章 能带理论 (习题参考答案)1. 一矩形晶格，原胞长10a 210m-=⨯，10b410m-=⨯（1）画出倒格子图（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子）解：（1）因为a =a i=20A i b =b j=40A j倒格子基矢为12a iA*=, 014bj A*=以a *b *为基矢构成的倒格子如图。
由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。
(2)取任一倒格子点O作为原点，由原点以及最近邻点A i,次近邻点B i的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。
如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。
(3) 设晶体中共有N个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N个状态。
简约布里渊区的面积21()8A a bA ***-=⨯=而状态密度22()16()N g K N A A*==当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为 22()216Fk FN g k kdk N k ππ=⨯=⎰所以1/211111()0.2()210()8F k A m π---=≈=⨯这就是费米圆的半径。
费米圆如下图所示2. 已知一维晶体的电子能带可写成()2271cos cos 2,88E k ka ka m a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭式中a 是晶格常数。
试求： （i ）能带的宽度；（ii ）电子在波矢k 状态时的速度； （iii ）能带底部和顶部电子的有效质量。
()()()()()()()()22222m in 2m ax 22m ax m in 22222m in 71cos cos 2,8811cos 24400,2;221sin 24sin 404k i E k ka ka m a ka m a k E k E am a E E E m am aii v E kv ka ka m aiii E k kk E E mπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦====∆=-=∴=∇∴=--==+解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得：()()()22m in 22m ax 22m ax 220342203k E mm m E k k E E k mk E mm m ππδδδ****=+∴===-=+∴=-在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k=+k 可得：aa3. 试证明：如果只计及最近邻的相互作用，用紧束缚方法导出的简单立方晶体中S 态电子的能带为()2cos 2cos 2cos 2s x y z E k E A J ak ak ak πππ⎡⎤=--++⎣⎦并求能带的宽度。
固体物理第三章习题PPT学习教案
2
2 vA
声学波的模式密度 2 L L
2 vA vA
q
2a
2a
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16
声学波的热振动能
其中
EA
D 0
D()d e kBT 1
L vA
kBT
2
D 0
T
exxdx1.
x kBT , D
D , kB
D和D分别为德拜频率和德拜温度．德拜频率
可由下式
求得
L D D()d D L d LD
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必 定为零，即
1 2 m2 2 1eiqa
0
2 1eiqa
1 2 m 2
第8页/共39页
9
解上式可得 ：
2
1 2
2m2
2m
4m2
16m2 1 2
1 2 2
sin 2
qa 2
1
2
1
2 m
1
1
0 0
kB
2L ( a
kBT )2
(e
e kBT d
kBT 1) 02
2
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28
13. 对于一维简单格子，按德拜模型，求出晶格 热容，并讨论高低温极限。
第28页/共39页
29
[求解]
按照德拜模型，格波色散关系为=vq。由色散曲 线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的 波矢区间dq。2/a区间对应L/a个振动模式，单位 波矢空间对应有L/2个振动模式，d范围则包含
LkB2T
,
C
D T 0
x2exdx ex 1 2
是一常数．晶格的热容
CV CVO CVA.
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知⼀维单原⼦链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，µ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因⼦，并已知在较⾼温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原⼦的平⽅平均位移。
解：任意⼀个原⼦的位移是所有格波引起的位移的叠加，即µn= ∑ µnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）µ2 n =∑µjnj∑µj*nj=µj2nj+ µ µnj*nj′j j′由于µ µnj?nj数⽬⾮常⼤的数量级，⽽且取正或取负⼏率相等，因此上式得第2 项与第⼀项µ相⽐是⼀⼩量，可以忽略不计。
所以2= ∑ µ 2njn j由于µnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于⼀个周期内的时间平均值为µ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较⾼温度下的每个格波的能量为KT，µnj的动能时间平均值为1 L T ?1 ?dµ 2 ?ρw a2 T 1= ∫∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ? 2 ?dt??2T0 j j j j 4 j j其中L 是原⼦链的长度，ρ使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2µKT因此将此式代⼊（2）式有nj2 = ρωL 2 jµ所以每个原⼦的平均位移为2== ∑ µ 2= ∑KT= KT∑1n njρωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论N 个原胞的⼀维双原⼦链（相邻原⼦间距为a），其2N 格波解，当M=m 时与⼀维单原⼦链的结果⼀⼀对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所⽰，质量为M 的原⼦位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原⼦位于2n，2n+2，2n+4 ……⽜顿运动⽅程：..mµ2n= ?βµ(22n?µ2n+1 ?µ2n?1)..Mµ2n+1 = ?βµ(22n+1 ?µ2n+2 ?µ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独⽴的⽅程i na q⽅程解的形式：iµ2n=Ae[ωt?(2 ) ] µ2n+1=Be[ω?(2n+1)aq]na qµ=将µ2n=Ae[ωt?(2 ) ]2n+1 Be i[ωt?(2n+1) aq]代回到运动⽅程得到若A、B 有⾮零的解，系数⾏列式满⾜：两种不同的格波的⾊散关系：——第⼀布⾥渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第⼀布⾥渊区允许 q 的数⽬黄昆固体物理习题解答对应⼀个 q 有两⽀格波：⼀⽀声学波和⼀⽀光学波。
固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点：
（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一 支纵波，其色散关系分别为： ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定：
N个原子组成，共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时，实验规律与理论不符； 实验结论：CV（低温）～T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单，但与实验符合程度却相 当好，说明晶体比热的量子理论的成功；但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快，而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献，完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单，需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式，它们的频率值是不完全相同的，而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度） kB
讨论
（1）高温情况（Ｔ>>θE): （2）低温情况（Ｔ<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；
即Debye的T3定律
关于非谐效应
（1）格临爱森状态方程：
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV （2）格临爱森定律： K 0V
表示当温度变化时，热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题参考解答07第七章_能带结构分析
第七章 能带结构分析
（二）参考阎守胜 3.8 面心立方晶胞含 3 个原子，设锌原子与铜原子之比为 m，则
n = (3 + 3m) / a3
kF3 = 3π 2n = 3(3 + 3m)π 2 a3
m
=
(akF )3
9π 2
−1
面心立方的倒格子为体心立方
⎧⎪a1 ⎪
=
a 2
(
j
+
k
)
⎪⎨a2 ⎪
=
a 2
k
=
= 2 k x2 2m1∗
+
=
2
k
2 y
2m2∗
整理有
kx2 2Em1∗
+
k
2 y
2Em2∗
=1
=2
=2
A(E)
=
π ab
=
π
2E =2
m1∗m2∗
ω
=
2π eB =2
dA( E
dE
)
=
2π eB =2
2π =2
m1∗m2∗ =
eB m1∗m2∗
7.6 如果电子的等能面方程为
4
( ) ( ) E k
( ) G
dk dt
=
−
1 =
G ev
G k
×
JG B
=
−e
⎛ ⎜
⎝
kx m1∗
G i+
ky m2∗
G j
⎞ ⎟
×
⎠
JG Bk′
写成分量形式，有
dkx dt
+
eBk y m2∗
=0
dk y dt
−
华科固体物理习题解答
2 h3 2 h1 2 h2 k Gh kx ky kz a b c
2 2 2 h h 1 2 2 h 3 Gh 2 ( 12 2 ) 2 2 2 a b c
1 2 k Gh Gh 2
2 2 2 2 h3 h 2 h1 2 h2 h h 3 kx ky k z 2 2 ( 12 2 ) 2 2 a b c a b c
（2）AC晶列的指数
c
C
B
AC OC OA
b
a
A
1 1 [c (a b )] (a b ) a(i j 2k ) 2 2
所以AC晶列的晶列指数为
[112]
第二章 习题 2.1 证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇菲 格子，并给出其倒格子的晶格常数。 解：在直角坐标系中，简单 六角布喇菲格子的基矢为： 相应的倒格子基矢为：
4 a 3 6 ( ) 2 3 2 x 6 3 3 2 ca 2
(5) 金刚石结构 任意一个原子球有4个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则空间对角线四分之一 处的原子与三个面上的面心原子球及顶 角处原子球相切，因此有
3a 8r
晶胞体积为 V a3
晶胞内包含8个原子，所以有：
4 3a 3 8 ( ) 3 3 8 x a3 16
简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构 的致密度依次为
6
3 8
2 6
2 6
3 16
a 1.6 基矢为 a1 ai a2 aj a3 ( i j k ) 的晶体为何种结构？ 2
方法1：先计算出原胞体积 V a1 (a2 a3 ) a 3 由原胞体积可推断为体心结构 方法2：由已知的三个基矢构造三个新的基矢
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固体物理习题
一、 固体电子论基础
1． 已知金属铯的E F =1.55eV ，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。
2． 证明：在T=0K 时，费米能级0
F E 处的能态密度为：0023)(F F
E N E N =，式中N 为金属中的自由电子数。
3． 已知绝对零度时银的费米能为5.5eV ，试问在什么温度下，银的电子摩尔比热和晶格摩尔比热相等？（银的德拜温度是210K ）。
4． 如果具有bcc 结构的Li 晶体的晶格常数为：5.3=a Å，计算其费
米能(0F E )、费米温度及每个价电子的平均动能。
5． 已知某种具有面心立方结构的金属中自由电子气的费米球半径为：a
K F 3120)12(π= ，其中a 为晶格参数，每个原子的原子量为63.5，晶体的质量密度为33/1094.8m kg D ⨯=，试求：（1）该金属的原
子价?=η（2）eV E F
?0= 6． 写出三维波矢空间自由电子的量子态密度表达式。
7． 费米能随着温度的变化趋势是什么？
8．电子的比热系数、费米能附近电子的能态密度以及电子的有效质量之间的关系是什么？
9．不同的导体之间接触电势差产生的根本原因是什么？
二、 金属的电导理论
1． 已知金属铜的费米能,12.7eV E F =在273K 温度下电阻率cm ⋅Ω⨯=-81058.1ρ，求（1）铜中电子的费米速度，（2）平均自由时间τ和平均自由程Λ。
2． 证明对于具有球形费米面的金属，其电导率可以表示为：
()F F F E g v e τσ223
1= 式中e 为电子电量；F v 、F τ为费米面上电子的速度和驰豫时间（或平均自由时间）；)(F E g 为费米面附近单位晶体体积的能态密度，因此
C
F F V E D E g )()(=，其中)(F E D 是晶体的能态密度。
3． 设钠为各向同性的金属晶体，已知钠的费米能eV E F 2.30=。
在T=0K 时测知其电导率为2.1×10171)(-⋅Ωcm ，求该温度下钠电子的驰豫时间τ。
4． 玻尔兹曼方程中的弛豫时间是如何定义的？
5． 玻尔兹曼方程建立的理论基础是什么？利用玻尔兹曼方程可以研究固体的什么性能？
6． 说明各向同性金属的电导率表达式： F
v m ne *20Λ=σ中各参数的含义。
7． 简述晶格散射的概念。
8． 马德森定则成立的条件是什么？该定则表达的理念是什么？
三、 固体的磁性
1． 自由原子的磁矩的主要来源是什么？
2． 单电子原子的轨道角动量和自旋角动量沿外磁场方向的分量如何计算？多电子原子的总的角动量沿磁场方向的分量如何计算？
3． 试用洪德规则确定离子Ce 3+、Er 3+的基态，并用原子状态的光谱表示法（即J S L 12+）表示。
4． 说明铁磁性、亚铁磁性、反铁磁性的区别。
5． 设有一自旋角动量量子数S=1、磁矩为μ、浓度为n 的自旋体系，置于磁场H 下，说明在磁场H （设Z 轴为正方向）的作用下，磁矩的能级是如何分裂的。
6． 材料普遍具有逆磁性的原因是什么？某些材料显示顺磁性的原因是什么？
7． 为什么某些半导体材料会显示较弱的顺磁性？
8． 如何理解铁族离子在顺磁盐中会发生“轨道淬灭”的现象？
9． 铁磁性物质与顺磁性物质相比，有哪些主要特征？
10． 说明影响铁磁居里温度的主要因素是什？
11． 磁畴产生的原因是什么？。